CHAPITRE I. — SUBFACES DÉVELOPPA BLES

sont bien situées dam un même plan. Un raisonnement semblable s'appliquerait aux autres génératrices consécutives : ainsi il est certain que la surface, lieu de toutes ces tangentes, est développable; et dans le cas actuel, la courbe directrice VNU est précisément Tarêle de rebroussement, qui a toujours pour plans osculatetirs les plans tangents (a^ 177) de la surface développable.

Voici encore quelques autres manières d'engendrer une surface développable.

182. {Fig. 53.)'Si, sur une surface donnée que nous désignerons simplement par S, on trace une courbe fixe et quelconque CND...; puis, que par des points trèsvoisins N, N', N",..., pris sur cette ligne, on mène à la surface les plans tangents P, P', P",..., qui sont ici figurés seulement par les droites NP, IN'P',,.., ces plans se couperont consécutivement suivant les droites AM, A'M', A" M",..., qui se trou-* veront deux à deux dans un même plan. En effet, les deux premières résultant des intersections du plan P' avec le précédent P et avec le suivant P", sont évidemment situées Tune et l'autre dans le plan P'; de même les droites A'M' et A'' M' sont toutes deux dans le plan P'", et ainsi de suite. D'où il résulte que ces diverses intersections déterminent une série de faces planes et angulaires AMA', A' M' A", A."W^"' ^...^ qui approcheront de former une surface continue, et évidemment développable, d'autant plus exactement que les points de contact N, N', N",..., seront plus voisins sur la courbe CD. Or, pour atteindre à cette limite, il suffit d'imaginer que le plan P roule sur la surface S par un mouvement continu, en lui demeurant perpétuellement tangent le long de la courbe donnée CND; alors on dit que la surface développable en question est [enveloppe des positions que prend le plan mobile^ parce qu'en effet elle est touchée par ce plan dans chacune de ses positions, puisque celles-ci ne sont autre chose que les prolongements des petits éléments superficiels AMA', A' M' A",..., qui composent la surface.

183. Ceci n'est point particulier à la surface qui nous occupe, et l'on peut dire généralement que toute surface développable est l'enveloppe des positions d un plan mobile assujetti à se mouvoir suivant une loi déterminée. En effet, dans le cas général, nous avons vu (n° 177) que la surface était touchée tout le long de la génératrice AR{ fig. 5i), par un plan unique qui renfermait la génératrice infiniment voisine A'B*, et qui, par suite, était le prolongement de l'élément superficiel AM'A'; de même, le plan tangent consécutif serait le prolongement de l'élément A'M"A", et ces deux plans se couperaient suivant la droite A'M'B'; de sorte que les diverses génératrices étant les intersections des plans tangents consécutifs, on peut obtenir ces droites, ou bien engendrer la surface développable, en faisant mouvoir un plan indéfini, de manière qu'il prenne successivement les positions AM'A', A'M"A",.... Mais, dans cliaque surface particulière, le mouvement du plan mobile devra être réglé par une loi déterminée, c'est-à-dire par des conditions telles, que ce plan ne puisse prendre qu'une position unique, pour chaque point de l'espace par lequel il passera .

184. Ainsi, par exemple, on peut assujettir le plan mobile à rouler sur deux swfaces fixesy en demeurant constamment tangent à ces deux surfaces, pourvu toutefois que ni Tune ni l'autre ne soient développables; car on doit sentir que la condition de toucher une surface de ce dernier genre, même en un point indéterminé, équivaudrait à deux conditions distinctes, parce que le contact s'étendrait nécessairement tout le long d'une même génératrice (n**177). Cette restriction est analogue à ce que nous avons dit pour les cylindres et 'les cônes dans les n«M18etl25.

185. On peut aussi exiger que le plan mobile soit constamment osculateur (n° 167) à une courbe fixe, telle que la ligne VNU de la fig. 5i ; c'est-à-dire qu'il passe toujours par deux éléments consécutifs de cette ligne, qui alors deviendra évidemment l'arête de rebroussement de la surface développable, formée par les intersections successives du plan mobile.

186. Enfin, on peut faire mouvoir ce plan de manière qu'il reste perpétuellement normal (n® 168) à une courbe donnée VNU; car on reconnaîtra, comme au n^ 182, que ses diverses positions se couperont consécutivement, suivant des droites qui se trouveront deux à deux dans un même plan, et formeront ainsi une surface développable. Cette surface se réduirait évidemment à un cylindre^ si la courbe donnée VNU était plane, puisque alors tous les plans normaux se couperaient suivant des droites perpendiculaires au plan de VNU, et par conséquent parallèles entre elles.

187. {Pig. 5i.} Examinons, maintenant, quelle condition doit remplir une courbe PPX tracée sur une surface développable quelconque, pour qu'elle soit la ligne la plus courte entre deux de ses points P et X. Il faut et il suffit qu'elle devienne reciiligne après le développement de la surface; car, dans cette opération, nous savons (n^ 179, 4^) que chaque transformée conserve la même longueur que la courbe primitive; et quand la surface est étendue sur un plan, il est bien certain qu'une droite est la plus courte ligne entre deux de ses points : donc, etc.

Or, pour que la courbe PP'X admette une transformée rectiligne, il est nécessaire et suffisant que deux éléments consécutifs fassent toujours des angles égaux avec la génératrice intermédiaire, c'est-à-dire que l'on ait pour chaque point de la courbe, la relation

an^feMP'RrnMFP".

En effet, comme ces deux angles resteront invariables de grandeur quand on fera roiirner le premier autour du côté commun MF, il est évident que lorsqu'ils seront amenés dans le même plan, les deux éléments PF et P'P'' se trouveront dans le prolongement l'un de l'autre, si la relation précédente est vérifiée. Telle est donc la condition que doit remplir la courbe PX pour être minimum : mais il m résulte une autre propriété qui mérite d'être remarquée.