CHAPITRE II. — PROBLÈMES SUR LES LIGNES DROITES, ETC

Quant à la distaiv^^e des deux points donnés, elle est mesurée dans l'espace par la portion de droite projetée sur AM et A' M'; mais il est facile de voir qu'une droite finie est toujours plus longue que sa projection sur un plan, excepté quand la première se trouve parallèle au plan sur lequel on la projette, car alors la droite dans l'espace est évidemment de même longueur que sa projection. D'après cette remarque, imaginons que la ligne (AM, A' M') tourne autour de la verticale projetée en A, sans changer d'inclinaison avec cette dernière; par là l'extrémité (A, A') demeurera immobile, tandis que l'autre extrémité (M, M') restera à une hauteur constante, en décrivant seulement un arc de cercle horizontal autour de l'axe de rotation. Or, si l'on continue ce mouvement jusqu'à ce que la droite mobile soit devenue parallèle au plan vertical, ce qui arrivera quand la projection AM aura pris la situation AP parallèle à la ligne de terre XY, alors l'extrémité M venue en P se trouvera projetée verticalement (n^ 10) quelque part sur PIP' perpendiculaire à XY; et comme elle doit être à la même hauteur que M', si l'on mène l'horizontale M'P', le point P' sera la projection verticale de l'extrémité mobile de la droite en question. D'ailleurs, puisque l'autre extrémité (A, A') est demeurée invariable, il s'ensuit que la droite (AM, A' M') se trouve actuellement projetée suivant AP et A' P'; et sa véritable longueur est précisément la projection verticale AT', d'après la remarque faite au commencement de cet article. De là on conclut la règle suivante, qu'il faut se rendre très-familière :

Pour trouver la distance de deux poinf5(A, A') eï(M, M') {fig. [\)^ formez un triangle rectangle A'H'P', dont un côté A' H' soit la différence des hauteurs A'R et M'K de ces deux points au-dessus du plan horizontal, et dont l'autre côtéWV soit égal à tintetvalle AM des deux projections horizontales: l* hypoténuse A'P' sera la distance demandée.

18. On arriverait au même but en construisant, sur le plan horizontal, un triangle rectangle ADQ dont un côté AD égalerait la différence des distances AR e( MK des deux points donnés au plan vertical, et dont Vautre côté DQ serait r intervalle A' M' des deux projections verticales; Chjrpoténuse AQ exprimerait encore la distance des deux points dans l'espace, et devrait se trouver identique avec A'P'. Pour se rendre compte de cette nouvelle construction, il suffira d'imaginer que la droite proposée a tourné autour de l'horizontale qui est projetée verticalement en A', sans danger d'inclinaison par rapport à cette dernière, jusqu'à ce que cette droite mobile soit devenue parallèle au plan horizontal.

19. On aurait pu aussi rabattre la droite (AM, A'M') sur le plan horizontal, en faisant tourner autour de AM, comme charnière, le trapèze invariable formé par la droite proposée et par les verticales qui projettent ses extrémités en A et en M. Par là ces deux verticales seraient demeurées perpendiculaires à la charnière AM, et auraient pris les positions AA" = RA', MM" = KM' ; de sorte qu'en traçant la

lO LIVRE I. — DES DROITES ET DES PLANS.

droite A"M", on aurait encore obtenu la véritable distance des^eux points (A, A') et (M, M'). D'ailleurs, il se présente ici une de ces vérifications qu'il ne faut pas négliger dans les opérations graphiques; c'est que la ligne A" M" prolongée doit aller aboutir en B. En effet, ce dernier point étant la trace horizontale de la droite primitive, il se trouvait situé sur la charnière AMB; et, comme tel, il a dû rester immobile pendant la révolution de la droite.

20. Réciproquement y si l'on donnait la droite indéfinie (AB, A'B') avec un de ses points (A, A'), et quon voulût trouver sur cette ligne un autre point (M, M') qui fût éloigné du premier d'une quantité donnée &, on rabattrait comme précédemment la droite proposée sur le plan horizontal, en faisant AA"=: RA', et tirant A"B. Ensuite, on prendrait sur cette dernière ligne un intervalle A'' M'' égal à & : puis, en relevant la droite rabattue A'^B, le point JVT^ se ramènerait en M par une perpendiculaire sur la charnière AB; et enfin, de la projection horizontale M, on conclurait (n° 10) l'autre projection M', ce qui déterminerait complètement le point demandé.

On aurait pu aussi résoudre cette question en opérant d'une manière analogue sur le rabattement (AP, A'P'), avec le soin de chercher ce que devenait la trace horizontale (B, B') après la rotation imprimée à la droite primitive.

21 . {Fig. 5. ) Par un point donné (D, D') mener une droite qui soit parallèle à une droite connue (AB, A'B').

Lorsque deux droites sont parallèles, les plans qui les projettent sont évidemment parallèles entre eux ; et, par conséquent, les intersections de ceux-ci avec le plan de projection, c'est-à-dire les projections des droites, sont nécessairement parallèles l'une à l'autre. Réciproquement, lorsque les projections horizontales de deux droites sont parallèles, et qu'il en est de même de leurs projections verticales, les quatre plans projetants sont parallèles deux à deux ; d'où il suit que leurs intersections mutuelles, c'est-à-dire les droites dans l'espace, sont parallèles entre elles. D'après cela, si par le point D on mène une parallèle DE à AB, et par le point D' une parallèle D'E' à A'B', la droite demandée aura pour projection DE et D'E'; elle sera donc ainsi complètement déterminée, et d'ailleurs les traces de cette droite, qui seront en F et en E', se construiront comme on la dit au n® 15.

22. {Fig. 6.) Construire le plan qui passerait par trois points donnés (A, A'), (B, B') et (C, G).

Observons d'abord que pour déterminer graphiquement la position d'un pian, il suffît d'assigner ses deux traces, c'est-à-dire les intersections de ce plan avec les plans de projection. Ces deux traces devront toujours couper la ligne de terre au même point ; mais l'angle qu'elles comprendront entre elles sur les plans de projection rabattus, ne sera pas égal à celui qu'elles forment dans l'espace. En outre, il est bien évident que, quand une droite est située dans un plan, les traces de cette droite (n*^ 15) doivent être situées quelque part sur les traces du plan.

Gela posé, joignons les points donnés deux à deux par des droites (AB, A'B'