CHAPITRE II. —DES SECTIONS PLANES. lo

ses coordonnées^ admet une infinité de branches successives identiques avec &'aâ. On peut même, par la géométrie, faire naître ces diverses branches, en inPiaginant que le plan sur lequel on effectue le développement du cylindre, avait été roulé sur ce corps un nombre de fois indéfini, et en répétant les constructions antérieures sur le prolongement de la droite D'^D"-

224. Construisons maintenant la tangente de la transformée â'a^ pour un point quelconque fx. Nous savons (n° 162, 3°) que cette droite est la position que prend, après le développement du cylindre, la tangente (MT, M'Q) de la courbe primitive, et que d'ailleurs l'angle de cette tangente avec Taréte du cylindre demeure invariable. Il s'ensuit que le triangle rectangle formé par cette tangente, la verticale (M, M' H) et la sous-tangente MT, reste aussi invariable de forme, et ne fait que tourner autour de cette verticale pour s'appliquer sur le plan du développement; il suffit donc de reproduire ici ce triangle dans ses véritables dimensions. Or, comme on a déjà la hauteur fxM" =M'H, si l'on prend M"T" égale à la soustangente MT, l'hypothénuse T'fx sera la direction de la tangente cherchée.

On pourrait aussi employer un triangle rectangle, opposé par le sommet au précédent, et qui a pour côtés la verticale (M, M'A') et l'horizontale (MS, A'B'). Ce triangle demeurant encore invariable de forme, il suffira de prendre fxw = M'A' et de tirer l'horizontale wêS" = MS; alors, en joignant les points S" et fx, on obtiendra une droite qui devra se trouver le prolongement de T"fx.

225. Il est important de remarquer qu'aux deux points (A, A') et (D, D') de l'intersection du cylindre avec le plan PQR', la tangente à cette courbe se trouvait parallèle à la trace PQ, puisque le plan tangent du cylindre en A ou en D est luimême parallèle à cette trace. Il en résulte qu'en chacun de ces points, la tangente de la section formait un angle droit avec l'arête du cylindre; et comme cet angle doit demeurer invariable (n^ 162, 3^) dans le développement de la surface, il faudra qu'aux points a, c?, d' la transformée coupe encore à angles droits les verticales A' a, D"c?, D"c^.

226. Observons enfin qu'au point € de la transformée il y aura une inflexion; c'est-à-dire que si l'on construisait, comme ci-dessus, la tangente en ce point, cette ligne traverserait la courbe, en laissant l'arc Sa au-dessus d'elle, et l'arc S& au-

aura les relations

X'^ff x'=sinBF = sinB"F" = sinar, y = ^^y

en désignant par a la tangente trigonomctrique de Tatigle R'B'rf'. Donc, en éliminant les variables auxiliaires ar', j', il viendra pour l'équation de la transfornaée rapportée à l'origine S,

/zrasinx; ou bien /=<iRsin— >

en comptant, suivant l'usage analytique, les sinus dans le cercle dont le rayon est l'unité, et désignant par R le rayon du cylindre actuel.

4« édit. i4

Io6 LIVRE IV. — INTERSECTIONS DE SURFACES.

dessous. Néanmoins^ il ne faut pas la regarder comme une sécante; car, bien au contraire^ elle a dans ce point singulier un contact plus intime avec la courbe que celui d'une tangente ordinaire. En effet, d'après la symétrie que nous avons prouvé exister (n^ 225) entre les deux parties Sa et Sa, si nous menions par le point S une droite quelconque qui rencontrât l'arc inférieur en fx, cette même ligne couperait nécessairement l'arc supérieur dans un autre point <f qui serait à la même distance que fJL par rapport à S; donc en faisant tourner cette sécante autour du point 6, les deux points jui et y se rapprocheront simultanément de celui-ci^ et lorsque ]x viendra se confondre avec S, au même instant ç coïncidera pareillement avec S. D'où l'on voit que Ja position limite de cette sécante sera déterminée, non par la réunion de deux points de section, mais par celle de trois points de ce genre; et qu'ainsi cette tangente particulière offrira un contact du second ordre^ d'après lequel elle aura un élément commun avec l'arc Sa, et aussi un élément commun avec l'arc Sa. D'ailleurs, ces deux arcs se trouveront évidemment de côtés opposés par rapport à la tangente, à cause des mouvements contraires que prennent simultanément les deux portions de la sécante, lorsqu'elle tourne autour du point ê; donc il y aura là une véritable inflexion (*) .

Pour éviter la confusion des lignes, nous avons construit cette tangente singulièfe pour le point analogue 7, en prenant la sous-tangente C'Q" égale à C9, et en joignant les points 7 et 6'^

227. he développement d\in çyWnàre e&t une opération nécessaire à employer dans certains arts. Si, par exemple, on voulait former en tôle ou en fer-blanc un tuyau cylindrique qui dût se terminer à deux plans, Tun perpendiculaire, l'autre

(*) Au lieu de ces considérations qui sont particulières au cercle, mais qui nous ont paru très-propres à faire sentir aux élèves le caractère distînctif de l'inflexion , on peut démontrer généralement que, dans tout cylindre coupé par un plan oblique, la transformée de la section offrira une inflexion au point situé sur la génératrice pour laquelle le plan tangent du cylindre se trouvera perpendiculaire au plan sécant. En effet [fig, 69 bis)^ soit tt le plan qui coupe le cylindre suivant la courbe KLMNPQy soit YMT un plan tangent perpendiculaire à tt ; il coupera ce dernier suivant une tangente VMNT qui sera évidemment la projection orthogonale , syr le plan tt , des deux génératrices infiniment voisines YM et ZN. Or on sait (n** 42 ) que Tangle aigu ZNT est le minimum, et Tangle obtus ZNV le maximum de tous les angles que Toblique ZN forme avec les diverses droites tracées par son pied sur le plan ^ i donc, on aura toujours

angle ZNT <ZNP et angle YMV > YML.

Par conséquent, lorsqu'on développera le cylindre sur le plan tangent YMT supposé immobile, Télément NP de la courbe ira prendre une position NP' située au-dessous de la tangente MT, tandis que l'élément ML se transportera au-dessus, comme ML'. Ainsi la courbe transformée K'L'MNFQ' présentera bien une inflexion au point IVf, ou suivant Télément MN.

Cette remarque intéressante a été faite d'abord par M. Th. Olivier; mais nous Tavons présentée ici sous une forme telle , qne l'énoncé s'appliquera identiquement aux surfaces coûiques et à toutes les surfaces développables , comme nous le verrons au n° 2i5tf.