CHAPITRE III. — PLANS TANGENTS AUX CYLINDRES ET AUX CONES
cette génératrice (n^ 99), il contiendra nécessairement la tangente de la base au point L, c est-à-dire la ligne LQ, qui sera précisément la trace horizontale du plan demandé. Pour obtenir l'autre trace, on cherchera le point K' où la droite (ML, ML') contenue dans ce plan, va percer le plan vertical, et QK' sera la trace verticale du plan tangent. Mais s'il arrive, comme dans notre épure, que la trace PQ aille couper la ligne de terre à une distance trop considérable, on imaginera par le . point (M, M'), uûc droite auxiliaire qui soit parallèle à la trace horizontale LQ, et dont les projections seront évidemment MX parallèle à QL, et M'X' parallèle à la ligne de terre ; puis, en construisant le point X' où cette auxiliaire va percer le plan vertical, ce point devra appartenir encore à la trace verticale du plan tangent, laquelle sera X'K'. Dans tous les cas, ce moyen est bon à employer comme vérification.
Quant au plan tangent relatif au point (M, M"), on observera que la génératrice de contact est ici projetée sur MV, M" V ; donc, en menant par le pied V de cette droite une tangente VS à la base du cylindre, ce sera la trace horizontale de ce nouveau plan tangent. La trace verticale SK'' se déterminera, comme ci-dessus, en cherchant le point K" où la génératrice de contact va percer le plan vertical ; ou bien, on aura recours encore à l'horizontale (MY, M" Y'), qui fournira un troisième point Y' de cette trace.
112. Observons d ailleurs que les deux plans tangents PQR' et PSR% que nous venons de construire, renferment deux génératrices du cylindre qui sont parallèles entre elles; donc ces plans ne pourront se couper que suivant une droite parallèle à ces génératrices. Par conséquent, si l'on construit comme au n® 27 l'intersection (PR, P'R') de ces deux plans, cette droite devra se trouver exactement parallèle à (a6, afb')^ ce qui fournira une nouvelle vérification des opérations graphiques antérieures.
113. D'après les motifs exposés n® 108^ nous nous sommes proposé, dans l'épure actuelle, de construire seulement les traces des plans tangents, sans regarder ceux-ci comme réellement existants; mais, puisque ces traces subsistent, il faudra ponctuer les parties de ces lignes qui se trouvent cachées par la projection du cylindre sur le plan horizontal et sur le plan vertical. Quant aux diverses arêtes du cylindre, nous aurions pu pointiller celles d'entre elles qui nous avaient servi de lignes auxiliaires pour arriver aux plans tangents; mais nous avons préféré de regarder toutes ces droites comme autant de génératrices réellement existantes, et dont l'ensemble accuse mieux la forme de la surface; dès lors elles ont dû être marquées par un trait plein ou ponctué, selon qu'elles étaient visibles ou invisibles; distinction qui s'effectuera d'après les règles énoncées aux n*'* 107 et 109.
114. Si l'on veut construire la courbe suivant laquelle le cylindre va pénétrer le plan vertical, il suffira de chercher les traces des diverses génératrices de cette
4« édu, 8
surface, et l'on obtiendra ainsi la ligne F'K'D'H'R''B' qui, dans l'exemple actuel, sera une ellipse; elle devra toucher aux points K', K", les traces des deux plans tangents, puisque ceux-ci renferment (n** 99) les tangentes à toutes les courbes situées sur le cylindi^, et menées par les divers points de leur arête de contact. Pour obtenir les points le plus haut et te plus bas de la courbe F'K'D'H'..., il suffira de construire les deux génératrices qui répondent aux points de la base T et t dans lesquels la tangente est parallèle à la ligne de terre. Car, pour chacune de ces génératrices, par exemple (TU, T'U'), le plan tangent correspondant coupera le plan vertical suivant une droite nécessairement parallèle à cette ligne de terre, et conséquemment horizontale; d' ailleurs cette intersection devant toucher évidemment la courbe F'K'iyH'..., il s'ensuit que le point U' est bien celui où ta tangente est horizontale. Observons, en outre, que cette conséquence est vraie pour un cylindre quelconque, quand même sa base serait toute autre courbe qu'un cercle.
115. Cas ou la directrice est une courbe donnée dans l'espace, et définie par ses deux projections que nous désignerons par x et y, sans tracer la figure. Pour résoudre le problème directement, on pourrait, comme au n** 110, mener par le point M, et parallèlement à aby une droite qui rencontrerait la courbe x en un point L; puis, en projetant sur x' ce point L en L', on tirerait par ce dernier une parallèle à a' 6% sur laquelle on projetterait le point M en M', ce qui achèverait la détermination du point de contact. Ensuite, on construirait la tangente de ki directrice pour le point (L, L'), et l'on ferait passer le plan tangent par cette tangente et par la génératrice (LM, L'M'). Mais il est ordinairement plus simple de mener par divers points de la directrice (:c, x') des parallèles à la droite (a6, a'b'); et en cherchant les traces horizontales de toutes ces génératrices, on obtient des points assez rapprochés pour pouvoir être réunis par un trait continu, ce qui fournit la base AELG du cylindre sur le plan horizontal, et nous ramène aux données de la fig. Sg.
116. Mener un plan tangent à un cylindi^ par un point donné hors de cette surface. Conservons pour le cylindre les mêmes données que précédemment, et soit
(N, W) {fig. 39) le point assigné dans l'espace; nous mènerons par ce point, et parallèlement aux génératrices, une droite (NP, N'F) qui devra évidemment se trouver contenue tout entière dans le plan tangent cherché, puisque celui-ci, quel qu'il soit, renfermera une arête du cylindre. Donc, en construisant la trace horizontale P de cette droite, on obtiendra un point de la trace du plan demandé; et celle-ci devant toucher la base du cylindre (n** 99), sera l'une des tangentes PLQ et PVS que Ton peut mener à cette base par le point P. Il y aura donc deux plans qui résoudront le problème, et leurs traces verticales s'obtiendront aisément, puisque chacun de ces plans renfermera la droite (PN, P'N') et l'arête qui part du point de contact L ou V (*). D'ailleurs on pourrait aussi, comme au n^ 111, imaginer
(*) Il arrive ici que les points de contact L et V sont sur une même parallèle à la droite al;, parce
CILVPITRE III. — PLANS TANGENTS AUX CYLINORKS ET AUX CONES. §9
par le point donné (N, N') une horizontale située clans l'un ou l'autre des plans tangents, et construire la trace verticale de cette droite.
117. Trouver un plan qui soit tangent à un cylindre^ et parallèle à une droite donnée. Soient AECG {fig. 4o) la base du cylindre sur le plan horizontal, et (EF, E' F') une
des génératrices : on construira le contour apparent de cette surface sur les deux plans fixes comme au n® 109; puis, si Ton représente par (m/*, m'n') la droite donnée, il faudra, par un point de cette ligne, mener une parallèle (ma, ni! a*) aux génératrices du cylindre, et faire passer un plan par ces deux droites. Ce plan, qui aura pour trace horizontale a/j, devra se trouver parallèle au plan tangent cherché, puisque ce dernier renferme une arête du cylindre, et se trouve ainsi parallèle aux deux droites projetées sur ma et mn\ donc la trace de ce plan tangent sera l'une des deux tangentes PQ ou TS menées à la base parallèlement à an. Par conséquent, il y aura encore deux solutions, et les traces verticales QR', SV s'obtiendront facilement au moyen des arêtes de contact qui seront (PR, P'R') pour Tun des plans, et (TV, T'V) pour l'autre. Ici les deux plans tangents seront évidemment parallèles entre eux, et, par suite, leurs traces verticales devront aussi se trouver parallèles Tune à l'autre.
118. Observons, en terminant ces problèmes sur les cylindres, qu'on ne pourrait pas exiger qu'un plan fût tangent à une telle surface et passât en même tenips par une droite donnée* Car, par cela seul qu'un plan touche un cylindre en un point, il est, comme on l'a vu n^ 99, nécessairement tangent tout le long de la génératrice qui passe par ce point; de sorte que cette première condition en renferme implicitement deux, d'après lesquelles le plan cherché doit jouir du contact en deux points de la surface : puis, si l'on y joint l'obligation de passer encore par une droite ou par deux points donnés en dehors, cela formera quatre conditions distinctes, tandis que trois suffisent pour déterminer la position d'im plan. Cependant, si la droite donnée était parallèle aux arêtes du cylindre, cela reviendrait à n'assigner qu'un seul point extérieur, et le problème rentrerait dans celui du n^llG.
119. Par un point donné sur une surface conique, on propose de lui mener un plan tangent.
Soient ACBD {fig. 4i) la courbe directrice que nous supposons située dans le plan horizontal, et (S, S') le sommet du cône; nous commencerons par déterminer le contour apparent de cette surface sur le plan horizontal, en cherchant (n^ 106) tous les plans tangents qui peuvent être verticaux^ Or, un tel plan ayant pour trace horizontale la projection même de la génératrice qu'il renferme, celte trace passera par le point S; puis, comme elle doit toucher la base, attendu qu'ici encore
que nous avons voulu faire servir la figure du problème précédent; mais lorsqu'on prendra le point (Tï, N') tout à fait arbitrairement, cette circonstance n^aura pas lieu en général, et du reste cela ne changera rien aux raisonnements qui nous ont servi à résoudre le problème actuel.
6o LIVRE II. — DES SURFACES ET DES PLANS TANGENTS.
le contact du plan tangent a lieu (n** 100) tout le long d'une génératrice, on en conclura que les tangentes SA et SB, menées du point S, sont les traces des plans tangents verticaux, et que ceux-ci touchent le cône suivant les deux arêtes (S A, S'A') et (SB, S'B'), lesquelles forment le contour apparent de la surface conique relativement au plan horizontal. De sorte que toute génératrice qui sera au-dessous de celles-là, c'est-à-dire qui aboutira dans la portion ADB de la base, se trouvera invisible sur le plan horizontal.
Quant au contour apparent sur le plan vertical, il sera donné par les plans tangents au cône qui se trouveront perpendiculaires à ce plan de projection (n** 106); ainsi les traces horizontales de ces plans, devant être perpendiculaires à la ligne de terre et tangentes (n<> 100) à la base ACBD, seront les droites CC et DD'. Quant aux traces verticales, elles passeront nécessairement par la projection S' du sommet, et seront les droites C'S' et D'S'. D'ailleurs, puisque ces plans toucheront évidemment le cône suivant les génératrices (CS, C'S') et (DS, D'S'), il s'ensuit que ces deux droites formeront le contour apparent de la surface projetée sur le plan vertical ; et, par conséquent, toute arête qui se trouvera en arrière de ces droites, ou qui aboutira dans la portion CAD de la base, sera invisible en projection verticale.
120. Revenons maintenant au problème primitif, et supposons que M soit la projection horizontale du point donné. L'autre projection ne doit pas être prise arbitrairement; car, puisque le point en question appartient à la surface, il doit se trouver sur une certaine génératrice qui ne peut être projetée horizontalement que suivant SM : cette droite aura donc pour )race horizontale le point E ou le point G, et dès lors sa projection verticale sera S'E' ou S' G'. Donc, si l'on y rapporte la projection M par une perpendiculaire à la ligne de terre, on obtiendra pour le point assigné les deux solutions (M, M') et (M, M").
121. {Fig. 4i') Cela posé, construisons le plan tangent pour le premier de ces deux points. Ce plan renfermera la génératrice (SE, S'E') et touchera le cône tout le long de cette droite (n° 100); par conséquent, il aura pour trace horizontale la tangente PEQ de la base. Quant à sa trace verticale, elle devra passer par le point (F, F') où l'arête de contact va percer le plan vertical, et par le point Q où la trace PE irait couper la ligne de terre : mais comme ce point Q se trouve ici hors du cadre, on y suppléera en imaginant, par le point (M, M') et dans le plan tan^ gent cherché, une horizontale (MX, M'X') qui va percer le plan vertical en X% et fournit ainsi un nouveau point de la trace demandée QX'F'.
De même, pour le point (M, M"') l'arête de contact étant (SG, S' G'), la tangente GV sera la trace horizontale du plan tangent actuel; et sa trace verticale VF*' se déterminera en cherchant le point F'' où l'arête de contact (GS, G'S') va percer le plan vertical : ou bien, comme précédemment, on se servira d'une horizontale (MY^ M"^ Y') située dans le plan tangent qui nous occupe.
