CHAPITRE I. — GÉNÉRATIOIS DES SURFACES, ETC

et si Ton représente par OB = 6 la longueur que prendra au même instant le second axe 6', les trois lignes

AD = 2a, BE = ib, CF = ac

seront ce qu'on appelle les diamètres principaux ou les axes de l'ellipsoïde. D'ailleurs on doit apercevoir que cette siirface sera fermée de toutes parts, puisqu'au delà des points C et F, l'ellipse mobile aurait ses deux axes imaginaires (*).

82. Si l'ellipse génératrice A'B'D' était un cercle, c'est-à-dire qu'on eût choisi O'B' égal O' A', la surface deviendrait (n^ 78) un ellipsoïde de révolution qui aurait pour méridien la courbe directrice CAF ; et deux des diamètres principaux de la surface, savoir OA et OB, seraient égaux entre eux. Enfin, dans le cas où les trois axes OA, OB, OC seraient tous de même longueur, l'ellipsoïde dégénérerait en une sphère.

83. HYPERBOLOIDE aune nappe {fig. 35). Substituons à l'ellipse directrice ime hyperbole A' A" A, dont le demi-axe réel soit OA = «, et le demi-axe imaginaire QC = c; puis, dans un plan perpendiculaire à OC, et sur deux axes, dont un soit la corde A'D' de l'hyperbole, construisons encore une ellipse A'B'D' : en la faisant mouvoir d'après la même loi que précédemment, elle engendrera Ihjperboloïde à une nappe, ainsi nommé parce que cette surface n'aura évidemment qu'une nappe unique, mais indéfinie comme l'hyperbole directrice. Lorsque le plan de l'ellipse mobile passera par le centre O, elle atteindra son minimum, puisque l'axe variable D'A' sera devenu égal à DA, qui est la plus petite corde de l'hyperbole; c'est pourquoi la courbe ABDE est nommée i ellipse de gorge, et

les trois droites

AD = aa, BE=a6, CF = ac

sont les trois axes de l'hypcrboloïde : mais le dernier CF ne rencontrant pas la surface, est dit Yaxe imaginaire, quoique la quantité réelle ac ne soit que le coefficient de Texpression imaginaire que fournirait l'analyse, en cherchant les points de la surface qui seraient situés sur la droite indéfinie OCO' (*"*).

84. Lorsque les deux axes réets OA et OB sont égaux, Phy perboloïde est de révolution (n^ 78), puisque alors l'ellipse génératrice A'B'D' devient un cercle;

(*) En exprimant par ranaiyse ce mode de génération ,- on obtient pour Féquation de Pellipsoïde rapporté à sea axes ,

Voyez V Analyse appliquée h la géométrie des trois dimensions, chap. IX.

(**) L*équation de Thyperboloïde à une nappe, rapporté à ses axes, est

aussi, dans ce cas particulier, la surface pourrait être engendrée par la révolution de rhyperbole k! M'A. autour de son axe imaginaire OCO'.

85 . HYPERBOLOIDE à deux nappes [fig. 36 ). Sur les demi-axes OA = a, OC = c, construisons encore une hyperbole, mais placée de manière que OC soit Taxe réel; puis faisons mouvoir, comme précédemment, Tellipse A'B'ïy: elle engendrera une autre espèce d^hyperboloîde qui aura deux nappes indéfinies, et séparées Tune de l'autre par un intervalle où il n'existera aucun point de la surface. En effet, entre les points C et F, la corde variable A'D', qui sert d'axe à Tellipse mobile, deviendra imaginaire, et il en sera nécessairement de même du second axe O'B', qui doit conserver avec le premier uii rapport constant : de sorte que la génératrice, se trouvant totalement imaginaire dans cet intervalle, ne fournira aucun point réel de la surface. Cependant, comme pour le point O, on sait que le demi-axe O'A' deviendra égal à OA . \/— i, si Ton veut construire le coefficient réel de l'autre axe, qui est pareillement imaginaire, il faudra porter sur une perpendiculaire au plan AOC, une longueur OB telle que

O^B^ ObV~ ob

alors les deux droites AD = aa, BE = a6 seront ce qu'on nomme les axes imaginaires de l'hyperboloïde à deux nappes, tandis que CF= ac sera Vaxe réel {*).

86. Pour que cet hyperboloïde fût de révolution, il faudrait que les deux axe^ imaginaires OA et OB devinssent égaux, puisque cette hypothèse entraînerait la relation O' A' = O'B', qui change l'ellipse génératrice en un cercle. Alors la surface pourrait étr.e engendrée par la révolution des deux branches CA" A' et FA* de Thyperbole primitive, autour de son axe réel COF.

87. PARABOLOIDE elliptique. Maintenant, adoptons pour directrice fixe une parabole D'^OA'' (fig. 87 ), en faisant mouvoir perpendiculairement à son axe OX une ellipse A'B'Ey, dont le premier axe 0'A'= a' soit l'ordonnée variable de cette parabole, et dont le second O'B' = 6' ait d'abord une grandeur arbitraire, mais conserve toujours avec le premier un rapport constant. Dans ce mouvement, l'ellipse mobile engendrera une surface composée d'une seule nappe indéfinie dans le sens OX, et qui se nomme le paraboloïde elliptique, parce que toutes les sections planes qu'on y peut tracer ne sont jamais que des paraboles ou des ellipses (**).

( * ) L'équation de Thyperboloïde à deux nappes , rapporté à ses axes , en prenant celui qui est réel pour Taxe des z , serait

i'-.-^ — f! — c» ù' fl' "" ' *

( ** ) L'équation de ce paraboloïde, rapporté à son sommet et à Taxe unique OX comme axe des x, est