CHAPITRE I. — GJSNÉRATION DES SURFACES, ETC

88. liorsque les deux axes de Tellipse génératrice sont égaux, la surface devient de révolution (n*^ 78), et alors elle pourrait être engendrée par le mouvement de la parabole OA'A% tournant autour de OX.

89. VABABOLOÏDE hyperbolique. En&Uy tout en gardant pour directrice la parabole jy'OA!^ {fig. 38), rempla^ns. Tèllipse génératrice qui nous avait servi jusqu'à présent, par une hyperbole. IX H', A' G', construite dans un plan perpendiculaire à OX, et. sur deux demi-axes O'A', 0'B',.dont le rapport restera constant, tandis que le premier, qui est Taxe réel de cette hyperbole, deviendra successivement égal fiux diverses ordonnées O' A', 0"A",..., de la parabole fixe. L'hyperbole mobile, en se mouvant ainsi parallèlement à elle-même, décrira d'abord deux nappes ouvertes à droite et à gauche, séparées par le vide intérieur du cylindre iyOA'\et qui s'étendront indéfiniment, comme cette parabole, dans le sens O'X. Mais si nous faisons mouvoir l'hyperbole mobile de C vers le point V, son axe réel O'A' diminuera, et deviendra nul en O; par conséquent les deux nappes dont nous venons de parler s'y réuniropt, et en même temps l'hyperbole se réduira, pour cette position, à deux droites indéfinies KO A, LO/, qui seront tout entières sur la surface, et parallèles aux asymptotes de toutes les hyperboles précédentes.

Au-dessus du point O, en O*' par exemple, rhypeii>ole génératrice reparaîtra, mais dans une situation inverse H''B*'G'^, par rapport à ses asymptotes. En effet, les axes que nous avons représentés graphiquement par O' A' et O'B', devaient être, à la rigueur exprimés par

a'=:0'A', 6'=0'BV^^Î

donc, puisqu'en CT l'ordonnée de la parabole est iniaginaire, et qu'ainsi le premier axe de l'hyperbole mobile devient a"' =0"' A*, v'— i, il faut bien que le second axe, pour conserver avec l'autre un rapport constant, prenne la forme

b =fl -^-O A .^7X/'

quantité réelle, représentée sur la figure par O'^B'*. Ceci montre qu'au-dessus de O, l'axe réel O'B*' de Thyperbole génératrice se trouvera dirigé perpendiculairement au plan A'OD'; et les deux branches de cette courbe décriront encore deux nappes indéfinies, placées l'une en avant de ce plan, l'autre en arrière, mais qui, réunies avec les précédentes par ^es droites KO A, LO/, ne présenteront daj>8 leur ensemble qu'une seule surface non interrompue, dont les courbures seront de sens opposés, à peu près comme cela arrive dans la gorge d'une poulie. On a donné à la surface qui nous occupe le nom de paraboldide hjperboliqae^ parce que l'analyse apprend que toutes les sections planes que l'on peut y tracer, ne sont jamais que despara^-

holes ou des hyperboles^ parmi lesquelles il faut comprendre les cas particuliers où cette section se trouve une droite isolée, ou bien deux droites qui se coupent (*).

90. Il importe d'observer ici que le paraboloîde hyperbolique ne saurait jamais être de révolution ; car, d'après ce que nous venons de dire sur la nature des sections planes, aucune de ces courbes n'est jamais fermée, et par conséquent ne peut être circulaire.

91. La manière dont nous venons d'indiquer la formation du paraboloîde hyperbolique offre, à la vérité, une sorte de discontinuité graphique, puisque audessus du point O, la parabole qui servait de directince devient imaginaire; mais, comme l'analyse explique aisément cette difficulté, nous avons préféré conserver ce mode de«génération, parce qu'il présente plus d'analogie avec les surfaces précédentes, justifie mieux les dénominations imposées aux deux paraboloïdes, et manifeste clairement l'existence des deux droites OLet OK situées sur le second. Néanmoins nous citerons encore un autre mode de génération, tout à fait continu, et commun à ces deux paraboloïdes.

Sur le même axe OX [fig. 37), et dans des plans perpendiculaires, construisez deux paraboles kl^OW et B*'OE*' qui aient le même sommet, des paramètres quelconques, et leurs concavités tournées dans le même sens; puis faites glisser Tune des deux parallèlement à elle-même (n^ 73), sans altérer sa forme, mais de manière que son sommet reste constamment sur l'autre parabole fixe : vous obtiendrez ainsi le paraboloîde elliptique.

Prenez deux paraboles A"OD", B'^OE"' {Jig. 38) construites comme ci-dessus, mais ayant leurs concavités tournées en sens contraire; puis faites encore glisser, parallèlement à elle-même, la courbe A'OD" constante de forme, et de manière que son sommet parcoure l'autre parabole fixe : vous produirez ainsi \q paraboloîde hyperbolique (voyez Analyse appliquée^ chap. VIII).

92. Pour compléter la connaissance des lieux géométriques employés le plus fréquemment, il nous resterait à parler des surfaces disveloppables et Ae& surfaces gauches; mais, outre que les propriétés caractéristiques de ces deux classes de surfaces ne peuvent être bien nettement comprises qu'après avoir vu les plans

(*) Pour bien lire la fig, 38, on devra se rappeler que nous la supposons tracée sur le plan vertical D'^OA'^ comme tableau de perspective; ainsi toutes les W^nes ponctuées iouï derrière ce plan. Après tout, comme il est assez difficile de donner une idée nette de la forme de ce paraboloîde par un dessin en perspective , on fera bien de consulter un modèle en relief qui peut se construire aisément au moyen de simples fils tendus en ligne droite suivant une certaine loi ; voyez les n^** tf ^1$, tfOG et la fig. 120. Quant à Téquationdu paraboloîde hyperbolique, rapporté au sommet O pour origine des coordonnées , et à l'axe OX comme axe des x, elle est