CHAPITRE I. — SURFACES DÉVELOPPA BLES

trera dans le cylindre vertical rmuy et qu'ainsi les deux nappes de la surface développable restent en dehors de ce cylindre, sur lequel elles viennent s'appuyer le long de la courbe VNU. D'ailleurs, si Ton regarde ce cylindre comme un corps solide, et la génératrice projetée sur ab comme une droite inflexible qui roule, sans glisser, sur ce cylindre en demeurant tangente à la courbe VNU, il est évident que cette droite mobile parcourra la surface développable en question. Or dans ce mouvement on aperçoit bien qu'un point quelconque g, fixement attaché à la partie supérieure mb de la génératrice, ira d'abord en se rapprochant du cylindre, et viendra en & quand la génératrice se projettera sur a' 6', puis en n lorsqu'elle sera projetée sur a^'b^MsàSy au delà de cette position, le point générateur se trouvera au-dessous du point de contact de la génératrice, quand elle continuera de rouler sur le cylindre vertical; de sorte que le point mobile commencera dès lors à s'écarter de plus en plus de ce cylindre, et il viendra en a!" pour la position a"'b'\ en a!"" pour a^"6'"',.... D'où l'on doit voir clairement que la courbe î&naT décrite par le point S, se composera de deux branches qui offriront un rebroussement en n, et dont la première êê'n sera située sur la nappe supérieure de la surface, tandis que l'autre na"' sera sur la nappe inférieure. Nous étudierons en détail, au n^ 456, le cas particulier où la courbe YNU est une hélice.

179, En résumant tout ce qui précède, on trouve les conséquences suivantes : 1*^. Pour qu une surface soit développable^ il faut et il suffit quelle soit engendrée par une droite qui se meuve de manière que toujours deux positions consécutives se trouvent dans un même plan. C'est là une propriété caractéristique pour toutes les surfaces de cette classe, laquelle comprend évidemment les deux genres particuliers des c/lindres et des cônes; puisque, dans le premier, les génératrices rectilignes sont toujours parallèles, et que dans le second elles se coupent toutes au même point.

3®. Une surface développable admet toujours une arête de rebroossement formée par les intersections successives des génératrices; ces droites sont tangentes à l'arête de rebroussement, qui d'ailleurs divise la surface en deux nappes distinctes. Dans les surfaces coniques, l'arête de rebroussement se réduit à un point unique qui est le sommet; et dans les cylindres, cette arête se trouve transportée tout entière à une distance infinie.

3"*. Le plan tangent d'une surface développable est commun pour tous les points d'une même génératrice rectiligne; et il coïncide avec le plan osculateur de l'arête de rebroussement.

4^. Dans le développement de la surface, les portions des génératrices, aussi bien que les arcs dune courbe quelconque tracée sur la surface, ne changent pas de longueur absolue; et les tangentes à cette courbe forment avec les génératrices des angles qui demeurent constants. Mais il n'en est pas ainsi des angles de contingence, compris entre deux de ces tangentes consécutives ; et par conséquent la courbe primitive a

pour transformée une ligne dont la courbure n*est plus la même qu'auparavant (*) . ■ 180. (FiV/. 5i.) Voyons maintenant de quelle manière on pourra remplir la condition qui a servi (n^ 174) à la définition des surfaces développables. Prenons deux courbes quelconques AD et BC fixes dans l'espace; puis, assujettissons une droite mobile à glisser sur ces directrices, mais de manière que ses positions consécutives se trouvent deux à deux dans un même plan. Après avoir choisi sur la première courbe un point quelconque A', il ne faudra pas le joindre avec un point arbitraire de la deuxième, parce que rien n'assurerait que la droite ainsi tracée serait dans un même plan avec laposition très- voisine qu'elle prendrait ensuite (**) ; mais imaginons une surface conique qui ait pour sommet le point A' et pour base la courbe BC, et menons-lui im plan tangent qui passe (n^l25) par la droite A'T' tangente au point A' de la directrice AD; alors, si l'on construit la droite A'B' suivant laquelle ce plan touchera le cône auxiliaire, je dis que A'B' sera la position que doit prendre la génératrice de la surface développable lorsqu'elle passe par le point A' de la directrice; et les autres positions A'^B", A'B',... s'obtiendront d'une manière semblable. Pour justifier cette construction, il suffit d'observer que, quand la droite mobile passera de la position A'B' à une position infiniment voisine A"B", elle pourra être censée glisser sur lés tangentes A'A"T et B'B*S' qui coïncident avec les vraies directrices dans l'intervalle des éléments A' A* et B'B" : or ces deux tangentes sont évidemment situées dans un plan unique, qui est le plan tangent que nous avons mené au cône auxiliaire; donc aussi les deux génératrices A'B' et A^B" se trouveront dans ce même plan.

181. (Fiy. 5i.) Il suffirait même d'sissigner une seule directrice pour déterminet complètement la surface développable, si l'on assujettissait la droite mobile à demeurer constamment tangente à cette courbe. Soit, en effet, VNU une ligne quelconque, fixe dans l'espace, mais qu'il faut choisir à double courbure, si l'on ne veut pas retomber sur un simple plan. Construisons les tangentes AMB, A'M'B', A'^M^B",... pour des points M, M', M', extrêmement rapprochés sur la courbe; ce seront là autant de positions de la droite mobile, et je dis que la surface, lieu de toutes ces positions, sera développable. Car les deux génératrices infiniment voisines AMB et A'M'B' ont de commun avec la courbe, l'une l'élément MM', Tautre l'élément M' M"; donc ces génératrices se coupent au point M', et, par conséquent, elles

(* ) On doit excepter néanmoins Tarête de rebroussement, pour laquelle les angles de contingence restent invariables, puisqu'ici ces angles sont formés par les génératrices entre eUes , et que ces droites servent précisément de charnières pour exécuter le développement. Ainsi, par exemple, l'angle AM'A' demeure constant, aussi bien que son supplément MM' M".

( ** ) A moins qu'on ne voulût laisser immobile le point dé la droite placé en A' et faire glisser seulement Tauire extrémité sur la courbe BC ; mais par là cm n'obtiendrait qu'une surface conique , geni^ trop particulier de surface développable pour que nous nous y arrêtions»