DE LA GÉNÉRATION DES SURFACES, ET DE LEUR REPRÉSENTATION GRAPHIQUE

69. Pour représenter graphiquement une surface, nous avons annoncé (n° 7) qu'il ne faudrait pas, comme pour les lignes, chercher à construire sur deux plans fixes les projections des différents points de ce lieu géométrique; en effet, attendu que sur une surface, et à partir d'un point donné, on peut cheminer dans une infinité de directions, le moyen précédent n'aurait d'autre résultat que de charger les plans fixes d'une multitude de points et de lignes dont on n'apercevrait pas la liaison, et dont l'ensemble surtout ne peindrait nullement, à l'œil du spectateur, la forme de la surface, sa courbure plusou moins prononcée, et le nombre de ses nappes. Nous emploierons donc un autre procédé (n° 95), déduit de la nature même de cette grandeur, dont il faut, avant tout, établir une définition précise.

70. Par le mot surface on ne doit pas entendre simplement une série de points ou de courbes aussi rapprochés qu'on voudra les uns des autres, mais n'ayant entre eux aucune dépendance fixe; il faut encore que ces points ou ces lignes soient soumis à quelque liaison commune et continue, dont l'expression analytique ne serait autre chose que l'équation de la surface, et dont la définition géométrique doit être énoncée ainsi :

Une surface est le lieu de toutes les positiom que prend successivementy dam tespace, une ligne mobile qui change de situation, et souvent même de forme d après une loidéietminée et continue.

La ligne mobile se nomme la génératrice, et par ces mots, une loi déterminée^ il faut entendre des conditions telles, que, pour chaque point donné de l'espace, elles ne laissent plus rien d'arbitraire dans la forme ni dans la position de la génératrice. Or le moyen le plus commode ordinairement pour exprimer (du moins en partie) la loi de ce mouvement, c'est d'assigner une ou plusieurs lignes fixes, nommées directrices, sur lesquelles devra constamment s'appuyer la génératrice dans toutes ses positions : de sorte que pour définir complètement une surface particulière, il faut indiquer la nature de la géne'ratrice, la manière dont elle se meut, et les directrices sur lesquelles elle doit glisser pendant son mouvement (*).

(*) C'est effectivement par la traduction en analyse de ce mode de génération, ou d'une propriété équivalenle, que Ton obtient toujours Téqualion delà surface. (Voyez V Analyse appliquée