CHAPITRE II. — DES SURFACES ENVELOPPES. gS

la rotation d'une droite inflexible sur la développée, équivaut à la génération indiquée n^ 199; mais le mode actuel est plus général, et il devient même nécessaire quand la développée offre des points de rebroussenient, comme dans l'ellipse, la parabole,..., puisque autrement il faudrait changer souvent le point d'attache du 61, pour le transporter d'une branche sur lautre.

202. SURFACES CANAUX. {Fig, 54.) Cela posé, imaginons qu'une sphère d'un rajron constant^ représenté par OA = OB, se meuve de manière que son centre suive la courbe horizonlale XOYoo:; l'enveloppe de toutes les positions de cette sphère mobile sera formée (n^ 190) par les intersections des enveloppées consécutives; ainsi, examinons ce que sont ici ces intersections. Pour deux positions voisines O et O' du centre mobile, les deux sphères égales se couperaient suivant un petit cercle, dont le plan serait évidemment perpendiculaire sur le milieu de la droite OO' qui joint les centres; par conséquent ce petit cercle serait projeté sur le plan de notre épure qui est horizontal, suivant une droite perpendiculaire à la corde 00', et passant par son milieu. Or, à mesure que le centre O' se rapproche de O, la corde OO' indéfiniment prolongée approche de plus en plus de la tangente à la courbe XOY, et elle coïncide avec cette tangente à la limite : donc, pour deux sphères infiniment voisines^ la courbe d'intersection est un grand cercle projeté sur (anormale AOB de la directrice XOY. 11 suit de là que l'enveloppe peut être regardée comme engendrée par le grand cercle vertical AOB, dont le centre parcourrait la ligne XOY, tandis que son plan resterait normal à cette ligne; ainsi, cette enveloppe présentera la forme d'un canal curviligne qui aura pour axe la courbe directrice XOY, et dont toutes les sections normales à cet axe seront des cercles d'un rayon constant.

203. Ces conséquences continueront évidemment d'avoir lieu quelle que soit la nature de la ligne XOY; c'est-à-dire que si l'on adopte successivement diverses courbes pour directrices du centre de la sphère mobile, on obtiendra des enveloppes de formes très-variées, mais dont chacune aura pour section normale un cercle du rayon OA. Ainsi, ce cercle devient une génératrice de forme invariable, commune à toutes les surfaces qui enveloppent l'espace parcouru par une sphère d'un rayon constant, et qui imprime à toute cette famille d'enveloppes, un caractère distinctif et indépendant de la nature de la directrice XOY; c'est pourquoi MorroE a donné le nom de caractéristique à ce grand cercle normal, et généralement il appelle ainsi l'intersection de deux enveloppées consécutives, dans chaque famille d'enveloppes engendrées par une même surface mobile, quelle que soit la loi du mouvement de cette dernière surface.

204. Nous avons dit (n° 190) que l'enveloppe toucherait chacune des enveloppées particulières précisément le long de la caractéristique, qui est ici le grand cercle vertical et mobile AOB. En effet, trois positions infiniment voisines S, S', S"

de la sphère mobile, se couperont suivant deux cercles situés l'un et Tautre sur la sphère S', et ils y comprendront une zone infiniment étroite, de largeur inégale, mais qui sera commune à S' et à Tenveloppe; de sorte que ces deux dernières surfaces ayant les mêmes éléments superficiels, ou les mêmes plans tangents tout le long de cette zone, se trouveront bien tangentes Tune à l'autre dans cette région commune, qui d'ailleurs comprendra, vers son milieu, la véritable caractéristique ou le grand cercle normal à la courbe XOY. Ainsi, il est vrai de dire que le contact a lieu le long de cette caractéristique.

205. Maintenant, comparons entre elles les diverses caractéristiques projetées ici sur AOB, A'O'B',... [fig- 54), et pour faire mieux ressortir les circonstances assez délicates de leurs intersections, imitons le procédé indiqué vers la fin du n® 201 pour décrire la développante : c'est-à-dire, imaginons que le plan vertical AOBF de la caractéristique soit inflexible et indéfiniment prolongé; puis, faisons-le rouler, sans glisser^ sur le cylindre vertical FDYE auquel il demeurera tangent. Alors le cercle AOB, entraîné avec le plan mobile, parcourra nécessairement l'enveloppe qui nous occupe, puisque les conditions précédentes reviennent évidemment à dire que le centre de ce cercle se mouvra sur la développante XOY, tandis que son plan restera normal à cette courbe. D'ailleurs, tous les points de cette circonférence mobile, projetés en B, R,..., A, décriront d'autres spirales ft), RL,..., AA'E, qui seront autant de développantes du cercle FDY, et dont la première et la dernière formeront le contour apparent de l'enveloppe.

206. Cela posé, tant que, par la rotation du plan vertical AF sur le cylindre FDY, l'extrémité B du diamètre du cercle mobile n'aura pas atteint la développée, deux caractéristiques consécutives ne se couperont pas; car on sait (n® 197) qu'une normale quelconque A' F' à la courbe XOY, ne serait rencontrée par la normale infiniment voisine qu'au point F' situé sur la développée, et ce point se trouve en dehors du diamètre A'B' qui limite la projection de la caractéristique. Mais, dès que le point B aura touché le cylindre en D, les caractéristiques consécutives commenceront à se couper : en effet, la normale GLjr, par exemple, rencontrera la normale infiniment voisine au point L situé sur la développée; et comme ce point se trouve en dedans du diamètre Gg = AB, il en résulte que les deux caractéristiques projetées sur Gjf et sur la normale infiniment voisine, se couperont en deux points projetés en L, et situés l'un au-dessus, l'autre au-dessous du plan horizontal de l'épure. Toutefois, pour justifier complètement cette assertion, il faut ajouter que ces deux caractéristiques sont placées (n° 204) sur une même position de la sphère mobile ; autrement, les plans de ces deux cercles pourraient bien se couper suivant la verticale L, sans que leurs circonférences eussent des points communs.

JI résulte de là qu'à partir de la position DI, les diverses caractéristiques circu-