MO. OM

fi étant la longueur de Tare décrit avec l'unité de longueur pour rayon et correspondant à un déplacement angulaire a** de ce rayon. La longueur de l'arc décrit pendant le mouvement par l'un des points M sera d'autant plus grande, que la distance MS du point décrivant M à rintei*section S ou la distance MO de ce point M à l'axe sera pins considérable. Suivant que les points considérés seront comme M et M, d^un même côté, par rapport au point S, ou comme M et M, de côtés différents, les arcs décrits seront dirigés dans le même sens ou en sens contraire. EnBn la longueur de chaque arc est égale au rayon de cet arc multiplié par a.

Ces préliminaires établis, il est facile de voir comment on peut faire tourner un point, une droite ou un plan d'une quantité déterminée autour d'un axe donné, et rerrouver, soit les projections du point, soit celles de la droite, soit les traces ou les génératrices du plan après la rotation.

Pt'g. 2. Il est inutile de faire remarquer que si l'axe n'était pas per-

pendiculaire à l'un ou à Vautre des plans de projection , on devrait d'abord le mettre dans cette position à l'aide des changements de plan ; sans quoi l'application des notions précédentes présenterait dans la pratique une complication aussi fâcheuse qu'inutile.

P' Problème. — Faire tourner un point M d'une quantité angulaire «® autour d'un axe A, Aa , perpendiculaire au plan vertical [fig. a) ou au plan horizontal [fig, 3 ).

Dans le premier cas [fig, a), le point M en tournant engendre une circonférence C qui a son centre O sur l'axe A, dont le plan est perpendiculaire à cet axe A , et par cons(*quent parallèle au plan vertical ; cette circonférence se projettera donc verticalement suivant Cry dont le centre est A^ et le rayon A^M^, fit horizontalement suivant Ca parallèle à la ligne de terre; la nouvelle projection verticale du point M

sera en M'; ou en M", suivant que le déplacement angulaire a** doit se produire dans un sens ou dans Fautre par. rapport à Taxe, la projection horizontale M'j^pu M"a située nécessairement sur Ca s'obtiendra par une ligne de rappel abaissée de M^ ou de M",. . .

Dans le second cas (Jîg. 3), le point M a décrit une circonférence horizontale projetée horizontalement en vraie grandeur sur Ca, et verticalement suivant Cr par^llMe à la ligne de terre. Le reste du tracé s'achève con^me il a été dit ci-dessus ; il y a encore deux solutions si le sens du mouvement n*est pas donné d'avance.

Si le point M est placé dans Tun des plans de projection, Tune des deux projections de la circonférence G doit alors se confondre avec la ligne de terre. * , '

IP P&OBLiME. — Faire tourner une droite D d'un angle donné a? autour d'un 'axe A.

Supposons d'abord {fig, 4 ) ^^^^^ perpendiculaire au plan vertical y sa projection verticale Ar est un

point et sa projection horizontale Ak une perpendiculaire à la ligne de terre. Prenons sur la droite D deux points M, et M, et faisons pour chacun d'eux ce que nous aurons fait tout à Theure {fiS-'^' pour le point M » en supposant que la rotation ait lieu dans le sens indiqué par la flèche , a^n ^ faire cesser toute incertitude.

Décrivons du point A, comme centre , avec les dislances de ce point aux deux points M,r ^^ ^^'' pour rayons, les deux circonférences G,,, Gio qui seront projetées horizontalement suivaot C.a et Cihi prenons de Mt^ en M',^ un arc correspondant à la grandeur de l'angle a, faisons de mètf^ ^

M», en M'jri et en joignant ces deux nouveaux points M',, et M',, nous aurons la projection verticale D'p de la droite D dans sa nouvelle positron D', en mettant les deux points M', et M', en projection horizontale M',A« M'jA, et joignant, nous aurons la projection D'à*

Nous avons, comme vérification, déterminé la nouvelle position 9', O'a de la trace verticale d, Oa; on devra chercher comme exercice ce que devient la trace horizontale /, r,, et on remarquera que la droite rencontrait d'abord le plan vertical au-dessus du plan horizontal en 0 et le plan horizontal en arrière du plan vertical en / ; tandis qu*après son déplacement elle rencontre le plan vertical en 9' au-dessous du plan horizontal et ce dernier en t^ en avant du plan vertical.

Afin de simplifier les constructions , il est commode d'employer toujours la même circonférence pour mesurer l'arc correspondant au déplacement angulaire ol^ de chacnn des rayons, que Ton a soin de prolonger dans ce cas jusqu'à cette circonférence. Nous avons adopté de préférence ici la circon- . férence du plus grand rayon A,9, afin d'échapper le plus possible aux ch'ances d'inexactitude qui résultent inévitablement de l'emploi de points trop rapprochés; ce rayon sera le rayon i auquel correspond l'arc a.

Si la droite mobile rencontre l'axe de rotation, elle engendre un cône, et si elle lui est parallèle, elle engendre un cylindre; ces deux cas sont trop simples pour que nous les examinions en particulier. Mais dans l'hypothèse ou la droite ne rencontre pas l^axe sans lui être parallèle, ainsi qu'il arrive dans le problème que nous venons de résoudre , la discussion présente des particularités remarquables que nous allons étudier en changeant toutefois la situation de l'axe, a6n de jeter dans cette étude un peu de variété.

Soient donc [Jig. 5 ) a/i axe A perpendiculaire au plan horizontal et une droite D faisant un tour ^'8' ^- rntier autour de cet axe y dans le sens indiqué par la

flèche f.

Au lieu de prendre un point quelconque de la droite, prenons celui qui est le plus rapproché de Taxe, c'est-à-dire celui qui correspond à la perpendiculaire commune aux deux droites A et D. C'est évidemment' le point M projeté horizontalement en Ma au pied de la perpendiculaire abaiss^^e de Aa sur Da. En effet, cette perpendiculaire commune oi\ plus courte distance esthorizontaLlc comme perpendiculaire à la verticale A; elle est donc, à cause de cela, parallèle à sa propre projection horizontale; elle est d'ailleui*s perpendiculaire à D, conséquemment an plan projetant horizontal de D et par suite à Da, trace horizontale de ce plan , donc eiffin sa projection horizontale est bien A a Ma- Il suit de là que les projections horizontales de la droite D, dans ses positions successives, seront toutes tangentes à la circonféremc Ca 7<'' a pour rayon A a Ma. Il est d'ailleurs évident que les traces horizontales de toutes les positions de la droite D seront situées sur la circonférence c décrite du point Aa comme centre avec la distance Aa/ pour rayon; il est facile d'après cela d'avoir les projections de la droite pour un déplacement angulaire donné ^^ sans passer par les constructions

4« idÂt. — tralii de Géométrie descriptive, par Leroy. 5o

lUj'2 CHANGEMENTS DE PLAN DE PROJECTION

précédentes; en effet, on prendra sur la circonférence c Tare /i correspondant à ce déplacement «•, à partir du point ty et en menant par la seconde extrémité if de cet arc une tangente à Ca» on aiii-a U nouvelle projection horizontale de D. On vérifiera si Tare compris sur C* entre les points de contact Ma et M'a est bien semblable à Tare a : ce qui se fait en prolongeant les deux rayons AaMa, Aa^^Vl juscpi'à C et en s'assurant que Tare up', intercepté sur la circonférence C entre les prolongements de ces rayons 9 est égal à Tare a,

Panui ces tangentes, il en est une, D'a« qui est parallèle «\ la ligne de terre; on reconnaît aisément ({ii^âlors la droite correspondante D' est dans Tespace parallèle au plan vertical. Il en est une autre, D'V qui est perpendiculaire à la ligne de terre; la droite D" qui loi correspond est alors dans un plan peipendicutnire à la ligne de terre. Enfin, si Ton prend la tangente D'^a parallèle à Da, od aura la projection Uorizontale de la droite D après une demi* révolution autour de Vaxe A; les deux projections verticales Dm ^'\ ^ont alors symétriquement placées par rapport h la ligne A,, sur laquelle elles se coupent au point N^ où se projette verticalement le diamètre NN*' du cercle AN.

liCS points de la droite D, tels que N et P, situés à même distance au-dessus et au-dessous du plan C, sont projetés horilontalement sur la même circonférence; cette remarcjue permet de simplilîer les constructions, quand on doit déplacer la droite D de quantités angukires données. III* Problème. — Faire tourner un plan 9 eTun angle a auto§§r eTun axe A {^g. 6).

• Supposons Taxe vertical et le plan cKinne

par ses traces P, , Pa.

Le sens du mouvement est indiqué par la flèche/.

Appliquons la construction précédente à chacune des deu x i races considéréestommc des droites quelconques r/, et d^ situées dans les' plans de projection. La droite dx effectue sa rotation dans le plan horizontal où elle se trouve déjà ; elle ne cessera donc pas d'être la trace horizontale du plan P, sa plus courte distance à Taxe est la perpendiculaire AaM, en faisant tourner le point M de l'arc MM' correspondant à Tangle a , et en menant par M' la tangente (t^ à cet axe, on aura la nouvelle trace horizontale P' a sur laquelle le point t se sera transporté en /'. Quant à la trace verticale P,, en la considérant comme une droite quelconque d^ du plan vertical , ses projections sont dans le plan vertical la ligne r/; elle ménie, et dans le plan horizontal la ligne de terre; sa plus courte distance à l'axe est projetée horizontalement en vraie grandeur en Aa Na et verticalement en un point unique N^; dans le mouvement, le point ft décrit un arc NN' semblable à MM' et se projette en N'a et N'^. La droite </, prend alors pour projection horizontale la tangente df^h à Tare NaN'a menée du point N'a- Cette tangente doit nécessairement passer en ^. En joignant t\ et N',, on aura la nouvelle projection verticale //j-d^ la droite f/„ et, par suite, le point ô qui fait partie do la nouvelle trace verticale PV; il n'y a donc plus qu*à mener la ligne 0// pour avoir cette nouvelle trace verticale P'r.

ET MOUVEMEKTS I)K ROJATION. 3(^3

On doit reconnaître que les arcs Na N'^j et f /' sont semblables à Tare MM' et correspondenr, sur ic cercte de rayon A/|M, à des arcs n/t\ 66' é^raiix à Tare MM', circonstance dont on devra profiter, ainsi qu'il a été dit au II*' problème, pour simpli6er les constructions.

Parmi toutes les positions qw.^ ie plan P peut prendre en tournant autour de Taxe A , nous remarr|uerons principalement les deux suivantes : i^ celle pour laquelle la trace horizontale Pa devient la parallèle P^A.à la lit^ne de terre, et 2" celle pour laquelle la trace horizontale Pa devient la perpendiculaire P'^A ^ 1a ligne de terre. Dans le premier cas, le plan P est lui-même parallèle à la ligne dr terre, le point t vient en f", et la trace verticale, qui est aussi parallèle à la ligne de terre, s'obtient ap moyen de la droite d\ ainsi qu'il a été dit. Dans le second cas, le plan est perpendiculaire au plan vertical, le point t vient en ^, et la trace verticale s'en déduit toujours par les mêmes considérations.

Il est bien évident d'ailleurs que, pendant tout le mouvement, le plan P forme toujours le même angle avec le plan horizontal; on peut, comme vérification, s'en assurer en prenant dans chaque situation difTérente la ligne de plus grande pente, passant par le point fixe O où Taxe A perce le plan P. Ce point O s'obtient fort aisément à l'aide de l'horizontale H correspondante à la position initiale P.

Dans tout ce qui précède, nous avons supposé le plan P incliné d'une manière quelconque sur les plans de projection , et par conséquent rencontrant Taxe qui est toujours donné perpendiculaire à l'un d'eux. Si le plan P était parallèle à l'axe, le tracé serait tellement simple, que nous ne croyons pas devoir nous y arrêter ici.

Enfin, si an lieu de donner le plan par ses traces, on le donnait soit :

1°. Par deux droites se coupant^

2". Par deux parallèles;

3°. Par trois de ses points;

4®. Par l'une de ses normales dont le pied dans l^plan serait connu ;

5". Par Tune de ses lignes de plus grande pente ; la solution serait toujours ramenée au IP problème. D'abord cela est évident pour les deux premiers cas; quant.au troisième cas, on le ferait dépendre du IV problème, en joignant les points deux à deux, ce qui fournirait deux droites qu'on ferait tourner chacune de l'angle donné, ou bien on traiterait directement la question en déplaçant chacun des trois points de l'angle donné, au moyen dn P*^ problème. Le quatrième cas exigerait quelque précaution, si au lieu de faire tourner la normale otson pied de l'angle donné, on voulait lui substituer deux droites du plan passant par ce point et parallèles l'une ait plan vertical, l'autre au plan horizontal; il faudrait alors se rappeler que la première de ces lignes, étant perpendiculaire à la normale comme faisant partie du plan et de plus • parallèle au plan vertical, a poor projection verticale une perpendiculaire à la projection verticale de la normale et pour projection horizontale une parallèle à la ligne de terre ; tandis que la deuxième, étant parallèle au plan horizontal, a pour projection horizontale une perpendiculaire à la projection horizontale de la normale et pour projection verticale une parallèle à la ligne de terre.

Ces deux lignes se nomment quelquefois \es principale.* du plan.

Le cinquième cas se résout évidemment an moyen des constructions dn problème III. On peut toujours faire partir la ligne de plus grande pente d'un point de l'axe de rotation et remarquer que les projections horizontales de cette ligne, avant et après le déplacement, font précisément entre elles l'angle donné a.

Au surplus, nous n'insistons pas sur ce cinquième cas, parce que la détermination d'un plan, au moyen de sa ligne de plus grande pente pour un point donné, rentre, à proprement parler, dans le système de projections désigne sous le litre de Méthode des pians cotés et nivelés, et noits renvoyons au texte de Ler-oy, livre IX, chapitre II de cette édition.

Les considérations précédentes, appliquées à la solution des questions contenues dans le premier livre do cet ouvraj^e, conduisent à des constructions beaucoup pins compliquées que celles données par raiiteur, lesquelles d'ailleurs ont été consacrées par l'enseignement de Monge et sont généralement adoptées. iVlais si leur emploi manque de-simplicité en pratique, il a, comme exercice, l'avantage (l'habituer les commençants à lire facilement dans Tespace, et c*est pour ce motif, comme indication du parti qu^on peut en tirer à ce point de vue, que nous avons placé ici quelques exemples.