CHAPITRE IV, — PLANS TANGENTS AUX SURFACES DE RÉVOLUTION

sera facile alors de construire la tangente G' H' qui viendra percer le plan horizontal au point H sur OB : puis, si l'on ramène le méridien mobile dans la position OMK, le pied H de cette tangente décrira évidemment un arc de cercle terminé en T, tandis que le point de contact G' reviendra en M'; donc, en projetant le point T sur la ligne de terre, on obtiendra M'T', et MT pour les projections de la tangente au méridien qui passe par le point (M, M'). Observons d'ailleurs que cette tangente prolongée doit rencontrer l'axe de la surface, au même point Z' où aboutissait la droite G' H'.

Quant au parallèle relatif à ce point (M, M'), il est évidemment projeté sur le cercle GMF et sur G' F'; par conséquent, sa tangente est Thorizontale (MV, M'V) perpendiculaire au plan méridien OMK. Maintenant, le plan qui renfermera les deux tangentes ainsi déterminées, aura pour trace horizontale une droite TU passant par le pied T de la première tangente, et menée parallèlement à MV qui est une horizontale contenue dans ce plan tangent ; puis, on aura la trace verticale UW' de ce même plan, en construisant le point V où la droite (MV, M' V) va percer le plan vertical.

Le plan tangent relatif au point (M, M'') s'obtiendra d'une manière analogue, en rabattant d'abord le point M'^ en G'' sur le méridien principal, et menant à celui-ci la tangente G^U. Ensuite le pied (L, U) de cette droite étant ramené dans le méridien OK, viendra en R; et comme la tangente au parallèle est ici (MV, M"V"), les traces du plan tangent seront RS parallèle à MV, et SV".

154. Il est bon de remarquer que, d'après la direction de la tangente MV au parallèle, chaque plan tangent à une surface de révolution aura toujours sa trace horizontale perpendiculaire à celle du plan méridien qui passe par le point de contact, du moins tant que l'axe de la surface sera vertical.

155. Observons encore que les deux plans tangents en (M, M') et (M, M"), ayant leurs traces TU et RS parallèles, devront se couper suivant une horizontale; et, par suite de la symétrie de la surface actuelle, cette horizontale sera située dans le plan de Téquateur E'B'. En effet, comme les tangentes G'H' et G"L' à Tellipse méridienne se rencontraient nécessairement en un point a' situé sur l'axe de cette ellipse, ce point transporté en & dans le méridien OK avec les deux tangentes, leur sera toujours commun, et restera dans le plan de l'équateur E'B': donc rhorizontale, qui est l'intersection des deux plans tangents, passera par le point 6'; et c'est aussi pour cette raison que les traces verticales de ces plans doivent se couper en un point P' situé sur la droite E'B'S' prolongée.

156. {Fig. 44) Pour obtenir la normale de la surface de révolution au point (M, M'), on se rappellera (n**150) que toutes les normales, le long d'un même parallèle, vont couper l'axe au même point, et que d'ailleurs chacune est renfermée dans Le plan méridien qui passe par le point de contact. Ainsi, après avoir

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rabattu sur le méridien principal le point M^ en G^ on tirera par ce dernier une droite G'N' perpendiculaire à la tangente G' H'; puis, en joignant le pied N' de cette normale avec le point donné M', on obtiendra la normale N'M' relative à ce dernier point. C'est là du moins sa projection verticale; et quant à sa projection horizontale, elle tombe évidemment sur OM,

Observons ici que cette normale étant perpendiculaire au plan tangent TUy% les traces de ce dernier devront se trouver (n® 55) respectivement perpendiculaires aux droites OM et N'M'y'; ce qui offrira une vérification des constructions déjà effectuées pour le plan tangent, ou même, si Ton veut, un moyen de trouver à priori ses traces, puisque alors il s'agirait de mener par un point connu (M, M') un plan perpendiculaire à la droite (MO, M'N'). Voyez n® 56.

157. On a vu (n*' 152) qu'il était facile, en partant de la projection horizontale M d'un point de la surface, de conclure la projection verticale M' ou M"": si donc on applique le même procédé à divers points K, M, Q^...^ pris dans le plan méridien OK, on pourra ainsi construire la projection verticale de la courbe méridienne renfermée dans ce plan, et cette courbe devra être tangente aux droites Tim et R'M''; puis, en répétant la même opération pour d'autres plans méridiens que OK, on obtiendrait autant de positions que l'on voudrait de l'ellipse mobile A'B'D', ce qui servirait à compléter la représentation graphique delà surface.

C'est aussi par des opérations analogues, qu'étant données les projections d'une génératrice quelconque d'une surface de révolution, on en conclurait facilement le méridien principal, ou toute autre section méridienne. On pourra se proposer, comme exemple, le cas où cette génératrice est une droite qui ne rencontre pas taxe; et alors on trouvera que la méridienne est une hyperbole^ ainsi que nous le verrons plus loin (n*^ 148).

158. {Fig. 45.) Du plan tangent au TORE. Si l'on fait tourner un cercle (A'B'C'B", ABC) autour d'une droite (0"Z', O) qui ne passe point par son centre, mais qui est située dans son plan, ce méridien circulaire engendrera une espèce de surface annulaire^ nommée un tore, dont tous le points seront projetés horizontalement entre Yéquateur décrit avec le rayon OC = O'C, et le cercle de gorge décrit par le rayon OA = O'A' : mais il faut bien remarquer que les deux demicercles B'C'B'' et B' A'B" engendreront deux nappes très-différentes de forme, quoique l'une et l'autre viennent se réunir le long des circonférences parcotu*ues par les extrémités B' et B" du diamètre vertical. La nappe extérieure est convexe, c'està-dire que toutes les courbes qui y seraient tracées par un même point (N, N'), se trouveraient situées d'un même côté du plan tangent en ce point- En effets pour déterminer ce plan, il faut construire la tangente N'P' du méridien, et par le pied P de cette droite, mener une perpendiculaire FF' à la trace ON du méridien (n^ 154); or on voit que la méridienne B'N'B" et le parallèle NT sont tous deux à gauche