DES PLANS TANGENTS AUX CYLINDRES ET AUX CONES

109. Par un point donné sur la surface d'un cylindre quelconque, on propose de lui mener un plan tangent.

Soit AECG (Jig. 89) la directrice du cylindre, que nous supposons située dans le plan horizontal, et quoique cette ligne se trouve ici un cercle, la méthode sera générale et applicable à toute autre courbe; soit aussi {ah, a'b') la droite à laquelle la génératrice rectiligne doit rester constamment parallèle, en glissant sur AECG. Nous commencerons par déterminer le contour apparent de la surface qui, sur le plan horizontal, sera donné (n^ 106) par les points de contact de tous les plans tangents verticaux. Or chaque plan de ce genre renfermera une arête (*) i\n cylindre, et aura pour trace horizontale la projection même de cette droite, c'est-

(*) Quelquefois, pour simplifier le langage, nous appellerons arêtes d'un cylindre ou d*un cône, les diverses positions de la génératrice rectiligne ; mais il ne faut jamais donner à ces droites le nom ^éléments y car les éléments d'une grandeur doivent toujours être homogènes avec elle : ainsi les éléments d'une surface sont d'autres petites surfaces dont la somme compose la surface en question. D'ailleurs, nous aurons besoin plus tard (n'^liJB) d'employer ce moi d'é/ément dans sa véritable acception , et alors il résulterait de ce double sens une confusion d'idées trcs-nuîsiblc dans la théorie des surfaces gauches. Nous emploierons aussi quelquefois le nom de base pour désigner la directrice d*un cylindre ou d'un cône, surtout quand cette courbe se trouvera située dans le plan horizontal.

à-dire une parallèle k ab; de plus, ce plan touchera le cylindre tout le long de cette génératrice (n*' 99), et par conséquent sa trace devra être tangente à la base AECG. Donc, si l'on mène à cette courbe les tangentes AB et CD parallèles à a6, ce seront les traces de deux plans tangents verticaux qui toucheront le cylindre suivant les génératrices projetées horizontalement sur AB et CD; et conséqueininent les projections verticales de ces génératrices seront les droites A'B' et CD' menées parallèlement à a'b\ Ainsi, les deux lignes (AB, A'B') et (CD, CD') formeront le contour apparent du cylindre sur le plan horizontal; et toute arête de cette surface qui sera au-dessous de ces droites, c'est-à-dire qui aboutira sur le demi-cercle AGC, sera invisible en projection horizontale.

Quant au contour apparent sur le plan vertical, il sera fourni (n** 106) par les plans tangents qui seront perpendiculaires à ce plan de projection ; leurs traces horizontales devront donc être perpendiculaires à la ligne de terre^ et comme ci-dessus tangentes à la base AECG; par conséquent ces traces seront EE' et GG'- Ensuite, comme ces plans toucheront nécessairement le cylindre suivant le^ génératrices qui aboutissent aux points de contact E et G, et qui sont évidemment projetées sur (EF, E'F') et (GH, G' H'), il s'ensuit que ces deux génératrices formeront le contour apparent de la surface sur le plan vertical ; de sorte que toute arête qui se trouvera en arrière de ces droites, on qui aboutira sur le demi-cercle EAG, sera invisible en projection verticale.

HO. Maintenant, résolvons le problème proposé, eu supposant que M soit la projection horizontale du point donné; et puisqu'il doit être sur la surface, il ne faudra pas choisir arbitrairement la seconde projection de ce point, car celle-ci va résulter de la première. En effet, par le point en question sur le cylindre, il passe nécessairement une génératrice qui sera projetée horizontalement suivant ML parallèle k ab; or ML allant rencontrer la base du cylindre en L, ce point doit être la trace horizontale de cette génératrice, dont la projection verticale sera par conséquent L'K' parallèle à a'6'; ainsi, c'est sur cette droite L'R' qu'il faut rapporter le point M par une perpendiculaire à la ligne de terre, pour obtenir la seconde projection M' du point assigné sur le cylindre.

Cependant il existe ici une autre solution; car la droite ML allant couper la base en deux points L et V, on peut dire que V est la trace d'une autre arête projetée également sur MV, mais dont la projection verticale serait V'K"; de sorte que si l'on rapporte le point M sur cette dernière droite en M", il y aura sur le cylindre un second point (M, M") qui sera, comme le premier (M, M') projeté horizontalement en M.

111. Cela posé, construisons le plan tangent pour le point (M, M') (fig. 3g), Ce plan renfermera la génératrice (ML, M'L'), et par conséquent sa trace passera par le pied L de cette droite; puis, comme il doit toucher le cylindre tout le long de