CHAPITRE I. — GÉNÉtlATIOîS DES SUÏRFACES, ETC

74. Observons, en passant^ que si la directrice du cône ou da cylindre était une droite, la surface se réduirait à un plan, lequel peut donc être défini comme le lieii des. positions que prend une droite mobile assujettie, i*^ à glisser sur une droite fixe; d^ à passer constamment par un point donné, ou bien à demeurer toujours parallèle à sa première position.

75. UNE SURFACE DE RÉVOLUTION est engendrée par une courbe quelconque GG'C qui tourne autour d'une droite fixe DZ Çfig. 3o), de manière que chacun dé ses points G décrit un cerc/e dont le plan est perpendicuiaire à [axe DZ, et dont le rayon est lapins courte distance GO de ce point au même axe. Observons que ces divers rayons GO, G'O', G'^O"^ quoique tous perpendiculaires à DZ, ne seront point parallèles entre eux lorsque la génératrice GG'G'' sera à double courbure; ou lorsque, étant plane, son plan ne renfermera pas Taxe DZ. D'ailleurs, les différents cercles, GUA, G' M' A',..,, décrits par ces rayons, se nomment les parai- Jèles de la surface.

76. Si, par l'axe DZ, on mène des plans quelconques ZOA, ZOM, on obtiendra des sections AA' A'', MM'ftr, que l'on nomme les m^nVA'ens ou plutôt les courbes méridiennes de la surface^ et qui sont nécessairement identiques quant à leur forme. En effet, ces plans méridiens coupent les parallèles suivant des rayons qui comprennent des angles évidemment égaux AOM, A'O'M', A'^O^M"; par conséquent, si Ton fait tourner le plan ZOM d'une quantité angulaire MOA, tous les rayons OM, O'M', O^'M'', coïncideront en même temps avec OA, O'A', 0"A", et les courbes méridiennes se confondront l'une avec l'autre.

77. Il résulte aussi de là que la méridienne AA'A", en tournant autour de DZ, parcourra toute la surface de révolution, et peut en être regardée comme une nouvelle génératrice qui remplacerait la courbe primitive GG'G*. Cette dernière, en effet, sera distincte du méridien, lorsqu'elle n'aura pas tous ses points situés dans* un même plan passant parDZ, comme on peut le remarquer dans la figure actuelle, qui est censée construite en perspective sur le plan ZO(BB"A"A; c'est par suite de cette convention que nous avons ponctué les parties des parallèles et de la courbe GG' G" qui sont derrière ce tableau. Au reste, on pourra toujours construire le méridien d'après la connaissance d'une génératrice quelconque, puisqu'il suffira de chercher les points dans lesquels un plan, tel que ZOB, coupe les divers parai" lèles décrits par les points de GG'G"; et nous donnerons plus loin (n° 148) un exemple de cette opération.

7*8. Les surfaces dont nous nous occupons ici, admettent un autre mode de génération qu'il importe de connaître. Puisque tout plan perpendiculaire à Taxe DZ (fig. 3o) donne pour section un cercle dont le centre est sur cet axe (n*^ 75), et qui a un point commun avec la courbe GG' ou avec la méridienne BB', on peut donc regarder la surface de révolution comme le Heu des diverses positions que prend

un cercle mobile, toujours perpendiculaire à la droite DZ, et dont le centre parcourt celle droite j tandis que son rayon varie de manière que la circonférence s appuie constamme^ii sur la courbe fixe GG'G" : cette ligne devient alors une directrice à laquelle on peut substituer le méridien BB'B", et le cercle mobile est une gi^n^rafrice variable à la fois de forme et de position. Cette définition, que Ton traduit plus aisément en analyse {*), offre l'avantage que, sous ce point de vue, toutes les surfaces de révolution forment une même famille (n*^ 70) qui admet une génératrice dune espèce constante; c'est le cercle mobile toujours perpendiculaire à Taxe, et dirigé dans soii mouvement par le méridien qui, seul, change d'une surface individuelle à une autre.

79. Ainsi, suivant qu'on adoptera pour méridien une droite, une ellipse, une hyperbole ou une parabole, on obtiendra un cône^ un cylindre^ un ellipsoïde, un bjperboloide ou un paraboloïde de riévolutioit, pourvu d'ailleurs que l'axe de rotation coïncide avec un des diamètres principaux de la courbe; car autrement la surface, quoique toujours de révolution, serait d'une espèce plus compliquée. Un cercle, par exemple, qui tournerait autour d'une droite située dans son plan, mais ne passant pas par son centre, produirait un tore qui est un genre de surface annulaire que nous aurons occasion d'étudier bientôt (n** 158).

80. Ces divers exemples, à l'exception du dernier, ne sont encore que des cas particuliers de surfaces plus générales qui, sans être de révolution, nous deviendront utiles dans la suite , et dont il importe de connaître la génération. Ce sont les SURFACES DU SECOND DEGRÉ qui offrent cinq genres distincts, sans compter les cônes, les cylindres et les plans, qui en sont des variétés trop simples pour nous y arrêter de nouveau.

81. ELLIPSOÏDE. Soit une ellipse ACDF {fig, S4) construite sur les demi-axes OA = a, OC = c : en la supposant tracée dans un plan vertical que nous prendrons

. pour le tableau sur lequel la surface sera représentée en perspective, il en résultera que les lignes ponctuées indiqueront les portions de courbes situées derrière le plan de cette ellipse, et nous conserverons cette hypothèse dans tout ce chapitre. Si. dans un plan perpendiculaire à OC, nous construisons une autre ellipse A' B'D' qui ait pour ses demi-axes l'ordonnée O'A' = a' de la première ellipse, et une droite O'B' = b' de grandeur quelconque, mais perpendiculaire sur O'A'; puis, que noufe fassions mouvoir la courbe A'B'D' de manière que ses axes, restant parallèles à euxmêmes, conservent le rapport primitif — , et que lun d'eux coïncide successivement avec les cordes D'A', D^A"', DA,..., de l'ellipse fixe CAF; alors le lieu géométrique ainsi engendré sera la surface que Ton nomme ellipsoïde. Lorsque le plan de l'ellipse mobile passera par le centre O, elle atteindra son maximum de grandeur, puisque le deraî-axe variable a' deviendra l'ordonnée maximum OA = a ;

(*) Voyez V Analyse appliquée à la géométrie des trois dimensions, chap. XIV.