CHAPITRE IV. — PLANS TANGENTS AUX SURFACES DE RÉVOLUTION

du plan tangent N'FP; et quoique nous ayons choisi le point (N, W) sur le méridien principal y afin de rendre plus simple la construction du plan tangent, il est bien évident que les mêmes circonstances arriveraient pour tout autre point de la nappe extérieure, puisqu'elle est de révolution et, par conséquent, symétrique tout autour de l'axe (Cy'Z', O).

Au contraire, si nous prenons un point (M, M') sur la nappe intérieure, le plan M'"FT, tangent en ce point, traversera la surface; car le méridien B'M'B'" sera évidemment à droite de ce plan, tandis que le parallèle M' V se trouvera à gauche : aussi le plan M'T'T coupera le tore suivant une courbe à nœud, qui est représentée en projecton horizontale par (MHEGE"M/i6gfe"M), et que nous apprendrons plus tard à construire (yo^ez n^267). Mais cette intersection n'empêche pas le plan M'T'Ï de renfermer les tangentes du méridien, du parallèle, et de toutes les autres courbes tracées sur la surface par le point (M, M'); de sorte que ce plan est réellement tangent au tore en cet endroit, et sécant dans tous les autres points communs; circonstance qui tient à ce que la nappe intérieure est une surface non convexe ou à courbures opposées, tout à fait comparable à la gorge d'une poulie.

139. Dans l'épure actuelle, où nous avons voulu représenter les principaux parallèles de la surface, une partie de la trace verticale M'T' du plan tangent à la nappe intérieure, se trouve, il est vrai, cachée par le tore ; mais nous avons dû néanmoins la laisser en trait plein, parce qu'elle reçoit la projection verticale de la courbe d'intersection, dont la branche antérieure hrefg est visible sur le plan vertical.

140. HYPERBOLOIDE DE RÉVOLUTION à une nappe. Nous avons nommé ainsi (n^ 84) la surface que décrit une demi-hyperbole en tournant autour de son axe imaginaire; mais cette sur&ce, qui jouit de diverses propriétés très-remarquables, peut encore être engendrée par une droite assujettie à tourner, par un mouvement de révolution, autour dune autre droite fixe qui nest pas dans un même plan avec la première.

Pour le démontrer, représentons la droite fixe par OZ {fig. 47)) et la droite mobile par ADM : soit OD leur plus courte distance qui sera horizontale, si l'on regarde l'axe OZ comme vertical. Cette ligne OD décrira dans le mouvement de révolution autour de OZ, un cercle horizontal EDF qui sera évidemment le plus petit des parallèles, ou le cercle de gorge de la surface; et la tangente DP à ce cercle sera nécessairement la projection horizontale de la droite mobile ADM ; d'où il suit que cette droite ira percer le plan méridien quelconque ZOX, en un point M situé sur la verticale élevée par le point P (*). Or, si l'on construisait ainsi tous

( * ) La figure est censée construite en perpective sur ce plan ZOX comme tableau ; et , par conséquent, toutes les lignes principales situées derrière ce plan ont été ponctuées.

les points M, M', F,... dans lesquels le plan fixe ZOX est successivement rencontré par la droite mobile ADM dans ses diverses positions, on obtiendrait la méridienne MM' F de la surface engendrée par cette droite; et, par conséquent, la question est réduite à prouver que cette courbe MM' F est une hyperbole qui a pour demi-axe réel la distance OG = OD. Pour y parvenir, rapportons le point quelconque M à des coordonnées parallèles aux axes OX, OZ; et comme la distance OD reste invariable pendant le mouvement de la génératrice, aussi bien que l'angle MDP formé par celle-ci avec Thorizon, posons

OP = x, PM=:z, OD = &j tangMDP = a;

alors les triangles rectangles MPD et ODP donneront

tangMDP == — - = , :;

^ DP ^OP» — OD*

ou bien, en substituant les notations précédentes,

a =-=!=, d'où a«:c»-2» = a*c^*;

équation qui prouve que la méridienne est bien une hyperbole qui a pour demiaxe réel X =z â; donc le lieu parcouru par la droite mobile ADM est effectivement un hyperboloide de révolution à une nappe.

141. Cette surface admet une seconde génératrice rectiligne; en effet, si dans le plan vertical MDP tangent au cercle de gorge, on trace une droite BDN qui fasse, avec la verticale DV, un angle NDV égal à VDM, cette ligne BDN, en tournant aussi autour de OZ, engendrera la même surface que ADM, parce que deux points quelconques M et N, pris à la même hauteur sur ces droites, décriront le même cercle MNL. Pour justifier cette dernière assertion, il suffira de joindre deux à deux les points M, N, Z, Y, où un même plan horizontal rencontre les diverses lignes dont nous venons de parler; et, à l'aide des triangles rectangles MVD, NVD, qui sont évidemment égaux, on démontrera que les triangles rectangles ZVM, ZVN le sont pareillement; d'où l'on conclura que ZM = ZN, et qu'ainsi les deux points M et N se trouvent bien à la même distance de l'axe OZ. Il résulte de là qu'il existe sur l'hyperboloïde deux systèmes de droites,

A, Aa, Aj,... et B, Bj, B,,...,

dont le premier se compose des positions successives que prend la génératrice AD^ et le deuxième des diverses positions occupées par BD. D'ailleurs, puisque toutes ces droites sont deux à deux dans des plans verticaux, tels que MDN, il s'ensuit que toutes les génératrices des deux systèmes se projettent^ sur le cercle de gorge^ suivant des tangentes à cette circonférence.