CHAPITRE II. — PROBLÈMES SUR LES LIGNES DROITES, ETC. l

pour vérifier les constructions, que la droite MM' qui réunit ces deux projections est exactement perpendiculaire (n^ iO) sur la ligne de terre.

52. Par un point donné conduire une droite qui rencontre deux droites données de position.

Nous indiquerons seulement la solution de ce problème, que nous proposons ici au lecteur comme un exercice propre à le familiariser avec les méthodes précédentes. Par le point donné a et la première droite c/^, on conduira un premier plan ; puis un second par le même point a et la seconde droite cf, ; alors, en cherchant l'intersection de ces deux plans, on obtiendra une droite qui satisfera évidemment aux conditions énoncées.

On peut aussi n*employerque le premier des plans dont nous venons de parler, puis chercher (n**30) le point où il coupe la seconde droite; alors, en joignant ce dernier point avec le point donné, on obtiendra une droite qui résoudra le problème.

Il n'y aura en général qu'une solution, à moins que les deux droites proposées ne se trouvent dans un même plan avec le point donné. Si ces deux droites se coupaient ou étaient parallèles, il serait bien facile d'assigner d'avance le résultat des opérations.

35. Théorème. Lorsqu'une droite (AB, A'B') {fig. la) est perpendiculaire à un plan PQR', les projections de cette ligne sont respectivement perpendiculaires sur les (races du plan.

En effet, le plan qui projette la droite suivant AB est, par sa définition, perpendiculaire au plan horizontal : il l'est aussi au plan donné PQR^ puisqu'il passe par une droite qui est supposée perpendiculaire à ce dernier ; donc ce plan projetant est perpendiculaire à la fois sur les deux autres, et par suite à leur intersection qui est la trace horizontale PQ ; par conséquent, cette trace sera elle-même perpendiculaire sur la projection AB, qui se trouve dans le plan projetant. On démontrerait , d'une manière toute semblable , que la trace verticale R'Q est perpendiculaire sur la projection A'B'.

Réciproquement, 51 les deux projections AB et A'B' d'une droite sont respectivement perpendiculaires aux traces PQ et QR' d'un plan, ce plan et la droite sont perpendicu^ kUres Cun sur t autre. En effet, le plan projetant qui a pour trace AB est évidemment perpendiculaire sur la droite PQ, et par suite au plan PQR' qui contient cette ligne : de même, le plan projetant qui a pour trace A'B' est perpendiculaire à la droite QR', et par suite au plan PQR'. Donc ce dernier se trouve perpendiculaire à la fois sur les deux plans projetants ; et dès lors il sera aussi perpendiculaire sur leur intersection qui n'est autre chose que la droite donnée dans l'espace.

54. Observons toutefois que ce théorème ne serait plus vrai , s'il s'agissait de projections obliques (n^ 8); et d'ailleurs il faut se garder de croire qu'une relation

l6 LIVRE I. — DES DROITES ET DES PLANS.

semblable existe entre deux droites qui sont perpendiculaires entre elles; car leurs projections orthogonales, sur un même plan, ne formeront pas un angle droit, à. moins que Tune des lignes proposées ne se Xronye parallèle au plan de projection.

35. {Fig. 12.) Trouver la plus courte distance et un point (A, A') à un plan donné PQR'.

On abaissera d'abord du point (A, A') une perpendiculaire indéfinie sur le plan, en menant (n® 55) les projections AB et A'B' respectivement perpendiculaires sur les traces PQ et QR'; puis, on cherchera le point (M, M') où cette droite rencontre le plan, ce qui s'exécutera comme au n** 30, dont tous les raisonnements s'appliquent à la figure actuelle où nous avons d'ailleurs conservé les mêmes notations. Alors AM et A' M' seront évidemment les projections de la plus courte distance demandée ; et la grandeur absolue de cette distance s'obtiendra (n^ 1 7) en menant l'horizontale HM'M" égale à AM, et tirant la droite A'JW qui sera la vraie distance du point au plan.

36. {Fig. i3.) Trouver la plus courte distance dun point (C, C) à une droite rfonn^e (AB,A'B').

Menons d'abord par le point (C, C) un plan perpendiculaire à la droite proposée; ses traces seront perpendiculaires (n® 55) aux projections ABet A'B'; et, pour déterminer un de leurs points, j'imaginerai dans ce plan une horizontale partant de (C, C). Cette droite, qui sera nécessairement parallèle à la trace horizontale cherchée, aura pour projections CD perpendiculaire à AB, et CD' parallèle à XY; ainsi, elle ira percer le plan vertical en (D, D') : si donc je mène D'Q perpendiculaire sur A'B', et QP perpendiculaire sur AB, ce seront les traces du plan cherché PQD'. Cela posé, en construisant [n^ 30) le point (M, M') où ce plan rencontre la droite (AB, A'B'), et en le joignant avec (C, C), la ligne (CM, CM') sera évidemment contenue dans le plan D'QP, et dès lors elle se trouvera perpendiculaire sur ( AB, A'B') ; par conséquent cette droite (CM, CM') mesurera la plus courte distance demandée, dont la grandeur absolue CM'' se déduira des projections CM et CM' par la règle générale exposée n** 1 7.

Dans cette épure, le plan D'QP n'est ni une donnée, ni un résultat du problème primitif; c'est seulement un moyen de parvenir à la solution cherchée, et par conséquent on devra marquer ses traces comme des lignes auxiliaires (n^ 15). La même remarque s'applique à la fig, i[\j dont nous allons donner l'explication.

57. [Fig. i40 ^utre solution. Faisons passer un plan par le point (C, C) et par la droite donnée (AB, A'B'); il suffira de joindre (C, C) avec (A, A'), et de chercher les traces verticales des deux droites (AB, A'B') et (AC, A'C) : alors B'D'Q et QA seront les traces du plan auxiliaire dont nous venons de parler. Cela posé, rabattons ce plan B'QA autour de sa trace horizontale AQ, et supposons qu'il entraîne avec lui la droite et le point donnés. Dans ce mouvement de révolution,