CHAPITRE II. — DES SURFACES ENVELOPPES. gS
ie point M, parce que sa longueur, plus ou moins grande, indiquera une courbure plus ou moins faible. £n efFet, si nous voulons acquérir une idée nette de la courbure d'une ligne ABX, regardons-la comme un polygone que l'on aurait formé en pliant successivement une droite BB'b''b"'... autour des points B', b'\ 6*",... ; de cette manière, il est évident que la courbure au point B' sera exprimée par l'écart que l'on aura mis entre les éléments B'6" et B'B", c'est-à-dire par V angle de contingence TB'T, ou plutôt par l'arc e qui mesurerait cet angle dans un cercle dont le rayon serait l'unité. Or l'angle TB'T' égale l'angle MCM', et celui-ci comprend un arc de courbe MB'M' qui se confond avec le cercle osculateur décrit du rayon MC; donc l'arc e, semblable à MB'M', et décrit avec un rayon égal à l'unité, aura pour
valeur
MB'M' BB' ds
MC MC "" p
Mais comme la courbe ABX est divisée en éléments tous égaux entre eux, la quantité ds sera constante; et il résulte de la valeur précédente que la courbure, indiquée par £, variera d'un point à un autre de la ligne ABX, en raison inverse du rayon MC = p. ( Voyez n« 655. )
199. [Fig. 56.) Maintenant, si l'on plie un fil flexible MCC'C'Y le long de la développée, et qu'après avoir attaché fixement un des points de ce fil, par exemple Y, on donne à la partie rectiligne CM une longueur telle, que l'extrémité M aboutisse sur la développante ABX, cette extrémité parcourra exactement la ligne ABX, quand on déroulera successivement le fil en le tenant toujours tendu. En effet, Içrsqne le contact du fil avec la développée sera venu de C en C, la partie rectiligne du fil MC = M'C se sera accrue de CC, et elle aura alors pour longueur totale M'C + CC = M'C; mais, puisque cette dernière ligne (n® 197) est égale à
• M'^C, il s'ensuit que l'extrémité mobile M aboutira précisément en M". Il en serait de même pour toutes les positions successives du fil, qui peut ainsi servir à décrire la déuehppante, en le déroulant de dessus la développée; d'ailleurs, il résulte de là qu'un arc quelconque CC'C" de la développée, est égal à la différence des deux rayons de courbure MC et M'^C" qui aboutissent à ses extrémités.
Observons, en outre, qu'une courbe déterminée ABX n'admet jamais qu'une développée unique; tandis qu'une même développée DCY correspond à une infinité de développantes, puisqu'en prenant sur le fil MCC'Y divers points M, m,.,., ils décriront des courbes différentes MM'M'^X, mm'm''Xy...j qui seront autant de développantes de la même développée DCY. Toutes ces développantes auront évidemment leurs normales communes, et se trouveront partout équidis» tantes dans la direction de ces normales; mais elles différeront beaucoup les unes des autres, quant à leurs propriétés et à leurs équations.
200. Pour citer quelques exemples simples de la théorie des développées, nous
dirons que si la courbe ABX (yÇ^. 56) était une parabole du deuxième degré, sa développée se composerait de deux branches indéfinies, telles que DCY et DY% placées l'une au-dessous, l'antre au-dessus de Taxe AD, et qui viendraient s'j' réunir en formant un rebroussementzu point D. Ce point est éloigné du sommet A, de la quantité AD = a AF = le demi-paramètre, et cette droite AD est aussi le rajon de courbure de la parabole pour le sommet A.
Dans une ellipse ABDE {fig. 76), dont les demi-axes sont OA = a, OB = 6, la développée est une courbe aêâs composée de quatre branches qui présentent autant de points de rebroussement, placés à des distances
Aa = Dcr = ^, Bg = E6=x-
Ce sont là aussi les grandeurs des rajrons de courbure pour les sommets A et £ ; car les deux branches aê et ê<? servent à décrire la demi-ellipse ABD, tandis que les deux autres ae et 6(f se rapportent à la portion inférieure AED.
Dans un cercle, la développée se réduit à un point unique, qui est le centre, et le rayon de courbure est constamment égal au rayon même du cercle donné.
201 . Mais, pour obtenir des résultats plus intéressants dans les applications que nous allons faire aux surfaces enveloppes, nous admettrons ici que l'on s'est donné immédiatement une développée circulaire YDFE [fig. 54), et qu'on en a déduit la développante Î0"0'0X, en déroulant un fil plié sur le cercle, et dont l'extrémité mobile aurait d'abord coïncidé avec le point Y. Pour tracer graphiquement cette courbe, on divisera la circonférence en parties égales, douze par exemple; puis, en portant sur les tangentes FO, F'O', F"0",... des longueurs égales à ^, ^, A'"' ^^ ceXXe circonférence, on obtiendra (n® 199) les divers points O, O', O",... qu'il faudra réunir par un trait continu. Ce sera d'autant plus facile,, qu'on pourra employer à cet effet de petits arcs de cercle décrits avec les rayons FO, F'O', F'O",...; car ces distances sont précisément (pP 197) les rayons des cercles osculateurs de la courbe XOY.
Cette développante XOY sera une spirale indéfinie, ayant pour origine le point Y; et même on doit regarder la spirale Y&'ox symétrique de la précédente, comme étant une seconde branche de la même développante, et comme ne formant avec la première qu'une seule courbe dont toutes les parties sont décrites par te mouoement continu d'un point unique. En effet, si au lieu d'un fil plié sur la développée, on conçoit une droite inflexible et indéfinie kSPab qui, demeurant tangente au cercle CY, roule, sans glisser, sur sa circonférence, il est clair qu'un point O, fijie sur cette droite, viendra successivement se placer en O', O'' et Y; puis, si la rotation de la droite continue dans le même sens, ce point O se trouvera dès lors en arrière du point de contact, et décrira sans discontinuité la branche Yox. D'ailleurs on doit apercevoir que cette manière de décrire une développante quelconque par
