CHAPITRE II. — DES SECTIONS PLANES. Ï

incliné sur sa longueur, il faudrait tracer, sur une feuille de métal encore plancj la courbe c^'ae?, puis découper cette feuille le long de cette courbe, en enlevant la partie supérieure; alors on serait certain qu'en courbant le reste de la feuille de tôle au moyen d'une enclume cylindrique, le bord supérieur présenterait la forme d'une courbe planCy ayant l'inclinaison voulue par la question.

De même si, après avoir exécuté en bois ou en pierre un cylindre droit, on voulait le terminer par un plan incliné, il faudrait construire, sur un carton flexible, le développement de ce cylindre avec la transformée &'a& de la section dont il s'agit, puis découper ce carton le long de cette courbe, et le rouler ensuite sur le cylindre. Dans cet état, le*bord du carton aurait repris la forme qui convient à la section plane demandée, et l'on pourrait tracer celle-ci sur le solide, en suivant avec un crayon le bord de ce carton enroulé; de sorte que l'ouvrier, connaissant ainsi le contour de la partie du solide qu'il doit enlever, pourrait achever l'ouvrage avec toute la précision désirable. Nous rencontrerons des applications fréquentes de ce procédé dans la Coupe des pierres et dans la Charpente.

228. Autre solution de l'intersection d'un cylindre droit par un plan {fig. Bg). H peut arriver que quelque circonstance de la question empêche de choisir le

plan vertical de projection perpendiculaire au plan sécant; alors ce dernier aurait pour traces des droites quelconques PQ et QR^ et le cylindre serait toujours représenté par sa base ABDC, et par les deux verticales UU', VV', qui forment son contour apparent sur les plans fixes. Dans ce cas, suivons la méthode générale du n** 210, et coupons le cylindre et le plan donné PQR' par divers plans horizontaux, tels que K'N'M'; ce dernier aura pour section dan» le plan donné une horizontale (K'M', RM), et pour section dans le cylindre, une courbe projetée sur la base ABDC; par conséquent, les poitits M et N qui sont communs à ces deux sections auxiliaires sur le plan horizontal, étant projetés sur R'M', fourniront deux points (M, M') et (N, N') de l'intersection demandée. Les autres s'obtiendront d'une manière toute semblable, en menant à volonté des parallèles à la ligne de terre, comme A'L', E'F,....

229. Mais il vaut mieux .interpréter autrement ces constructions, en disant que Ton mène à volonté des plans auxiliaires qui soient verticaux et parallèles à la trace PQ, comme MNR. Alors ce plan vertical coupera le plan PQR' suivant l'horizontale (KM, K'M'), et le cylindre suivant deux génératrices projetées sur XN' et YM'; donc la rencontre de ces dernières avec la ligne K'M' fournira deux points (M, M') et (N, N') de l'intersection demandée. Cette marche offrira l'avantage de pouvoir trouver directement certains points remarquables qu'il importe de construire, préférablement à d'autres qui en seraient même très-voisins.

1**. Si l'on applique cette méthode à la recherche des points situés sur les arêtes (A, UU'), (D, TV'), qui forment le contour apparent du cylindre sur le plan ver-

Io8 LIVRE IV. — INTERSECTIONS DE SURFACES.

tical, on obtiendra les points A' et D' qui séparent la partie visible de Tintersection cherchée, d'avec la partie invisible; et dans ces points-là, la projection verticale A'B'D'C devra toucher les deux droites UU' et VV. En effet, la tangente de la courbe dans l'espace pour le point (A, A'), est nécessairement située dans le plan tangent du cylindre le long de l'arête (A, UU'); mais ce plan est ici perpendiculaire au plan vertical, et par conséquent la tangente en question se trouve projetée sur sa trace UU', laquelle doit ainsi toucher la courbe A'B'iyC'; car d'ailleurs nous avons démontré (n^ 102) qu'une courbe et sa tangente devaient se retrouver tangentes Tune à l'autre, quand on les projetait sur un même plan.

a*'. Le point le plus haut et le point le plus bas de la courbe, c'est-à-dire ceux oii la tangente sera horizontale, s'obtiendront en cherchant les arêtes B et C, pour lesquelles le plan tangent du cylindre se trouve parallèle à la trace PQ. En effet, si, après avoir conduit dans cette direction la tangente BI de la base ABDC, et avoir construit comme ci-dessus le point (B, B') de la section, on veut trouver la tangente relative à ce point, il faudra (n° 213) chercher l'intersection du plan PQR' avec le plan vertical BIT qui touche le cylindre en (B, B'); or ces deux plans ayant leurs traces parallèles, ils se couperont nécessairement suivant une horizontale FB' qui sera la tangente au point B'. Cette droite devient ainsi une limite de la courbe; et l'autre limite sera la tangente au point (C, C), qui se trouvera pareillement horizontale.

230. La tangente en un point quelconque (M, M') sera donnée par l'intersection du plan PQR' avec le plan tangent du cylindre le long de l'arête verticale M; or ce dernier a pour trace la droite MT qui rencontre PQ au point T; de sorte que, sans chercher la seconde trace de ce plan tangent, on est certain que T est la trace horizontale de la tangente demandée. Dès lors, en projetant ce point sur la ligne de terre, et le joignant avec le point de contact, on obtiendra TM et T'M' pour les projections de la tangente.

231. Le rabattement de la courbe poucrait s'effectuer en faisant tourner le plan PQR' autour de sa trace PQ, pour labattre sur le plan horizontal; et comme, dans ce mouvement de révolution, le point quelconque (M, M') ne sortirait pas du plan vertical PM perpendiculaire à la charnière PQ, il suffirait de chercher (n^ 17) la distance du point P au point (M, M'), puis de porter cette distance sur PM prolongée, pour obtenir la position du point (M, M') en rabattement. Les autres points se détermineraient d'une manière semblable.

Mais il vaut mieux rabattre le plan PQR' sur le plan vertical, autour de sa trace QR', parce que chaque horizontale telle que (KM, K'M') conservera sa grandeur absolue qui est KM, et deviendra parallèle à la position que prendra la trace PQ après ce rabattement. Pour trouver cette position, j'imagine que la droite (BG, B'C) soit prolongée jusqu'aux points S et R^ où elle rencontre les deux traces du plan