CHAPITRE 111. — PL/VISS TANGENTS AUX CYLINDRES ET AUX CONES. 6l

122. Observons ici que les deux plans tangents que nous venons de déterminer, renfermant chacun une génératrice du cône, passeront tous les deux par le sommet (S, S'); d'où il résulte que si l'on construit (n° 27} leur intersection qui est projetée suivant PR et P'R', il devra arriver que la première de ces lignes passe par S et l'autre par S', ce qui fournira une vérification des constructions antérieures. D'ailleurs les traces verticales devront toucher en F' et F" la courbe suivant laquelle le cône est coupé par le plan vertical, courbe qui se construira en cherchant les points où les diverses génératrices vont percer ce plan de projection.

123. Mener un plan tangent à une surface conique, par nn point donné au dehors, [Fig, 42.) Soient encore ABC la base du cône et (S, S') le sommet; on déterminera, comme ci-dessus, le contour apparent de la surface sur chacun des plans fixes, et nous représenterons par (N, N') le point assigné dans l'espace. Le plan tangent que l'on cherche, devant contenir une génératrice, passera par le sommet (S,.S'), et, par suite, il renfermera la droite (SN, S'N'); donc, en cherchant le pied (P, P') de cette droite, et en menant à la base les tangentes PEQ, PGV, ce seront les traces horizontales des deux plan» tangents qui satisfont à la question. Quant aux traces verticales, on les déterminera par le moyen de la droite (SN, S'N') contenue dans les deux plans, ou bien par le secours des arêtes de contact de ces plans, lesquelles sont évidemment (SE, S'E') et (SG, S' G'). On pourrait encore employer ime horizontale auxiliaire menée dans chaque plan par le point (N, N'), comme nous Tavons déjà fait plusieurs fois.

124. Trouver un plan qui soit tangent à un cône y et parallèle à une droite donnée.

[Fig. 42.) Conservons les mêmes données que précédemment, et soit {mn^ m'n') la droite à laquelle le plan tangent doit être parallèle. Comme ce plan passera nécessairement par le sommet, si nous menons de ce point et parallèlement à (mn, m'n') la droite (SP, S'P'), cette dernière sera évidemment contenue dans le plan demandé; par conséquent, la trace (P, P') de cette droite appartiendra à la trace horizontale du plan tangent, laquelle sera l'une des deux tangentes PEQ, PGV menées à la base, il y aura donc encore deux solutions, et les traces verticales de ces plans se détermineront comme au numéro précédent.

125. Puisque tout plan qui est tangent à une surface conique dans un point, touche nécessairement cette même surface tout le long d'une droite (n® 400), la remarque faite au n** 118 s'applique ici; et il en résulte qu'on ne saurait exiger qu'un plan soit tangent à un cône, et passe en même temps par une droite ou par

• deux points donnés; à moins que la droite qui réunirait ces deux points ne passât elle-même par le sommet, car alors cela reviendrait à n'assigner qu'un seul point extérieur, comme au n? 123.

En terminant ce chapitre, nous ajouterons quelques problèmes dont nous indi-

6a LIVRE II. — DES SURFACES ET DES PLANS TANGENTS.

querons seulement les moyens de solution, en invitant le lecteur à s'exercer au tracé de ces épures.

126. Par une droite donnée, menet^ un plan qui fasse, avec, le plan horizontal, un angle déterminé a. D'un point quelconque de la droite on abaissera sur le plan horizontal une perpendiculaire et une oblique, en dirigeant celle-ci parallèlement au plan vertical, et de manière que sa projection sur ce dernier plan forme l'angle a avec la ligne de terre. Alors, en imaginant que cette oblique tourne autour de la verticale, elle décrira im cône droit dont la trace horizontale sera un cercle bien facile à déterminer, et dont toutes les arêtes se trouveront aussi inclinées sur l'horizon d'une quantité angulaire a; par conséquent, si l'on mène à ce cône un plan tangent passant par la droite donnée, ce qui rentre ici dans le problème du n** 123, on obtiendra évidemment un plan qui satisfera aux conditions assignées par la question.

127. Mener à un cylindre donné, un plan tangent dont VincUnaison sur le plan horizontal soit a. On construira, comme dans le problème précédent, un cône de révolution dont les arêtes fassent l'angle a avec le plan horizontal; puis, en tirant par le sommet une droite parallèle aux génératrices du cylindre, et faisant passer par cette droite un plan tangent au cône (n® 123), il restera à mener au cylindre iHi plan tangent parallèle à celui-là, problème qui se résoudra, comme au n*' 117, en menant à la base du cylindre une tangente parallèle à la trace horizontale du plan qui touchait le cône. On sent bien que le problème deviendra impossible, lorsque la parallèle menée par la sommet du cône auxiKaire aboutira dans l'intérieur de sa base.

Si l'on proposait la même question pour un cône défini par une base quelconque, il faudrait modifier la solution en prenant pour sommet du cône de révolution le point même qui sert de sommet à la surface conique assignée par le problème; ensuite, on devrait mener une tangente commune aux bases de ces deux cônes, et ce serait la trace horizontale du plan demandé.

128. Par un point donné, mener une droite qui soit tangente à une surface conique (d parallèle à un plan donné.

Mener à un cône ou à un cylindre un plan tangent qui soit perpendiculaire à un plan donné.

Étant données les deux projections de taxe d'un cylindre de révolution, avec la grandeur de son rayon ^ trouver sa trace horizontale et son contour apparent.