CHAPITRE V. — DES ENGRENAGES CONIQUES

La projection verticale des courbes qui forment le contour des dents se conclura de la projection horizontale, en ramenant les divers points de celle-ci sur les cercles horizontaux auxquels ils appartiennent. Mais ce tracé, que nous avons effectué ici, ne doit être regardé que comme un complément de la représentation graphique, car il est entièrement inutile pour le constructeur; aussi, sur le plan vertical de la petite roue, nous n'avons figuré qu'une simple coupe.

895. {Fig. 6.) Développements des panneaux. Pour exécuter cet engrenage, il est nécessaire de connaître, en vraie grandeur, les intersections des diverses faces de la dent et du creux avec les deux cônes de la couronne qui sont engendrés par la révolution des droites parallèles FA'Q' et N'a'V autour de l'axe O'Z'. On développera donc ces deux sur&ces coniques par la méthode du n^ 251, en cherchant d'abord la position de leurs sommets sur cet axe; ainsi, pour le cône FA'Q' par exemple, on décrira, avec son apothème, une circonférence sur laquelle on prendra des arcs égaux en grandeur absolue à PC, CD,...; et sur les rayons qui aboutiront à ces points de division, on portera les longueurs des portions de génératrices comprises entre le cercle P'P'' et les divers points projetés en A, B, £, H,.. . .

890. Après avoir taillé le solide de l'enrayure et de la couronne, on appliquera sur les deux parois coniques correspondantes à P'Q' et N'Y", les panneaux dont nous venons de parler, construits en carton flexible, afin qu'en les faisant fléchir ils puissent coïncider entièrement avec ces surfaces; dans cet état, les courbes transformées auront repris leur forme primitive à double courbure, et l'on tracera alors sur les parois coniques le véritable contour des dents et des creux. Ensuite, il n'y aura plus qu'à exécuter les surfaces coniques dirigées vers le sommet Z', au moyen de l'arête d'une règle que l'on promènera sur les contours inférieur et supérieur, avec le soin de l'appuyer en même temps sur les points de repère qui correspondent à une même génératrice, points qui sont donnés par le tracé même des panneaux.

897. Remarque. A l'égard des entailles, nous avons voulu expliquer la méthode rigoureuse qui servirait à enlever le solide minimum, et laisserait ainsi aux dents la plus grande résistance possible; mais, dans la pratique, et pour ne pas ajouter aux difficultés d'exécution que présente cet engrenage, on se contente de déterminer les cercles limites THG, 0>3, au moyen des deux points de section T', Q\ marqués sur le plan vertical de la^î^. a, et l'on prolonge en ligne droite les côtés des flancs B£, AF, Se,..., jusqu'à ces deux circonférences limites; ou bien, on raccorde leurs extrémités avec ces circonférences par une petite courbe arbitraire, mais située visiblement en dehors de la limite rigoureuse EU. Cette simplification, qui devra toujours être employée, ne nuit en rien à la marche régulière de l'engrenage; mais il n'en est pas de même pour la suivante.

898. Méthode approximative. Pour éviter la longueur et les difficultés que pré-

sente le tracé des épicycloïdes sphériquesi beaucoup de coo&tructeurs se permettent d'y substituer des épicycloïdes planes, qu'ils déterminent de la manière suivante. Après avoir fixé les rayons primitifs A'O' et A'o', ils mènent par le point A', et perpendiculairement à la génératrice Z'k\ un plan que j'appellerai plan auxiliaire, et qui va couper les axes des roues en deux points que je désignerai par O, et o,; dans ce *plan auxiliaire ils décrivent deux cercles avec les rayons O, A\ o. A', et ils opèrent comme si ces deux circonférences devaient rouler l'une sur l'autre, ce qui n'est pas très^loigné de la vérité, du moins pour le court intervalle pendant lequel s'exerce la poussée d'une même dent.

Ainsi, après avoir rabattu le plan auxiliaire avec les deux circonférences qu'il renferme, on rapportera sur celles-ci les divisions égales marquées sur les cercles primitifs, et l'on construira les profils d'une dent de chaque roue, comme pour un engrenage cylindrique (n° 858). Ensuite, comme on termine ici \e& couronnes des deux roues d'angle par les surfaces coniques que décriraient les droites A'Oj et A'o, en tournant autour des axes respectifs, les profils construits ci-dessus remplaceront les panneaux développés sur la jî^. 6; de sorte qu'il suffira d'appliquer ces profils sur la couronne même, pour pouvoir exécuter les diverses faces des dents et des creux, ainsi que nous l'avons dit au n^ 896.

NOTES DE M. E. MARÏELET.

?sOTE SUR LES CHANGEMENTS DE PLAN DE PROJECTION ET SUR LES

Changement de plans de projection.

I**" PBOBLiME. — Changement de plan de projection par rapport à un point.

Nous prendrons pour ce premier problème une figure en relief [fig. i), afin de mieux faire comprendre répure qui est en regard [fig. i). Soit donc un système ordinaire de plans de projection V et H, se coupant suivant la ligne de terre LT; nous remplaçons le plan vertical V par un autre plan vertical V, coupant le plan horizontal H suivant la ligne de terre L' T', et le plan V suivant la verticale ^^ Nous avons projeté un point M de l'espace en M^ et Ma sur les deux premiers plans, et nous demandons quelle sera la projection M^ de ce même point sur le nouveau plan vertical.

On sait: i** que les deux projections d*un point doivent se trouver sur une même perpendiculaire à la ligne de terre; 2^ que la distance d*un point au plan horizontal se mesure par la distance de sa projection verticale à la ligne de terre; par conséquent, en abaissant de Ma la perpendiculaire Ma m' sur L'T^ en prolongeant cette droite d^nne longueur m' M,/ égale à /itM,, on aura en M/ la nouvelle projection verticale du point M.

Fig. I. Fig. 3.

iM, = /R — m'M/ = /K, = /K/.

Les mêmes considérations devant être employées quand on remplace le plan horizontal H par un

4« édit. — Traité de Géométrie descriptive, par lerojr. 49

autre plan H' perpendiculaire au j>lan vertical V suivant la nouvelle ligne de terre L' T', nous nonj» bornons à énoncer la construction : abaissez de M^ une perpendiculaire M, m' àl/T\ et prolon^cz-la d 'une longueur m' Mjk/ égale àmlAh{ fig- 3 et 4 )•

On remarquera que dans le relief (/f^. t) nous avons considéré le plan horizon ul comme fixe, et nous avons rabattu chaque plan vertical sur le plan horizontal^ tandis que nous avons fait le contraire dans le relief [fig^ 3').

Fig. 3. Fig. 4.

-'If.

Supposons enfin qu'on veuille changer les deux plans de projection par rapport au point M ; c'està-dire remplacer les deux plans V et H par un autre système de plans V et H' rectangulaires entre eux (fig. S).

On changera d'abord le plan horizontal H en un autre plan H' perpendiculaire au plan V suivant la ligne L' T', et on aura les projections M^'M,; on changera ensuite le plan V en autre plan V perpen diculaire à H' suivant la ligne de terre L"T", et on aura les projections M^Mv. Fig 5.

Fig. 6.

ot'M, = l'G. = tGy = m"M^.

Il* P&OBLÈMB. — Changement de plans de projection par rapport à une droite. Soil D„ Dk (fig. 6), les deux projections d'une droite D, changeons le plan vertical suivant la nou- ▼elle ligne de terre LT. La projection horizonUle D^et la trace horisontale t de la droite D restefon»

les mêmes j la nouvelle projection verticale V àe la trace i s*obtiendra en abaissant en e^ une perpendiculaire à L'T'; il suffira donc de chercher la nouvelle projection verticale d'un autre point de la droite D. Prenons, par exemple, ia trace verticale B de la droite D, ce point a pour projection horizontale ^k ' en menant par Ga une perpendiculaire B/^ à L'T', en portant la distance Ga^ de r en 9^, on aura la nouvelle projection verticale 9^ du point 0, et en joignant f/, O^on déterminera la nouvelle projection verticale D^ de la droite D. On reconnaît, diaprés la position des projections Oa 0/ eu égard à la nouvelle ligne de terre L' T', que le point 0 est derrière le plan V, ainsi qu'on devait s'y attendre.

Comme vérification de ce qui précède, on peut observer que Tintersection I des deux, plans verticaux est projetée horizontalement au point Ia, où les deux lignes de terre se rencontrent, et verticalement : 1*^ dans le premier système, suivant I, perpendiculaire à LT; 2^ dans le deuxième système, suivant I«/ perpendiculaire à W, Par conséquent, si Ton mène 9 A parallèle à LT, si Ton décrit l'arc A A' du point Ia comme centre avec Ia A pour rayon , et enfin si l'on mène A' 9/ parallèle à V T', cette parallèle doit aller aboutir en 9^. On écrit de cette manière dans l'épure les relations sur lesquelles repose la construction précédente.

On peut se proposer comme seconde vérification de chercher la nouvelle trace verticale 9' de la droite D, soit directement en élevant du point 9'a> où Da coupe L'T', une perpendiculaire à cette dernière ligne, jusqu'à la rencontre en 9' de D/ ; soit indirectement en revenant à l'ancien système, c'està-dire en abaissant 9'a9^ perpendiculaire à LT, en menant par &\ la parallèle G'^B à LT, en décrivant de Ia comme centre avec le rayon Ia B l'arc BB' et en conduisant enfin du point B', la parallèle B' A' à L'T' qui devra donner le poinl 9'.

Il est bien évident qu'on aurait pu , au lieu des traces de la droite , prendre deux points quelconques, mais on comprend aisément qu'il est plus avantageux d'employer les traces, en ce qu'elles servent en même temps à déterminer la droite et à reconnaître la position qu'elle occupe dans les quadrants formés par les plans de projection des deux systèmes. Toutefois, pour plus de généralité, nous allons employer deux points quelconques dans le problème suivant : Soit donnée {^g. 7] une

/îN, =/i'N^, 9''y=9A/?, m' Ma =^ m'* Ma//, rty = tt^^

droite D par ses projections D^ Da , rapportées à un système de plans V et H se coupant recUngHlai-

renient suivant LT, on veut construire les projections de la même droite par rapport à un aulre système de plans V et H" se coupant reclangul ai renient suivant la ligne L"T'', en faisant usage de deux ))oints quelconques M et N pris à volonté sur cette droite {Jig. 7). En considérant attentivement répure, on reconnaîtra que nous avons d'abord remplacé le plan vertical V par un autre V coupant le plan H suivant la ligne de terre V V; que nous avons ensuite abaissé des projections Ma et Njj les perpendiculaires Ma M^/, Na Nr/ sur L' T' ; que nous avons enfin reporté /« M^ de m' en My, n N, de n' en >.<, et qu*en joignant M^ N,/ nous avons obtenu la nouvelle projection D^/ qui a dû couper U V au pied ty' de la perpendiculaire / /,/ menée de la trace t sur la nouvelle ligne de terre. L*ancienne trace verticale B de la droite D a fourni une nouvelle vérification, la distance 00a devant être égale à O^/Oa/^. Quant à la nouvelle trace verticale 0', on Ta obtenue en élevant par ©V une perpendiculaire 0^0' à LT.

Pour la seconde partie de Tépure, on reconnaîtra de même que nous avons substitué an plan horizontal qui avait déjà servi aux deux premiers systèmes, un plan B" perpendiculaire à V, suivant la nouvelle ligne de terre L"T", et qu^alors en menant de M/ et de N^ les perpendiculaires itf/ Map, N^ Na//, à V T", en reportant M' Ma de w" en Ma^/, /?' Na de /i" en n" Na'/ et en joignant Ma// et Na*, nous avons obtenu la projection Da// de la droite D sur le plan H'^ Comme vérification des constructions précédentes, si l'on mène B^ q perpendiculairement à L" T'% on coupera Da// en Oa^, nouvelle projection horizontale de 0, et on devra trouver Oa// ^ = Oa/?, de façon que les projections du point 0 auront kv successivement

1*^-0, Oa, ( le point 0 étant lui-même sa projection verticale dans le

2". ©•, ©A, premier système. )

3». 0/, Oa//.

Si l'on mène également t^ tyi perpendiculairement à V T", on coupera Da// en un point tyi^ nouvelle projection horizontale du point f , tel que rt^ii = f r»*, de manière que les projections du point t auront été successivement

1°. /, /^, (le point / étant lui-même sa projection horizontale dans le 2®. ty t^y premier système. ) 3«. 0.//, V.

Les deux nouvelles traces de D sont 0' OV et t', t^f. Nous disons à cette occasion que les projeclionb ï), et Da//, ainsi que les traces 0' et t' de la droite D, sont simultanées par rapport à la ligne de terre T/'T" qui caractérise le nouveau système de i)lans de projection simultanés V et H", dont le second ne peut plus être désigné sous le nom de plan horizontal, puisqu'il a cessé d'être parallèle à l'horizon.

On voit aisément le parti qu'on peut tirer de ces changements de plan de projection pour rendre l'un ou l'autre d'entre eux parallèle ou perpendiculaire à une droite donnée dans l'espace, ou même pour rendre l'un d'eux parallèle et l'autre perpendiculaire à cette droite : ce qui, dans certains cas, peut simplifier la solution d'un problème, pourvu toutefois que les constructions préliminaires à exécuter en vue de ce résultat ne soient pas aussi compliquées que celles qui conduiraient directemeoi à la solution, en conservant les plans primitifs.

Soient données, pour dernier exemple, les projections Dr, Da, ei les traces f, 0, d'une droite P {fis- 8), rapportée à un plan vertical V et à un plan horizontal H dont la ligne de terre est LT, nous demandons les projections D,/ et Da// de cette même droite D par rapport à un système de pbns simultanés V et H", dont l'un , V, est vertical et parallèle à D, à une distance § en arrière de cette droite, et dont l'autre. H", simultané de V, est perpendiculaire à D en un point donné Ma M,.

Puisque le plan V doit être vertical et parallèle à D, il est parallèle au plan projetant qui a fourni

^A» ^t> P^r oonséqueni, la nouvelle ligne de .terre U V doit être tracée parallèlement à Dh au-dessus de Da à la distance J; la nouvelle projection M/ du point M sera sur la perpendiculaire abaissée de Ma sur L'T' à une hauteu)r 772' M/ = /n;M,,; la trace horizontale t de la droite D se projettera verticalement en V sur L' T'., et la ligne M^ t^ sera la nouvelle projection verticale D/ de la droite D. Si Ton mène du point 9a la perpendiculaire ^kP ^^9 à L' T% on aura B^p = ^ et B^p •= B 6a-

Le plan.H'^ étatlt à la fois perpendiculaire au plan Y' et à la droite D, d'après Ténoncé, sa trace sur le plan V, c'est-à-dire la nouvelle ligne de terre L"T", devra être perpendiculaire en direction à la ilroite D , et par conséquent à D^ parallèle à D. Comme de plus le plan H''^ perpendiculaire à V doit passer par le point M, la trace L"T^ du plan H'^ sur V doit passer par M^, projection du point M sur V. Enfin ^ la trace de Ik droite D stir le plan H" devant se trouver, ainsi que tous les autres points de lette droite, à la distaiiçe $ dû plan V\ il en résulte qu'en reportant ^ de M^ en Da"» on aura à la fois uu point Dyt la trace et la projection de la ligne D de l'espace sur le plan H'^ On peut remarquer en passant que le changement de plan vertical donne immédiatement la véritable grandeur d*une portion déterminée de la droite D, par- exemple la grandeur de la partie de cette droite comprise entre ses deux traces primitives;/ et B \ mais mieux vaut, en pareil cas, rabattre immédiatement l'un des plans projetants sur les plans de prqjection p-rimitife (y%. 8).

B^p=zBBf,, M^Da»=:^.

m* PfiOBLiiHC. — Changement de plan de projection par rapport à un plan.

Soient P,, Pa [fig^ 9) les traces d'un plan P rapporté au système des plans V et H se coupant suivant LT, nous changeons le plan V en un autre plan vertical V coupant le plan H suivant L'T'.

Les deux plans verticaux V et Y' se coupent suivant une verticale I, qui a pour projection horizontale le point Ia où les deux lignes de terre se rencontrent, et pour projection verticale I, dans le premier système et 1/ dans le second.

Si donc on reporte, par un arc de cercle décrit du point Ia comme centre, la longueur Ikû de Ia en />, on aura un point v de la trace verticale nouvelle P,/ ; en joignant O' v, cette ligne P/ sera la trace verticale du plan P dans le nouveau système.

Il peut arriver que le point 0' ne se trouve pas renfermé dans les limites de l'épure ; on prendra ,

dans ce cas , une horizontale d du plan P, les projections de d seront ^a parallèle à Pa et d^ paralièie à la ligne de terre. On cherchera la trace verticale 9 4e cette droite, et en élevant à L' T' par ^y une perpendiculaire dV^' égale à Ô^O, on aura en 0' un nouveau point de P,'; en joignant ce nouveau point à V, la trace P^ sera déterminée.

On emploie le même procédé pour un changement du plan H en H', il faut alors prendre la droittw/ parallèle au plan V.

Soient P^, Pa les traces d\;n plan P rapportées à un système de plans V et H se coupant suivant LT, on demande les traces P^» P*/ du plan P par rapport à un autre système V, H' de plans rectangulaires entre eux et se coupant suivant L"T" {fi^^ lo), le plan V étant perpendiculaire à H.

Considérons d^abord la ligne de terre V V intersection du plan V et du plan horixonfal H; par le

/•,^,. ,0. point Ia, intersection de LT et L' T', menons L «t 1/

respectivement perpendiculaires à ces deux lignes

X **" de terre, portons li/r de Ia en />, joignons /> avec

. / X le point de rencontre O' de Pa et de L'T', nous

^v / / ' aurons la nouvelle trace verticale P^ du plan P.

\ ^ , Prenons pour plan simultané de V un plan H' qui

/^' / ' ^-^^ l"i soit perpendictilaire suivant la nouvelle ligne

y' "/'\ .^'^ - ^^ ^^"''"^ L"T", et nous répéterons le même genif

î 0 '/ ^ >;i^. 'a ^ de construction, c*est-à-dire que du point K^^, où

' orfv. \\ ïes deux dernières lignes de terre L'T', \!'T se

-^ K^.y -^ croisent, nous leur mènerons perpendiculairement

/ *' \ ^^"^ ^^^^^^ droites K^Ka' et K^Ka'/, nous prendrons

"" V K»'Ka// = K^Ka' et nous joindrons O'^Ka", ce qui

Pa", ^^- nous donnera la trace horizontale Pa^/, et finalement

les deux traces P/, P^j// du plan P se coupant en 0' sur la ligne de terre L"T".

Nous bornerons là ce que nous voulions dire sur ces exercices, avec lesquels il peut être bon de se familiariser dès le commencement de la Géométrie descriptive, surtout pour les personnes qui ne se proposent pas de pousser leurs études en ce genre beaucoup au delà des prtfliminaires. Autrement, on rencontre assez fréquemment, dans les applications, des occasions d'employer les chans^ements de plans de projections pour attendre que ces occasions se présentent, et l'on s'en servira alors d'autant plus utilement, que le choix à faire sera motivé, en pareil cas, par la nature du problème à résoudre. C'est ce que font journellement les constructeurs, sans considérer pour cela comme une méthode de recherche ce qui n'est en réalité qu'une transformation de coordonnées.

Il en est de même de ce qu'on est convenu, depuis quelque temps, d'appeler la méthode des mouvements de rotation, et qui n'est tout simplement qu'un changement de disposition des données relativement aux plans auxquels on les rapporte. Nous allons entrer dans quelques détails sur ce sujet.

Mouvements de rotation.

Étant données deux droites indéfinies AB et CD {fig. i) qui se coupent en S ; si Ton imagine que Tune d'elles, AB, restant fixe, l'autre, CD, tourne autour d'elle en la coupant toujours au même point S et en faisant constamment avec elle le même angle ASC , la droite mobile engendrera dans sa rotation, comme chacun sait, un cône de révolution, et les divers points M, M,, M, de cette droite décriront

sur Je cône de$ circonférences dont les plans seront perpendiculaires à la droite fixe, qui deviendra

Fig. I.

Taxe du cône. Les rayons de ces circonférences seront les perpendiculaires Mi Oi , . . . , abaissées de chaque point Ml,..., sur Taxe, et les centres seront les pieds 0 , Oi , . . . , de ces mêmes perpendiculaires.

Il est évident que ces circonférences se projetteront , I** en vraie grandeur sur un plan quelconque perpendiculaire à Taxé, et a^ suivant des droites sur un plan quelconque parallèle à Taxe. Ces droites seront d'ailleurs perpendiculaires à la projection même de Taxe sur ce dernier plan. On peut en outre observer que la droite ayant passé de la position CD à la position CD\

les angles MOM', M.O.M', , M,OaM',,..., sont tous

égaux entre eux , que par conséquent les arcs MM',

M, M,, Ma M*,,..., décrits par les différents points

M , M, , Ma, . . . , sont semblables, et qu'enfîn on a la suite d'égalités