CHAPITRE III

Des intersections de surfaces courbes par des plans y et par d'autres surfaces courbes *

.§ V^. DES IIîTERSECTIOlfS DE SURFACES COURBES PAR DES PLANS*

59. La courbe d'intersection d*une surface, par un plan, passe par tous les points dans lesquels ce plap Groupe un système de lignes données sur la surface.

Considérant sur la surface donnée une. ligne quelconque, qui rencontre le plan coupant en un ou plusieurs points, ces* points appartiennent à Tintersection de la surface et du plan. La ligne de la surface que Ton considère, peut être ou une ligne droite, ou une ligne courbe plane, ou une courbe à double courbure; tous les problèmes relatifs à l'intersection des surfaces se réduisent donc à trouver l'intersection de Tune de ces trois lignes par uii plan.

Si la surface a pour génératrice une ligne droite, le plan coupant rencontrera cette droite dans toutes ses positions.

Le problème qui consiste à trouver le point de rencontre d'une droite et d'un plan ayant été résolu (art. 17), on appliquera la même solution à toutes les droites de la surface. La ligne continue, menée par tous les points d'intersection de ces droites et du plan , sera l'intersection de la surface proposée par le plan donné.

60. Lorsque la surface a pour génératrice une courbe plane , dont le plan est variable de position, et qui varie elle-même dans son plan, le plan variable, considéré dans une position déterminée, rencontre le plan coupant suivant une droite , et les deux plans n'ont de commun que les points de cette droite ; d'où il suit que les points d'intersection du plan coupant et de la courbe génératrice se trouvent nécessairement sur cette droite. On a vu ( art. 16) comment on trouve la ligne d'intersection de deux plans; cette ligne, et la courbe génératrice située dans le plan que l'on considère , se coupent en un ou plusieurs points qui appartiennent à la courbe d'intersection de la surface proposée et du plan coupant.

6i. Le troisième .cas et le plus général a lieu, lorsque la surface est engendrée par une courbe à double courbure. On ramène ce dernier cas au premier , en

'38 GéOMÉTHIS DESCRIPTIVE.

plaçant la courbe génératrice considérée dans une position déterminée, sur une surface réglée, dont cette courbe est prise pour Tune des trois directrices (art. 47)* Les deux autres directrices sont arbitraires; on peut se donner deux lignes droites placées d'une manière quelconque par rapport à la courbe donnée. Prenant un point sur cette couine ^ on mènera, par ce point et par Tune des droites ' directrices, un plan qui coupera la seconde droite directrice en un point Joignant ce dernier point et celui qu'on a pris sur la^directriee courbe, par une droite, cette droite appartient k une surface réglée qui passe pai^ la courbe donnée. Le plan coupant, qui, par hypothèse, rencontre cette courbe, cpupe nécessairement la surface réglée, et la section contient les points communs au plan et à la courbe ; donc ces points se trouveront nécessairement sur la section plane de la surface réglée et sut la courbe donnée, par conséquent à l'intersection de ces deux courbes.

Lorsqu'on donne une courbe génératrice par ses deux projections j on donne aussi deux surfaces cylindriques engendrées par des droites perpendiculaires au^ plans de projections; chacune de ces. surfaces contient la courbe donnée et tient lieu de la surface réglée, qui a pour directrices deux droites arbitraires, prises hors de la courbe donnée. Chaque cylinçlre étant coupé par le plan qui f par hypothèse, rencontre la courbe (jonnée, cette courbe et la ligne d'intersec* tion sur le cylindre auront des points communs, qui seront les points deman4és*

Exemples (^intersections de surfaces par des plans.

Nous considérerons successivement les sur&ces déveldppables , les surÊioes de révolution , les surfaces réglées, et les lignes d'intersection de ces surfaces par ^ des plans.

§ n. DES SURFA.CES DliV^LOPPABLES GOUPJÉES PAR UW PLAK.

Premier Esnemple. —^Intersection (^cjrlindredroiik basecùxMlaireparunplan. ( W. 9.)

6a. Le cercle, base du cylindre, est donné sur le plao horizontal; on suppose la droite génératrice de la surface cylindrique^ verticale, et le plan coupant, perpendiculaire au plan vertical de projectipns. Dans cette hypothèse, la coudbe d'intersection du cylindre par le plan^ a pour projection horizontale, le cercle V base du cylindre, et pour projection verticale, la droite, trace du plan coi^^ant sur le plan vertical. Si l'on veut coânaUre cette courbe telle qu'elle est xlans soa plan , on fait tourner ce plan jusqu'à ce qu'il s'applique ou sur le plan horizontal ou sur le plan vertical de projections, et on détermine ce qiie devient diàque point de la pouTbe après ce mouv^nnent de rotation. Cette conslracâon est le principal objet de la^. i que twwu âdkM» expliquer.

QiOMiTBIE DESGAIPTXVB. 39

63. EcqAication desjîg. i^ia^i b^pl. 9. Soit ABCD la base circulaire du cylindre droit vertical ; élevant les perpendiculaires A A'a , BB'^ à la commune intersection XY des plans de projections, ces perpendiculaires sont les limites de la projection verticale du cylindre.

Soit Fg^la^trace verticale dU plan cqupant; puisqu'on suppose ce plan perpendiculaire au plan vertical de projections , sa trace sur le plan horizontal , sera une droite FE , perpendiculaire à rintersection XY des plans de projections. . La courbe d'intprsection du cylindre par le plan , a pour projection horizontale le cercle ÀBCD, et pour projection verticale la droite Ff .

Pour la construire dans son plan , on suppose que ce plan tourne autour de sa trace verticale .F^, et on cherche ce que devient un point quelconque (H, A) de la courbe lorsc^u'il s'applique sur le plan vertical. La distance de ce pcMnt à la droite F^ autour de laquelle il tourne , est égale à Thorizontale H'H. Ayant transporté la trace Yg parallèlema^t à eDe-méme en F^, et le point A de cette trace en Y, 4a perpendiculaire VA% de même longueur que l'horizontale Hlf , sert la distance du point de la courbe à son axe de rotation , et l'extrémité hl de cetl^ perpendiculaire sera le point (H , A) de la courbe, appliqué sur le plan verticale Oa aurait le point K' de cette courbe, situé sur la même droite yh\ en prenant VA" s= Hl ; ce point K' a pour projection horizontale le point I du cercle ABCD , et pour projection verticale le ^Soint h situé sur la droite Hllf A. On trouverait tant d'autre^ points qu'on voudrait de la courbe afi'Hh^ (Jtg, iiz ) , interaection du cylindre et du plan. Chaque point de cette courbe 9 tel que A\ est déterminé (art. 3) par une abscisse FT es FA, comptée sur l'axe des abscisses Fjf'v et par une ordonnée VA' perpendiculaire à l'abscisse.

Au lieu de faire tourner le plan de la courbe autour d'une trace du plan cou» pa'nt, on imagine par le centre O du cercle ABCD deux diamètres , l'un perpendiculaire 9 l'autre. parallèle à la trace bori^^ontale FE , et par ces diamètres deux plans verticaux» qui rencontrent le plan coupant £F^ suivant deux droites , •l'une (a/3, F^), l'autre horizontale (GD,c), perpendicylaire à la première au pcHnt (O) c)^ et on fait tourner le plan de la courbe successivement autour de ces deux diroiles*

Transportant la droite a^ parallèlement à elle-même en tti'^\ et le point A en J' sur la perp^MiiciîUaire A]' à ak^ fm aujra les points A", A" de la courbe d'fil'HW {Jig^ ï Ay en faisant J'À' :;=:3'A" =, JH^JI; la droite d'^' {Jig. i a) eat, sur le plan de la courbe 9 la droite (AB, ai)^ {fig. i).

Abaissant la seconde droite (CD » c) sur le plan horizontal en CD» et faisant tourner le plan de la courbe autour de cette droite transportée esk CD > le point (H, A) de la courbe décrira un cercle d'un rayon égal à ch. Ayant élevé la perpendiculaire HQf à CD , et portant du point Q' en F une

^O GÉOMÉTRIE DBSCRIPTIy)!.

droite Q'P' =^ch^ le point F sera ce que devient le point (H, A) de la courbe, après avoir tourné autour de la droite (CD, c) pour s'appliquer sur le plan horizontal passant par cette droite.

^On trouvera de la même manière tant d'autres points de la courbe. CDFF (7%"' ï *)î V^^ ^^ diffère pas de la courbe cc"//K' {Ji^. i a). Si Ton compare les dimensions de cette courbe dans les àèxa.Jigures i a, i d , on aura :

CD = cC'; «^ = a!^' = « ^; FQ' = F'Q' =pK ^p'K\

De la tangente à la courbe d* interjection d*un cjUndre droit vertical par un plan.

64* Lsi tangente en un point quelconque (H, K) de la courbe appartient an plan tangent du cylindre; elle est aussi sur le plan coupant : elle est par conséquent l'intersection de ces deux plans (art. 4o). Le plan tangent au point (H, A) du- cylindre vertical, est vertical (art. 48), et a pouç trace sur le plan horizontal de projections, la tangente au cercle LHE menée par le point H*de ce cercle; or ce plan coupe le plan de la courbe au point £ de la trace horizontale FE : le point de la courbe (H, K) est commun à ces deux plans; donc^en portant FE en FE' (/%•. i a ) , et joignant le point K de la courbe avec le point E^ de Vintersection dès deux plans, la droite 'EK sera la tangente au point K de la icourbe cV'AW'.

En raisonnant de la même manière, on obtiendra la tangente au mérâe point (H, A), rapporté en F sur \9ijig. i i. La tangente LHE coupe le diamètre CD au point L de Tintersection du plan tangent et du plan de la courbe. Joignant ce point et le point F de la courbe par une droite ^ on aura la taugen te LF «u point F [Jig, i b) , .et fi {Jig. i à).

65. Comparant \t^Jïg. i a ^Xjîg.\ i, dont chacune représente fa courbe résultant de l'intersection du cylindre par le plan (AFg^), on a : M'EN = E'N'; T0 = /0'.

la courbe CDajS {Jig. i ^) est une ellipse qui a pour axes principaux les droites rectangulaires CD et a/3. En décrivant sur le plus petit de ces axes, comme dia** mètre , le cercle ABCD , on voit que pour les points du cercle et de Tellipse , situés sur une droite quelconque FQ' perpendiculaire au diamètre commun CD , la sous-tangente Q'CL est la même. On démontre cette proposition par l'algèbre 9 dans les traités des courbes du second degré ; la construction géométrique précédente fait voir que les deux tangentes FL, HL doivent, en effet, concourir #n un même point L du diamètre CDL.

Deuxième Exemple, — Intei^seclion ducone droit a base ciœulcure par unplan, (PL lo.)

66. Lorsqu'un cône à base circulaire est droite la ligne droite menée par le sommet de ce cône, et par le centre du cercle qui lui sert de base, est perpendiculaire au plan de ce cercle. Si cette droite^ qu'on nomme axe du cône, est oblique par rapport au plan du cercle, le cône est oblique..

On peut concevoir sur le cône droit deux systèmes de lignes , ou des droites dirigées du sommet vers les points de la base circulaire , ou des cercles parallèles k la base , qui ont pour rayons les perpendiculaires abaissées de Tune quelconque des droites du premier système sur Taxe. Le plan coupant , donné de position par rapport à la siu'face, rencontre et les droites du premier système, et les cercles du second système , en des points qui appartiennent à la courbe d'intersection du plan et du cône.

67. Explication de lajîg. i^ pL lo. La surface et le plan coupant étant donnés de position dans l'espace, on prend pour plan horizontal, le plan dû cercle base du cône, et pour plan vertical un plan perpendiculaire au plan coupant. Soit ABCD i^g. i,/>i lo) le cercle base du cône; FN la trace horizontale du plan coupant; XY perpendiculaire à FN, l'intersection du plan horizontal et du plan vertical de projections; Fg'la trace verticale du plan coupant NF^. Quelle^ que soit la courbe d'intersection contenue dans ce plan , la projection verticale de cette courbe se confondra avec la trace F^, puisque ( art. 4 ^^ ^ ) ^^ P^^^ coupant jest par hypothèse perpendiculaire au plan vertical de projections.

Ayant mené le diamètre AB parallèle à l'intersection XY des plans de projections, on divise chaque demi-circonférence ABC, ABD en un certain nombre de parties égales, par exemple en douze parties; les droites menées du centre O du cercle aux points de division; sont lés projections horizontales des droites de la surface conique, menéeà du sommet aux mêmes points de division. Soit (OH, oIT) l'une de ces droites; elle est rencontrée par le plan coupant (NFg^) au point (M, /»). De ces deux points ;w^ M, le premier détermine le second, puisqu'ils sont sur une perpendiculaire niNL à la droite XY.

La crroite^' est aussi la projection verticale d'une droite de la surface dont 01 est la projection horizontale; d'où H .sait que la perpendiculaire mVL à XY coupe la droite OI au poinUây qui appartient comme le point M à la projection horizontale LMPS de laremirbe d'intersection du cône et du plan.

Les droites oA, pBt projections verticTales des droite^ du cône, qui ont pour projections horizontales OA, OB, sont les limites de la projection verticale du cône; la trace Vg coupe ces limites aux points /,/?, qui déterminent les points L, P de la projection horizontale LMPS,

42 GÉÛMIBTBIE OESCHIPTIYE.

En opérant de la même manière sur toute autre droite delà surface cooique comme sur la droite (OH, c?H'), on construira tant de points qu'on voudra de la projection horizontale £MPS.

Considérant sur le cône le second système de lignes, e'est-à-dire les cercles engendrés par les points d'une droite de la surface telle que ( AO , Mo) , tour^ nant autour de l'axe (O, O'^ j, chacun de ces cercle$ est rencontré par le plan coupant en àewa points , dopt les projections appartiendront à la courbe déjà construite LMPS.

68. Soit fli/3 une horizontale, ou plutôt la trace verticale d'un plan horizontal qui coupe le cône suivant un cercle du diamètre «tjS. La circonférence décrite, du point û comme centre avec un rayon moitié de «^jS, rencontre la perpen»diculaire niifi à XY aux points M et S de la courbe LMPS t projection horizontale de la courbe d'intersection du cône et du plan. Tous les cercles du cône coupés par le plan, sont renfermés entre les plans horizontaux qui ont pour traces verticales, les horizontales /A et p^.

On doit remarquer, parmi ces cercles, celui dont le diamètre yi" passe par le point «, où la projection verticale O'o de l'axe du cône CQupe la trace F^. La projection horizontale de ce cercle , coupe la droite OO' perpendiculaire à X Y, aux deux points R et Q qui appartiennent à la courbe LMPS.

En suivant le premier mode de construction de cette courbe, on n'aurait pas trouvé directement les deux points R et Q , et les points voisins de ceux-là ne seraient déterminés que par des lignes qui se couperaient fort obliquement.

On ne parvient au tracé exact de la courbe LMPS que par la combinaison des deux modes de construction , qui résultent de la considération de la double génération du cône par la liçne droite et le cercle.

69. La courbe LMPS et la droite Vg étant les deux projections de l'intersection du cône (ABCDO , A'B'o) par le plan (NFg^) , on obtient cette intersection dans son plan , eu faisant tourner ce plan autour de l'une de ses traces , sur les plans de projections.

Comptant les abscisses (art. 3) de cette courbe d'intersection , sur la trace verticale Yg du plan coupant, les ordonnées sont des horizontales perpendicu* laires à cette trace ; ou prenant la trace horizontale 1^ pour l'axe des abscisses, les ordonnées sont des parallèles à la trace verticale Fg^. T^s,^. i a^Jîg. i b font voir la courbe d'intersection , lorsque le plan de cette courbe est appliqué sur les plans vertical et horizontal de projections.

70. Explication de lajîg. % a. --^¥m étant l'abscisse du point (M , /«) d'une

GSOMÉTRIE DESGltIPTlV£. 43

coarbe située dans le plan (NF^) , il s'agit de trouver la position de ce point sur

Ayant mené par le point donné m la perpendiculaire mSM à XY, et la perpendiculaire mni à la trace Fg-, on fcM cette perpendiculaire mm' de même longueur que la distance MM' du point donné M à la droite XY, et le point /// sera le point de la courbe (M, m) appliqué sur le plan vertical. On aurait le point m'\ en prenant mn^' = M'S.

71. Explication de lajîg. \ b. — FN étant Tabscisse du point (M, ni) d*une courbe située dans le plan (NF^), on demande la position de ce point sur la fig. ib?

Ayant élevé par le point donné M la perpendiculaire NM^t' à la trace FK, on porte sur celte perpendiculaire la longueur N;t'=::r F/w, et le point (jl est encore lé point (M, m) de la courbe, appliqué sur le plan horizontal. On aurait le point s en élevant la perpendiculaire ST à PN, et la prolongeant en j*, de manière qu'on ait T^ = fm.

On trouverait de la même manière que ïes points de la courbe d'intersection (L, /),(P,/^) deviennent sur la^. (i a), t^p\ etsur \^J2g.{i b)y ^\ 4'.

Le plan vertical OU rencontre le plan coupant (WF^), suivant une droite qui divise en deux parties égales et symétriques, la courbe d*interseclion du cône et du plan; pour rapporter cette droite sur ^y^. i a, on mènera FN' perpendicu-' laire à F^, et on portera sur cette droite ^ne longueurFU'=FU(/%r.i); la parallèle \]p à la trace F^ divisera en deux parties égales les ordonnées de la courbe, telles que mW, perpendiculaires à cette trace : ainsi on a km':=km"=:Ç/ig. j) KM=:KS»

De la tangenùe à la courbe d* intersection du cône et d'un plan,

Soit(My/;r)(/^. i,pl. io)unfK>intquelconque'derintersectionducône et du plan ; le plan tangent au cône mené par ce point i passe par la droite (OMH , omYL) , qui rencontre le cercle base du cène au pcHut H ^ et a (art. 54) pour trace horizontaie, la tangente HE du cercle ABCD : or celte trace coupe la trace FN du plan tancent au point £; donc ce point appartient à kl tangente £M de la courbe LMPS.

Pour rapporter cette tangente £M sur les^^. i a et i ^, on portera F£ en FE' {Jîg. I a) , et la droite EW sera la tangente de la courbe Inipm. \jà point (M, m) s'appliquant en yl {fig. i ^) on aura la tangente en ce point /tt' de la courbe ili'\'s^ en menant la droite £// par le point £ au la tangente au cercle HE coupe la trace horizontale FN du plan coupant.

44 QÉOUÉTKIË DESCRIPTIVE.

Du cône a base circulcUre, et de ses trois sections ^ ellipse^ hyperbole ^ parabole. (PL 1 1 .)

73. Nous venons de considérer le cas où le cône à base circulaire est droite et nous avons supposé qu'un plan coupait toutes les droites de la surface , ou toutes les arêtes du cône; dans cette hypothèse, la courbe d'intersection du cône par le plan est une courbe fermée à laquelle on a donné le nom dUelUpse, Que le cône soit droit ou oblique, il est formé de deux nappes symétriques, qui n'ont de commun que le sommet du cône. Les sections de ce cône par un plan ^ affectent trois formes différentes; d'où résulte leur division en trois espèces, qu'on nomme ellipse ^ hyperbole y parabole. Avant de construire l'intersection d'un cône par un plan, on pourra toujours reconnaître à quelle espèce cette coiu:be d'intersection appartient.

Quelle que soit la position d'un cône par rappprt à un plan, toutes les arêtes sont rencontrées par ce plan, à moins qu'une ou plusieurs arêtes ne soient parallèles au plan coupant. Si toutes les arêtes sont rencontrées , la section est une elUpse; dans le cas où une ou plusieurs arêtes sont parallèles au plan coupant, la courbe a une ou deux branches infinies. La courbe à une seule branche infinie, située sur l'une des deux nappes du cône, se nomme parabole; celle qui a deux branches situées sur les deux nappes , se nomme hyperbole.

74. Pour reconnaître si la courbe d'intersection d'un cône par un plan s'étend à l'infini, on mènera par le sommet du cône un plan parallèle au plan coupant , et on le prolongera jusqu'au plan du cercle base du. cône. La droite intersection de ces deux plans sera ou sécante ou tangente du cercle, ou n'aura aucun point commun avec ce cercle. Dans ce dernier cas, le cône n'a aucune arête parallèle au plan coupant, et la section est une ellipse. Si la droite coupe la circonférence de la base en deux points , les deux arêtes du cône menées par ces points, seront parallèles au plan coupant; et la courbe d'intersection, composée de deux branches situées sur les deux nappes du cône , s'étendra à l'infini sur chaque nappe. Cette courbe est Vhyperbole. Le troisième cas a lieu lorsque le plan parallèle au plan coupant, mené par le sommet du cône, est tangent au cône. Alors il y a un point de la courbe, situé à l'infini sur Faréte de contact parallèle au plan coupant. La courbe contenue dans ce plan , diffère de l'hyperbole, parce qu'elle ne s'étend que sur une seule nappe du cône; on la nomme parabole (i).

75. Connaissant les arêtes du cône parallèles au plan coupant, il sera facile de construire les tangentes qu'on nomme asymptotes^ qui touchent les sections

(i) Ces trois co\xtht% ^ parabole , hyperbole, ellipse, se nomment aussi courbes du second degré, parce que l'équation générale du second degré entre deux variables , représente Tune de ces trois courbes.

GÉOMiTRIE DESCRIPTIVE, /p

coniques , en des points situés à Tinfini. En effet, la tangente en un point quelconque delà section conique^ résuite de l'intersection du plan tangent au cône en ce points et du plan de la section : or le plan tangent en un point d'un cône y touche le cône suivant l'arête qui passe par ce point; mais l'arête du point situé à l'infini, est connue; puisqu'elle est parallèle au plan coupant; donc si par cette arête on mène im plan tangent au cône , l'intersection de ce pkn et du plan coupant sera l'asymptote. Lorsque la section est une hyperbole , le cône a deux arêtes parallèles au plan coupant, et par conséquent deux plans tangens suivant ces arêtes, qui coupent le plan dé l'hyperbole suivant deux asymptotes.

Le centre de l'hyperbole est déterminé par l'intersection des deux asymptotes , ou par le point de concours des deux plans tangens qui contiennent les asymptotes , et du plan coupant.

Il suit de là que les sections parallèles et hyperboliques d'un cône à base circulaire, ont leurs centres sur la droite intersection des deux plans tangens à ce cône , menés par les droites de contact parallèles au plan de l'une quelconque des sections hyperboliques.

76. Explicationdesjîg. i , i ûj, i ^, /?/. 1 1 • Un cône droit a pour base ïe cercle ABCD donné sur le plan horizontal, et pour sommet le point (O, o)\ il est coupé par un plan (MF^), dont la trace horizontale FM est perpendiculaire à la droite XY, intersection des deux plans de projections. La trace verticale Vg coupe les droites oA', oBy limites de la projection verticale du cône, en deux points /,/? , situés l'un au-dessous, et l'autre au-dessus de la projection verticale o du sommet du cène. Pour reconnaître si la courbe d'intersection s'étend à l'infini , on mène par le sommet du cône, un plan (M'F'o) parallèle au plan coupant (Mtg^*) Puisque la trace horizontale MTF coupe le cercle ABCD aux points M', S', le plan parallèle au plan coupant rencontre le cône suivant deux arêtes (OM', o¥)^ (OS', oF). Ces arêtes étant parallèles au plan coupant, les points où elles le rencontrent, sont situés à l'infini ;d'où il suit que la courbe d'intersection s'étend à l'infini. Les plans tangens au cône , suivant les arêtes parallèles au plan coupant, rencontrent ce plan suivant deu^ asynlptotes, qui ont pour projections horizontales, les droites TI/,!NI;2' respectivement parallèles aux droites OS^, OM'. Les points T et* N, qui déterminent les projections horizontales des asymptotes à la section conique, sont les intei^ections des tangentes au cercle M'N, ST, et de la trace horizontale FMN du plan coupant.

La projection horizontale de la courbe d'intersection du cône et du plan , se compose de deux branches séparées SLM, GPG', coupées à angle droit en L et P par le diamètre AB du cercle ABCD. On construit cette projection horizontale ainsi qu'on l'a expliqué ( art. 67 ) pour i^/ig. i ^pl* i o.

Les branches SLM , GPG' ont pour asymptotes les miroites T/^ K/t' qui se coupent au point I dn diamètre AB.

Faisant tourner le plan de la courbe d'intersection do c6ne et du plan autour de sa trace verticale 7g^ on construit ta^^. i a qni contient la courbe d'inter- ' section rïVs^ g'/Zg"' âàns son plan, et ses asypmptates fti\ ù'; cette construction ne diffère pas de celle de la^^. î a, pi. lo.

77. Supposons maintenant le plan coupant parallèle à un plan tangent du cône, par exemple^ au plan (AA'o), qui touche le cône suivant raréte(0 A, oA'). Soient j3^, (pyr les traces horizontale et verticale du plan Coupant, respectivement parallèles aux droites AA, A o; ce plan coupe le cône suivant une courbe dont la portion située entre le sommet et la base du cône, a pour projection horizontale, ât/34* Cette[courbe s'étend indéfiniment au-dessous du sommet du cône, en s'approchant continuellement du plan tangent (AA'o) , parallèle au plan coupant. Ces deux plans étant par hypothèse parallèles, ne se rencontreraient qu'à Tinfîni; d'où il suit que la section du cône n*a pas d'asymptote, quoiqu'elle s'étende à l'infini sur une nappe de la surface conique. Faisant tourner le plan de cette section autour de sa trace horizontale a]3 transportée parallèlement en d j8', la section appliquée sur le plan horizontal devient flt'4^ (Jig. i i), La droite 74'est le prolongement du diamètre AB, et on a 7/4= ^<P> distance du point (4j '^) de la section conique, à la trace horizontale ça^ du plan dç cetle section.

78. La section conique ^/%. i a), composée de deux branches qui s'étendent indéfiniment sur les deux nappes du cône, et qu'on nomme (art* 78) hyperbole^ a deux asymptotes et un centre. La section Çfig. i ^) formée d'une seule branche qui s'étend indéfiniment sur l'une des n«ippesdttCone, et qu'on nomme (art. 73) oaraBoley n'a ni centre, ni asymptote.

Troisième Exemple. — Intersection d'un cylindre obUquepar unplan perpendiculaire

a ses arêtes. (Pi. 1 2, fig. i , i a. )

79. La trace du cylindre sur le pton horizontal est donnée; on' connaît la direction de sa droite génératrice; \t pian coupant est déterminé par ses tracée sur les plafis de projections.

Concevant une suite de plans parallèles à la droite génératrice, qni ccnipent la surface cyUndrique et le plan donné ^ l'mi quelconque de ce» plans contient une droite du plan et une ou plusieurs droites du cylindre j les points d'intersection de ces droites appartiennent à la courbe d'intersection du cylindre et du plan.

Un système de plans n*est pas déterminé par la Seule condition d'être parai-

QÉOViÉTtilM. DESCRIPTIVE. ^^

lèie à une droite ; on peut encore supposer qu'ils sont perpendiculaires à Tua des plans de projections , au plan horizontal par exemple. La^. ifj?l. la est construite dans cette hypothèse , et avec les données suivantes :

80. Soit ABCD (fig. Il pi- J a) la base ou la trace du cylindre sur le plan horizontal ; la droite génératrice de ce cylindre est constamment parallèle à une droite donnée ( a^^yJ"). Le plan coupant a pour traces sur les plans de projections les droites LM, Wn qui se coupent au M de la commune intersection XY de ces plans.

La base ABCD étant une ellipse , on lui mènera les deux tangentes CG , DF parallèles à la projection horizontale m fi de la droite donnée ( afi, yJ") ; ces parallèles seront les limites de la projection horizontale du cylindre. Deux autres tangentes AA', BB', perpendiculaires à la droite XY, détermineront sur cette droite deux points A', B', par lesquels menant des parallèles à la projection verticale y S" de la droite donnée ( «/S, ^cT) , on aura les limites A'A, Bï de la projection verticale du cylindre* Un plan horizontal ^1 coupe le cylindre suivant une ellipse égale à sa base , et cette ellipse se projette sur le plan horizontal en GFI. hes droites CG, DF sont tangentes aux deux ellipses égales ABCD, GFI , et les touchent en des points semblablement placés. La droite 0«p , qui joint les centres de ces ellipses , est parallèle aux tangentes CG , DF*

Le plan vertical mené par la droite Oùf coupe le plan donné (LM/n) suivant une droite dont la projection verticale est Vn. Le point F est la projection verticale du point P de la trace LM. On obtient le second point n de la projection F/^, en menant une droite quelconque HIM parallèle à LM. Considérant cette droite comme la projection horizontale d'une horizontale du plan coupant (LMm), cette horizontale rencontre le plan vertical au point m^ elle a donc pour projection verticale mn parallèle à XY, La perpendiculaire à XY, menée par le point N, coupe Thorizontale mn au point cherché n. Tous les plans verticaux parallèles au plan vertical O^ ou à la droite a^, couperont le plan donné, (LMm) suivant des parallèles à la droite (PN, PV/).

81. La courbe d'intersection du cylindre et du plan a deux projections HTQ, àtç que nous allons construire.

Soit ËR une droite quelconque parallèle à Aji^ qui coupe la base donnée ABCD du cylindre aux pointsË, f ,et la trace horizontale LM du plan coupant au point R ; on considère cette droite £R comme la trace horizontale d'un plan vertical qui contient une droite du plan coupant et deux arêtes du cylindre. Abaissant les perpendiculaires EE', ti', RR' sur XY, on mènera par les points E', «', les parallèles EV, «V à la droite yJ^, qui seront coupées aux points t, ^ par la droite RV^ parallèle à F/i.

48 G*£OMiTRIE DESCRIPTIVE.

Ces points tj u appartiennent à la courbe hiqu^ projection verticale de la courbe (rintersection du cylindre et du plan donnés. Abaissant les perpendiculaires /T, <^V à XY, qui coupent la droite ER aux points T et V, ces points appar* tiennent à la projection horizontale HTQV de la courbe d'intersection. On trouvera de la même manière tant de points qu'on voudra, tels que (T, /) et {Yju) de cette courbe. Pour la construire dans son plan , on fait tourner ce plan autour de sa trace horizontale LM comme charnière. Un point quelconque (T, t) décrit une circonférence du rayon (TR, ^R'), qui a pour longueur l'hypothénuse d'un triangle rectangle construit $ur TR et Te comme côtés; portant cette longueur de R en G, le point ô sera ce que devient le point (T, /) appliqué sur le plan horizontal. On construit de la même manière tout autre point de la section du cylindre, qui devient dans le plan de cette section la courbe H''U"8Q".

Des tangentes h la courbe cT intersection du cylindre oblique et d'un plan,

8îi. Ayant construit {/ig. i ,/;/. 1 2 ) les projections T, ^ d*un point queLîonquede la courbe d'intersection du cylindre parunplan, et ce point 6 sur le plan même, les tangentes en ces mêmes points aux trois courbes HTQV, htq^^y H"U"ÔQ'', sont déterminées; et pour les obtenir, il suffira de construire l'intersection du plan tangent au point (T, t) du cylindre, et du plan donné (LM/w.)

Le plan tangent au point (T, t) du cylindre passe par l'arête (TE, /E' ) , et touche le cyhndre suivant cette arête; d'où il suit qu'il a pour trace horizontale la tangente ÏÎL à l'ellipse ABCD : or cette tangente coupe la trace LM au point L; donc ce point L est sur la tangente de la courbe d'intersection du cylindre et du plan, au point (T, /) de cette courbe. Élevant la perpendiculaire LU à XY, et tirant les droites LT, L7, on aura les tangentes des courbes HTQV, htq^^ aux points T et / de ces courbes. Ix)rsque le plan tourne sur sa trace horizontale LM comme charnière , le point L de la tangente est fixe; le point (T, ^) s'applique en G sur le plan horizontal ; donc la droite LQ est la tangente au point % ou (T, /) de la courbe d'intersection du cylindre et du plane.

Les tangentes à la base du cylindre CG, DF, ne sont pas seulement les projections horizontales de deux arêtes du cylindre , on peut encore les considérer comme les traces de deux plans tangens verticaux ; d*où il suit que toute courbe du cylindre qui rencontrera les droites de ce cylindre contenues dans les plans verticaux CG, DF, aura pour tangentes aux points de rencontre des droites jlont les projections horizontales sont CG et DF.

Par la même raison, les limites A'A, Bïde la projection verticale du cylindre, sont des tangentes des projections verticales de toutes les lignes courbes du cylindre qui rencontrent les droite^ d,e ce cylindre , dont A'^, B'^* sont les proectjons verticales.

Les plans ▼crticauK CG, DF taiigens au cylindre, rencontrent le plan coupant (LMm) suivant des tangentes à la courbe d'intersection du cylindre; donc les projections verticales Gh, Pq de ces tangentes, sont tangentes à la projection verticale ktq de la courbe d'intersection du cylindre par le plan (LMm). Les droites G'A, Fq menées par les points G', F projections verticales des points G, F, sont parallèles à la droite Vn.

Les plans tangens au cylindre, parallèles à une horizontale du plan coupant (LM/»), touchent le cylindre suivant deux arêtes, qui sont coupées par le plan en deux points; les tangentes à la courbe d'intersection menées par ces points sont horizontales, et leurs projections verticales i a, 34 sont aussi des horizontales.

Des tangentes aux sections planes des surfaces dévdoppables y parallèles à des

droites données.

83. Une droite étant donnée dans le plan d'une courbe de la surface développable, on mènera un plan tangent à la surface , parallèle à cette droite; Tintersection de ce plan et du plan de la courbe , sera évidemment une tangente de cette courbe parallèle à la droite donnée. On a vu (art 5 1 et 55) comment on construit un plan tangent aux surfaces cylindrique et conique, parallèle à une droite donnée.

Quelle que soit la surface développable , on déterminera le plan tangent à cette surface , qui est parallèle à une droite donnée , en menant un plan quelconque parallèle à cette droite , qui coupe la surface suivant une courbe. La tangente à cette courbe parallèle à la droite donnée , et la droite de la surface développable qui passe p^r. le point de contact ^ déterminent le plan tangent demandé.

Quant aux tangentes des projections d'une section plane de la surface développable proposée, on pourra par la même considération , déterminer celles qui sont parallèles à des droites données sur les plans de projections. On mènera par Tune de ces droites un plan perpendiculaire au plan de projection sur lequel elle est donnée; ce plan rencontre le plan de la courbe suivant une droite. £n menant un plan tangent à la surface développable parallèle à cette droite , les projections de la droite intersection du plan tangent et du plan coupant, seront tangentes aux deux projections de la courbe , et Tune de ces tangentes ^ra parallèle à la droite donnée.

Des lignes d^une surface développable^ rapportées sur le plan de développement.

84* On a vu (»t 46) que les élémens d'une surÊice développable pouvaient être réunis sur- un seul et même plan , et former ce qu'on appelle le développe-ment de la surface.

5o GiOM^TAJE DESCRIPTIVE,

Une ligne quelconque de cette surface, celle par exemple qui résulte de Tin-' tersection de la surface par un plan , se transforme sur le développement en une autre courbe ; nous allons exposer le principe qui sert de base à la construction de cette courbe.

Lorsqu'on développe une sur£sM;e, une ligne quiconque de cette suriace plane ou à double courbure devient , sur le plan de développement , une autre ligne que je nomme la transformée de la première.

Supposons d'abord qu'il y ait, sur la surface dévek^>pable , une courbe dont la transformée soit connue, et pour la distinguer, nommons-la axe de dévdoppement. La section droite sur le cylindre, le cercle sur le cône droit, la ligne dont tous les points sont à la même distance du sommet du cône oblique sont, sur ces diverses surfaces , les lignes qu'on prend pour axes de développements Les transformées de ces axes sont la ligne droite ou le cercle.

85. L'axe de développement et sa transformée étant connus, il n'y a aucune ligne de la surface développable dont on ne puisse construire la transformée sur le plan de développement. En^ffet , chaque tangente de l'axe de développement fait avec la droite de la surface développable qui passe par le point de contact , un angle déterminé; or cet angle ne change pas sur le plan de développement j d'où il suit qu'il n'y a aucun point de la surface développable qui ne soit déterminé par une abscisse courbe comptée sur l'axe de développement , et par une ordonnée rectiligne qui est la droite de la surface passant par l'extrémité de l'abscisse courbe.

86. Considérant , sur une surface développable, une Kgne autre que Taxe de développement , on aura la transformée de cette ligne , en rapportant sur te plan de développement,. les droites de la surface développable comprises entre la ligne que Ton considère et Taxe de développement. Si , par un poimt de cette Hgne , on hiî mène une tangente, cette tangente, fa droite de .h surfiice développable qui passe par le point de contact , et la tangente à Fkxe de développement, menée par le point où la droite de la surface coupe cet axe , forment un triangle qui est situé dans le plan tangent à la surfece développable , et qui ne change pas de grandeur dans le plan de développement ; donc , connaissant dans ce triangle un côté et deux des cinq autres élémens qui le déterminent, on pourra le construire sur le plan de développement.

87. Lorsque l'axe de développement devient une ligne droite sur le plan de développement, toutes les tangentes à cet axe, rapportées sur le nKOie plan , coïncident avec la droilequi est la^tnmsfonnée de l'axe. Dans œ cas ^ Taxe de développement est une courbe dé la surface développable, qui }owi de cette

GlÈOMiTRIE DZSCRIPTITE, 5i

propriété , d*étre la ligne la plus courte qu'on puisse tracer sur la surface, entre deux points quelconques de son périmètre.

Une surface développable étant eicécutée, on y trace une ligne de cette espèce, en pliant un ruban mince, flexible, d'une largeiu* égale dans toute sa longueur, de manière quHl s'applique entièrement sur la surface; chaque droite formant le bord du ruban , devient sur la surface la ligne la plus courte entre deux quelconques de ses points : sachant mener des tangentes à cette ligne , on pourra la prendre pour axe de déreloppement.

88. U suit de ce qui précède, que pour obtenir le développement d'une surface, il faut connaître sur cette surface un axe de développement, et sur le plan de développement la transformée de cet axe. Les droites consécutives de la surface, qui rencontrent Y ose sous des angles déterminés et connus, le divisent en petits arcs qui ne diflfèrent pas sensiblement de la ligne droite ; les points de division de cet axe correspondent à d'autres points de la transformée , et on obtient les points correspondans en rapportant les petits arcs de l'axe sur sa transformée, dans l'ordre où ils se succèdent sur la surface. Sachant mener des tangentes à ces deux courbes , savoir à l'axe de développement et à sa transformée, ces tangentes déterminent sur le plan de xléveloppement lés droites de la surface développable ; donc on aura sur ce plan la transformée de l'axe de développement, qui sera une ligne d'abscisses, et les droites de la surface développable, qui seront les ordonnées correspondantes de tous les points de cette surface, qu'il s'agit de rapporter sur le plan de développement.

89. Le développement d'une surface a principalement pour objet, dans les arts , de tracer , au moyen de patiK>ns ou panneaux , sur cette surface déjà exécu* tée, «lie courbe antre que l'axe de dévdoppement; or deux courbes suffisent pour diriger k mouTement de la droite génératrice d'une surface réglée ou développdble , lorsque les points d'appui de chaque droite sur les courbes directrices 1 sont déterminés ( art. 4? ) i d'où il suit que la surface étant exécutée , le développemei^ n'est qu'un moyen secondaire pour y rapporter une courbe, qui est donnée par ses projections ; car on peut tracer directement cette courbe par points, en déterminant ces points sur la surface même, par leurs distances aux couri>es dtfectrices, mesisrées sur les droites de la surface.

EXSXJPLES ]>£ DÉVELOPPElfEKT nS SURFACES*

Premier Exemple. — Développement du cjlindre droit. ( Pl. 9. )

90. Quelle que soit la hase d'un cylindre, k section perpendiculaire à ses arêtes, qu'on umime la section droite^ ou l'anc droite se transforme sur le déve-

5j géométrie descriptive.

loppement en une ligne droite; car les droites ou arêtes du cylindre « parallèles entre elles, conservant leur parallélisme sur le plan de développement, la ligne qui les coupe à angle droit, est nécessairement une droite. Prenant donc la section droite du cylindre pour Taxe de développement, la transformée de cette section sera, sur le plan de développement^ une ligne droite, et on demande la transformée de la section du cylindre (art. 6a), par le plan (EF^) (/%. i, pi. 9.)

91. Explication de lajig, 'x^pL 9. On prend pour plan de développement, 1« plan tangent au cylindre, qui coupe le plan de la section droite de ce cylindre, suivant une droite AA', parallèle à la trace horizontale EF du plan (EF^). Ce plan de développement coupe la trace verticale F^ (/?^, i,/?/. 9) au point «, par lequel on mène la section droite du cylindre (ûf^', ABCD). Ayant tiré {Jig, a) la droite BB' de même longueur que la circonférence ABCD , oh prend sur cette droite le point A, pour représenter le point (A, a) (/%*.i) du cylindre. AB et AB'^g^. a) sont les transformées des demi-circonférences AHCB, AIDB; ces demi-circonférences ayant été divisées en un assez grand nombre de parties égales, pour que chaque partie puisse être considérée comme une ligne droite , on a rapporté les points de division à droite et à gauche du point A, en AHB, et AK (fig. a).

Les perpendiculaires à la droite BB' élevées par ces points de division, sont les arêtes du cylindre rapportées sur le plan de développenient ; on les considère aussi comme les ordonnées des lignes du cylindre qu'il s'agit de rapporter sur le même plan. Soit (H, A) {Jig. i ) un point quelconque du cylindre; prenant l'arc AH [Jîg. i ) pour l'abscisse de ce point , et la longueur hj pour l'ordonnée , on rapportera ce point sur le plan de développement, en faisant la droite AH [Jig. a ) égale à l'arc AH (/%. i ) rectifié , et la perpendiculaire HA (/%. a) sur AH , égale ày'A {fig. i). Le point A {Jig. a) représente sur le plan de développement, lepoint(H,A)(/%'.i)ducylindre.On trouvera de la même manière tous les autres points de l'intersection du cylindre par le plan (£F^) , et cette inter> section (ABCD, al?) [Jîg. i), aura pour sa transformée {Jig. a) la courbe bkb\ Cette coiurbe ne s'arrête pas aux points b^b'\ elle s'étend à l'infini entre les deux parallèles BB', bb\s\ai la touchent aux points A, ^, b' ; elle se compose d'une infinité de branches égales à bkb\ qui correspondent à la section oblique fermée (ABCD, ab) {Jig. i ) du cylindre.. En effet, on peut concevoir que ce cyUndre est enveloppé par une toile sans épaisseur, qui fait une infinité de révolutions autour de sa surface. En déroulant la toile, la section oblique qui est la même sur toutes les enveloppes superposées , se transforme évidemment en autant de lignes égales à bkb\ qu'il y a d'enveloppes.

La portion de courbe bkB étant appliquée sur le cylindre , de manière que la droite A a {Jig. a) coïncide avec l'arête du cylindre (A, hla) {Jig^ i), les extré-

GiOMliTRIE DESCKIPTIVE. 53

mités b, b'de la courbe bA.1/ {Jig. 2 ), se réuniront au point unique (B , b) {Jig. i ) de la section oblique du cylindre.

De la tangente a la transformée dun^ ligne courbe tracée sur le cjUndre.

92^ Ayant mené par le point H {Jig. i) du cercle ABCD, la tangente LHK qui coupe la droite AA' prolongée au point K, la tangente de la section oblique du cylindre au point (H, A) {Jig, i) est l'hypothénuse d'un triangle rectangle, qui a pour côtés les droites HK ety7/. Ce triangle est dans le plan tangent du cylindre au point (H, A) : or ce plan se confond {Jig. 2) avec le plan de développement, et le point (H, h), {Jig. i) avec le point A de ce développement. Ainsi la longueur de l'arête AH {Jig. 1 ) étant égale à hj {Jig. 1 ) , et portant HK {Jig. i ) en HK {Jig. a) sur la droite BB', on aura sur le plan de développement le triangle rectangle HAR , dont Thypothénuse AK est la tangente de la courbe bkb {fig. % ) au |>oint A.

Second Exemple de développement de surface^ — Développement du cône dwit.