CHAPITRE II. — PROBLÈMES SUR LES LIGNES DROITES, ETC

(BC, B'C), (AG, A'C), lesquelles ayant chacune deux points dans le plan cherché, y seront contenues toutentières; puis construisons, comme au n® 15, les traces verticales E% F' et G' de ces droites. Alors ces trois points, qui doivent évidem* ment appartenir à l'intersection du plan inconnu avec le plan vertical de projec» tion, se trouveront nécessairement en ligne droite, et seront plus que sufiBsants pour déterminer la trace verticale E F Cr du plan demandé. De même, la trace horizontale DHR de ce plan s'obtiendra en construisant les traces horizontales D, H et K des trois droites auxiliaires; d'ailleurs les deux lignes E'G' et DH ainsi obtenues, devront aller rencontrer la ligne de terre XY en un même point Q, ce qui offrira une nouvelle vérification des constructions antérieures.

Si l'on voulait /aère passer un plan par une droite et un point donnés, on joindrait ce point avec un de ceux de la droite, ou bien on mènerait une parallèle à celle-ci par le point donné ; alors on connaîtrait ainsi deux droites situées dans le plan cherché, et leurs traces suffiraient pour déterminer celles de ce plan.

25. {Fig. 7 . ) Par un point donné (A, A') mener un plan qui soit parallèle à un autre plan dont la trace horizontale est ST et la trace verticale TV'.

Il est évident que deux plans parallèles doivent avoir leurs traces respectivement parallèles ; ainsi il suffira de trouver un point de chacune des traces du plan de* mandé. Pour cela, imaginons par le point donné (A, A') une droite auxiliaire qui soit située dans le plan inconnu; le choix le plus simple sera de mener cette droite parallèlement à la trace horizontale de ce même plan, c'est-à-dire parallèlement à ST. Si donc on tire dans cette direction la ligne AB, et qu'on mène A'B' parallèle à la ligne de terre, ce seront là évidemment les deux projections de la droite auxiliaire renfermée dans le plan inconnu. Cela posé, en construisant (n^ 13) le point B' où elle va percer le plan vertical, ce point appartiendra nécessairement à la trace du plan cherché, laquelle sera par conséquent la droite B'Q parallèle à V'T : l'autre trace devant passer par le point Q, sera la ligne PQ parallèle à TS.

On peut aussi, comme vérification, construire directement un point de la trace horizontale du plan inconnu. Pour cela, on imaginera par le point (A, A'), une droite auxiliaire qui soit parallèle à la trace verticale de ce plan ; et elle aura évidemment pour projections AC parallèle à la ligne de terre, et A'C parallèle à V'T. Si donc on cherche (n^ 13) le point C où cette auxiliaire va percer le plan horizontal, ce point appartiendra nécessairement à la trace du plan demandé; ainsi il faudra que la droite PQ, déjà construite, passe par le point G.

24. Observons que, dans l'épure actuelle, on n'a pas regardé les deux plans STV et PQR' comme existant réellement; car alors le premier aurait rendu l'autre invisible, et il eût fallu (n*^ 15, i^) ponctuer en totalité les traces de ce dernier, ce qui aurait multiplié beaucoup les points ronds, et surtout aurait eu le grave inconvénient de ne plus laisser discerner les parties des traces situées en deçà des

plans de projection d'avec celles qui sont au delà. C'est pourquoi l'on suppose ici qu'il s'agissait de trouver seulement les traces d'un plan parallèle à celui qui aurait lui-même pour traces ST et TV', sans construire effectivement aucun de ces deux plans. Cette restriction, dont le but est de répandre plus de clarté dans les dessins, a été aussi admise dans les épures 8, 9 et 16.

25. {Fig. 6. ) Les considérations employées dans les n°* 22 et 23 peuvent servir à résoudre la question suivante ; Etant donnée la projection horizontale AB dune droite que Con sait être située dans le plan connu PQR', trouver l autre projection? La droite inconnue percera le plan vertical en uu point qui doit être projeté horizontalement en E (n** 13); d'ailleurs cette trace ne pouvant être hors de la trace verticale QR' du plan qui renferme cette droite, sera nécessairement située en E', et c'est là un des points de la projection demandée. Ensuite, par des motifs semblables, on voit que la droite en question va percer le plan horizontal en D; donc, si l'on projette D en D' sur la ligne de terre XY, D'E' sera la projection verticale de la droite proposée. On sent bien qu'il serait aussi aisé de trouver la projection DE, en se donnant seulement la projection verticale D'E' avec le plan PQR' qui renferme la droite.

Si la projection AB assignée sur le plan horizontal se trouvait, comme dans la fig. 7, parallèle à la trace PQ du plan donné, on obtiendrait d'abord, comme ci-dessus, la trace verticale B' de la droite inconnue; mais ensuite la trace horizontale de cette droite n'existant plus, puisque AB ne rencontre pas PQ, il en faudrait conclure que la ligne demandée est parallèle au plan horizontal, et qu'ainsi sa projection verticale est la droite B' A' parallèle à la ligne de terre XY.

On verra de même que si la projection horizontale donnée est la ligne AC parallèle à XY, la droite dans l'espace est parallèle au plan vertical, et que sa projection sur ce dernier plan est la ligne C'A' parallèle à la trace QR'.

26. {Fig, 6. ) Voici encore une question analogue : Connaissant la projection horizontale A dun point que Con sait être situé sur un plan donné PQR', trouver t autre projection? On mènera par le point donné A une droite quelconque DAE, que l'on regardera comme la projection horizontale d'une ligne située dans le plan PQR'; il sera facile de construire, comme ci-dessus, la projection verticale D'E' de cette droite, et alors il n'y aura plus qu'à ramener le point A en A' sur cette projection, au moyen d'une perpendiculaire à la ligne de terre (n° 10). On trouverait aussi aisément la projection A, si l'on avait donné A'.

Parmi les diverses directions que l'on peut donner à cette droite auxiliaire DAE, la plus commode ordinairement est une parallèle à la trace horizontale PQ, comme la ligne AB dans la /f^. 7.

27. Trouver C intersection de deux plans qui auraient pour traces, Hun PQ et QR', [autre ST et TV'.