CHAPITRE IV. — PLANS TANGENTS AUX SURFACES DE RÉVOLUTION

142. Par chaque point R de la surface il passe deux de ces droites; car les génératrices AD et BD viendront passer, à deux époques différentes de leur révolution, parce point R; et elles y occuperont deux positions nécessairement distinctes RA,, RBa, puisque la première sera située à gauche, et la seconde à droite du plan méridien ZOR, Il suit de là que le plan tangent en R sera déterminé (n® 103) par l'ensemble des deux droites RA, et RBa, puisque ces lignes se trouvent sur la surface, et qu'elles sont elles-mêmes leurs propres tangentes. Mais il importe beaucoup d'observer que le plan AjRBa, quoique renfermant la droite RBj tout entière, ne sera pas tangent dans un autre point de cette lignes car en D2, par exemple, le plan tangent sera A2D3B3; or ce dernier ne peut coïncider avec AaRB^, parce que les deux génératrices A,Ret A^D, appartiennent au même système, et dès lors ne sauraient être contenues dans un même plan, comme nous allons le démontrer.

143. {Fig. 47.) Deux droites AD et A2 Dj, qui appartiennent au même système de génératrices^ ne se trouvent jamais dans un même plan. En effet, ces droites étant projetées horizontalement sur les tangentes DT et D^T qui se coupent en T, ne pourraient avoir de communs que les points qui sont situés sur la verticale TS; or cette verticale ira évidemment rencontrer A^D^ en S au-dessus du cercle dégorge, et AD au-dessous en S', parce que les parties inférieures de ces deux génératrices du même système sont inclinées Tune et l'autre à gauche de leurs méridiens respectifs ZODj et ZOD, et que le point T est entre ces méridiens. Donc, 1° les droites AD et AaDg ne sauraient se rencontrer; a^ elles ne sont pas non plus parallèles, car leurs projections horizontales se coupent en T; ainsi, il reste démontré que deux^énératrices du système A ne se trouvent jamais dans un même plan.

A la vérité, les projections horizontales de deux de ces droites se trouveront parallèles, quand on comparera celles qui passent par les extrémités d'un même diamètre du cercle de gorge; mais, dans l'espace, l'une de ces génératrices sera> inclinée à droite, et l'autre à gauche du plan méridien mené par ce diamètre, de sorte qu'elles seront loin d'être parallèle» entre elles; et d'ailleurs il est bien évident qu'alors elles ne pourront pas non plus se couper.

On démontrera d'une manière toute semblable que les droites B, B,, B,,... du second système ne sont jamais deux à deux dans un même plan.

144. Chaque droite du système A coupe (sans changer de position) toutes les droites B, Bj, B,,... de Pautre système. Cela est évident pour AD et BD qui sont dans le même plan vertical; mais comparons AD avec une droite quelconque B^D, de l'autre système. Ces deux lignes sont encore projetées sur les tangentes au cercle de gorge DT et DjT, et puisque celles-ci se coupent en T, la verticale TS' ira nécessairement rencontrer les droites en question AD et B^D, ; mais cette rencontre aura lieu pour chacune d'elles au-dessous du cercle de gorge, attendu que DA est inclinée à gauche du méridien ZOD, et D2B3 à droite du méridien ZOD,, tandis

que le point T se trouve entre deux. D'ailleurs, d'après la forme de la méridienne, il est évident qu'une droite comme TS', qui est parallèle à l'axe OZ^ ne peut percer la surface qu'en deux points, dont un seul S' sera sur la nappe inférieure au cercle de gorge ; par conséquent, ce point unique devra coïncider avec ceux où la verticale TS' a déjà rencontré les génératrices DA et Dj B, qui sont sur cette nappe; donc ces génératrices se coupent effectivement au point S^

Il faut seulement observer que quand on comparera deux droites appartenant l'une au système A, l'autre au système B, et passant par les extrémités d'un même diamètre du cercle de gorge, ces droites auront les projections parallèles, et elles seront elles-mêmes dans l'espace parallèles Hune à [autre; de sorte que leur rencontre n'aura plus lieu qu'à une distance infinie, mais du moins ces deux génératrices seront encore dans un même plan.

On démontrera d'une manière analogue que chaque génératrice du système B coupe, sans changer de position, toutes les génératrices du système A, ou du moins se trouve dans un même plan avec chacune d'elles.

145. On désigne sous le nom général de surface gauche, toute surface engendrée par une droite qui se meut de telle sorte que ses positions consécutives ne se trouvent pas deux à deux dans un même plan. Or, en considérant Thyperboloïde actuel, soit comme le lieu des diverses positions A, Aj, A,,... que prend la génératrice AD dans son mouvement de révolution autour de OZ, soit comme le lieu des diverses droites B, Ba, B,,... de l'autre système, on voit (n^ 143) qu'il satisfera à la définition précédente; par conséquent Thyperboloîde de révolution à une nappe appartient à cette classe générale de surfaces que l'on nomme gauches, et dont nous nou»'occuperons d'une manière spéciale au livre VII.

146. {Fig. 47-) Si par le centre O de l'hyperboloïde, on mène, parallèlement •aux génératrices DA et DB, deux droites Oaet 06, celles-ci formeront des angles

égaux avec la verticale OZ, et par conséquent elles décriront, en tournant autour de OZ, un seul et même cône droit dont toutes les arêtes seront respectivement parallèles aux génératrices A, Aj, A,,... et B, Ba, B,,... de l'hyperboloïde. Ce sera le cône asjmptotique de cette dernière surface; car, pour le déduire de celle-ci, il suffit évidemment de poser

OD = c^ = o, dans a^jc^ — z* = aV*

qui représentait (n*^ 140) le méridien de l'hyperboloïde : or, par cette hypothèse, on obtient pour le méridien du cône droit, z = ±: ax; c'est-à-dire deux droites qui sont bien les asymptotes de l'hyperbole précédente.

147. D'ailleurs, lorsque Ton fait varier la distance âj sans changer a ou l'inclinaison de la génératrice AD, on obtient successivement divers hyperboloîdes qui ont pour méridiens des courbes semblables; car les axes de l'hyperbole sont â et aâ.