CHAPITRE II. — DES SECTIONS PLANES. Io

la droite (BC, B'), jusqu'à ce qu'il devienne parallèle au plan horizontal. Par cette révolution, la trace verticale Q'R' deviendra l'horizontale q'B\ et un point quelconque de la courbe, par exemple (M, M^), décrira un arc de cercle perpendiculaire à l'axe de rotation; donc cet arc sera projeté verticalement sur un arc égal M' m' décrit du centre B', et horizontalement sur la droite indéfinie MF parallèle à la ligne de terre. Alors, puisque le point M' s'est transporté en m', si l'on projette ce dernier en m sur MF, on aura la position (m, m') que prend, après^ le rabattement, le point (M, M') de la courbe proposée. En opérant de même pour d'autres points, tels que A, D, E, F,... (*), on verra qu'ils se rabattent en a, rf, e, /,...; et en réunissant ces derniers par un trait continu, la ligne arnQdCna représentera l'intersection cherchée dans ses véritables dimensions.

220. Cette intersection est ici une ellipse, puisqu'en la comparant avec le cercle ABDC, on voit que pour les mêmes abscisses comptées sur la droite BC, les ordonnées perpendiculaires à cette ligne ont augmenté toutes dans le rapport constant de OA à B'A'; or on sait qu'une pareille modification change un cercle en une ellipse. D'ailleurs, comme il existait deux points M et N de la courbe primitive, qui avaient l'un et l'autre M' pour projection verticale, et que ces deux points se sont transportés sur une corde mn évidemment perpendiculaire à Oa, et dont le milieu est sur cette droite, il s'ensuit que la ligne aOd divise en deux parties égales et à angles droits une série de cordes parallèles dans la courbe rabattue; donc rtOrfest un axe de l'ellipse, et par conséquent BOC est le second axe.

221. Cherchons maintenant la tangente de l'intersection pour un point quelconque (M, M'). D'après la règle générale (n° 213), cette droite devant être située à la fois dans le plan PQR' et dans le plan tangent du cylindre qui est le plan vertical MT, il en résulte immédiatement qu'elle a pour projection MT et M'Q. Ensuite, si Ton veut retrouver cette tangente sur le rabattement de l'intersection, on observera que le pied (T, Q) de cette droite décrit, comme nous l'avons expliqué pour (M, M'), un arc de cercle perpendiculaire à la charnière (BC, B') ; de sorte que le pied de la tangente se transporte en f, et puisque le point de contact est venu en /7z, la tangente rabattue est donc /m. Cette droite devra toucher exactement la courbe amBt/.

On peut encore observer que la tangente TMS de l'intersection primitive allait rencontrer la charnière en un point (S, B'), qui doit demeurer immobile pendant le mouvement de rotation; ainsi, il faudra que la droite /m, déjà déterminée, aille passer par le point S.

222. Développement, Nous avons vu (n® 161) que, quand on développe un cy-

{*) Quoiqu'on puisse prendre ici ces points d'une manière arbitraire sur la base ABDC, il est bon, pour l'opération ultérieure du développement , de les choisir tous de manière qu'ils divisent la circonférence en parties égales.

Io4 LIVRE IV. —INTERSECTIONS DE SURFACES.

lindre, la seclion droite qui est ici la base ABDC (Jig. 58), devient rectiligne sans changer de longueur absolue; et que les arêtes lui demeurent perpendiculaires. Si donc, en supposant qu'on ouvre le cylindre le long de l'arèle (D, VV), on porte sur une droite indéfinie, des longueurs (*)

D"E''== DE, E''F''= EF, F'W'= FB, B''M"= BM,...,

et que par les points D", E", F",... on élève des perpendiculaires égales à la hauteur W du cylindre, on obtiendra, pour le développement de cette surface, le rectangle D"V"V"'D'*'. Maintenant, rapportons-y les points de Tintersection ; et à cet effet, rappelons-nous (n*^ 162) que les portions de génératrices du cylindre, comprises depuis la base jusqu'à cette courbe, doivent conserver après le développement leurs longueurs primitives. Par conséquent, si nous portons sur les verticales du développement, des distances

jy'â = VD', E'^e = KE', F'cp = ÏF',....,

et que nous réunissions par un trait continu les extrémités de ces hauteurs, nous obtiendrons, pour la transfoîinée de l'intersection, la courbe âefS[jL(x.â\

223. Dans l'exemple actuel, où la base du cylindre droit est un cercle^ la transformée sera composée d'abord de deux parties évidemment symétriques aâ et ac^; car les deux arcs égaux AM et AN, qui répondent à deux points de la section projetés en M', fourniront sur le développement, des abcisses et des ordonnées respectivement égales ; savoir :

A" M" = A"N" et M'> = N"v.

En outre, chacune de ces parties, par exemple ol&j se trouvera aussi composée de deux portions êa et êrf égales, mais inversement placées par rapporta l'horizontale 0)6: cela résulte de ce qu'à partir de ê, les points f et fx, e et X, proviennent des points du cylindre F' et M', E' et L', qui se trouvent à des hauteurs respectivement égales au-dessus et au-dessous du point B'. D'ailleurs, la transformée totale n'est qu'une portion d'une courbe indéfinie (**) qui, d'après la relation existante entre

(*) Obser\'ons ici que, quand la courbe ABDC est quelconque, il faut, pour rectifier les arcs DE, EF, . . . , les mesurer en employant une ouverture de compas qui représente une très- petite corde sensiblement confondue avec Tare partiel qu'elle sous-tend; puis, reporter sur la droite indéfinie D^D* le même nombre de fois cette ouverture de compas. Mais, quand il s^agit d'un cercle, comme dans l'exemple actuel , il est beaucoup plus commode et surtout plus exact de prendre immédiatement la droite D^'D'" égale aux ^ du diamètre AD, puis de diviser cette droite en autant de parties égales qu'en contient la circonférence. Cela suppose d'ailleurs que les points de division de la base du cylindre ont été choisis eux-mêmes à des distances égales, comme nous l'avons recommandé dans la note du n«ftl9.

(**) Celte courbe est une sinusoïde; car, si l'on appelle x l'abscisse horizontale et^' l'ordonnée verticale du point f , comptées à partir du point 6 comme origine, puis que l'on désigne par j/= B'U't y= F'U', les coordonnées du point analogue F' par rapport à l'origine B', il est évident que Ton