PL
93. Un cercle quelconque du cône droit, a pour transformée âur le plan de développement un autre cercle , dont le rayon est égal à une droite du cône , comprise entre le sommet et le plan du premier cercle. En effet , toutes les droites comprises entre le sommet et un cercle quelconque du cône droit, sont de même longueur : or ces droites ne changent pas de longueur sur le plan de développement ; donc leurs extrémités appartiennent à une circonférence de cercle.
94 Explication de la Jig. ^^ pi. 10. Soit ABCD {Jig. i) le cercle du cône droit, qu'on prend pour axe de développement* La portion d'arête du cône comprise entre le sommet et le cercle, est évidemment égale à oKo\x oB'; donc si d'un point O {Jig. a) comme centre ^ avec OB, dS {fig. i) pour rayon, on décrit une circonférence ABA' {Jig^ a), cette ligne sera la transformée du cercle AJBCD {Jig. I ). Les parties égales de la circonférence rapportées sur la transformée 9 sont les bases des secteurs de cercle élémens du cône , et les rayons de ces secteurs représentent les arêtes du cône sur le plan de développement. Prenant OB C/%.2) pour représenter l'arête du cône (OB , oB') (/fg. 1 ) , le point (P, j?) {Jîg^i) de l'intersection du cône par le plan (EFg^) (art. 56), qui se trouve sur cette arête, s^appliquera {fig. a) en /?, extrémité de la droite OP {fig. a) , égale à op {fig, i ). jLies arcs BA et BA' {fig* a) étant égaux aux demi-circonférences rectifiées BCA, BDA {fig. ï), les droites OA, OA' {fig. a) représentent l'arête (OA, oK) {fig. i); portant sur ces droites la longueur ol{^fiQ. i) de O en / {fig. a), et de
54 C^OMJÉTRIE DESCRIPTIVE*
O en /', les points /, /' [Ji§. a) correspondent au point unique (L, /) (/%. i) de la courbe d'intersection du cône et du plan. .
Achevant la circonférence du rayon OB , [Jîg. a ) , la courbe /P/ se répétera une infinité de fois sur le plan de développement autour du point O, à moins que l'arc ABA', ne soit une partie aliquote de la circonférence à laquelle cet arc appartient. Dans ce dernier cas ^ la Courbe fermée résultant de l'intersection du cône par un plain, aura pour transformée une autre courbe aussi fermée; mais en général , la tranf ormée fera une infinité de révolutions autour du point O.
La portion /P/' de la transformée suffit pour tracer, sur le cône, l'intersection de ce cône par le plan (EEg" {fig* i )• Ayant décrit la/^. a sur un plan flexible, telle qu'une feuille de carton ou de papier, on mettra la droite OB de cette figure sur l'arête (OB, oB') du cône, et on appliquera le plan de la figure sur le cône ; les points / et t de cette figure se réuniront au point ( L , /) (/^. i ) du cône.
95. Soit maintenant une droite quelconque OH (y%. a) qui représente l'arête du cône (OH, ^H') [Jîg. i); on aura le point M de la courbe /P/ (y%^, a), qui se trouve sur cette arête , en construisant la longueur OM de la droite comprise entrele sommet (O , o) et le point (M, m)(jSg.j). Pour avoir la tangente ME menée par le point M {/!g. a) à la courbe /P/, on remarquera qu'elle est l'hypothénuse d'un triangle recUngle MHE, dont le côté HE (^. a) est égal à HE (^. i). Gç triangle est situé dans le plan tangent au cône au point (M , m) {fig. i), dont la trace horizontale est HE , et les longueurs des côtés de ce triangle, ainsi que les dimensions des droites situées dans les plans tangens au cône, ne changent pas sur le plan de développement, puisque c'est sur ce plan que viennent s'appli* quer tous les plans tangens.
96. Explication de la fig. a, /?/. ii* Le développement da cône droit, <pii a pour base le cercle ABCD, et pour sommet le point (0 , 6) (jd. 1 1) , se Cût de la même manière que pour la^^. a , pi, lo. La droite GR{fig. a) représente l'arête du cône (OB, oV) {Jîg. i^pL ii), et les droites OA, OA' correspondent à l'arête unique (OA, oM) {Jîg. i). La branche d'hyperbole (MLS, Fi) (/%. i) a poiu* transformée les deux portions de courbes Af, l!%{Jig. a). Xa transformée de la seconde branche (GPG',pg^) {fig. i) de l'hyperbole, est {fig. a) la courbe
97. On rapporte sur le plan de développement ks asymptotes de l'hyperbole (art. 75) en les considérant comme des tangentes en des points situés à Titifini. Soient OM', OS' {fig. a ) les droites qui représentent les arêtes du cône pars^èles au plan de l'hyperbole. Les perpendiculaires WTN, ST {fig. a ) aux extrémités de$
GiOMKTKIE DESCRIPTIVE. 55
rayons ÔM', OS^, étant respectivement égales aux droites M'N, S'T {Jig. j , pL 1 1 ) , terminées aux points N, T des droites projections horizontales des asymptotes, les parallèles NN', TT {fig. i ) aux rayons OM', OS' seront les transformées des asymptotes, qui deviennent elles-mêmes les asymptotes de la transformée de Thyperbole. Cette transformée est une courbe formée de trois branches séparées tUL , /'S, G/KÎ'. Les deux droites NN', TT sont asymptotes de la branche G/iG', et chacune d'elles n'est asymptote que d'une seule des autres branches /M , /'S.
Troisième Exemple de développement de surface, — Développement du cjlindre
oblique. (PLia, fig. a.)
98. Lorsque le cylindre à développer est oblique, on doit d'abord construire sa section droite (art. 90), c'est-à-dire rintersection de ce cylindre par un plan perpendiculaire à ses arêtes. Soit (HTQ, fuq) (PL iix,Jig. i ), la section droite du cylindre elliptique , qui a pour base sur le plan horizontal l'ellipse ABCD ; ayant divisé cette ellipse en arcs qui sous-tendent des cordes égales, les arêtes du cylindre menées par les points de division, rencontrent la section droite ou Varc droit en des points qui sont connus, et qu'on peut rapporter sur la droite , transformée de l'arc droit; ce qui détermine sur le plan de développement la position respective des arêtes du cylindre , dont on a les projections horizontale et verticale.
Soit z;if (/%*. a ) la droite qui est sur le plan de développement , la transformée de l'arc droit qu'on prend pour axe de développement, et lu {Jig. %) l'arête du cylindre (ET, £V) {Jig. i ); la pwtion ILe {fig. a) de cette arête ^ comprise entre l'arc droit et la base, a pour projections {Jig i ) les droites £T, £V. Déduisant de ces deux projections sa longueur vraie, et portant cette longueur sur ^£, le point £ sur le plan de développement (^fig. a) appartiendra à la courbe U£ZZ', transformée de l'ellipse ABCD {^g. i). On construirait de la même manière tout autre point d'une ligue quelconque du cylindre, qui se trouverait sur l'arête (£T, £7).
99* Pour trouver la longueur vraie d*une arête du cylindre qui a pour projections CH, C'A, on décrit d^ point H, comme centre, un arc de cercle C^ qui coupe la paoraUèle H^ à XY au point ^« Abaissant les perpendiculaires Iffi'^r ^^ ^^^ ^Y, le pied ^ delà seconde perpendiculaire détermine le triangle rectangk ^ffA, dont l'hypochénuse Af est la lenguetir vraie de l'arête (CH, Ch). On olilieDdraitphn directement les longueurs des arêtes du cylindre en se servant d'une nouvelle projection sur un plan perpendiculaire au plan coupant, et parallèle à la gânérâtrice du cylindre. Soit 0# {fig. i ), la trace horizontale de ce plan ; en le faisant tourner sur sa trade comme charnière , et l'appliquant
53 Cl5oi»iTRIE DESCniPTlVK,
6iir le plan horizontal , on aura lay%. i a^ dans laquelle les arêtes Ui/, Zz sont rencontrées à cingle droit par la droite Vzu du plan coupant, aux points Uj z, dont les projections horizontales sont U', Z'.
Soient Vu , Zz ou ZV , les droites {^fig. a ) qui représentent les arêtes du cylindre situées dans le plan vertical 0(» (Jig. i), on aura les points U et Z {fig. a) de la transformée de l'ellipse ABCD {Jîg. i ) en faisant Uu (Jîg. a)=Ui£ (%. I d)^ Zz ou ZV {Jtg. a) = Zz (/%. i a). On aurait de même le point E déjà construit , en faisant E^ (/%*. a) = €'e (/%• i a)^
De la tangente a la transformée de la base du cylindre oblique, ,
loo. Ayant construit le point E de la transformée Z'UZ (pi. l'x^fig. a) de l'arc
droit du cylindre oblique, on obtiendra la tangente en un point quelconque E
de cette transformée, en portant la tangente LÔ de l'arc droit H"U"Q" (pi. la,
fig.\\ sur la droite zz {fig. a) de e en 6; la droite E6 {Jîg. a) est la tans^entç
de la transformée ZZ'U au point E de cette courbe.
