CHAPITRE II. — PROBLÈMES SUR LES LIGNES DROITES, ETC. l

{Fig. 8.) Si Ton prolonge les deux traces horizontales jusqu'à ce qu'elles se coupent en B, ce point, évidemment commun aux deux plans, appartiendra à leur intersection; et, puisqu'il est dans le plan horizontal, ce sera la trace horizontale de la droite cherchée. De même, le point A' où se couperont les traces verticales des plans donnés, sera la trace verticale de cette droite. Connaissant ainsi les deux traces de la commune section, on en déduira immédiatement (n** 14) les projections qui seront AB et A'B'.

28. Si deux des traces se trouvaient parallèles, comme il arrive pour les plans R'Qp et V'TS, le point B s'éloignerait indéfiniment, et, par suite, l'intersection des deux plans deviendrait une horizontale ayant pour projections A' 6' parallèle à la ligne de terre, et A 6 parallèle à TS : résultat qui était facile à prévoir, puisque alors les plans donnés passeraient par deux droites parallèles Qp et TS, et qu'ainsi ils devraient se couper suivant une droite parallèle à celles-là.

29. {Fig, 9.) Lorsque les traces seront respectivement parallèles sur les deux plans de projection à la fois^ les plans donnés seront évidemment parallèles entre eux, et il n'y aura plus d'intersection; à moins que ces traces ne soient en même temps parallèles à la ligne de terre, comme PQ et P'Q' pour l'un des plans, TS et T'S' pour l'autre : car deux plans ainsi placés peuvent encore se couper suivant une droite parallèle àXY, mais la méthode précédente ne suffît plus pour obtenir cette intersection.

Dans ce cas, menons à volonté un plan sécant auxiliaire aS/. Il coupera le plan [PQ, P'Q'] suivant la droite (CD, CD'}, qui se construit par la méthode générale, et le plan [TS, T'S'] suivant la droite (EF, E'F'); alors ces deux lignes fourniront, par leur rencontre, un point (M, M') qui sera évidemment commun aux deux plans [PQ, P'Q'], [TS, T'S']; et, par conséquent, ceux-ci auront pour intersection la droite (AMB, A'M'B') menée parallèlement à XY.

On pourrait encore employer ici un plan de profil mené perpendiculairement à XY {fig. 9) ; ce plan couperait les plans de projection primitifs suivant les deux droites XV et XZ, dont la dernière prendra évidemment la position XZ", lorsque l'on rabattra le profil sur le plan horizontal, autour deVX comme charnière. Cela posé, le plan de profil rencontrait les traces verticales des plans proposés aux points P' et T' qui deviennent en rabattement P" et V ; donc PP" et TT sont les traces de ces plans sur le profil rabattu suivant Z"XV ; et comme ces traces se coupent en A", c'est là un point de l'intersection demandée. Si donc on projette horizontalement ce point A" en A, on en conclura que l'intersection cherchée a pour projection horizontale la droite AB parallèle à XY. D'ailleurs, si Ton relève le profil, le point A" se projettera verticalement en A'; et A'B' parallèle à XY sera la seconde projection de l'intersection des plans proposés.

Si les traces de ces plans, sans être parallèles entre elles, passaient toutes quatre

l4 LIVRE I. — DBS DROITES ET DES PLANS.

par le même point de la ligne de terre, il faudrait encore recourir à l'un des plans auxiliaires que nous venons d'employer ; et nous engageons le lecteur à construire répure relative à ce cas particulier.

50. {Fig. lo.) Construire le point d intersection dune droite (AB, A'B') mec un plan donné PQR'.

Pour y parvenir^ il faut mener par la droite donnée, et dans une direction quelconque, un plan sécant : construire l'intersection de celui-ci avec le plan PQR'; et comme cette ligne passera nécessairement par le point cherché, ce point sera déterminé par la rencontre de cette intersection avec la droite donnée.

Adoptons d'abord pour plan sécant, le plan vertical qui projette la droite donnée suivant AB : cette dernière ligne sera elle-même la trace horizontale de ce plan, et sa trace verticale sera la droite CC perpendiculaire sur la ligne de terre. Cela posé, le plan ACC coupe le plan donné PQR' suivant une droite qui est projetée (n^ 27) sur C'iy et CD ; et comme cette intersection rencontre la droite donnée (A'B', AB) au point M', c'est là la projection verticale du point demandé. La seconde projection de ce point n est pas fournie immédiatement, parce qu'ici les deux droites que nous combinons sont projetées l'une et l'autre suivant ADBC; mais on la déduira de M' en abaissant (n^ 10) la perpendiculaire M'M sur la ligne de terre. Ainsi le point (M, M') est cehil où la droite (AB, AB') perce le plan PQR'.

On peut aussi employer pour plan sécant, le plan projetant de la droite sur le plan vertical, lequel aura pour traces A'B' et B'F perpendiculaire à XY. Ce plan auxiliaire A' B'F coupera PQR' suivant la droite (FG, B'G'), qui, par sa rencontre avec AB, devra donner le même point M déjà obtenu par la première construction ; ainsi, les deux procédés employés simultanément se serviront de vérification.

Observons ici que le plan donné PQR' est une grandeur principale (n® 15) qui existe réellement, et qui rend invisible la portion de la droite (AB, A'B') située audessous du point de section; c'est pourquoi la partie (MB, M'B') a été ponctuée. Quant au prolongement BC, il n'est regardé que comme une ligne auxiliaire relative au plan sécant qui sert de moyen de solution.

31 . Quoique les deux procédés employés n*' 30 soient les plus commodes, il sera bon, pour nous exercer à la combinaison des plans avec les droites, de résoudre encore le même problème en nous servant d'un plan sécant quelconque : toutefois, comme ce plan devra renfermer la droite donnée (AB, A'B') dont les traces sont B et G {fig. Il), il faudra faire passer par ces points les traces du plan sécant que nous adopterons. Menons donc par le point B la droite arbitraire SBT, et par les points T et C la droite C'TV; ce seront là les traces d'un plan auxiliaire qui conriendra la ligne (AB, A'B'). Cela posé, les plans STV et PQR' se coupent (n<> 27) suivant la ligne (SV, S'V); et comme celle-ci rencontre (AB, A'B') en (M, M'), ce point est celui où la droite donnée perce le plan PQR' : mais il faudra s'assurer.