CHAPITRE II. — PROBLÈMES SUR LES LIGNES DROITES, ETC

à-dire que 2* sera un point de la trace de n sur le plan P*, et conséquemment cette trace cherchée sera (J'z^c*.

III. Le cas qui précède est le seul vraiment utile; mais, pour montrer que la question est susceptible d'une solution tout à fait générale, nous allons résoudre encore le problème suivant.

Les plans primitifs étant le plan horizontal P et le plan vertical P', rabattus autour de leur ligne de terre XY, et sur lesquels on donne les projections M et M' d'un certain point de l'espace : on veut trouver les projections de ce même point sur deux nouveaux plans P* et P*, perpendiculaires aussi entre eux, et dont le premier P* a pour traces primitives a/3 et jSy', tandis que leur ligne de terre ou leur intersection mutuelle, est une droite projetée horizontalement sur xy. Nous n'avons pas besoin d'assigner sa projection verticale que l'on trouverait aisément, puisque cette ligne de terre est dans le plan connu ajSy'.

Par le point (M, M') menons un plan de profil perpendiculaire à aj3, et conséquemment vertical ; il aura pour traces horizontale et verticale MCd et rfrf', et coupera le plan aj3y' suivant une droite qui, rabattue avec le profil autour de Cdy deviendra évidemment Cd'\ Quant au point (M, M') entraîné avec ce profil, il prendra une position M" qui s'obtient en élevant sur la charnière Crf une perpendiculaire MM" = HM'. Alors, en abaissant la perpendiculaire M'q'' sur Crf", et en relevant le profil, on doit bien voir que le point q' serait la projection du point (M, M') sur le plan a^y' ou P*. Mais, comme, pour faire usage du plan de projection P*, il faut nécessairement le rabattre sur notre feuille de dessin, faisons-le tourner autour de a|3, et le point q" viendra se placer en m^. Il reste à trouver ce que deviendra la ligne de terre projetée sur xy, et située dans le plan a]3y'. Or, en tirant du point ^ une perpendiculaire indéfinie sur la charnière a|3, et en décrivant un arc de cercle avec le rayon ^j\ on voit bien que j* sera le rabattement du point (j*, J*')î ^^"^^ '^ nouvelle ligne de terre sera rabattue suivant x;^*. Enfin, si l'on conçoit le plan P'* rabattu aussi autour de xy^y il suffira de mener par m* une perpendiculaire indéfinie sur xj*^ et de prendre la distance Km^ égale à M"(jf'', pour obtenir les deux projections m* et yn' du point (M, M') sur les plans P' et P* rabattus autour de leur ligne de terre xy^.

IV. On voit assez, par ces détails, qu'il n'y a pas là de théorie nouvelle; d'ail*

leurs nous avions déjà maintes fois employé des procédés analogues dans les épures qui précèdent. Ainsi, dans lafg. 9, le plan de profil qui nous a servi, est vraiment un nouveau plan vertical ayant pour ligne de terre la droite VX. Il en est de même dans layîgf. ï6, où le plan vertical PRR' rabattu suivant PRR'' peut être appelé un nouveau j^àn vertical sur lequel la trace du plan sécant est A'^R. Encore^ dans la fig, i^jie plan AfB' mené par la droite et le point donné, et que nous avons rabattu suivant AçR"^ peut être considéré comme un nouveau plan de projection, ayant pour ligne de terre Aç, et sur lequel la solution CM" du problème se trouve immédiatement, puis se ramène ensuite sur les deux plans primitifs. Voyez aussi la^gr. 60, ou la seconde solution équivaut à projeter les arêtes du cylindre sur un plan vertical auxiliaire RR'' parallèle à ces arêtes.

Ajoutons enfin que, dans Isl fig* 12, la distance cherchée peut s'obtenir plus vite en regardant le plan vertical ACC mené par le point (A, A') perpendiculairement à PQ, comme un nouveau plan vertical que l'on rabattra autour de sa ligne de terre AC; alors, en cherchant la position A* que prendra le point (A, A') sur ce plan rabattu, et la nouvelle position DC* que prendra la droite d'intersection qui réunit les points de l'espace D et C, il suffira d'abaisser du point A* une perpendiculaire sur DC*. Nous engageons le lecteur à exécuter cette construction, qui est fort simple.