III. DES SURFACES DE RÉVOLUTION COUPÉES PAR UN PLAIT
I o I . Deux séries de plans , les uns perpendiculaires à l'axe de révolution , les autres passant par cet axe , coupent la surface de révolution , suivant des cercles ou des méridiens. Chacun de ces plans rencontre le plan donné qui coupe la surface, suivant une droite; le point, ou les points dans lesquels cette droite coupe le cercle ou la section méridienne , contenu dans le même plan que la droite , appartiennent à la courbe d'intersection de la surface de révolution et du plani donné.
Premier Exemple. — Intersection d*un ellipsoïde de réçoludon par un plan,
(PI. i3, fig. I.)
loa. On suppose que l'axe de révolution est vertical, et que le plan vertical de projections est perpendiculaire au plan coupant.
Soit (O, Oo) l'axe de révolution ; L/n, mn^ les deux traces du plan coupant ; un plan méridien AOB parallèle au plan vertical de projections , contient l'ellipse méridienne abef^ qui a pour axes principaux les droites rectangulaires ab^ ef. Cette ellipse , en tournant autour de son grand axe ef engendre V ellipsoïde de révolution.
•Le plus grand cercle de cette surface a pour diamètre ab , et se projette sur ^ plan horizontal, suivant un cercle ÂBCD de même diamètre.
G^OMlèTRIE DESCRIPTiyE. Sj
ÏA trace horizontale hm du plan coupant étant perpendiculaire à TiatersectionXYdes plans de projections , la trace verticale mn contient évidemment la projection verticale de la courbe d'intersection de la surface de révolution et du plan donné (hmn.)
Pour trouver un point de la projection horizontale de ceîte intersection, on imaginera un plan s/ perpendiculaire à l'axe de révolution ; ce plan coupera le plan donné suivant une horizontale (RR', r), et la surface suivant un cercle du diamètre ss\ qui se projette sur le plan horizontal suivant un autre cercle RR'S de même diamètre. Ce dernier cercle et la droite RR' se coupent aux points R , R' qui appartiennent à la projection horizontale RR'UZ de la courbe d'intersection de Tellipsoîde de révolution par le plan donné (Lmn).
io3. On aurait cette courbe dans son plan (Jig.J a)^ en faisant tourner chacun de ses points autour de la trace mn comme charnière. Un point tel que (R, r) décrit un cercle d'un rayon égal à la distance R/ du point R à la droite XY ; portant cette distance (jîg. i « ) de r en p sur la perpendiculaire ^ à la trace mn, le point p appartient à la courbe développée sur son plan.
Le plan méridien ÂR parallèle au plan vertical de projections, rencontre le plan (Lmn) , suivant une droite qui passe par le point I de la trace Lm de ce dernier plan. Portant m\ en mV sur la perpendiculaire à la trace mn , et menant par le point Y la parallèle Vn {Jig. i a) hmn, cette parallèle divisera en parties égales les ordonnées telles que pp', perpendiculaires à la trace mn; en sorte qu'on aura np = nf' = NR = WR'..
104. En considérant sur la surface de révolution le second système de lignes, c'est-à-dire les courbes méridiennes, les points de rencontre de ces <:ourbes avec le plan donné, appartiendront à l'intersection de la surface et du plan.
Soit OP la trace horizontale d'un plan méridien qui coupe le plan donné (L/w/z) suivant une droite (PO, mn)j et la surface de révolution suivant une courbe méridienne égale à àâ/è. Pour construire le point d'intersection de cette courbe et de la droite (PO, mn), on tait tourner le méridien OP autour de Taxe de révolution, et on amène le point P ien P sur le diamètre AB prolongé. Le point F se projette sur le plan vertical en p; l'axe de révolution rencontre le plan donné (Lmn) au point k; tirant la droite pk qui coupe la section méridienne ab/è aux points /, u^ les distances y^, u^ de ces points à l'axe ç/Ç rapportées sus la droite OP de O en R et de O en U, détermineront les points R et U de la projection horizontale RR'UZ de la ligne d'intersection demandée. . s La' circonférence décrite du point O comme centre, avec OP pour rayon,
rencontre la trace Lm aux points P et Qi tirant la droite O Q , et la considéranjt
58 GJÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.
comme la trace d*un autre plan méridien OQ, on aura deux nouveaux point» de la projection RRTJZ , en faisant OR' = OR ^ «t OZ = OU.
De la tangente à la courbe tP intersection d*une surface de révolution par
un pkou
io5. Leplan tangent à la surface de révolution, mené par le point donné d'une ligne de cette surface, rencontre le plan coupant suivant une droite, qui est une tangente de la courbe ti'intersection.
Soit (R, r) un point quelconque de la courbe d'intersection de la sur&ce par un plan ; le plan tangent en ce point passe par les tangentes à la courbe niéri<dienne et au cercle , qui se coupent à angle droit en ce même point ; mais les tangentes aux courbes méridiennes , menées par les points du cercle du dia* mètre ss\ qui passe par le point donné (R, 0^ forment un cône droit qui est coupé par le plan horizontal XY de projections , suivant le cercle du rayon. 0G==0'^; d'où il suit que la tangente à la courbe méridienne au point (R, r) de cette courbe, rencontre leplan horizontal XY au point G. D'ailleurs (art 19), la trace horizontale GH du plan tangent est perpendiculaire à la trace ORP du plan méridien qui passe par le point de contact (R,r); menant cette pëipendiculaire ^ elle rencontre la trace horizontale L/71 du plan donné , au point H qui détermine la tangente HR. Portant mH en mS (/%. 1 a), la droite H'p est la tangente à la courbe de l'ellipsoïde , rapportée sur le plan de cette courbe (/%• i a).
Deuxième Exemple de r intersection d'une surface de réi/olution par un plan. — De rintersection du tore^ ou de la surface annulaire par un plan. (Pi. 14.)
T 06. On appelle tore^ ou surÊice annulaire , la surface engendrée par un cercle ^ qui tourne autour d'une droite située dans le plan du cercle* Cette droite est l'axe de révolution; on la suppose verticale ^sur la figure de la je?/. 14, que nous allons expliquer.
Soit (A, aa') l'atxe de révolution , qui e^t donné dans le plan vertical.AEF du cetcle ^^ç^'dont la projedtion horizontale est la droite £F; ce cercle a son centre en G sur le jilan horizontal de projections, et pour diamètre la droite (EF, éf). On suppose que le tore est coupé par un plan vertical GEH perpen* diculaire à la droite M^, et passantpar le point (£, e) du cercle générateur; la tourbe d'intersection a pour projection horizontale la droite GH. Pourdéve-» lôpper cette courbe 'dan« son^ilan, on fait tourner le plan vertical GH autour de sa trace horizontale GH comme charnière. La distance d'un point quelconque de la courbe à la éharnière, mesuréesur une verticale , s^abat sur une droite de même longueur, perpendiculaire à EG. .
Ayant décrit du point A comme centre, avec un rayon quelconque Att, nin cercle qui coupe la droite AF au point tt, la perpendiculaire irp menée par ce point à XY, rencontre le cercle générateur du tore dd'ef^ aux points q, q' qui sont les projections verticales des deux points du tore, situés sur la verticale tt. Mais le cercle du tore qui a pour projection horizontale F^P, rencontre le plan vertical GH aux points dont P et F sont les projections horizontales; donc la hauteur de ce point du tore au-dessus du plan horizontal de projections , sera égale à pq^ ou p(^. Ayant élevé la perpendiculaire QPQ' sur GH , on prend PQ — p^ — pq^ et les points Q, Q' appartiennent à la courbe dHntersecttoq du tore et du plan. Les points K , K' de cette courbe, dont l'ordonnée verticale RI ou Kl est égale au rayon du cercle générateur du tore, appartiennent au cercle liorizontal du rayon AC,. décrit par le centre (G, c)du cercle générateur autour de l'axe de révolution. La courbe développée dans son plan se compose de deux branches égales , GKQEÀ'H et HAEQU'G, qui se croisent au point double E, {Foy. 'x^ Supplément à la Géométrie descriptii^e de Monge , p. 1 1 , in-bl'^ année 1 8 1 8).
107. La section du tore que nous venons de construire, forme le passage des sections parallèles à deux branches séparées , de celles qui sont à une seule branche. Toutes les sections du tore comprises entre le plan méridien ZZ' et le plan coupant GH , sont à deux branches séparées. Toutes les sections comprises entre le plan coupant GH et le plan tangent parallèle mené par le point F, n'ont qu'une seule branche*
J)e la Umgenie à la courbe d* intersection du tore et d^ un plan parallèle a son axe.
io8. GH étant la trace horizontale du plan coupant^ parallèle à l'axe du tore^ et P la projection horizontale d'un point de la courbe d'intersection , la hauteur de ce point au-dessus du plan horizontal est la droite PQ d'une longueur égale kpq onp^ ordonnée verticale du cercle ddef. Un plan méridien AP niené parla point P, coupe le tore suivant le cercle générateur égal à ddef; or la tangente à ce cercle au point ^rencontre l'horizontale ^^au point r; donc, si l'on porte la partie àr de cette bodzontale de A en ^, la droite r^T perpendiculaire à A/, sera la trace du plan tangent au tore, au point Q du développement de la courbe d'intersectionu Mais cette droite /T rencontre la trace GH du plan cpupant au point T ; d'où il suit que }fl> droite menée par le point T et par le point Q touche la courbe EQGR' au point Q. La droite TQ' touche cette courbe au point Q'; la sous^tan^ gente TP est la même pour les deux points Q,Q' de la droite QPQ'«
Le plan tangent au point du tore qui se projette en I sur le plan horizontal^ est horizontal ; d'où il suit que la tangente au point K pu K' de h courbe d'in-
6o GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.'
tersection du cône et du plan GIH, est une droite horizontale, intersection da plan tangent et du plan coupant vertical.
Du plan tangent de la seconde espèce. {Voyez art 4i.)
109. Le même plan que nous venons de considérer comme plan coupant, et qui contient une courbe à deux branches du tore, est aussi tangent au tore , non pas parce qu^it contient les deux tangentes au point double £ d^une ligne du tore, mais parce qu^il ne diffère pas du plan qui serait déterminé par les tangentes à deux lignes distinctes du tore, Tune le cercle horizontal du rayon A£ y l'autre le cercle vertical du diamètre EF.
Le plan vertical G'FH', perpendiculaire à l'extrémité F du diamètre DF, est aussi tangent au point F du tore, puisqu'il passe par les tangentes aux deux cercles qui se croisent à angle droit au point de contact F; c'est un plan tangent de la première espèce ; il n'a de commun avec la surface que le point de contact E, qui est la limite des sections parallèles à une seule branche, corn* prises entre les deux plans verticaux parallèles GH, GU'. L'élément du tore au point E est aussi la limite de ces mêmes sections ; mais ce point E appartient en même temps à la ligne limite des sections parallèles qui ont deux branchesséparées.
Troisième Exemple d'intersection d'une surface de res^olution par un plan. — Intersection de rhjberboloide de réwlution par un plan. ( PI. i5. )
1 10. On appelle hjperboloîde de révolution la surface engendrée par une droitemobile qui tourne autour d'une droite fixe. Un plan quelconque, perpendiculaire à Taxe de révolution, coupe la surface suivant un cercle, le plan dorni^ suivant une droite, et les points de rencontre du cercle et de la droite appar*tiennent à la courbe d'intersection demandée* .
Explication de la pi: 1 5. On suppose le plan horizontal de projections perpen» âiculaire à Taxe de révolution , et le plan vertical perpendiculaire au plan: coupant.
Soit XY l'intersection des deux plans de projection; (A, aèa') la droite^ fixe ou Faxe de révolution; (BC, fc) la droite mobile dans la position où elle est parallèle au plan vertical de projections. La perpendiculaire à ces deux droites (art. 36) est une horizontale AB, qui se projette sur le plan vertical au point h de la droijte ab. Le pied ( B, b) de cette perpendiculaire sur la droite (CB, cb) y décrit en tonrnant autour de la droite fixe, le cercle (BB'DF, ebf)j qui est- lé
OiOUi^KlE DESCRIPTIVE. 6f
plus petit de la surface , et qu*on nomme par cette raison cercle de gorge. Les autres cercles ont pour rayons , les perpendiculaires abaissées dés points de ladroite donnée (CB, c^) prolongée indéfiniment, sur l'axe de révolution : ils forment deux nappes, dont chacune a la figure d'un entonnoir, et qui sont tangentes l'une à l'autre , suivant le petit cercle de gorge.
Si l'on conçoit parce petit cercle un cylindre droit vertical, la droite génératrice de l'hyperboloïde qui est donnée dans un plan tangent à ce cylindre, et qui tourne autour de la droite fixe, passe successivement dans tous les plans tangens au même cylindre ; or par un point quelconque de rhyperboloïde , on peut mener (art. 5o) deux de ces plans, dont chacun contient la droite génératrice; donc, il n'y a aucun point de la surface qui rie soit l'intersection de deux droites appartenant à cette surface. Ainsi le plan vertical CD, parallèle au plan vertical de projections, contient deux droites de la surface qui se croisent au point (B, h) ; elles font avec le plan horizontal le même angle ; l'une rencontre le plan horizontal au point C, et l'autre au point D; la distance CD de ces deux points, et les deux droites de la surface, forment un triangle isocèle égal au triangle cbd donné sur le plan vertical de projections. Chacune des droites (BC, bc)j (BD, bd) est irae génératrice de la surface. En marquant par des fils leurs positions successives, on obtient deux systèmes de droites qui divisent la surface en petits quadrilatères ; les droites d'un système ne se rencontrent pas entre elles, mais elles sont toutes rencontrées par une droite quelconque de l'autre système. Les droites de l'un et l'autre système sont également inclinées par rapport à un plan perpendiculaire à l'axe de révolution; l'angle qu'elles font avec ce plan est constant.
Ainsi la surface que nous considérons, ne jouit pas seulement de la propriété générale de toutes les surfaces de révolution , d'être coupées par des plans perpendiculaires à l'axe de révolution suivant des cercles, mais elle peut encore être engendrée par une droite de deux manières différentes ; d'où il suit qu'un point quelconque de l'intersection de la surface et du plan , résulte de l'interseclion d'tm cercle ou d'une ligne droite par le plan donné.
I i I. Soit le cercle du rayon AU, situé dans un plan horizontal quelconque gu'^ qui rencontre la droite génératrice (BC , bc) au point (U, w); ce plan coupe le plan donné (NOp) suivant l'horizontale (GG', g)\ cette horizontale et le cercle du rayon AU se rencontrent aux points (G, ^) (^^ g")) qui appartiennent à la combe d'intersection de la sur£aice et du plan donné (NO/7).
Toutes les difoites de la surfece se projettent sur le plan horizontal suivant des tangentes au petit cerde du rayon AB. Soit G^ l'une de ces tangentes, qui toiiche le cercle au point /3, et qui coiipe en H le cercle du rayon AC ou AD
Oa GiOMÉTRIE BE5GRIPTITC.
que le point C de la droite génératrice décrit sur le plan horizontal -de piojec* tions; la droite de la surface (H/3, H'/3') est coupée par le plan donné (NC^) an point ( G, ^) déjit trouvé. Si Ton mène par le point G » la tangente G7 au cercle du rayon ÂB, qui touche ce cercle au point 7^ , et coupe le cercle du rayon AC au point 4 ? <>ï^ ^^^^ ^^^ nouvelle droite de la surface ( 4^5 4'7' ) V^ passe encore par le point (G, ^) de la section plane de la surface. Les deux droites de la surface (HG/3, H'g^^'), (4^7» 4'é7')> passent par les points OStjS), {y^y) du cercle de gorge (BB'EF, e^.)
lia. Un cercle ou une droite de la surface étant donnée, on .vient de cons-^ truire le point de la courbe d'intersection de la surface par un plan , qui se trouve sur l'une ou l'autre de ces lignes, et les deus: projections de ce point déterminent le plan méridien qui le contient. Mais on. pourrait proposer de résoudre le problème inverse : Étanl (fonné un plan méridien^ trower le point de, la courbe situé dans ce plan ? Soit AGQ la trace horizontale donnée d'un plaa méridien; on demande le point (G, g) de )a section située dans ce plan.
Solution. Le plan méridien AGQ est coupé par le plan <lonné (NO/?) , suivah't une droite qui rencontre l'axe de révolution au point (A, a). On regardç cette droite comme la génératrice d'u^ cône droit qui a pour sommet le point (A, a), et pour base sur le plan horizontal de projections, le cercle d'un rayon AQ, dont l'extrémité Q est déterminée par la rencontre des deux traces AQ , ON^ La droite génératrice de l'hyperboloîde de révolution (CB , cb ) rencontre le cône droit en deux points, dont on construit les projections horizontales U et Z. Décrivant du point A comme centre avec les rayons AU^ AZ, des cercles qui coupent la trace donnée AG du plan méridien , aux points G et Z', ces points appartiennent à la projection horizontale de la courbe d'intersection de Fhyperbûloïde par le plan (NC^),
1 1 3. Pour trouver les points d'intersection d^un cône droit et d*une droite, on mène par le sommet du cône une parallèle à la droite donnée ; par cette droite et sa parallèle , on conduit un plan qui coupe le cercle base du cône en deux points j les arêtes du pôue ^nenées par ces points ^ coupent la droite donnée aux points demandés*
Par le sommet (A, a) du cône droite on a mené la parallèle ( Af 9 m') à la droite génératrice (CB, cb)\ le plan conduit par cette droite et sa parallèle coupe \t plan horizontal suivant la droite RS, qui rencontre le cercle du rayon AQ, base du <^ône droit , ai^x points R et S. Les arêtes du cône qui passent |[>ar ces points , coupent la droite (CB , cby, aux pcrnits dont U et Z $ont les {mi-
GiOMiTElB PESCmiPTlV£. 63
jectkmft horizontales. Taisant tourner cette «droite autour de Taxe ( A » d^' ) , les deux poiuts qui se piojettmt sur k plaa horùfiontal en U et Z, décrivent des cercles de la sur&ce qui rencontrent nécessairemeni: la droite du plan coupant ^ située dans le plan méridien donné ÀGQ , aux points dont G et II sont les pro« jections horizontales.
Les cercles décrits autour de Taxe (Â, aV)^ par les points (U, «), (Z, z) de la droite génératrice (CB, c^), se projettent sur le plan vertical » respectivement suivant les horizontales menées par les points h et z. Les mêmes horizontales contiennent les projections verticales •g^ z'des points de la 6uxiace« dont G et 11 sont les projections hori»>ntales.
1 1 4* La •ctrconféreifece Axx rayon AQ rencontre la tisiee KO du plan coupant aux points Q et Q\ lûtnés dans les deux {ribns méridiens AQ, AQ'. En portant sur AQ' les droites opposées Af , AZ% re^ctivement égales aia droites AG, AZ't les points ip et Z" appartiennent , 4M>mBie les points G et 11 y à la pregection hori* zontale de Tînterseotion de lliy|>eii>oloîde par le plan donné (NO/?).
On trouvera de la même inanière les points I et J de cette projection^ situés sur le méridien AN perpendiculaire à la trace horizontale ON du plan coupant. TjCS opérations semblables aux précédentes sont tracées sur l'épure.
Des tangentes a la courbe â^ intersection cTune hjperholoîde de réi^elution par tut plan. — Nouvel Exeniple d'un plan tangent de la seconde espèce. ( PL 1 5. )
1 1 5. Un point quelconque de rhyperbok)ide de révolution est rinleraectioii de deux lignes droites etd'un cercle qui se croisent en ce point. Le plan tangent au même point oonlient les deux droites etla tangente au cercle ; de ces trois droites, deux seulement sont nécessaires pour déterminer le plan tangent.
^^^ {^tg) un point de Thyperboloide de révolution; les .droites de la sur&ce qui se oroisent'Cn ce point, rencontrent le plan ^horizontal aux points H et 4 ; par conséquent la >drorte H 4 est la teace horizontale du plan tangent. Lie plan méridien du point (G, g") étant vertical , le plan .tangent en ce point lui est^perpendiculaire (art 56); d'où il suit.que ces/deux plans sont coupés par le plan horizontal deiprojections, suivant deux droites AG, H4fperpendiaulaireg entre elles. En^effet, dans le triangle'GH4^ -foirmé par les tangentes au cercle du rayon iVB, menées par le point G, les côtés iGkH, G4.Mnt égaux, et forment avec la trace AG du plan méridien des angles égaux; le .côté h4 est donc perpendiculaire à AG. Cette ccuistruction i&it voir que le plan tangent en ( G, g) e&ten même tenips sécant en tout autre ;point des deux droites de la «ur&ce par lesquelles ilpasse , puisque sa trace sur le plan hotrizontal est une corde h4 d'un cerde appartenant à la surface.
C4 geohiStrix descriptive.
1 16. La trace horizontale 4h du plan tangent étant prolongée , elle rencontre I^ trace NO du plan coupant ÇSOp) , au point T qui appartient à la tangente de la courbe d'intersection de Thyperboloide de révolution et du plan donné : d'où il suit que la droite TG est la projection horizontale de cette tangente ; 0^ sera une autre tangente au point ^ de la courbe GI^Z'JZ'\ si l'on prend sur la trace horizontale NO du plan coupant, la droite Nï=NÔ, et sur la perpendiculaire Gp à la droite AN, G<p'=^'ç*
117. Ayant construit la projection horizontale IGZ^'JZ'^I de l'intersection de l'hyperboloïde par le plan donné (NOp), on l'obtiendra dans son plan (^. i a\ en faisant tourner ce plan autour de sa trace verticale Op (Jig. i ). Après ce mouvement, un point tel que {Gyg) de la section s'abat sur le plan vertical de projections eng (Jig. i «), la distance ggf à la charnière Op étant égale à GG' ^g. I ). On construit la tangente au point ^ {Jig. i a), en portant la droite OT {fig. i) en OT {Jig. i ^) sur la perpendiculaire ON' à Op; la droite menée par les points T,^' est la tangente. Les points (I,0> ('»/>) ^® *^ section deviennent sur son développement {/ig. ï a) i' et/, situés sur la droite i'f menée parallèlement à O/?, à la distance ON' =ON.
J)es asymptotes aux sections planes (Tune hyperboloîde de révolution.
118. On démontre par l'algèbre que les sections de l'hyperboloïde de révoiution sont, comme les sections du cône droit (art. 73), ou des ellipses, ou des hyperboles, ou des paraboles. Dans l'exemple précédent, la section est une ellipse, dont la projection horizontale est une autre ellipse. Il est évident qu'elle ne peut s'étendre à l'infini, que lorsqu'une ou plusieurs droites de l'hyperboloïde sont parallèles au plan coupant. Il y a un moyen très-simple de reconnoitre s'il y a sur une hyperbojoïde de révolution, une droite parallèle à un plan clonné. Il consiste à maier par un point pris à volonté sur l'axe de révolution , une droite parallèle à la droite génératrice de Thyperboloïde , considérée dans une position quelconque. Cette parallèle, en tournant autour de Taxe, engendrera un cône droit, tel que chacune de ses arêtes sera parallèle à une droite de rhyperboloïde, et réciproquement toute droite de l'hyperboloïde aura sa parallèle sur le cône droit. Mais en menant par le sommet de oecône un plan parallèle à un plan donné , il peut arriver que ce plan parallèle soit tangent au cône, ou sécant suivajit deux arêtes, ou enfin qu'il n'ait de commun avec le cône que le sommet. Suivant que l'un de ces trois cas aura lieu , la section de l'hyperboloïde de révolution sera une parabole, ou une hyperbole, ou une ellipse. Cela est évident pour l'ellipse; le plan coupant n'étant pour ce cas, parallèle à
aucune des droites de Fhyperboloïde , la courbe d'intersection est nécessairement fermée. S'il y a sur le cône droit des arêtes parallèles au plan coupant , les droites de Thyperboloide parallèles à ces arêtes ^ ne seront rencontrées par le plan coupant qu'à l'infini ; les tangentes aux points de la section situés sur ces droites, sont les asymptotes..
119. Le plan tangent en un point de l'hyperboloïde de révolution, est déter* miné (art. 56 et 1 15) par les deux conditions de passer par une droite de la sur£ace, et d'être perpendiculaire au plan méridien du point de contact Mais lorsque le point de contact est à l'infini sur une droite donnée de la surface, le plan méridien de ce point est nécessairement parallèle à cette droite ; donc mi plan mené par la droite donnée, perpendiculairement au plan miéridiejQ qui lui est parallèle, est le plan tangent au point situé à l'infini sur cette droite ; l'intersection de ce plan tangent et du plan de la section, est \ asymptote.
Dans le cas où la section est une hyperbole, il y a sur l'hyperboloïde de révolution, deux droites parallèles au plan coupant, qui déterminent deux plans tangens pour les points de ces droites situés à l'infini ; les droites intersections de ces plans et du plan de la section , sont les asymptotes. Daite le cas de là parabole y le plan tangent au point situé à l'infini sur la droite parallèle au plan coupant, est parallèle à ce dernier plan,, et la section n'a pas ôl asymptote. Pour démontrer le parallélisme de ces deux plans, nous ferons remarquer que les méridiens des points de contact, situés à l'infini, passent par les arêtes du cône droit , parallèles aux droites de l'hyperboloïde , auxquelles ces points appartiennent; mais par hypothèse^ dans le cas de la parabole, le plan mené par le sommet du cône droit parallèlement au plan coupant, est tangent à ce ,cône; donc le plan méridien mené par l'arête du contact est perpendiculaire au plan coupant : or le plan tangent au point situé à l'infini passe par une parallèle k .l'arête de contact du cône, et il est de plus perpendiculaire au plan méridien de cette arêle; donc le plan tangent et le pl^n coupant passent par des droites paraU lèles, et sont perpendiculaires au même plan méridien; d'où il suit qu'ils sont parallèles. Ce parallélisme n'a pas lieu pour le cas de l'hyperbole , parce que les plans méridiens' des points de contact situés à l'infini, étant normaux au cône droit, ils sont nécessairemept inclinés par rapport au plan coupant, dont le parallèle mené par le sommet du cône , coupe ce cône suivant deux arêtes.
66 Gl^OMÉTRIE P£SCRIPTIV£.
§ IV. PES nVTERSECTiaKS DE SURFACES RÉGLÉES PAR UK PLAN, ET DES TAlfGEJfTES^
AUX COURBES D^mtERSECTIOlC.
lao. Une surface réglée est définie (art. 47) lorsque, pour chacun de ses points , on peut assigner la position de la droite mobile qui s'appuie sur les troiscourbe^ directrices. Un plan étant donné, une droite quelconque de la surface est coupée par ce plan en un point qui appartient a la courbe d'intersection de la sur&ce et du plan : or on sait comment (art.17) on construit le point de rencontre d'une droite et d'un plan donnés de position; par conséquent on* trouvera tant de points qu'on voudra de la courbe d'intersection d'une surface réglée et d'un plan ; mais la tangente à cette courbe en un point détermînérés^lte de l'intersection du "pian tangent à la sur&ce au même point et du plair coupant; ainsi la détermination de la tangente dépend de la solution de ce pro* blême : Mener un plan tangent a une surface réglée par un point donné sur Ur surface.
Il esc nécessaire, pour résoudre ce problème, de considérer la surface réglée particulière, qui a pour directrices de la droite mobile, trois droites fixes données de position, et d'en Êiire connaître les propriétés par rapport au plan tangent..
De la surface réglée élémentaire^ ou de l'hyperboloîde à une nappe. (PI. 16.)
lai. Nous avons démontré, dans nos Élémens de Géométrie à trois dimen^ siens (i), qu'il n'y avait que cinq espèces de surfaces du second degré, dont trois ont un centre , et deux autres en sont dépourvues. T^es trois premières se nomment ellipsoïde, hyperbololde a une nappe j hyperboloide à deux nippes; leSr deux autres , paraboloîde elliptique et parabohide hyperbolique. Cette dernière , et Fhyperboloïde à une nappé, jouissent de la propriété d^ètre engendrées par une droite de deux manières différentes; on peut aussi les appeler surfaces réglées du second degré, et c'est ainsi que nous les désignons Pl.fôetij. '
Étant donqées trois droites fixes, on prend un point quelconque sur la pre* mière; par ce point et par la seconde droite, on mène un plan qui coupe la. troisième droite •,^ la quatrième* droite, menée par le point d'intersection et par le point de la première droite , s'appuie sur les trois directrices fixes. Cette quatrième droite, qu'on mène successivement par tous les points de là première, est la génératrice de \ hyperbololde à une nappe. Cette surface a un centre, et trois
(i)Uii Tol. isk-^*, partie anafyUque. F. DIdot, 181
CÉOMiTRlE BESCniPTIVE. G7
^xes principauif rectangulaires qui passent par ce centre^ Ces trois axes sont (/?/.i€v;%.i) les droites BB',EAlF ou ettf, et i^ç.
Deux de ces axes sont aussi ceux d'une ellipse qui forme la gorge de la surfeice. Lorsque ces âxcs sont égaux (/%•. a, pL i6), Fellipse de gorge devient un cerclç, et ITiyperboloïde à une nappe ne diffère pas de l'hypcrboloïde de révolution, qui a été l'objet des articles ( 1 1 o«i 19). Les sections parallèles des surfaces du second degsé étant «embiabtes > tes plans parallèles à Teltipse de gorge de llbyperboloide à une nappe, coupent cette surface suivant des ellipses semblables^ dont les axes augmentent continuellement, à mesure que leurs plans s^élotgnent de Tellipse de gorge, en sorte que la surface est composée de deux parties égales, ^ui s'étendent indéfiniment au-dessus et au-dessous de cette ellipse.
BB'EF {fig. ^'ipl' ï6) est l'ellipse de gorge conà traite sur les axes BK, EF. Le plan mené par l'axe EF, perpendiculairement à celui de l'ellipse, coupe l'hy-^ perboloide suivant l'hyperbole xeyiy xfjfy qui ^ po«t axes principaux la droite €/==r EF, et la droite donnée fi^. Un troisième f^anperpendieulaîre à celui de la gorge , qu'on mènerait par l'axe BB', couperait l'hyperboloîde suivant une hyperbole qai ainrait pour axes principaux les droites BF et f^« Ainsi les trois sections principales, constroites smr les trois axes donnés BF, EF, Kp, qui se croisent an centre À de la sur&ce du second degré , sont pour l'hyperbi^oîde à une nàppe^ une^Uipse et deux hyperboles; dles seraient toutes trois ellipses pourTellipsoIde,et se réduiraient à deux hyperboles pour l'byperbdloîdeàdeux nappes; Les droites de rhyperboloidc à une nappe , projetées sur les plans des trois sections principales de cette jsurCsce, sont tangentes à oes sections*
De la génération de n^eràoUnde à ime nappe par une droite mobile. (Fig. i , pi. 1 6 ).
12a. Toutes les sections planes de l'hyperJioIoîde sont , comme pour le
cône à 'base circulaire, des ellipses, des hyperboles ou àt& paraboles; deux
systèmes de plans parallèles le coupent suivant des cercles : tous les cercles
d^un même système ont leurs centres snr une droite qui passe par le centre de
la aur&ce, et qui est inclinée par rapport à leurs plans. Deux plans (^, ^y)
\fig.\)^ parallèles au plan de l'ellipse de gorge (KB1EF), coupent ITïyperboloïde
suivant des ellipses qui se projettent sur le plan horizontal , suivant une seule
ellipse XYZ27, semblable à l'ellipse BFEF et semblablement située. Deux autres
plans menés par les grands axes de ces ellipses (XY, xf).^ (XY, ^cy) sous une
inclinaison déterminée, coupent ta surface suivant deux cerdes égaux et
parallèles, d'on diamètre égal i la droite XY. Concevcms que les circonférences
de ces deux cercles aient été divisées en un nombre pair d'arcs égaux , à partir
^es points (X , jp) , (X , ^) extrémités de leurs diamètres parallèles ; la droite
68 GioUÉTniE DESCRIPTIVE.
menée du point (X, x} du cercle inférieur à un point déterminé du cercle supérieur, déterminera la position de toutes les autres droites de la surface. Avan^ çant d'un arc sur le cercle inférieur, on avancera pareillement d'un arc égal sur le cercle supérieur, et la droite qui joindra les extrémités de ces deux arcs appartiendra encore à la surface; mais du point (X, j;) du cercle inférieur on peut mener deux droites de même longueur à deux points déterminés du cercle supérieur, et il est évident que ces deux points à égales distances du point (X, x) sont situés dans un plan tel que ^4' P^^P^'^^^^"'^^^^ ^ ^^ droite XY.
Les deux droites , en se mouvant suivant la même loi , engendrent la même surface ; les deux systèmes de droites divisent cette surface en petits quadrilatères; une droite quelconque de l'un des systèmes coupe toutes les droites de l'autre système. On remarquera que les projections de ces droites sur le plan horizontal , divisent l'ellipse XYZZ' en arcs inégaux , tels, que les projections des deux systèmes de droites, passent par les mêmes points de cette ellipse. Il n'est pas nécessaire, pour obtenir cette division , de connaître l'inclinaison du plan du cercle par rapport au plan de l'ellipse qui a pour grand axe le diamètre du cercle. On décrit sur XY, comme diamètre, une demi-circonférence qu'on divise en parties égales à partir de t'extrémhé Xde ce diamètre , et on abaisse des points de division des perpendiculaires sur XY, qui divisent lellipse de la manière la plus symétrique et la plus commode pour exécuter la surface avec des fils.
Néanmoins les perpendiculaires à XY, voisines dès droites Xx ou Y^, coupe*raient l'ellipse XYZZ' sous des angles très-aigus, et il conviendra par cette raison , de déterminer l'inclinaison du plan qui coupe Tellipsoïde suivant un cercle. La perpendiculaire ZV à l'axe BB' rencontre le cercle du diamètre XY au point f', par lequel on mène le rayon A(^. Le plan mené par l'axe XY, et qui fait avec le plan de l'ellipse de gorge l'angle Z'A^^, coupe Fhyperboloïde à une nappe suivant un cercle dont la projection sur le plan de la gorge est évidemment l'ellipse XYZZ'. Ayant divisé le quart de cercle Xw en parties égales, on abaisse de chaque point de division, tel que t, la perpendiculaire ts sur AZ'u; on porte As en Ay sur le rayon At^, et les droites rectangulaires y/, //, parallèles respectivement aux axes EF, BB', se coupent à l'un des points de division tf de l'ellipse XYZZ', Cette division de l'ellipse étant connue, on prend deux disques elliptiques égaux et semblablement placés, dont les centres sont sur une droite perpendiculaire à leurs plans ; on attache sur les bords de chaque disque de petites pointes ou crochets , aux points de division déterminés comme on vient de l'indiquer. Le fil qui joint successivement les points correspondans des deux ellipses, engendre l'hyperboloïde dont la gorge est dans un plan pa^ rallèle aux disques, et à égale distance de ces disques. Lorsqu'à la place des disques elliptiques ou prend deux disques circulaires , l'hyperboloïde à une
G:éOM£TBIE DESCRIPTIVE. Cq
nappe devient une surface de révolution dont la gorge (/%*. à ) est le cercleBKEF, concentrique au cercle XYZZ', projection des deux sections circulaires à égales distances du plan de la gorge.
ia3. Au lieu de prendre (/?§-. i) pour directrices de la droite mobile génératrice de rhyperboloide à une nappe , deux ellipses égales et parallèles , on pourrait supposer que cette droite s'appuie constamment sur deux cercles égaux et parallèles y dont les centres sont joints par une droite inclinée par rapport aux plans de ces cercles.
Soient (^.3,/?/. i6) i, a, 3, ^...^ et abcd ces deux cercles; ayant divisé leurs circonférences dans le même nombre de parties égales, on mènera d'un point quelconque de division i du premier cercle , deux droites égales et d'une longueur donnée i a, ii' vers deux points de division a, i' du second cercle. On aura pour les droites d'un système , celles qui joignent les points consécutifs ï, a, 3, 4---' du premier cercle, et les points consécutifs a, 6, c, d.... dn second ; les droites de l'autre système joindront les points consécutifs et corres-
pondans ( i ^ i ') , ( a , a') , ( 3 , 3' ) , ( 4 ? 4') ? etc. Ces deux systèmes de droites divisent en parties égales le cercle de gorge l/e/l
1 a4. Si Ton donnait l'ellipse de gorge et une seule droite de la surface hyperboloide, cette surface serait déterminée. En effet, on considérerait l'ellipse donnée comme la base a'un cylindre droit. Un plan quelconque , tangent à ce cylindre, couperait la droite donnée en un point; l'arête de contact du cylindre et du plan rencontrerait l'ellipse en un autre point : la droite qui joindrait ces deux points , appartiendrait à la surface. ,
i.a5. De toutes les propriétés de l'hyperboloide , la seule qui nous soit néces*» saire consisté dans la double génération par une ligne droite. On suppose qu'une droite se meut en s'appuyant constamment sur trois droites directrices, et qu'elle engendre une surfsice réglée ; prenant pour directrices trois droites quelconques de Ja surface, autres que les directrices primitives, et les considérant comme des nouvelles directrices d'une seconde droite mobile qui se meut en s'appuyant constamment sur elles, les deux droites mobiles engendrent la même surface.
SoitIGK (pL Syjîg. a) une droite qui se meut en s'appuyant sur trois droites fixes AB, MN, CD données dans l'espace , et qui coupe ces droites aux points I, G, K; soient AMD, BNC deux autres positions de la droite mobile, et MGN une seconde droite qui se meut en s'appuyant sur les trois droites AMD, IGK, BCN ; les surfaces engendrées par les deux droites mobiles sont identiques. On démon-
-^O GÉOMÉTRIE OESCaiPTIVE.
tre (i) cette proposition, en faisant voir que les deux droites génératrices considérées dans deux positions quelconques I'K\ M'N' se rencontrent en un point tel que G'. Admettant cette seconde proposition, .la première en est une cotiséquence; car une droite quelconque de l'un des systèmes de génération ne peut être rencontrée par toutes les droites de l'autre système que dans le cas de l'identité de ces deux systèmes.
I a6. La démonstration de cette proposition se simplifie , IcM'çqu'on suppose qiie la droite MN et les deux côtés AB, CD du quadrilatère ABCD, directrices de la droite mobile IK» sont parallèles à un même plan. Admettant cette hypothèse, la droite mobde dans toutes ses positions est parallèle à un autre plan. Ia surface qu'elle engendre, était connue souslcnora.de plan gauche; nous l'avons jiommée, dans nosÉlémens de Géométrie à trois dimensions^ paraboloide hjpenbolique ; elle est un cas particulier de l'hyperbololde à une nappe. La section .principale qui est une ellipse BB'EF (^g. J^pi. i6) pour l'hyperboloîde, devient une parabole. Les projections des droites de la surface sur le plan de cette parabole 5 spnt des tangentes à cette courbe.
Du parcAoloide hyperbolique, (PL 17, fig. i.)
^17. Soit FMNZ [pl^i^'Jig* i) la parabole, section principale du paraboloïde hyperbolique ; FFG' la tangente à 'cette parabole au sommet F. Prenant une droite quelconque de la surface et la parabole FMNZpour directrices, le mouvement de la droite génératrice du parabolotde est déterminé. En effet, sup* ppsons que la tangente FG' soit la projection de la droite donnée, et que cette droite , projetée sur un plan XY qui lui ^est parallèle, fasse avec le plan horizontal Tangle X^', ou X^'; en sorte que la droite génératrice dans sa première position ait pour projectio ns FG' ttffjOXk FG' tï/^g". Considérant la parabole ZFZ' comme la base d'un cylindre dont les areCes sont perpendiculaires au plan de irefte parabole, un plan quelconque tangent à ce éylindre coupera les droites (FG'^^), {¥%i\j0^'g')en deux points; l'arête de contact sor le cylindre rencontre la parabole en un autre point; les droites menées de ce point aux. deux premiers, appartiennent à la surface. Les projections de ces droites sur le i^MXk v^tical XY sont toutes parallèles er^re elles , et parallèles aux droites données (f^JST' Soient M, N,Z, ou Sf , VI ^ 11 , les points de la parabole qui se projettent 6ur le plan vertical XY en m, n^ z, ni^ li^ 7I. Les parallèles menées par ces der-
(i) Cette démonstration éiant plus analytique que géottëlrique , je ne la rapporte pas dans cet /ouTrage; on la trouvera dans nie9 Élémensde Géométrie à trois dimensions, Didot 1817, p. i8-23.
GÉOMïÎTRIE DESCRIPTIVE.
nîers pomts aux àroitesjff^'§f,j^''g\ sont les projections verticales des droites de . la surface , qui ont pour projections horizontales les tangentes à la parabole FA, MS, M'Sr, NU, N'iy, ZV, Zy\ Tous les plairs perpendiculaires au plan de la parabole ZFZ', et parallèles au grand axe AF/de cette parabole, coupent le paraboloïde suivant une parabole constante FTÏ'K'KIJU'. En faisant mouvoir cette parabole dans les plans FA,MS, etc., etc., de manière que son sommet parcoure la parabole de la section principale ZFZ' , elle engendre le paraboloïde hyperbolique. Les paraboles fixe et mobile divergent dans l'espace en sens contraire (i j; ces propriétés sedémontrent par l'algèbre.
En partant de cette définition dii paraboloïde hyperbolique , qu^il a pour génératrice une droite mobile qui s'appuie sur deux droites fixes, et se meut parallèlement à un plan donné, nous allons démontrer qu'en prenant deux autres droites quelconques de la sor&ce pour nouvelles directrices, elle peut encore être engendrée par une droite qui, s'appuyant sur ces nouvelles directrices , serait ' pour chaque position dans un plan parallèle aux deux directrices primitives.
Zfe /a double génération du plan gauche , ou du paraboloïde hjperhoUque*
ia8. Soit {j)L ^jfig* h) un quadrilatère gauche ABCD; une droite peut se mouvoir de deux manières, i^ en s'appuyant sur les côtés opposés AB, CD^ comme directrices , et restant parallèle au plan des deux autres côtés AD, BC ; 0? en s appuyant sur ces derniers cotés conune directrices, et restant parallèle au plan des deux premiers AB, CD : une seule et même surface comprend toutes les droites dont la position est déterminée par ces deux lois de mouvement. Pour le démontrer, nous allons faire voir que toutes les droites telles que IR qui s'appuient sur les côtés AB, CD comme directrices, sont rencontrées par une droite quelconque MN qui s'appuie sur les deux directrices AD , BC.
Ayant construit le parallélogramme ABDrf siu* les côtés AB, AD du quadrilatère*, tiitons la droite C^, qui forme avec les lignes D4 CD le triangle CDâf, et avec les Ugnes &/, BC k triangle C&d; il est évident que les plans de ces triangles* %on% respeclireœent parallèles aux cotés opposés du quadrilatère gauche. M^nons^ deux plans quelconques parallèles aux plans des triangles GB^ CDi, et soieni IÂ,M/i les traces de ces plans sur le plan du parallélogramme ABD^c Leurs traces sur les plans des triangles Cûd, QSd seront les dhnies AK, tiK parallèles à la
. (i) Si ce* deux paraboles divergeaient dans le même sens, la parabole mobile , telle que a'FV y ^gale à la parabole L'FTL" retournée , engendrerait le paraboloïde elliptique, ( To/. la définition de» autres surfaces du second degré , art. Z2i. ) -.
na GÉOMIÉTRIE DESCRIPTIVE.
droite G/, et on aura deux triangles IKA, MN/z , dont les plans respectivement parallèles à ceux des triangles CB^, CDd se coupent suivant la droite gG qui passe par le point g", intersection des deux droites lA, M/i, ^t qui est parallçle aux droites Cdj RA et N/z« Kous allons démontrer que la droite Gg qui rencontre nécessairement les droites IK^ MN , les coupe au même point G.
Considérons d'abord cette droite G^ dans le plan du triangle Klh , et comme une parallèle de KA, qui coupe la droite IK. au point G : à cause des triangles semblaj^les IgG^ lh¥L, on a la proportion ;
ViiIgr.KhiGg;
d'où il suit que la droite Gg qui se termine au point Gg de la droite IK ,
Ig Bn
a pour valeur — KA, ou ^ — Kk^ ou enfin à cause des triangles semblables
Jh Bd
ISn BCd,Bl^n,Gg = — J!ik.
Cd
Considérons maintenant la droite Gg'dans le plan du triangle MN/i , et comme
une parallèle de ^n qui coupe la droite MN ; je dis que le point d'intersection
ne différera pas du point G de la droite IK; car on a, à cause des triangles sem*
, blables MN/2, MG^^ la proportion :
M/i: MgiiTinxGg;
« ce qui donne pour la longueur Gg, en supposant que l'extrémité G de cette droite soit sur MN :
Mg jyh YJi
Qg^ = — N/i == — N/î == — N/z..
M/ï Drf Gaf
Ces deux valeurs de Gg sont égales; d'où il suit que toutes les droites IK, TK' d'un premier mode de génération du plan gauche, sont rencontrées par toutes les droites IN , l'N' du second mode de génération; ce qui prouve que le plan gauche peut être engendré par une droite mobile de deux manières différentes.
Du plan tangent à Vhyperboloîde a une nappe ^ et au paraboloîde hyperbolique.
1 39. On vient de démontrer que ces deux surfaces peuvent être engendrées par une droite de deux manières différentes ; un point quelconque de ces surfaces est donc l'intersection de deux droites^ appartenant aux deux systèmes de
génération; 'd'où il suit que le plan tangent en ce point est déterminé par ces deux droites. Si Ton conçoit sur chaque surface trois droites d^un même système, un plan quelconque mené par Tune de ces droites , et tournant autour d'elle comme charnière , sera dans toutes ses positions tangent à la sur&ce ; mais le point de contact variera , et pour l'obtenir il faudra prolonger le plan tangent jusqu'à ce qu'il coupe les deiix autres droites du premier système : la droite qui joindra les deux points. d'intersection appartiendra au second système de génération 9 et coupera la droite par laquelle on a mené le plan tangent au point.de contact de ce plan et de la surface. j
Toutes leis droites menées dans l'angle formé par les deux droites qui déterminent le plan tangent de rhyperboloïde à une nappe et du paraboloïde hyperbolique, sont des sécantes de ces surfaces; d'où il suit qu'un plan n'est tangent à rhyperboloïde que suivant un élément infiniment petit, et en un seul point limite de cet élément. En tout autre point des deux droites de la sur- -Êice par lesquelles il passe , il est séeant , tsmdis que le plan tangent à une surface réglée développable , est tangent dans tous les points de la droite, par laquelle tl fiasse.
Des sections planes du parabolaîde hyperbolique^
i3ô. Les sections planes d'un paraboloïde hyperbolique sont ou des parar 2)oles ou des hyberboies. Quel que soit le plan coupant , deux droites de la surface seront parallèles à ce plan, et les points de la courbe d'intersection situés sur ces droites, seront à l'infinL Pour le prouver, concevons que le plan coupai^t et deux plans parallèles aux deux systèmes de droites du paraboloïde se rencontrent ; nommons p tl q les droites d'intersection de ces plans ; A, A' les côtés opposés du quadrilatère gauche (art. 1 28) qui détermine lé paraboloïde, -B, B" les deux autres cotés. Toutes les parallèles aux droites /? et q seront parallèles aux plan coupant.: or, il y a deux droites, l'une parallèle à/?, l'autre à q^ qiûs'appilient, la première siur les directrices A, A'; la seconde sur les directrices B, B'; car, si par la directrice A et une parallèle à la droite /?, on imagine un plan qui coupe la directrice A' en un point, une autre parallèle/?' à la droite/^ menée par ce point, s'appuiera sur les directrices A, A', et sera parallèle au plan des deux directrices B, F et au plan coupant /qui par hypothèse se rencontrent suivant la droite /?.
Par la même raison , la directrice B et une parallèle à la droite q^ détermine «n plan quiicoupe la directrice B' en un point, par lequel on conçoit une parât lèle^ à la droite q; cette parallèle s'appuiera sur les directrices B, B', et sera parallèle Au plan des deux directrices A, A' et au plan coupant. Mais les d^x droites p^qf'y l'imc parallèle au plan des deux directrices B, B', l'autre au plan des deux
74 ,^iOMiTMli DESCRIPTIVE.
directrices A, A', appartiennent à la surface du paraboloïde» et sont parallèles a» plan coupant ; donc elles contiennent des points de la courbe d'intersectioix du paraboloide et du plan donné , qui sont situés à Tinfini ; d'où il suit que le plan donné, quel qu'il soit , ne peut couper le paraboloide suivant une courbe
fermée.
Les deux droites p% ^ se réduiront à une seule f lorsque le pian coupant ' sera parallèle à la droite d'intersection des deux plans , l'un parallèle aux côtés A, A' du quadrilatère gauche, l'autre aux côtés B, F de ce quadrilatère. Dans^ce cas, la section du paraboloide sera une parabole, c'est-à-dire l'une des sections coniques qui s'étend à l'infini , et n'a pas d'asymptotes* Connaissant, dans le cas d'une section hyperbolique , les droites p\ ^ de la surface parallèle au plan ' coupaiit, on déterminera les asymptotes de cette section par des considérations^ semblables à celles qui ont servi à trouver les asymptotes des sections de l'hyperboloide de révolution ( art. 1 1 8)«
' En effet, le plan mené par la droite /?' parallèlement au plan des deux direC' trices B,^, ne rencontre aucune des droites de la surÊice parallèle à ce plan, et il est tangent à la surface ; le point de contact est donc situé à l'infini : d'où.il suit qu'il rencontre le plan coupant suivant l'asymptote de la section contenue dan& ce dernier plan. Par la même raison , le plan mené par la droite g' parallèlement -au plan des deux directrices A, A' ne rencontre aucune des droites de la surface parallèles à ce plan ^ et il est comme tout plan qui passe par une droite de la surface , tangent à cette surface (art. 1 29) ; donc le point de ccmtact est situé à l'infini. Les intersections du plan coupant et des deux plans tangens pour lesqueU^ le point de contact est situé à l'infini , déterminent les deux asymptotes qui, d'à* près cette construction , sont parallèles aux droites y, q^. Lorsque ces droites/^', ^ se réduisent à une seule , cette droite unique est à une distance infinie des deux plans parallèles aux deux systèmes de droites ; un troisième plan qui leur esf parallèle, et qui estm^ié par cette droite, ne rencontre le plan coupant que suivant une droite située à l'infini ; d'où il suit que la courbe contenue dans leplan coupant,, n'a pas d'asymptotes; ce qui indique que cette courbe est une parabole*
Des sections planes de Vhyperholoïde à une nappe^
i3i. Si l'on prend sur un hyperboloïde cinq droites d'un même sysfèîne, et que par le centre de cette surface, on mène des parallèles à ces droites, le cône elliptique qui passera par ces parallèles, jouit de la propriété qu'il n'y a aucune droite sur l'hyperboloide appartenant à l'un ou l'autre système de génération^ qui n'ait sa parallèle sur ce crâe, qu'on a nommé par cette raison cône asympio^
GliOSféTRIE DESCRIPTIVE. n^
^ue de rhyperboloïde. En admettant cette proposition comtne démontrée, et ayaÀt construit le cône asymptotique dont on connaît le sommet , et cinq points de sa base situés sur les cinq arêtes données , on pourra reconnaître Fespèce de courbe qui résulte de l'intersection de l'hyperboloïde et d'un plan donné. Ayant mené par le sommet du cône tm plan parallèle au plan coupant, ou ce plan n'aura de commun avec le cône que le sommet, ouâl lui sera tangent, ou enfin il sera sécant, et il contiendra deux arêtes du cône ; les sections correspondantes à ces trois cas, seront ou des ellipses, ou des paraboles, ou des hyper^ boles.
Supposons que la section soit une hyperbole ; alors deux droites de Thyperboloîde à une nappe sont parallèles au plan coupant, et déterminent les asymptotes de rhypérbole. En effet , désignons par A la première de ces droites , et par B, C deux autres droites quelconques de l'hyperboloïde, appartenant au même système de génération.
Toust plan (art. i ag) passant par A coupe les droites B et C en deux points ; la droite qui joint ces deux points, et la droite A fixent la position d'im plan tan«> -gent à la surface; elles se coupent au point de contact de la surface et du plan. Si par les droites B et C, et parallèlement à la droite A, on mène deux plans, l'intersection de ces plans sera parallèle à A, et s^appuiera sur les droites B et C ; donc si par cette droite d'intersection et par la droite A on mène un plan, 11 «era tangent à la surface en un point de cette droite A situé à l'infini ; donc (art 1 1 Sy l'intersection de ce plan et d'un plan coupant parallèle à la droite A, sera l'asymptote de l'hyperbole. En opérant de la même manière sur la seconde droite A' de la surCace, parallèle au plan tangent, on construira deux autres droites quelconques F , C du même système de génération ; on mènera par ces droites des plans parallèles à la droite A' : l'intersection de ces plans et la droite A' détermineront un second plan tangent, dont le point de contact sera situé à l'infini, «et qui coupera le plan de l'hyperbole suivant la seconde asymptote.
Le cône asymptotique de l'hyperboloïde à une nappe, devient un cône droit il base circulaire , lorsque cet hyperboloïde est de révolution (art 118).
1 32. La théorie que nous venons d'exposer conduit à ce résultat, que l'hyperboloîde à une nappe comprend comme cas particuliers l'hyperboloïde de révolution et le paraboloîde hyperbolique; que ces trois surfaces peuvent être •engendrées de deux manières différentes par une droite mobile ; qu'elles sont divisées en une infinité de petits quadrilatères gauches par les deux systèmes' ^e droites génératrices; enfin, que les aires comprises entre deux droites consé* jcutives d'un même système de génération , sont des éîémens gauches qui .«'étendent indéfiniment dans le sens des droites qui les comprennent Sfous^
'j6 Û^OH£TRIE DESCRIPTIVE.
allons maintenant prouver que la surface réglée la phis générale, telle que nous l'avons définie (art. 47)9 et Thyperboloïde à une nappe, peuvent par un choix convenable des droites directrices de cette seconde surface, avoir en commun un ou deux élémens gauches consécutifs, suivant lesquels Thyperboloïde. est tangent à la surface réglée générale; c*e&t par cette raison qufi Thyperboloïde à une nappe est à Tégard des surfaces réglées ce que le plan est par rapport aux surfaces développables : il n'y a aucune sur&ce réglée qu'on ne puisse regarder comme l'enveloppe de l'espace que parcourt un hyperboloîde à une nappe.
Des plans tangens h la surface réglée générale,
1 33. Soient {pL 5 , fig. c) AB , AB', A"F' trois courbes quelconques , directrices d'une droite mobile AA'A"; la surface réglée dont cette droite est la génératrice , a pour l'un de ses élémens gauches l'aire AA^A^oâ^o'' comprise entre deux positions consécutives AA'A", add' de la droite mobile. Quelle quesoit la surface engendrée par cette droite, qui a pour directrices les trois courbes AB, A'B', A"F', on conçoit qu'ayant mené par les trois points A, A', A" trois autres courbes quelconques AC , A'C, A"C' de la surfgice , pn pourra prendine ces nouvelles coui^be^ pour directrices de la droite mobile. La seconde surface, engendrée dans cette bypor thèse , ne différera pas de la première , puisque les droites AA'A", ad d'y BB'B'', qui s'appuient sur les- directrices AB, A'K, A'B', A"K', rencontrent d'autres courbes de la première surface, telles que AC, A'C, A"C", qui passent par le3 points A, A', A". Mais en ne considérant que l'élément gauche AâiA'o'A'V, il est évident que la droite add' de crt élément s'appuie sur lestangente^ auxti?ois .premières directrices AB, A'B', A"B'V et que la droite oaV qui s'appuie sur les tangentes aux trois nouvelles directrices AC, A'C'„ A"C", appartient au même élément^ puisque toutes les tangentes à la surface menées par les points A, A', k![ sont compirises dans les plans tangens en ces points ; donc si l'on mène trois plans tangens en trois points- A, A', A" d'une droite d'une surface réglée, et dans chacun de ces plans une droite qui passe par le point de contact, on aura trois droites qu'on pourra prendre pour les directrices d'un hyperboloîde tangent à la surface réglée , suivant l'élément gauche kKK'add\
. Ainsi, quelle que soit une surface réglée, il y a une infinité d'hyperbploîdes à une.nappe qui ont un élément commun avec cette surface, et qui lui est tangent suivant la droite qui termine cet élément. Chacun de ces hyperboloîdes a pour directrices de sa génératrice, trois droites menées arbitrairement dans trois plans tangens de la siu*face réglée, par trois points de la droite de contact de cette surface et des hyperhptoïdes. Chacun de ces hyperbploïdes n a de commun avec la surface réglée qufi deux droites consécutives de cette surface, hors un seul
&]ÊOMiTRIE DESCRIPTIVE. 'j'j
qui passerait par trois droites consécutives de la surfate réglée , qui aurait avec cette surËice un contact plus immédiat, et que nous avons nommé pour cette raison hyperboloîde osculateur. (Voyez mes Élémens de Géométrie a trois dimen-^ sionsy in-S^, p^es 54 et 83)*
i34« Les hyperboloides à une nappe, tangens à une surface réglée suivant une droite, deviennent des paraboloides hyperboliques, lorsque les droites directrices prises dans les trois plans tangens , sont parallèles à un même plan. Soient A , A', A" (pi. 5,,/%. c) trois points d'une droite d'une surface réglée quel* conque ; on mène par ces points les plans tingens à la surface , et trois plans parallèles quelconques , qui coupent les plans tangrns suivant trois droites; prenant ces droites pour directrices, la droite mobile engendre un parabo* loide; et comme la direction des plans parallèles est arbitraire, il s'ensuit qu'il y ff une infinité de pardboloîdes qui sont taogencr à la surface réglée suivant l'élément kK^d'a.
Du plan tangent en im point quelconque d'une surface réglée^
1 35. Soit M {pL B^Jig. c) un point donné sur une surface réglée ; on suppose que la droite AA'A" dé la surface qui passe par ce point soit connue, et que les plans tangens en trois points» A, AVA'' de cette droite soient déterminés. On mène dans ces plans trois droites quelconques di^rectrices AA, Aï, h!'h; par deux points gy k pris à yolonté sur la première dmctrice AA, on fait passer deux droites gfe ^ kih qui s'appuient sur les deux autres directrices. La droite gfe et le point donné M de la surface déterminent un plan* qui coupe la droite K^ au poiiit n ; joignant les points /i et M par une droite M/i , le plan conduit par les deux droites MA'A et M/^, sera le pl»n tangent de la sur£aK:e réglée au point M de cette surface.
En efièt^ ce plan sera (art 129) tangent à l'hyperboloide qui a pour directiûces les trois droites A A, A7, À!' h; or cet hyperboloîde est tangent à la surface réglée (art. i33), smvant la droite A A' A"; donc le plan (MA, Mn} est aussi tangent à cette surface.
Si Ton eût pris tes trois droites A^, Aï, k"h parallèles à un plan donné , Thyper^ boloide construit sur ces droites comme directrices , se changerait en parabo-^ loïde, et le plan tangent au point M de ce paraboloïde serait aussi tangent à la surface réglée.
Nous allons appliquer cette méthode à des surfaces réglées particulières,^ dont on fait usage en architecture pour la construction de quelques voûtes-
78 OéoviTAIB DESCBIPTIVE.
EXEMPLES DE PLANS TAVGEirS AUX SURFACES R^GLIÉES, ET DE TANGENTES ArX
SECTIONS PLANES DE CES SUEf ACES. ( Pi. I 7 )• *
Premier Exemple. — » Plan tangent a la surface réglée qu*on nomme conoïdeu
1 36. La surface réglée qu'on nomme conotde , est engendrée par une droite mobile toujours horizontale, qui s'appuie sur deux directrices dont Tune est une droite verticale, l'autre une courbe donnée dans un pian vertical. Cette surface termine une petite voûte on porte y qu'on appelle en coupe des pierres ^oûte conoïde.
Soit (/?/. 17, j^. 1) la verticale (A, h! a) directrice de la droite mobile hori-» Eontale ; la seconde directrice est un cercle BoC qui est donné dans le plan ver« tical XY, et qu'on prend pour la base du conoîde. Le centre A' de ce cercle est sur l'intersection XY des deux plans de projections; d'où il suit que les horizon* taies AB , AC sont les traces du conoîde sur le plan horizontal de projections. Les projections- horizontales de toutes les droites de la sur&ce passent évi* demment par le point A«
Un plan vertical XT', parallèle au plan vertical de projections, coupe lé conoîde suivant une courbe (D£, D'£'a), et on demande la tangente à cette courbe en un point donné, dont la projection horizontale est le point M de la droite D£ ? La droite du conoîde qui passe par ce point , a pour projection horizontale la droite AML; elle rencontre la base circulaire au point /; d'où il suit qu'elle a pour projection verticale l'horizontale //'; élevant la perpendiculaire à XY, qui coupe la droite //' au point /n, ce dernier point appartient è 1^ courbe l^iim : on construirait de la même manière tout autre point de cette courbe.
Connaissant la droite (AML, lf)da conoîde, qui passe par le point (M, /w) de cette surface, on construira les directrices d'un paraboloîde tangent au conoîde suivant cette droite. Deux directrices suffiront, parce que la droite génératrice du paraboloîde sera constamment horizontale, comme la droite génératrice du conotde. L'une de ces directrices est la tangente Ih du cercle , menée par le point / où la droite (AML, //') rencontre ce cercle. Pour obtenir l'autre directrice, il faut remarquer que le plan tangent au point (A, a) de la droite (AML, //'), passe par cette droite et par la verticale (A, A!à) qui se croisent en ce point : or ce plan est coupé par le plan vertical X^Y", parallèle au plan vertical de projections, suivant la verticale (A, A'a); donc les directrices du paraboloîde , situées dans les plans verticaux parallèles
GIÊOMIÊTRIB DESCRIPTIVE. J^
XY, X'T", sont i<^ la verticale ( A, A'ûp) ; a° la tangente Ik du cercle BaC. Mais^ cette tangente coupe le plan horizontal de projections au point h; d'où il suit que la trace du paraboloïde sur ce plan , est ta droite kh. Le plan vertical XT' de la courbe DVzE' rencontre la trace kh au point G, dont la projection sur le plan vertical est G'; ce qui détermine la droite ( MG, mG) du paraboloïde, et la trace horizontale NGO du plan tangent à ce paraboloïde au point (M, m). Ce plan est coupé parle plan XT' de la courbe IXaE', suivant la droite (GM, G m); donc la projection verticale Gm de cette droite est tangente à la courbe DaE'^ On détenûinerait de la même manière la tangente fc'F au point iji de cette t:ourbe, situé sur Thorizontale U\
II est à remarquer que Ton peut prendre pour directrices du paraboloïde tangent au conoide suivant l'horizontale (AML,//;;?;.6), les deux horizontales (AA, hh^ , (AA', i) : or le plan vertical X'Y' de la section T/dE! du conoïde , coupe ia seconde directrice (A A, /) au point (I9 O? ^^^ ^ ^^^^ ?^^ ^^ droite (GMI , Gmi) y qui appartient au conoide, est aussi dans le plan tangent au point (M, m) de ce concNfde, et que la tangente Gm au point m de la courbe D'oE' passe par le point i de la verticale ML
Deuxième Exemple^ — Plan tangent à la sur/ace du biais passé. (PI. 17, fig. 3)^
137. Cette surface est engendrée par une droite mobile, qui a pour directrices deux cercles et une ligne droite. Soient XY, X'Y' les traces parallèles de deux plans verticaux sur le plan horizontal de projections ; ces plans contiennent deux cercles des diamètres AB, CD, dont les centres a, /? sont sur une droite €e)3 inclinée par rapport aux traces XY, X'Y'. Les diamètres AB, CD forment avec les droites AC, BD un parallélogramme qui est divisé en deux parties égales par la droite EF parallèle à AB. Par le milieu G de cette droite, on élève une perpendiculaire IGHN aux plans des cercles , qu'on prend pour la troisième directrice de la surface du biais passer Un plan quelconque mené par cette hori- 2M>ntaIe IGH, coupe le plan vertical XY suivant la droite HA:/, qui rencontre le premier cercle du diamètre CD au point *, et le second cercle au point (L, /); ces denx points déterminent la droite (LRN, H^/) de la surface. Soit (M, ttz) un point de cette droite, pour lequel on demande le plan tangent à la surface;: noos.atlons d'abord construire les directrices d'un paraboloïde tangent à la surface du biais passé suivant la droite connue (LKN, HA/). Les deux premières directrices, situées sur les plans des cercles , sont les droites (XY, ks ) et (XT', //); la troisième directrice du paraboloïde située dans Un plan X'T" parallèle à celui des cercles , passe par le point N de ce plan où la droite de la surface
8o GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.
rencontre Thorizontale IHN, Tune des directrices de la surface de biais passé. Celte troisième directrice est aussi dans le plan tangent à cette surface au point N, lequel plan a pour traces «ur les plans de projections les droites NUI , ïUt/; elle a donc pour projections les droites H*/ et NX"Y''.
Connaissant les trois directrices (XY, ksY) , (XT', //U '), (X"Y", Hkt) , la posîtion d'une droite qui s appuie sur ces trois directrices sera déterminée , lorsqu'on donnera un point de cette droite sur la première directrice, par exemple le point V, où la tangente ks rencontre le i>lan horizontal. Le plan mené par ce point V et par la directrice (X'Y', //), a pour trace sur le plan horizontal la droite UVO , qui coupe la droite XT" au point O ; d'où il suit qu'il renconti^ le plaa vertical X"Y" suivant une droite parallèle à (XY"', II) menée par ce point O. La projection de cette droite sur le plan vertical XY, sera donc une parallèle O/? à la tangente lu/ du cercle A'/B', et de plus passera par le point O', projection de O sur XY. Mais cette parallèle O^ coupe la projection Uil de la troisième direc*trice (X^Y", Hkl) au point p ; donc le plan jqui a pour trace horizontale UVO, coupe cette directrice au point (P,/?). Il résulte de ces constructions que U droite du paraboloïde qui passe par le point V de la première directrice (XYjVks) de ce paraboloïde, et par la seconde directrice (XT', U7/), a pour projection horizontale la droite VP, et pour projection verticale la droite Yp; ces deux projections partent du même point Y de Tintersection XY des plans de projections.
Cette droite ( VP, Yp ) du paraboloïde tangent rencontre la seconde dii^œ* trice (XV, VU) au point (Q, Ç'), déterminé par la rencontre des droites connues V'itj Yp qui se croisent au point ç. La perpendiculaire çQ à XY rencontre la <k*oite X'Y' au point Q , situé sur le prolongement de la droite VP.
Maintenant on donne un point (M, /n) de la surface, situé sur la droite (LK, IkH) de x:ette surface, et ou demande le plan tangent en .ce point?
i38. Le plan vertical sySi^ mené par le point (M, m) parallèlement aux plans XY, X'Y' des cercles, coupe le paraboloïde tangent àia surface réglée, suivait la droite {MR, mr); cette droite et la droite (LMK, Imk) de contact, détje^^iiQent le plan tangent au point M du paraboloïde ; et puisque par hypothèse le paraboloïde touche la surface réglée au même point, il s'ensuit que le plan conduit par les droites ( LMK , ImA) et (MR^ mr) est tajigent à la surface réglée au point (M, iw) de celte surface.
1 39. Le plan vertical xy coupe la surface du biais passé suivant une courbe qui se projette parallèlement à elle-même en y'mcùJ"; l'intersection du plan de cette
Ol&OMÉTRIE DBSCmPTIVEt 8l
cmirbe et du plan tangent au point (M,/w) est la droite (MR, mr); d'où il suit que la projection verticale mr est tangente à la courbe y'nM^ au point m de
cette courbe.
Pour construire la courbe ^*mm^* , on remarque i ^ que les projections verticales des deux cercles du biaispassé,&ecoupentsur leplan vertical XY au point û», qui est sur le prolongement de la droite IGH, et que toutes les sections de la surface par des plauos parallèles à ceux des cercles , sf projettent sur le plan vertical XY, suivant des lignes telles que y»J^', qui passent par le points ; a° que les droites horizontales AC, BD du biais passé, sont coupées par le plan vertical xy aux points >9 (T, dont les projections verticales sont y\ i". On trouverait tant d'autres points qu'on voudrait de la courbe y'niùùS^y en mettant les droites de ki surface en projection horizontale, Soit UVIK la projection de Tunedeces droites ; elle est coupée par le plan vertical xjr au point {i/l^m)^ qui se prpjette sur le plan vertical XY au point m de la droite lAkL Un plan quelconque IH/:', mené par la droite IH, coupe les deux cercles donnés aux points ky l ; les perpendiculaires à XY, tirées par ces points, coupent les traces XY, XT' des plans verticaux des rercles aux points K', U, qui déterminent la projection horizontale KV d'une autre droite de la siu^face réglée , et un nouveau point ( M', ni) de la courbe d'intersection {xy^ y'mmJ^) de cette sur&ce par le plan vertical Xf. Pour construire la taiigeate au point m' de la ligne y'/nni^j on opérerait comme pour le point m de cette ligne»
Troisième Exemple. — Surface réglée de Varr&re-^oiLSsure de Marseille. — Définition
de cette surface. {F'îg. li y pLi'j^)
i4o. On mène perpendiculairement à une droite horizontale donnée, telle que m (Jig. 3, pK 17)9 deux plans verticaux, qui ont pour traces sur le plan horizontal de projections , les droites XY, XT', perpendiculaires à IH, Le premier plan \Y contient un cercle donné, dont le centre est en H, et qui a pour diamètre la droite CD. Le second plan XT' contient un autre cercle aussi donné, qui a pour corde la droite AB, dont le centre est sur la verticale (I, H^), et qui se projette sur le plan vertical XY suivant A'^B'; les deux cercles et Thorizontale IH sont les directrices de la ^lurfaçe réglée.
Ut) plan quelconque (IH/) coupe les cercles en deux points (K, A), (L, /); la droite de la surface contenue dans ce plan, a pour projections horizontale et verticale, les droites LR, lie, La projection horizontale LK prolongée, coupe l'horizontale IHN au point N, qui appartient à la droite (LK, Ik) de la surface. Toute autre droite de la surface rencontrerait la directrice III en un point qu'on déterminerait de là même manière.
8a eéoxiTRiE descriptive;
Intersection de la surface de Parriere-vaussute ^ par un plan vertical xy, parallèle
au plan vertical de projections XY.
i4i^Les droites de la surface ont pour projections verticales des droites qui concourent vers le point H , et pour projections horizontales des droites telles que LKN. Un plan vertical donné xy, coupe la droite (LK,ft) au point (M, m), qui se projette sur le plan vertical en iw; le point (M, /w) appartient à la courbe d'intersection de la sur&ce par le plan xj. Les droites AC, BD de la surface, qui sont données sur le plan horizontal de projections, et qui concourent vers un point de l'horizontale IH, forment avec le diamètre CD du petit cercle, et la corde AB du plus grand cercle, le trapèze ABCD. Le plan vertical xy coupe les droites AC, BD aux points ^, /^, dont les projections 7', ^ appartiennent à la courbe y'm^^. Pour construire le point 4 de cette courbe, qui est sur le prolongement de la droite IH, on rapporte la flèche Hç de l'arc A'f F, de T en ç' sur la droite X'Y'; on joint ^' et l'extrémité D du rayon HD par D^' : cette droite D^' coupe la droite xy au point rr; la distance m*^ à Thorizontale IH est égale en longueur à h4- On verra la raison de cette construction, en menant par la droite IH un plan vertical qui coupe les deux plans verticaux des cercles suivant les parallèles HD , I^, et la surface suivant la droite D^'. Il est évident que la verticale ^V se projette sur le plan vertical XY suivant la droite h4 , et qu'on a h4 = ^^»
De la tangente à la section verticale y^m^S* de la surface réglée sur le plan
vertical xy.
142- On détermine la tangente (MR, mr) au point (M, m) de la courbe (^9 y/7/4^) P^ 1^ mêmes opérations qui ont été décrites pour la figure {Hré-* cédente. Les articles (137-139) s'^qipliqueat aux éeas.^figures 3 et l^^pl. l'j.
143. Lasur&cede la petite voûte, qu'on' nomme arrûre^oussure de Marseille, se compose de deux surfaces réglées qui ont deux directrices commîmes; savoir, l'horizontale IHN, et le cercle du diamètre CD; leur mode de génération ne diffère que par la troisième directrice. Elles ont aussi deux droites communes ^ et j'ai fait voir, dans lûes leçons de Stéréotomie à l'École Polytechnique, qu'on pouvait les raccorder : ce raccordement consiste en ce qu'elles soient tangentes l'une à l'autre, suivant les droites qui leur sont communes. On démontrera (art. 145) que cette condition est remplie, lorsqu'elles ont mêmes plans tangens en trois points de chacune des deux droites communes.
GaÊOMlÉTJLIE BCÂCAIPTIVE. 83
<^uok]ue nous n'ayons oomîdBré que dts fwabdbideft tangens aqx sur&ces réglées , les problèmes 4e plans tangens à oes sinfaices àe xésoudcaient de la même mamërc^axiB le 'Cas .général oh la-finrlaoe té^^Lée élémentaise, dont on substituerait l'-AéitteiitÀ wlm de la «nr&ae oéglé^ :géaérale^ Mrait tw hyperboloide à ifne tiappe.
Des hyperbohides >à une nappe ^ Um^ns a une siH;face ré^ée.
f 44. Trels lignes qaèloonqaes d'tine surfine «ëglée, dirigent k flnûuvement de la droite génénCtrtce ide cette sm&ce; les tangentes à ces oonxbes y nenées par les points où une droite qoeloonque^ -b-sœffaeeies renoanltev déteimiaent nn bypeiixdoîde tangent à la smfu^e samm eeMe dsoîte; siam on a démcntaié (art 1 19) qu'un plan* qm tonme autour d'one^droite d'an ihypedxiioide ^ est dans toutes ses positîcxistangeift àcetl>ypedH>loide}tl*^.il2Suk^qa^ tourne autour dWe droite d^une surfiiee r^ée ^ 'Cst ^ansn >dans toutes ses positions tangent k cette waMàct , (puisqu'il serait eonstamnient ttangent à un liyperlxdoide qoi «est lui^^méme itangent à h «uiface 4iéglée^
Ayant mené un plan quelconque par une^rmtedannée^^esnrfiiee jséglée, ce plan est tangent à la surfilée ; mais le prâit de-oanlact in!est ipas comiu^et on propose de ie déterminer y^ ^sans avoir retours à l'on .des »Ëgipeivboloides , qui serait tangent à la sur&ee t^ée -suifrant Ift ^droite :doaoéè«r âPour^BéscMidiet^etfee question , nous désignerons ^par ® 4ft droite 'donnée ide ila «Bvfeoe., et par f, un plan "mené par cette ^^itc Vous remarquerons que oe plan P coupelles deux systèmes de boites situées des deux-dètésde ^la idroile D, en deux :Sé]ries de points ionnsEnl une courbe unique , et que cette courbeirencootre la droite ;D au pdint'de C€mtaet-du-plim P-et de-la surÊiceréglée. JEn effet, désignons .par. M ce ^int de contact,, par «, mVm(^-f et par n^ n', n^.^les deux séries de points^ interjections du^ptanP^et des dnttlfiScdetlasuE£iee>séglée situées des deux cotés de la droite^. Vu plan est tangen€-à œtte suifiioe, lorsqifil passae^art. 89) pariles tangentes à deux sectiom de la suîÊice , qui se croisent au point de contact; mais le .point M est rintersection de la droite qui est sa propre tangente, et de la coui^be uniqiie forméCiparies deux-séries depoi|:its m^ m[yni\...n, n'^ ri\.,..\ donc le plan P qui contient îe^te. courbe et rtoutes ses tangentes» ainsi que la droite D, est tangent à la soifiiee<réglée au point d'intersection M de la droite ietide lacourbe.
Oïl construira tant de points qù'ouYoudra des deux séries /», m',^*..inyn% n'\.. , en approchant continuellement de la droite D; les deux parties de la courbe unique formée par ces deux séries, tendront à se réunir au point M de la droite D, vers lequel elles convergent; mab elles resteront néanmoins désunies dans le voisinage de cette droite, puisque le point M vers lequel elles convergent, est
84 GiOMlÉTRlE DESCRIPTIVE.
indéterminé. Néanmoins une main habilç tracera la courbe avec assez dexac^ titude, en satisfaisant à la loi de continuité et à la condition du jaccordement, qui consiste en ce que les deux parties de là courbe ont une tangente commune au point M , où cette courbe rencontre la droite D de la surface.
On a déduit de cette considération une méthode graphiqiie pour mener une tangente à une courbe, en plaçant cette courbe sur une surface réglée. (Voyez Élémens de Géométrie à trois dùnensiQns ^ art. 56.)
r45. Ayant mené par une droite d'une smrface réglée trois plans quelconques: qui la touchent en* trois points Gonnus, il est évident que toutes les droites menées dans œs plans par les points de contact, seront tangentes à la surface : or trois de ces droites prises dans les trois plaxis , déterminent un hyperboloide tangent à là surface réglée; d'o4 il suit qqe deux suif aces réglées qui ont une droite commune et trois plans tangens. commuas en trois points de cette droite y ^ sont tangentes l'une à'I'autre dans tous les points de la droite commune y, car elles seraient touchées suivant cette droite par un hyperboloïde qui aurait pour directrices trois droites menées dans les trois plans tangeps, par les points de contact dé ces plans et des deux iSurfaces»
Les trois plans tàngens menés par une droite. donnée (l'une sur£stce réglée,^ et les trois points 'de contact, déterminent une. infinité d'h)^perboloides à une nappe, tangens à la sur&ce suivao^t la droite donnée. Parmi ces hyperboloides ,il y. en a ud très-remarquable^ c'estcelui^icontient.trois droites consécutives de la' siir£aice réglée^ et qu'on nomme (art. 1 33) hjrperboloide osculateur (i). Umesurela^ courbure d'un élément gauche de surface réglée^, comme le cercle mesure celle de la courbe dont il est- osculateur.
(î) Trois plans quelconques menés par nne droite D d'une snrfiice ' réglée , coupent cette saxhat suiVajit trois courbes, qcd reneontï'ent la- droite D entxôis'poiats que je désigne pftr:les lettres M, M'y M^. Les tangôités T, T^, T" a ces courbesy aux pointai M, MVM^> sont les tvoi&4jçoites dii^ectrices • de la droite mobile qui «ngendrerjiyperholoide osculateur de la furÇaice réglée suivant la- droite D. Tout plan mené par Tune des tangentes, T par exemplç, coupela surface réglée suivant une courbe, et lliyperboloide osculateur suivant une droite, laquelle est psculatrice dé là couïbe; eh sorte qufe le point de contaèt M" est un point d'inflexion de cette conrbe. Néanmoins, lorsque le plan mené par la tangente T n'est pas sécant, et qu'il se cônfbnd àveé le plan tangent y lequel "^contient,' x^ la droite D, a® une cduibe telle que m, m\xn£...n^ nf^nf',^ (art. 144), 4e point de contact M n'est pas nécessairement un point d'inflexion de cette courbe. En 'effet,- prenant pour l'ui^e.des trois directrices de la sur&ce réglée, une courbe plane -quelconcpie sans inflexion, le plan de cette courbe est tangent à la surface, et de plus, le point de contact est déterminé par là rencontre dé cette courbe et de la droite de la surface contenue dans le même plan ; ce qtu fait voir que ce point decontàct n'est pas nécessairement un point d^nflexlon y ainsi qu'on l'aVait supposé trop généralement , art. 7^ des Élémens de Géométrie à trois dànensiàns'fft^eS^. ^ .
aiOM^TRIE DESCRIPTIVE. 8S
