CHAPITRE m. — RÉSOLUTION DE L'aNGLE TRïÈDRE

trois derniers cas peuvent se ramener aux trois autres par le secours d'un angle trièdre supplémentaire.

54. D'un point quelconque S' pris dans rintérieur de l'angle solide S, abaissons une perpendiculaire sur chacune de ses faces; et pour fixer les idées, regardons le plan BSC comme horizontal, et l'arête SA comme située au-dessus de ce plan. Nous formerons ainsi un second angle triédre S' ayant pour arêtes la verticale S'A', avec les deux droites S'B\ S'C', respectivement perpendiculaires sur les faces ASC, ASB; et ce nouvel angle solide est dit supplémentaire du premier, parce que les faces et les angles dièdres de l'un sont les suppléments des angles dièdres et des faces de l'autre. Mais, avant de démontrer ces relations réciproques, observons qu'il n'est pas indifférent, pour former le nouvel angle solide, d'abaisser les perpendiculaires de tel ou tel point de l'espace; car trois droites ou trois plans qui se coupent en un même point S', et qui sont prolongés de part et d'autre de ce point, déterminent toujours huit angles trièdres différents, parmi lesquels il n'y en a que deux (symétriques l'un de l'autre et opposés par le sommet) qui soient vraiment supplémentaires de l'angle donné SABC. Aussi, pour ne pas commettre d'erreur dans la manière de prolonger les perpendiculaires, nous ayons recommandé de les abaisser sur les faces, à partir d'un point pris dans l'intérieur de l'angle solide proposé; ensuite on pourra transporter où Ton voudra dans l'espace l'angle S' ainsi fornié.

55. Cela posé, en désignant par A', B', C les angles dièdres compris entre les faces qui se coupent suivant S'A', S'B',S'C', et par a', 6', y' les faces opposées à ces arêtes, on voit que le plan A'S'B', perpendiculaire aux deux faces BSC, ASC, les coupera suivant deux droites A' E,B'E, qui seront elles-mêmes perpendiculaires sur SC; et par conséquent l'angle A'EB' sera la mesure de l'angle dièdre C. Or le quadrilatère plan S' A'EB' a deux de ses angles qui sont évidemment droits, savoir : A' et B'; donc les deux autres sont supplémentaires, et l'on a

A*S'B'4-A'ËB'=i8oSou bien 7'4-C=i8o«;

on prouvera de même que g' -h B = 180^,

a'-hA=i8o%

en considérant les quadrilatères S'A'DC et S'C'FB' formés par les sections que produisent les faces A'S'C et B'S'C dans l'angle solide S. Donc les faces de l'angle solide S' sont bien les suppléments des angles dièdres de S.

56. Maintenant, considérons les angles dièdres de S'; les deux faces B'S'A' et C'S' A' coupent le plan BSC auquel chacune est perpendiculaire, suivant les droites A'E et A'D ; donc l'angle rectiligne DA'E est la mesure de l'angle dièdre A'. Mais dans le quadrilatère SDA'E, les angles D et E sont évidemment droits, puisque la face A'S'B' est perpendiculaire sur SC, et A'S'C sur SB; par conséquent j les deux

3o LIVRE ï. — DES DROITES ET DES PLANS.

autres angles de ce quadrilatère sont supplémentaires, et l'on a

DA'E4-DSE= i8o^ ou bien A'-ha=i8o°;

on prouvera de même que B'-hê = i8o^,

au moyen des quadrilatères SEB'Fet SDC'F. Donc les angles dièdres de S' sont les suppléments des faces deS\ et l'on peut dire que ce dernier angle solide est à son tour supplémentaire de Cangle S'.

S7. Remarquons ici qu'en décrivant, du point S comme centre, une sphère d'un rayon quelconque SA, elle serait coupée par les faces de l'angle solide S, suivant trois arcs de grands cercles AB, BC, CA, lesquels formeraient un triangle sphérique, dont les côtés mesureraient les angles plans a, 6, 7, et dont les angles ne seraient autre chose que les inclinaisons A, B, C des faces de l'angle solide. Par conséquent, la construction de ce dçrnier, d'après la connaissance de trois de ses éléments, revient à la solution graphique des problèmes que traite par le calcul la trigonométrie sphérique. D'ailleurs, si l'on transportait au centre S l'angle solide S', ses faces couperaient la même sphère suivant un autre triangle qui serait le triangle supplémentaire ou polaire de ABC, et dont on fait usage aussi dans la trigonométrie sphérique (*).

38. Revenons maintenant aux six problèmesque nous avons énoncés n** 53, et observons que, quand on donne les trois angles dièdres A, B, C, on peut trouver tout de suite leurs suppléments, qui seront (n^ 55) les faces a'. S', 7' d'un autre angle solide S'; or si, par le premier cas du n^ 53, on sait déduire de ces nouvelles données les angles dièdres A', B', C de cet angle S', il n'y aura plusqu*à prendre les suppléments de ceux-ci pour obtenir (n° 56) les faces a, 6, y de l'angle solide primitif S. On voit par là que le sixième cas se ramène au premier; et de même on réduira le cinquième au deuxième, et le quatrième au troisième. Nous allons donc nous occuper seulement de la résolution des trois premiers problèmes.

59. Premier cas. Etant données les trois faces a, ê, 7 {fig, a4) d^un angle solide, trouver les trois angles dièdres A, B, C.

(*) A la rigueur, pour avoir le triangle polaire de ABC dans la situation où on remploie ordinairement dans la trigonométrie, il faudrait adopter Tangle solide symétrique de S'A'B'C, lequel s'obtiendrait en prolongeant les trois arêtes au delà du point S'; c'est-à-dire qu'il eût fallu , dès le commencement, élever par le sommet S trois perpendiculaires aux faces de cet angle solide, Tune sur BSC et située du même côté de cette face que Taréte SA; l'autre sur CSA et du même côté que Taréte SB; enfin, la troisième sur ASB et du même côté que SC. L*angle solide ainsi construit, aurait coupé la sphère précisément suivant le triangle polaire de ABC ; mais la figure eût été peu intelligible sans le secours des triangles sphériques : c'est pourquoi nous avons préféré la construction du n^ 54 ; d'autant plus qu'ici, où il ne s'agit que d'angles solides, ceux qui sont symétriques l'un de Tautre se trouvent composés avec les mêmes éléments disposés seulement dans un autre ordre, et que le» relations supplémentaires sont également vraies.