CHAPITRE II. — DES SURFACES ENVELOPPES

188. La courbe minimum PX a tous ses plans osculateurs normaux à la surface déi)eloppable sur laquelle elle est tracée. Pour le démontrer, j'observe que, d'après la relation admise dans le numéro précédent^ les deux tangentes consécutives PFR et P'P"R' font des angles égaux avec la génératrice A'M'; d*où il suit que ces tangentes sont deux arêtes d'un cône droit qui aurait pour axe la ligne A'M'; et puisqu'elles sont infiniment voisines, on doit regarder le plan RP'R' comme tangent au cône dont il s'agit, le long de l'arête RP'. Mais, dans toute surface de révolution, le plan tangent (n® 129) est perpendiculaire au plan méridien qui passe par le point de contact; donc ici le plan RP'R' est perpendiculaire sur le plan A M'A' qui contient l'axe du cône et l'arête de contact P'R. Or le premier de ces plans n'est auJtre chose que le plan osculateur PP'P" de la courbe proposée, et le second est précisément le plan tangent de la surface développable; par conséquent, il est vrai de dire que chaque plan osculateur de la courbe minimum est normal à cette dernière surface.

189. {Fig. 53.) Cette propriété dont jouit la courbe minimum est d'autant plus remarquable qu'elle se trouve également vérifiée, quelle que soit la surface sur laquelle est tracée une pareille courbe. Soit, en effet, CND la ligne la plus courte entre toutes celles qui, sur une surface quelconque S, réunissent les deux points C et D: si par tous les points N, N', N",... de cette courbe, nous menons des plans tangents à S, ils formeront, comme nous l'avons vu (n® 182), une surface développable S' circonscrite à S, et qui aura évidemment les mêmes plans tangents que cette dernière tout le long de la courbe minimum. 11 suit de là que, dans la direction CND, chaque élément superficiel (infiniment petit en tout sens) de la surface S sera commun à la surface S', et qu'ainsi la courbe CND, qui est supposée minimum sur la première, devra aussi se trouver minimum sur la seconde; mais, par cette dernière condition, la courbe CND aura ses plans osculateurs perpendiculaires (n^ 188) aux plans tangents de la surface développable S'; et comme ceux-ci sont les mêmes que les plans tangents de S, on est en droit de conclure que, sur une surface quelconque^ la courbe minimum a tous ses plans osaUateurs normaux à cette surface,