CHAPITRE I. —SURFACES DÉVELOPPABLES. 8ï

polygones CA A' A" et GMM' M" deviendront des courbes continues, dont les tangentes seront les prolongements des éléments A A' et MM^

170. De là résultent évidemment les conséquences suivantes : i®. Toute surface conique est développable, et dans cette transformation les génératrices, ou des portions quelconques de ces droites, ne changent pas de longueur.

12^. La base du cône, ou toute autre courbe tracée sur sa surface, devient une ligne dont la courbure n'est plus la même que celle de la courbe primitive, et qu'on nomme la transformée de la première; mais les arcs de cette transformée conservent la même longueur absolue que ceux de la courbe primitive. Si cette dernière avait d'abord tous ses points à une distance constante du sommet, la transformée serait un arc de cercle décrit avec cette distance pour rayon.

3**. Chaque tangente de la courbe primitive forme avec la génératrice du cône tm angle qui reste invariable dans le développement de cette surface; et cette première droite redevient tangente à la transformée. Nous verrons plus loin de quelle manière on emploie ces diverses propriétés, pour exécuter graphiquement le développement d'une surface conique.

171. Pour qu'une courbe GMM', tracée sur un cône, devienne rectiligne après le développement de la surface, il faut évidemment et il sufSQt que deux éléments consécutifs MM', M' M'', soient dirigés de manière que

angleSWW' = SWt;

et comme les prolongements de ces éléments sont les tangentes de la courbe primitive, cela revient à dire que deux tangentes consécutives de cette courbe doivent former des angles égaux avec la génératrice intermédiaire : mais ces angles ne sont plus constants pour toutes les tangentes, ainsi qu'il arrivait dans le cas du cylindre (n^ 163).

172. {Fig.So.) Toute courbe qui vérifiera la condition précédente, jouira aussi de la propriété d'être la ligne la plus courte que l'on puisse tracer entre deux de ses points, sur la surface conique ; et cela par les mêmes raisons qui ont été données dans le n^ 164 : mais cette courbe ne présentera pas la forme d'une spirale qui s'élèverait de plus en plus vers le sommet S du cône. En effet, l'angle SMM' sera moindre que SM'M"", puisque ce dernier égalera SMW; ainsi, l'inclinaison SM/ de chaque tangente sur la génératrice correspondante étant d'abord un angle aigu qui va toujours en augmentant, la distance SM deviendra minimum loi*sque cet angle sera droit, et alors on obtiendra le point de Ja courbe le plus rapproché du sommet S; puis au delà, cette courbe s'en éloignera de plus en plus, puisque l'angle SM ( deviendra obtus, et continuera de croître. Ainsi, sur un cône de révolution', par exemple, la ligne la plus courte entre deux points de la base circulaire n'est pas l'arc de ce cercle compris entre ces deux points ; mais c'est une espèce de

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courbe hyperbolique dont le sommet se trouve à égale distance des deux points en question, et qui, après le développement du cône, deviendrait une corde du cei^cle dans lequel la base primitive serait transformée. Les deux rayons parallèles à cette corde étaient, sur le cône primitif, -les génératrices asymptotes de la courbe en question.

173. Au contraire, une courbe qui, sur une surface conique quelconque^ jouirait d'une propriété analogue à celle de l'hélice (n^ 165), c'est-à-dire dont cluique tangente ferait un angle constant avec la génératrice passant par le point de contact, présenterait la forme d'une spirale qui s'approcherait indéfiniment du sommet, lequel serait à sou égard tm point asymptotique : puis, dans le développement, cette courbe deviendrait évidemment une spirale logarithmique, car on sait que cette dernière a la propriété de couper tous ses rayons vecteurs sous un angle constant.

Si cet angle était droit, la transformée serait un cercle; et alors tous les rayons vecteurs étant égaux, la^ courbe primitive tracée sur le cône ne pourrait être qu'une courbe sphérique, c'est-à-dire qui résulterait de l'intersection du cône proposé avec une sphère ayant pour centre le sommet. ( Voyez n° 519. )

174. (Figr. 5i.) Surfaces DÉVELOPPABLES quelconques. Généralisons maintenant les considérations que nous avons employées pour les cônes et les cylindres, et imaginons qu'une surface soit engendrée par Mn« droite mobile dont les positions consécutives, ou infiniment voisines, se trouvent deux à deux dans un même plan. Nous indiquerons bientôt (n**180) divers modes de satisfaire à cette condition; mais, pour l'instant, il nous suffira d'admettre qu'elle a été remplie d'une manière quelconque, et que AB, A'B', A"B",..., sont des positions infiniment voisines de la droite mobile. Alors, d'après la définition de la surface, les deux génératrices consécutives AB et A'B' se couperont nécessairement (*) en un certain point M'; de même la génératrice A'B' sera rencontrée par A'^B" en un point W^ et celle-ci le sera par la suivante en un point M*", etc. ; de sorte que ces intersections successives donneront lieu à un polygone MM'IWM*'...; ou plutôt, puisqu'on suppose les génératrices infiniment rapprochées, cela formera une courbe continue VMM'M"U à laquelle toutes ces droites seront évidemment tangentes, et qui se nomme d arête de rebroussement de la surface, par une raison que nous expliquerons bientôt (n^ 178).

175. {Fig. 5i.) Gela posé, je dis que la surface engendrée d'après la loi précédente est développable. En effet, puisque les deux génératrices consécutives AMB et A'M'B' sont dans un même plan, elles comprennent entre elles une zone angulaire de la surface, infiniment étroite, mais indéfinie en longueur, et qui est né-

(*) Elles pourraient être parallèles; mais en considérant alore leur point de section comme situe à rinfini , on retrouvera toujours ce cas particulier dans Tespèce générale.

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cessaireinent plane; car, pour les diverses courbes tracées sur la surface, les éléments linéaires AA', PP',... ayant deux points communs avec les droites AM et A' M', se trouvent tous dans le plan de ces deux génératrices. De même, les génératrices A'M'B' et A"M"B'' comprennent un autre élément superficiel, qui est plan et dune longueur indéfinie; et ainsi des autres. Alors, si Ton fait tourner le premier élément autour de la droite A'M'B' comme charnière, jusqu'à ce qu'il vienne dans le plan et à la suite du deuxième élément ; puis, que l'on rabatte autour de A"B'' le système de ces deux éléments sur le plan du troisième, on finira, en continuant ainsi, par dérouler sur un plan unique toute la surface proposée, sans discontinuité et sans altérer sa superficie. D'ailleurs il est bien évident, i** que par cette transformation on n'aura nullement changé les longueurs des portions de génératrices MA, M'A',.,., non plus que celles des arcs AA', A'A%...; ^« que les angles MAA' ou MAT, MA'A^ ou MAT,... formés par l€S génératrices avec les tangentes d'une courbe quelconque AD tracée sur la surface, resteront aussi invariables; 3° quau contraire les angles de contingence tels que TA'T, ou leurs suppléments comme AA'A", changeront de grandeur, et qu'ainsi la courbe AD aura pour transformée un ligne dont la courbure ne sera plus la même que primitivement, quoiqu'elle conserve le même périmètre. Par là, il demeure donc prouvé que toute surface qui satisfera à la condition du n** 174, sera développable.

176. Réciproquement, cette condition est nécessaire; car, pour qu'une surface puisse être étendue sur un plan sans déchirure ni duplicature, il faut évidemment qu'elle se compose d'éléments superficiels plans, qui soient réunis seulement deux à deux par des bords rectiiignes indéfinis, afin que ces droites puissent servir de charnières pour faire tourner ces éléments superficiels, et les amener dans un plan unique à la suite les uns des autres. Tandis que, si la droite intersection de deux éléments contigus était limitée par la rencontre d'xm troisième élément, il existerait en cet endroit un angle trièdre ou polyèdre, dont les faces ne pourraient être étendues sur un plan, sans laisser entre elles des interstices ; et comme cette circonstance se répéterait pour chaque point où se réuniraient plus de deux éléments superficiels, il n'y aurait plus de continuité dans le développement de la surface, et la superficie en serait altérée. Mais dès lors que les éléments superficiels se coupent ainsi deux à deux suivant des droites indéfinies, on voit bien que la surface sera le lieu de génératrices rectiiignes situées deux à deux dans un même plan ; et conséquemment la condition énoncée au n° 174 est vraiment nécessaire p<fnr que la surface soit développable.

177. Il résulte immédiatement de là que te plan qui touche une surface développable dans un point quelconque P, est tangent tout le long de la génératrice APMB qui passe par ce point. En effet, puisque (n®17S) toutes les courbes AD, PX,

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BC,... ont leurs éléments linéaires AA', PP% BB',... situés dans le plan des deux droites infiniment voisines AM'B, A'M'B', il s'ensuit que ce plan renferme toutes les tangentes en A, P, B,.-) et par conséquent c'est bien un seul et même plan AM'A' ou BAT, qui touche la surface développable tout le long de la génératrice AMB. Ainsi, dorénavant, quand on voudra construire le plan tangent relatif à un point Q donné sur une telle surface, il suffira de le faire passer par la généralrice AQB et par la tangente AT à une courbe tracée sur cette surface par un point quelconque de AB.

Cette proposition, que nous avions déjà démontrée (n°*99, 100) pour les cylindres et pour les cônes, est donc commune à toutes les surfaces développables; et elle mérite d'autant plus d'attention, qu'elle ne se vérifiera pas dans les surfaces gauches, quoique celles-ci admettent pareillement des génératrices rectilignes. D'ailleurs, elle va nous servir bientôt à indiquer un nouveau mode de génération des surfaces développables, en les regardant comme des enveloppes d'un plan mobile (n« 185).

Observons aussi que le plan AM'A' ou BAT qui est tangent à la surface développable, coïncide précisément avec le plan osculateur de l'arête de rebroussement VMU, puisque les deux génératrices AM' et A'M' sont tangentes à cette courbe.

178. {Fig,5i,) Nous avons dit que la courbe YMU formée par les intersections successives des génératrices, se nommait t arête de rebroussement de la surface développable; et pour sentir la justesse de cette dénomination, il n'y a qu'à regarder chaque génératrice AB comme composée de deux parties MA et MB, l'une située au-dessous et l'autre au-dessus du point de contact M; puis désigner sous le nom de nappe inférieure la portion de surface engendrée par les parties MA, M'A', M" A'',..., tandis que les parties MB, M'B', M"B'',... formeront la nappe supérieure {*). Alors, si l'on veut passer d'une nappe à l'autre, en cheminant sur la surface d'une manière continue et dans ime direction quelconque (excepté dans la direction d'une génératrice), on s'apercevra aisément que ce passage ne peut avoir lieu qu'en suivant une courbe SNa, qui présentera un point de rebroussement k l'endroit où elle rencontrera la ligne YMU.

Comme cette circonstance est très-importante à remarquer, essayons de la rendre plus sensible, en projetant toute la figure sur un plan horizontal quelconque; soient donc vnu [fig. Sa) la base du cylindre vertical qui passe par la courbe YNU, et afe, a'b'^... [fig. 5i et 5a) les projections des génératrices, lesquelles seront nécessairement tangentes à vnu. Il s'ensuit déjà qu'aucune de ces droites ne péné-

[*) Ces parties de génératrice se prolongeraient indéfiniment; mais, pour rendre plus senûble la forme opposée des deux nappes » nous supposons ici que ces droites se terminent à deux plans horizontaux qui coupent la surface suivant les courbes AD et BC, dont la première tourne sa convexité, et la seconde sa concavité vers Tobservateur.