EXEMPLE

Déterminer la plus courte distance d'un point M a un plan P.

Soient LT la ligne de terre, M, M^ les projections du point M, et P, Pa les traces du plan P ; faisons tourner le plan P autour de la projetante horizontale du point M, prise pour axe, jusqu'à ce que ce plan devienne perpendiculaire au plan vertical \ à cet instant la normale au plan sera parallèle au plan vertical de projection, et, par conséquent, se projettera en vraie grandeur sur ce plan. Nous pourrons ensuite ramener le système à sa position initiale, et déterminer alors les deux projections de la normale dans cette position. Du point où Taxe perce le plan on abaisse la ligne de plus grande pente du plan P, elle se projette horizontalement suivant 9a Ma f perpendiculaire à Pa, et verticalement suivant ô/y qui coupe en K^ la projection de Taxe; le point K est donc celui où le plan est percé par Taxe, et ce point reste immobile pendant le mouvement. Quand le plan P est perpendiculaire au plan vertical , cette ligne de plus grande pente / devient parallèle au plan vertical; elle se projette alors horizontalement suivant O'^Ma /' parallèle à la ligne de terre, et verticalement suivant t[ K, ^^ ; les points t et Oa décrivent dans le plan horizontal les arcs semblables tt! et H^\ dont le centre est en Ma et dont les projections verticales sont t^t[ et 00'^; la trace Pa, emportée par le mouvement, prend la direction ^f^f t'^ perpendiculaire à la ligne de terre ; les trois points t'^ , K^, 0[, sont sur une même ligne droite, qui est à la fois la nouvelle trace verticale P[, et la nouvelle projection verticale /^ de la ligne l\ la normale n au plan est donc, suivant ce qui a été dit en commençant, représentée en vraie grandeur par M^N'^ perpendiculaire à l\y son pied est projeté en N^N'^, et si Ton ramène le tout à la position initiale, on a définitivement M^N,, Ma Na pour projections de la normale /i, et N,, Na pour projections de son pied dans le plan .

Nous proposerons sur ce même exemple deux cas particuliers : i** celui où le plan P est parallèle à la ligne de terre ; 2" celui où les deux traces P, et pAdu plan P sont en prolongement Tune de Tautre. . Nous avons indiqué les constructions sans reprendre Texphcation.

On sait que les traces d'un plan sont en prolongement Tune de l'autre quand le plan passe par P^ une perpendiculaire à la ligne de terre élevée dans le plan bissecteur de Tun ou de Tautre des dièdres

SA ou IP supérieur formés par les plans de projection antérieur ou inférieur postérieur, et récipro-.

quement.

On doit remarquer ce fait important : dans les trois figures relatives à ce problème les traces du

plan et les projections de la normale, situées sur le même plan de projection, sont perpendiculaires

entre elles, ce qui est la conséquence de ce principe : Quand deux droites sont perpendiculaires

entre elles dans l'espace, si Tune d'elle* est parallèle à l'un des plans de projection, les projections des

deux droites sur ce même plan sont perpendiculaires entre elles.

On tire un parti tellement avantageux de ce principe pour la recherche de la plus courte distance d'un point à une droite ou à un plan , que nous croyons devoir indiquer ici celle application , quoiqu'elle soil étrangère aux mouvements de rotation dont Temploi présente, dans le cas actuel, ainbi qu'on a pu le reconnaître, une complication au moins inutile pour la pratique.

Fig. II.

Fig. 12.

yK

Soient M, ^ Ma ,, Dr , D« les projections du point M et de la droite D ; désignons par dy et d^ les i\eii%pnn-

Fig. .3.

ci pales (1) d^an plan P- passant par le point M et perpendiculaire à la droite D. Supposons que la lignée, soit la principale parallèle au plan vertical, elle aura (en vertu du principe énoncé ci-dessus) pour projection verticale une droite </,, perpendiculaire à D,; la ptx>jection horizontale sera d'ailleurs une parallèle ^lAà la ligne de terre; la ligne ^,, qui est, par suite, la principale parallèle au plan horizontal aura (toujours conséquemraent au principe) pour projection horizontale une droite d^ perpendiculaire à Da et pour projection verticale une parallèle d^^ à la ligne de terre. En coupant ces deux droites en A et B par le plan projetant horizontal de D, on détermine une droite AB qui est située dans le plan P et qui coupe la droite D au point N; en joignant M, N, on obtient la plus courte distance demandée vi.

!V*^ EXFMPLE.

Déterminer l'angle de deux droites Di et Dj «// coupant en un point M.

Soient Dia> D.,, Dja^ Dir, Ma, M., les projections des données, faisons tourner le plan détermine

(1) Nous avons déjà dit que nous entendions par principales d'un plan P pour un point M, les droites menées par le point M dans le plan P, parallèlement aux deux plans de projection.

ET MOUVEMENTS DE ROTATION. Sg^

par les deux droites jusqu'à ce qu'il devienne parallèle à lun dos plans de projection , au plan ver-

tical , par exemple, et Tangle demandé se projettera verticalement en vraie grandeur.

Nous prendrons pour axe de rotation la principale AB, parallèle au plan vertical, sa projection horizontale sera AaBa, parallèle à la ligne de terre, et nous en déduirons A^B„; le point M , en tournant avec le plan autour de cet axe, décrira un arc de cercle dont nous savons trouver le centre O et le rayon r, ce qui nous fournira la projection M^ du point M après le mouvement, en joignant M', avec A„ et B^, nous aurons Tangle demandé.

Si les deux droites données ne se rencontraient pas, un mènerait d*un point M de Tune d elles une parallèle à l'autre, et Ton reproduirait la construclion préré- (lenie, qui d'ailleurs ne diffère que dans les termes de celle donnée dans Touvrage.