CHAPITRE I. — GÉNÉRATION DES SURFACES, ETC. 4l

Lorsqu'on change seulement ces directrices, on obtient diverses surfaces qui appartiennent toutes à une même famille; et d'ailleurs on doit sentir que chaque surface individuelle est susceptible d'une infinité de modes de génération. Nous allons en citer plusieurs exemples, tant pour éclaircir la définition générale, que pour acquérir dès à présent la connaissance des lieux géométriques dont nous devons faire usage le plus fréquemment. '

71. UNE SURFACE CONIQUE est le lieu de toutes les positions que prend une droite mobile SA, assujettie à passer toujours par un point fixe S {fig. iS) et à s appuyer constamment sur une courbe donnée ABC, laquelle peut être gauche ou à double courbure (voyez n*' 7). D'après cette définition, la droite mobile SA est une génératrice constante de forme, et variable de position seulement, tandis que le point fixe et la courbe ABC sont les directrices; d'ailleurs, cette ligne SA devant être regardée comme indéfiniment prolongée de part et d'autre du point S qu'on nomme le sommet ou le centre^ elle engendrera les deux nappes opposées et indéfinies SABC, Soêy. Si l'on substituait à la courbe ABC une autre directrice, en changeant même le sommet S, on obtiendrait diverses surfaces individuelles appartenant toutes à la famille des cônes.

72. Mais ces surfaces admettent bien d'autres modes de génération. En effet, si nous coupons le cône SABC par divers plans parallèles, nous obtiendrons des sections semblables A'B' G, AfB''C\ c'est-à-dire des courbes où il existera des points O', O", tels, que les rayons vecteurs respeclivement parallèles, O'A' et 0"A", O'B' et 0"B", O'D' etO"D",..., auront entre eux un rapport constant : cette proposition, vraie quelle que soit la directrice ABC, se démontre aisément par la théorie des lignes proportionnelles. Pour fixer les idées, nous admettrons que ABC soit une

// la géométrie fies trois dimensions, chap. XIV.) Réciproquement, lorsqu'un lieu géométrique est défini immédiatement par Téquation F (jf , 7, z) == o , si Ton coupe cette surface par divers plans , horizontaux par exemple , on obtient les courbes

(i)a = a et F(x,/, a) =0,(2) z = a' et F(x, j, a') =0, z = a" et F(x,7, a") = o,

dont une quelconque est ce que devient la première quand on attribue à la constante a les valeurs successives a', a"; par conséquent, ces diverses courbes sont les positions successives que prendrait la courbe (i) et (2) si on la faisait mouvoir dans des plans parallèles, en changeant d'ailleurs ses dimensions d'après une loi qui dépendrait de la manière dont la constante a entrera dans l'équation (2) : aussi , en éliminant ce paramètre entre (i) et ( 2) , on retombe évidemment sur Féquation ^{^9^9^) =Of qui se trouve donc le lieu de toutes les positions de la première courbe mobile. Ajoutons d'ailleurs que , comme on peut adopter une infinité do directions pour les plans sécants parallèles, ou même employer d'autres surfaces sécantes, il doit exister pour chaque surface une infinité de modes de génération.

4* édit, 6

ellipse ayant pour ses demi-axes ÔA = a, OB = 6; alors les autres sections A' B'C, A"3''C", supposées parallèles à celte base, seront auçsi des ellipse^ dont les axes se trouveront parallèles à ceux de ABC, et tels que

Cela posé, si l'on fait mouvoir l'ellipse ABC de manière, i^ que son centre parcoure la droite SO;. a® que ses axes restent parallèles à leurs positions primitives; y" qu'ils décroissent ensemble, et proportionnellement aux distances SO, S0% SO",... ; alors il est évident que cette ellipse mobile. coïncidera successivement avec A'B'C, A"B"G^,..., et deviendra ainsi, pour la surface conique proposée, une génératrice variable déforme et de position. Mais, pour réduire ces diverses conditions à un énoncé plus simple, il suffira de se rappeler qu'une courbe du second degré est déterminée, dans son plan, par la connaissance de cinq de ses points; par conséquent, si l'on trace isur le côiie cinq arêtes fixes, SA, SB, SÇ, SE), SE, on pourra dire que, pour engendrer la surface, il faut faire mouvoir t ellipse variable ABC de manière que son plan demeure parallèle à lui-même, et qu'elle s appuie constamment sur ces cinq droites regardées comme autant de directrices.

Enfin, puisqu'on serait libre d'adppter pour les plans sécants parallèles une direction quelconque, et que même on pourrait couper le cône par d'autres surfaces, telles que des sphères décrites du point O comme centre avec un rayon variable, il demeure évident qu'il existe une infinité de lignes planes ou gauches que l'on peut adopter pour génératrices d'une même surface conique.

75. UNE SURFACE CYLINDRIQUE est le lieu des diverses positions que prend ime droite mobile AA' qui glisse le long d'une courbe fixe ABC {fig. 29), en demeurant parallèle à une direction donnée. Mais ce premier mode de description, où la génératrice A A' est constante de forme, n'est pas le seul admissible; car, puisque toutes lés sections parallèles au plan de ABC seraient ici des courbés évidemment identiques, on peut encore regarder la surface comme parcourue par la courbe ABC qui se mouvrait parallèlement à elle-même (*), en s appuyant toujours par le même point sur la droite AA', laquelle deviendrait alors une directrice de là courbe mobile ABC. . Eh variant ensuite la direction des sections parallèles, on obtiendrait une infinité d'autres génératrices propi-es a décrire lé même cylindre : au reste, ces surfaces peuvent être considérées comme un cas particulier des cônes; c'est celui où le sommet s'éloigne à l'infini.

. ^ I ..III- Il II

(*) Udc courbe est dite se mouvoir parallèlement à elle-même , lorsfpie deux quelconques de ses cordes demeurent toujours parallèles à leurs directions primitives. Cette condition entraîne évidemment le parallélisme du plan de la courbe; mais cela exprime en outre que eette courbe ne toame pas dans son plan mobile.