CHAPITRE !1I. —RÉSOLUTION DE L* ANGLE TRIÈDRE. 3ï

Soient A" SB, BSC, CSA' les trois angles donnés, supposés rabattus sur le plan de la face BSC, que nous regarderons comme le plan horizontal de Tépure : il est clair que, pour recomposer Tangle solide, il suffirait de faire tourner les deux faces latérales A" SB, A' se autour des droites SB et SC, comme charnières, jusqu'à ce que les deux lignes SA'' et SA' vinssent coïncider Tune avec l'autre ; et leur position commune dans l'espace serait celle de la troisième arête, dont nous désignerons la projection inconnue par SA. Pour la déterminer, prenons sur les droites rabattues SA' et SA" deux distances quelconques, mais égales, SD' = SD"; alors les points D' et D" devront évidemment se réunir dans la formation de Tangle solide ; puis, comme en tournant autour des droites SC, SB, ils ne sortiront pas des plans verticaux D'FD, D"ED, perpendiculaires à ces charnières, il s'ensuit que les points rabattus en D' el D" iront coïncider avec le point de l'espace qui est projeté horizontalement en D, et, par conséquent, la troisième arête de l'angle solide aura pour projection SDA.

D'ailleurs le plan vertical FD, perpendiculaire à SC, devra couper les deux faces qui passent par cette arête, suivant des droites FD et FD' qui, étant relevées, comprendront entre elles un angle égal à l'inclinaison de ces faces, et qui formeront un triangle rectangle avec la verticale D; par conséquent, si l'on rabat ce triangle autour de FD, en élevant sur cette base une perpendiculaire indéfinie DG' que l'on terminera par un rayon FG' = FD', on obtiendra ainsi l'angle rectiligne G'FD pour la mesure de l'angle dièdre C qu'il s'agissait de trouver.

De même le plan vertical ED coupera les deux faces passant par SB, suivant des droites ED et ED" qui, étant relevées, comprendront entre elles la mesure de l'angle dièdre B; et comme ces droites forment aussi avec la verticale D un triangle rectangle dont elles sont la base et l'hypoténuse, on pourra aisément construire le rabattement G"ED de ce triangle, et l'angle B sera mesuré par DEG". On observera d'ailleurs que les deux verticales DG' et DG" devront se trouver égales, puisque l'une et l'autre expriment la hauteur du point unique de l'arête SA, qui est projeté en D.

Pour obtenir le troisième angle dièdre A, on mènera un plan sécant perpendiculaire à SA par le point de cette arête qui est projeté en D, et rabattu en D' d'une part, et en D" de l'autre. Ce plan coupera les faces latérales suivant des droites D'N et D"M, respectivement perpendiculaires à SA' et SA"; et conséquemment son intersection avec la face BSC sera la droite MN qui devra évidemment se trouver (n®55) perpendiculaire sur la projection horizontale SA de la troisième arête. Si donc avec les trois lignes D"M) MN, ND', on construit le triangle PMN, l'angle au sommet P sera précisément la mesure de l'angle dièdre qui a pour arête SA.

Remarquons en outre que ce triangle, avant d'être rabattu autour de MN, avait son sommet P situé au point de l'arête SA qui est projeté enP. Mais puisque cette charnière MN est perpendiculaire, comme nous venons de le dire, au plan vertical

SA, le point P n'aura pas dû sortir de ce plan ; et, par conséquent, il faudra qu'il se trouve rabattu sur le prolongement de la droite SDA, ce qui est une vérification essentielle à observer.

60. I^es constructions précédentes sont pareillement applicables au cas où les trois angles oc. S, .7, ou bien quelques-uns d'entre eux, se trouvent obtus : seulement, pour que le problème soit possible, il faut toujours, i^ que les trois angles ûf, S, 7 fassent une somme moindre que quatre droits; :à^ qu'en outre. le plus grand de ces angles soit moindre que la somme des deux autres. £n effet, si ces conditions n'étaient pas remplies par les données de la question, il est facile de voir que les opérations graphiques fourniraient pour la construction des triangles^ FDG' et EDG", des hypoténuses plus courtes que les bases : tandis que ces triangles seront possibles, si les deux conditions ci-dessus énoncées sont satisfaites, et, par suite, l'angle solide pourra être composé avec les données du problème.

61. Réduire, un angle à r horizon. Ce problème, qui est utile dans la levée des plans, à pour objet de trouver la projection horizontale d'un anglea qui est connu de grandeur, et dont les côtés fpnt, avec la verticale abaissée du sommet, des angles donnés ê et 7. Or, si l'on imagine un angle solide ayant pour ses trois arétés cette verticale et les deux côtés de l'angle proposé a, on connaîtra les faces a. S, 7 de cet angle solide^ et la projectipii demandée sçra évidemment l'angle rectiligne qui mesure l'angle dièdre A compris entre les deux faces verticales; par conséquent, ce problème, rentre dans celui du n® 59 j et pourrait être résolu de la même manière, si la supposition qu'une. des arêtes est ici verticale, ne permettait dé donner à la.figure une disposition, plus commode.

. {Fig. 25«) Dans un plan quelconque, formons, avec la verticale SA, les angles ASB=7, ASG.= ê; puis, en laissant invariable la grandeur de ce dernier,. &isons-le tourner autour de SA jusqu'à ce que le côté mobile SC forme, dans l'espace, un angle a avec le côté fixe -SB : par là nous obtiendrons* l'angle donné, exactement dans la situation que lui assigne le problème,, et ensuite il nous sera facile d'en déduire la projection horizontale. Or, dans ce mouvement de révolution autour de SA, Iç pied G du côté mobile décrira un arc de cerclç GC, dont le centre sera en A, et il s'.arrêtera sur cet arc en un" point G' tel, que sa distance au point fixe B sera évidemment la base d'un triangle qui aura pour côtés des droites égales à SB et SG, tandis que l'angle compris, égalera çt. Si donc on construit sur le plan vertical un angle BSG''=;= a, et que l'on prenne SG" = SG, la droiteJBG" sera la distance dont nous parlions; puis, en la rapportant par un arc de cercle deB en G', on connaîtra la position G' où doit s'arrêter le pied du côté niobileSG, et, par suite, cette droite se trouvera projetée horizontalement suivant AG'.D'aifleurs, le côté fixe SB étant projeté sur AB, on en conclura que l'angle a, dans l'espace, a pour projection horizontale BA G'; ainsi ce dernier angle, qui peut être plus