DES SURFACES ENVELOPPES

190. On appelle surface enveloppe^ ou simplement enveloppe, le lieu des intersections consécutives d'une autre surface mobile, qui varie de position et même de forme, d'après une loi déterminée. Ce lieu ayant, comme nous allons le voir, la propriété de toucher le long d'une courbe, chacune des positions de la surface mobile est appelée avec raison l'enveloppe de toutes ces positions, tandis que ces

4* édit. ^^

QO LIVRE m. — SURFACES DÉVELOPPABLES ET ENVELOPPES.

dernières se nomment les enveloppées. D'ailleurs, par un motif que nous expliquerons plus tard (n** 203), on donne le nom de caractéristique à l'intersection de deux enveloppées consécutives, et c'est le long de cette caractéristique qu'a lieu le contact de l'enveloppe et de l'enveloppée. Ainsi, lorsqu'un plan se meut suivant une certaine loi (n""* 182 — 186), il admet pour enveloppe une surface développable, lieu de ses intersections successives qui sont ici des droites, et voilà les caractéristiques •, tandis que les enveloppées sont les diverses positions du plan mobile, dont chacune touche Tenveloppe suivant une de ces caractéristiques. Mais pour mieux éclaircir ces notions générales, il faut considérer des exemples moins particuliers, et où les enveloppées soient des surfaces courbes.

191. {Fig, 55.) Imaginons une sphère mobile, dont le centre O parcourt la verticale OZ, et dont le rayon OA varie suivant une certaine loi; de manière, par exemple, qu'il coïncide successivement avec les diverses ordonnées OA, O'A', 0"A%... d'une courbe AA'X tracée dans le plan vertical de la figure. Alors deux sphères infiniment voisines, O et O', se couperont évidemment suivant un cercle horizontal projeté sur la corde BC; de même la sphère O' coupera la troisième O" suivant le cercle B'C, et ainsi des autres. Or tous ces cercles ayant leurs centres sur OZ et leurs plans perpendiculaires à celte droite, appartiendront (n*^ 78) à une surface de révolution qui touchera^ en l'enveloppant, chacune des sphères mobiles. En effet, les deux cercles infiniment voisins BC et B'C se tmuvant à la fois sur la surface de révolution et sur la sphère O', ces deux surfaces ont de communs tous les éléments superficiels situés sur la zone infiniment étroite BB'C'C: par conséquent elles ont l'une et l'autre les mêmes plans tangents, ou bien elles se touchent tout le long de cette zone. De même, la surface de révolution sera tangoite à la sphère O" le long de la zone B'B"C"C'; ainsi celte surface générale est bien Yenveloppe de toutes les sphères qui sont les enveloppées^ et le contact avec chacune d'elles a lieu le long d'un des cercles BC, B'C',.«.> qui sont les caractérisques ou les intersections de deux enveloppées conséciUives.

192. Si Ton ne considère, pour un instant, que les grands cercles des sphères mobiles qui sont situés dans le plan vertical de la figure, on voit que leurs circonférences forment, en s'entre-coupant, une suite d'arcs BB', B'B",... dont la ligna enveloppe donnera évidemment le méridien DBBT de la surface de révolution. La forme de ce méridien dépendra de la loi suivant laquelle varieront les rayons OA, O'A',.-; si, par exemple, tous ces rayons étaient constants de grandeur, les caractéristiques seraient toutes des grands cercles égaux entre eux, et le méridien une droite parallèle à OZ. Ainsi, lorsqu'une sphère constante de rajon a son centre en mouvement sur une droite^ [enveloppe de l'espace qu'elle parcourt est un cjlindre de révolution. ,

193. Lorsqu'au contraire le méridien DBF d'une surface de révolution est as-