DE CONTACT EST DONNÉ

129. {Fig. 43.) Puisque par chaque point M pris sur une surface de révolution (n*^ 7S), il passe toujours un méridien AMD et un parallèle FMG, si l'on construit les tangentes MT et MV à ces coiu'bes, et que l'on mène un plan par ces deux droites, ce sera (n^l03) le plan tangent de la surface en M. Or la tangente MV, située dans le plan du cercle FMG, est évidemment perpendiculaire à la fois au rayon MO et à Taxe AO; donc elle l'est aj^ssi au plan méridien AOM, et par suite le plan tangent qui contiendra MV sera lui-même perpendiculaire sur ce méridien. Cette conséquence étant indépendante de la nature de la courbe AMD et de la position du point M, il- en résulte ce théorème remarquable ; Dans toute surface de révolution^ le plan tangent est perpendiculaire au plan méridien qui passe par te point de contact,

130. En menant au point M une normale MN à la surface, cette droite, perpendiculaire au plan tangent, se trouvera nécessairement renfermée dans le plan méridien AMD; donc, dans toute surface de révolution, la normale va rencontrer l'axe.

De plus, cette rencontre se fait au même point, pour toutes les normales MN, PN, FjN,..., qui répondent à un même parallèle. En effet, lorsque le plan méridien AMD tourne autour de Taxe, en entraînant avec lui les droites MN et MT, la première ne cesse pas d'être perpendiculaire à l'autre; en outre, cette droite mobile MN, toujours renfermée dans le plan méridien, se trouve, comme celui-ci (n® 129), perpendiculaire successivement à chaque tangente MV du parallèle; donc MN est bien perpendiculaire à deux tangentes, et par conséquent normale à la surface, dans toutes les positions qu'elle occupe en tournant autour de l'axe AD. D'ailleurs, puisque dans ce mouvement le point N de la normale MN reste immobile, il en résulte que toutes les normales menées le long d'un même parallèle foiifnent toujours un cône droit dont le sommet est sur l'axe : mais ce sommet change en passant d'un parallèle à un autre.

Après avoir fait remarquer ces propriétés générales et communes à toutes les surfaces de révolution, nous allons nous occuper de la construction du plan tangent.

131. Par un point donné sur une surface de révolution dont le méridien est connu , mener un plan qui soit tangent à cette surface,

{Fig. 44) Pour simplifier les constructions, choisissons notre plan horizontal de manière qu'il soit perpendiculaire à l'axe de révolution : alors celte droite se trouvant verticale, elle sera projetée horizontalement en un point O, et verticalement suivant la droite O'Z' perpendiculaire à la ligne de terre. Soit d'ailleurs A'B'D' la projection du méridien principal, c'est-à-dire de celui qui est parallèle au plan

vertical, et qui se trouve projeté horizontalement sur OB parallèle à la ligne de terre : ici ce méridien est une ellipse dont un des diamètres ppncipaux coïncide avec l'axe de rotation, et par suite la surface sera un ellipsoïde de révolution (n° 79); mais les raisonnements et les constructions seraient entièrement so.mblables pour toute autre courbe méridienne. Le plus grand des parallèles, ou bien ièquateur de la surface, est évidemment le cercle décrit par le demi-axe C'B', lequel se projette horizontalement sur un cercle BKE égal au premier, et forme le contour apparent de la surface relativement au plan horizontal (n** 106); en effet, tout le long de Téquateur (B'E', BKE) les plans tangents seront verticaux, puisque chacun renfermera la tangente du méridien, laquelle est une verticale comme B'B. Quant au contour apparent de la surface par rajJJ)ort au plan vertical, ce sera le méridien principal (A'B'D'E', BE); car ce contour doit être formé (n** 106) par les points de contact de tous les plans tangents perpendiculaires au plan vertical : or les plans tangents le long de cette courbe méridienne sont (n^ 129) tous perpendiculaires à son plan, et par suite au plan vertical de projection. Nous n'ajouterons pas ici d'autres positions de la génératrice pour figurer (n*' 93) la forme de la surface, parce qu'elle est suffisamment indiquée par ce qui précède; mais nous verrons cependant plus loin (n® 137) la manière de construire les projections d'autant de courbes méridiennes que l'on voudrait en tracer.

132. Cela posé, soit M la projection horizontale du point donné sur la surface; il ne faudra pas prendre arbitrairement la seconde projection de ce point, puisqu'il doit être situé à la rencontre de la verticale M avec le méridien projeté suivant OK. Or, si l'on fait tourner celui-ci autour de Taxe (O, CXZ'), jusqu'à ce qu'il coïncide avec le méridien principal OB, il se trouvera alors projeté verticalement suivant A'B'D', et comme, par suite de ce déplacement, la projection M aura décrit Tare MG, on en conclura que la projection verticale du point cherché se trouve actuellement en G' ou en G". Maintenant si l'on ramène le méridien mobile dans la position OK, le point en question, qui pendant ce mouvement ne changera pas de hauteur, restera projeté verticalement sur l'horizontale G' F' ou G" F"; d'où il suit évidemment que, dans sa position primitive, il était projeté verticalement en M' ou en M''; ainsi, il y a sur la surface deux points (M, M') et (M, M") qui sont l'un et l'autre projetés horizontalement en M.

133. {Fig. 440 Considérons le premier (M, M') de ces points, et pour déterminer le plan tangent qui s'y rapporte, nous l'assujettirons (n** 103) à passer par deux tangentes de la surface, savoir : la tangente au méridien et la tangente au parallèle; mais, comme la projection de la courbe méridienne relative au point (M, M') n'est pas donnée immédiatement, et qu'ainsi nous ne pouvons pas lui mener directement une tangente, nous rabattrons encore le plan vertical OMK sur le méridien principal OB. Par là le point (M, M') sera transporté en (G, G'), et il