CHAPITRE II. — DES SURFACES ENVELOPPES

laires se trouveront partagées par leurs intersections consécutives, chacune en deux segments projetés

stir LG, MH, YP, VQ, UT, (N)

et sur Lgf, M/j, Yp, Vg, U^ (n)

Les segments de la première série formeront une nappe que nous désignerons par (N), et à laquelle appartiendront les caractéristiques totales AB, A'B',..., tandis que les segments de l'autre série donneront lieu à une seconde nappe (n), qui commencera par être renfermée dans l'intérieur de la première, mais qui bientôt en sortira pour s'étendre indéfiniment jusqu'aux caractéristiques totales fi'6', aby — En outre, ces deux nappes de l'enveloppe se réuniront l'une à l'autre le long d'une ligne à double courbure projetée sur DLMYVUE, et qui n'est autre chose que le cercle vertical AB, dont le plan serait plié et enroulé sur le cylindre de la développée.

207. Observons d'ailleurs que cette ligne à double courbure DYE {fig. 54) est une véritable arête de rebroussement pour l'enveloppe totale. Car, en se rappelant (n^205) qu'un point quelconque Z de la caractéristique mobile, décrit les deux branches ZaSM et My^z d'une spirale dont le rebroussement est en M, on doit apercevoir que, quand le point mobile Z est en a ou en S, il se trouve encore sur la nappe (N) placée au delà des points de contact D ou L; mais dès que ce point est arrivé en y ou en &, il appartient à la nappe (n) placée en deçà des points de contact Y ou V; par conséquent, le passage de ce point mobile d'une nappe à l'autre, a lieu précisément en M, et la forme de la spirale en cet endroit prouve bien que ce passage s'effectue par un véritable rebroussement. Comme on en dirait autant des autres points de la caractéristique AB, il en faut conclure que la courbe projetée sur DMYE est une ligne de rebroussement pour les deux nappes de l'enveloppe.

Une circonstance analogue se reproduirait dans toutes les enveloppes, quelle que fût la surface mobile qui les engendrerait; c'est pourquoi Monge a donné le nom général démêle de rebroussement d'une enveloppe, à la ligne formée par les intersections consécutives des diverses caractéristiques; et nous en avions déjà rencontré un exemple remarquable dans les surfaces développables où les caractéristiques étaient des droites (n® 190).

208. Revenons à l'enveloppe particulière qui nous occupait, et observons que les segments de caractéristiques hg, M/i,... qui appartient à la nappe {n) doivent être ponctués, parce qu'ils sont invisibles comme étant renfermés dans rintérieur de la nappe (N). En effet, on a évidemment

Lê = LM<Le-f-6M;

d'où, en retranchant la partie commune Le, il résulte que

Êg<ÊM; 4* édU. i3