CHAPITRE V. ^ DES ENGRENAGES CONIQUES

diverses courbes ôirf,, a^c^^.^.j que Ton coupera, avant leur rencontre, par le cercle d'échanfrinementptffCi, lequel fera connaître le point p'et la saillie A'Z'/)' que présenteront les dents de cette roue au dehors du cône primitif Z' A' o'. Nous ne &isons qu^ndiquer ces diverses opérations, parce qu'elles sont toutes semblables à celles que nous avons effectuées pour la première roue.

Remarque. Quoique la saillie de la dent ait pour limite rigoureuse la droift Z'p', il sera bon, afin de laisser quelque jeu à la machine, de tracer une autre droite Z'/?" un peu plus écartée de Taxe, et de considérer cette dernière comme la limite fictive de la dent, quand il s'agira tout à l'heure de déterminer l'étendue des flancs et des entailles de la grande roue.

892. Limites des flancs. Nous avons vu au n^885 que les flancs de la grande roue qui seront conduits parles dents de la petite sont les plans verticaux OA, OA|, OA,,... ; mais pour déterminer la partie utile de ces plans; c'est-à-dire celle qui est successivement touchée par la portion de cône épicycloïdal correspondante à l'arc fini ac, il faudra recourir à la méthode du n^ 885. Ainsi, du point p*", où la génératrice extrême Z';/' du cône épicycloïdal rencontre le grand cercle O'p" k! de la sphère qui contient l'épicycloïde en question, abaissons sur Taxe ZV la perpendiculaire p''k!\ elle coupe le diamètre O'A' du cercle générateur au point a, que l'on projettera en 3 sur la circonférence de ce cercle; on rabattra le point 3 en 4 sur le plan vertical, et la droite Z'4> que l'on prolongera jusqu'en F, où elle rencontre le cône inférieur de la couronne, fera connaître la partie angulaire k!Z'¥' du flanc qui seule est conduite par la dent correspondante à l'arc ac. Toutefois, comme la droite 71 Y rencontre aussi le cône supérieur de la couronne au point (f\ on doit dire que la grandeur précise du flanc est donnée parle trapèze k'aiff'Y'^ dont les angles F' et tf' fournirout sur le plan horizontal les circonférences auxquelles il faudra terminer les côtés des flancs AF, of , B£,....

Pour la petite roue, on trourera d'une manière semblable les côtés des flancs ^/> bey...y en opérant sur la génératrice Z'F du cône épicycloïdal qui forme la dent de la grande roue.

893. Limites des entailles. Au lieu de faire tourner les deux roues autour de leurs axes immobiles, nous pouvons, d'après le principe du n® 809, laisser le cône Z'A'O' entièrement fixe et faire rouler sur celui-là le cône Z'A'o' qui entraînera avec lui la dent correspondante à l'arc ac. Pendant cette rotation, l'arête extrême Z'p" de la dent engendrera une surface conique ayant son sommet en Z', et pour base l'épicyclcnde rallongée qui sera décrite par le point x' où cette arête va couper le plan du cercle mobile A'o'; et les intersections de cette sur&ce avec les deux cônes qui terminent la couronne de la grande roue, indiqueront évidemment les limites de l'entaille à pratiquer, pour que la dent de la petite roue puisse se mouvoir librement.

38o LIVRE IX. — ADDITIONS.

{Fig, 2 et 5.) Afin de construire» sans confusion, cette épicycloïde rallongée qui sera tout entière sur la sphère afy décrite avec le rayon ZV, transportons le triangle Z' A'O' dans la situation Z'A'^O", et en traçant la droite A!':xr égale et parallèle à A'x', nous aurons les projections x" et x du point générateur quand il est arrivé dans le plan vertical; d'ailleurs le cercle x"^, décrit avec la distance Z^'x^ pour Ayon, représentera la sphère qui contient l'épicycloïde cherchée. Cela posé, si nous traçons le cercle A"B" avec le rayon C'A'', et le cercle A'^fc'" avec un rayon o' A" choisi égal à o'A', ce dernier sera le rabattement du cercle mobile qui doit rouler sur l'autre ; de sorte qu'en prenant deux arcs égaux A^M = A^'m, et en prolongeant le rayon o'^m d'une quantité mG égale à A'^jc", le point G serait le rabattement, et 9, jr' les projections du point générateur quand la rotation aurait fait parcourir Tare A" M, si l'origine de cette rotation était en M; mais comme cette origine est vraiment en A", on verra bien qu'il faut tracer la circonférence giht et porter l'arc gi de h en /, pour obtenir un point / de la projection Ixde l'épicycloïde demandée.

Maintenant, il faut imaginer un cône qui ait son sommet en Z" et pour base l'épicycloïde projetée sur Ixy et en chercher l'intersection avec le cône inférieur de la couronne de la grande roue, lequel aura pour génératrice, sur la Jig. 5, la droite A'Q" menée parallèlement à A'Q' de la/gi. a. D'abord, la génératrice Z^f du cône épicycloïdal fournira, par sa rencontre avec A'' Q'*, un point (X*, X) de l'intersection demandée. Ensuite, considérons la génératrice quelconque projetée sur O'^ /, et rabattons-la sur le plan vertical : le point de l'épicycloïde projeté en / étant à la même hauteur que g% il se transportera en A:', sur la sphère o:^/"; la génératrice sera donc rabattue suivant Z'' A', et alors elle coupera A^Q'^au point (r', r); de sorte qu'il n'y aura plus qu'à ramener par un arc de cercle le point r en L sur O/, pour obtenir un point de la courbe F'LX suivant laquelle se projette horizontalement l'intersection des deux cônes ci-dessus indiqués.

894. C'est cette courbe E"LX qu'il Eaudra transporter sur la fig. 3 suivant EH, avec le soin de placer le point E" (que nous allons apprendre à déterminer) à l'extrémité E du flanc BE^ et le sommet X sur le cercle limite THG, lequel se déduit du point T' où la couronne de la roue est renoontrée par l'arête Tlp" x\ Quant au point E'^ de la fiq, 5^ si l'on se représente bien la rotation du cône primitif Z' A' o' sur le cône iitindobiJe Z'A'O', Qïi reconnaîtra aisément qu'il faut prolonger le cercle B" A'' d'une quantité A'' U" égale à l'arc 6, u de la fig. 4; puis, tirer le rayon O'M" sur lequel on prendra k longueur U^'E", égale au flanc BE de M fig. 3.

Sur le cône sjipérieur de la couronne, le cercle limiie Qrj sera fourni par '^ point 6' où Ja génératrice N'a'V est coupée par la même arête Z'/j'o^; et la courbe eio étant semblable à EH, elle se déduira de celle-ci par des rayons vecteurs proportionnels.