CHAPITRE II. —DES SURFACES ENVELOPPES. Qt

signé d'avance, il faut évidemment rendre chacune des enveloppées sphériques, tangente à ce méridien, en prenant les normales BO, B'O',... pour les rayons de ces différentes sphères; ainsi, l'on peut dire généralement que toute surface de révobttion est [enveloppe de [espace parcouru par une sphère mobile^ qui a pour rayon variable la portion de chaque normale comprise entre le méridien et [axe.

194. Les surfaces de révolution admettent aussi pour enveloppée une autre surfece génératrice dont la forme très-simple en rend l'emploi fort utile dans certains arts. Imaginons que par des points très-voisins M, M', M*,... {fig. 55) pris sur le méridien FDY, on lui mène des tangentes MT, M'T', M^'T", et qu'on les fasse tourner en même temps que le méridien, autour de l'axe YZ. Par là, ces tangentes engendreront des cônes droits qui toucheront la surface de révolution chacun le long d'un parallèle; car la tangente MT ayant avec la méridienne l'élément MM' commun, tous les éléments supei'ficiels situés sur la zone infiniment étroite MM'N'N seront communs au cône TMN et à la surface générale; donc ces deux surfaces se trouveront tangentes l'une à l'autre tout le long de cette zone. D'ailleurs, deux cônes consécutifs, TMNetT'M'N', se couperont évidemment suivant le parallèle M'N' qui réunit les deux zones de contact ; d'où il résulte que toute surface de révolution peut aussi être regardée comme [enveloppe (*) de [espace parcouru par un cône droit variable TMN, qui se meut de manière que son sommet reste sur FaxCy pendant que sa génératrice rectiligne demeure tangente à la méridienne.

195. C'est par ce mode de génération que les tourneurs exécutent des surfaces de révolution. En effet, lorsqu'ils présentent au solide animé d une vitesse de rotation le tranchant rectiligne de leur ciseau, ils produisent sur ce cylindre un tronc de cône qui est une des enveloppées de la surface générale qu'ils veulent obtenir; puis, en variant convenablement l'inclinaison du ciseau, ils engendrent une série de zones coniques qu'ils savent fondre ensuite les unes dans les autres, en intercalant de nouvelles enveloppées, jusqu'à ce qu'ils arrivent à une surface qui soit sensiblement continue.

C'est encore par le secours de» enveloppes que les ferblantiers exécutent des surfaces développables; car ils se servent d'une enclume cylindrique ou conique, pour plier peu à peu la feuille de fer-blanc le long d'une série de droites tracées dans son plan; et celui-ci devient alors l'enveloppée mobile dont les petites zones élémentaires composent la surface générale, laquelle se trouve ainsi l'enveloppe de toutes les positions qu'a prises le plan mobile de la feuille de métal.

196. Outre les enveloppées sphériques ou coniques qu^admettent les surfaces de révolution, ces dernières pourraient être encore produites par le mouvement

(*) Il ne faut pas attacher à ce mot d^ enveloppe Tidce d'une surface qui en renferme d'autres dans son intérieur. L'enveloppe peat être en dehors ou en dedans des enveloppées, et l'on veut seulement exprimer qu'elle touche chacunç de celles-ci tout le long d'une courbe.

d'un cylindre. En effet, si, par tous les points de la méridienne, on mène des droites perpendiculaires à son plan, et que Ton fasse tourner ce cylindre autour de l'axe, l'enveloppe de toutes ces positions sera nécessairement la même surface de révolution que produirait la rotation de la méridienne; car chaque arête de ce cylindre mobile a évidemment, pour courbe enveloppe de toutes ses positions individuelles, le parallèle de la surface qu'aurait décrit le point correspondant de la méridienne. Avant de passer à une espèce très-générale de surfaces enveloppes, qui manifestera une circonstance bien remarquable produite par les intersections des caractéristiques, étudions d'abord quelques propriétés des lignes enveloppes relativement aux courbes planes.

197. DÉVELOPPÉES des courbes planes. {Fig. 56.) Soit ABX une courbe quelconque tracée dans un plan; concevons- la divisée en éléments égaux BB' = B'B" = B'^B'^,..., et, par le milieu de ces éléments, menons les normales infiniment voisines MC, M'C, M"C",... qui, par leurs intersections successives, formeront une courbe CC'G"... à laquelle elles seront toutes tangentes. Cette courbe DCY, enveloppe de toutes les normales à la ligne primitive ABX, se nomme la développée de celle-ci ; tandis que la ligne ABX reçoit le nom de développante par rapport à la courbe DCY; ces dénominations vont être justifiées par les relations suivantes.

Le point C où se coupent les deux normales MC et MX', élevées sur les milieux des éléments égaux BB' et B'B", se trouve évidemment à égale distance des trois points B, B', B"; par conséquent C est le centre d'un cercle qui aurait, avec la courbe AX, deux éléments communs BB' et B'B". Or, comme on ne saurait assujettir une circonférence à passer par plus de trois points, c'est donc là le cercle qui, parmi tous les autres, approche davantage de se confondre avec la courbe AX dans les environs de B; aussi on l'api^elle le cercle osculateur de cette ligne pour le point B. Quant au rayon de ce cercle osculateur, ce serait à la rigueur une des trois lignes CB = CB' = CB"; mais on peut y substituer CM = CM', parce que ces diverses droites sont les rayons de deux cercles circonscrit et inscrit au même polygone BB'B", et l'on sait qu'à la limite, ou pour des éléments infiniment petits, ces deux circonférences coïncident (*). D'où il résulte que le centre C et le retyon MC du cercle osculateur, sont déterminés par la rencontre de deux normales infiniment voisines.

198. Cette droite MC s'appelle aussi le rajy-on de courbure de la ligne ABX pour

(*) Les lignes CM et CM' sont égales, aUendu que les éléments BB' et B'B'^ étant ici de même longueur, les triangles rectangles CMB' et CM'B' seront égaux. D'ailleurs le premier de ces triangles donn«

CM =: VCB'>-MB'»= CB' ^i - ^Y',

et, en développant, on voit que quand MB' sera infiniment petit, la différence entre CM et CB' ne sera qu'un infiniment petit du second ordre, quantité qui doit être négligé^ , même vis-à-vis de MB'»