CHAPITRE IV

§ I. DES INTERSECnOirS DE SURFACES COURBES QUI S^ PÉ19ÈTRE9T.

1 46. Deux surfaces iléfinies sont situées, l'une à l'égard de l'autre , de manière qu'elles se pénètrent ; on propose de déterminer la forme et la position ae leur intersection, c'est-4-dire de la ligne suivant laquelle elles se pénètrent. :£n concevant par chaque point de cette ligne un plan qui coupe à la fois les deux surfaces suivant deux courbes, il est évident que si ces deux courbes étaient construites, le point où elles se rencontreraient, appartiendrait à la ligne d'intersection des deux surfaces : oi^ d'après le chapitre précédent , on sait construire et tracer les sections planes d'une surface, soit qu'on les représente sur les plans de projections, ou qu'on développe les plans qui les contiennent; donc on trouvera tant de points qu'on voudra de la ligne d'intersection des deux, surfaces. Lorsque les sections des deux surfaces par un même plan ne se rencontrent pas, quoique les surfaces se pénètrent, on doit en conclure que le plan des sections et la courbe de pénétration n'ont aucun point commun. On choisit dans chaque cas particulier le système de plans le plus convenable, pour réduire autant que possible le nombre et la longueur des lignes de construction. Ce choix étant fait , une autre question se présente ; il s'agit de déterminer les plans limites entre lesquels la courbe d'intersection des deux surfaces est comprise.

Lorsque les deux surfaces qui se coupent sont coniques, par exemple, on fait usage d'un système de plans qui passent par les sommets des deux cônes et par des points de leurs bases. Il en résulte que chaque plan coupe les cônes suivant des droites qui se rencontrent en des points de l'intersection des deux surfaces. C'est par la même raison qu'ayant à trouver l'intersection de . deux surfaces cylindriques. On les coupe par des plans parallèles aux génératrices de ces cylindres.

1/17. 11 n'y a pas de règle générale pour déterminer le meilleur système de plans coupans, ni pour trouver les plans limites de ce système. La solution de ces questions serait encore plus indéterminée si l'on substituait aux plans coupans un système de surfaces courbes de même nature et de dimensions variables,

86 GÏOMiTAIE DESC&lPTjyjE*

dont chacune satisferait à la condition de passer par deux courbes qui se rencontreraient en un point de la ligne dUntersectiou des deux surfaces pro-^ posées. Cette substitution présente néanmoins dans quelques cas particuliers des avantages , surtout lorsque les surfaces courbes substituées aux plans ne varient que par une seule dimension. Prenons pour exemple deux surfaces de révolution dont les axes se rencontrent; on substitue aux plans coupans des sphères variables de rayon et concentriques, dont 4e centre commun est le point d'intersection des deux axes; ce qui revient à considérer chaque point de la courbe d'intersection de deux surfaces comme le point coni^mun à deux cercles d'une sphère, dont le rayon qui est la dimension variable, estix>nnu.

Deux petits cercles d'une sphère ne se rencontrent pas nécessairement; mais deux cercles qui ne sont pas dans le même plan, et qui se rencontrent, sont nécessairement sur la même sphère. Ainsi, quel que soit le système des surfaces coupantes^ les valeiirs des dimensions variables doivent être telles, que chaque surface de ce système contienne nécessairement deux lignes connues et données sur les surfaces qui se pénètrent

La méthode générale que nous venons d'exposer, s'appliquera avee les mo* difîcations convenables aux cas particuliers que nous allons examiner.

Des tangentes aux courbes (P intersection de deux surfaces.

1 48- L^ tangente en un point de la ligne d'intersection de deux surfaces , est évidemment dans te plan qui touche chaque surface en ce point ; d'où il sui( qu'on obtient cette tangente par Tintersection des deux plans tangens. Si l'une des deux surfaces est un plan, on a déjà vu (art. 4o) que la tangente est l'intersection du plan tangent à la surface et du plan de la courbe.

La tangente à la courbe à double courbure , qui résulte de la pénétration de deux surfaces , peut aussi être considérée comme une droite perpendiculaire aux normales des surfaces menées par le point où la tangente touche la courbe ; mais lorsqu'une droite est perpendiculaire à deux autres droites, et que ces trois droites se croisent au même points la première est perpendiculaire au plan des deux dernières; donc la tangente de la ligne d'intersection des deux surfaces ix>urbes, est perpendiculaire au plan mené par le point de contact, et par les deux normales aux surfaces qui passent par ce même point (i).

^É^.^k**vMM«-M*i*«*>i^MAs^M«iMwrtHMa«ah«MnMMV«MMa^M^aMMHa^— aiM ■■ ' • ■ ■■ i * •

(i) Voyez un article de M. Biact (M.-J.), cUms la Correspondance surtÈcoîe Polytechnique , tom. III, p. 199*

^iOM^TRIR 0ESCRTPT1VE, gw

exemples pe surfaces qci se pénètrent, jet de tangentes aux lignes

d'intersections.

Premier Exemple. — Intersection d'un conéy et (Tune sphère qui a pour centre le

sommet du cône. (Pi. i8).

i49- Les deux nappes opposées d'un cône étant coupées par la sphère qui ta pour centre le sommet de* ce cône , la ligne d'intersection est formée de deux branches séparées et symétriquement placées par rapport au centre de la sphère; il suffira de construire lune de ces branches^ par exemple, celle qui est située entre le sommet du cône et le plan horizontal de projections : tout ce qu'on dira de cette branche inférieure s'appliquera également à la supérieure.

On conçoit par le sommet du cône une suite de plans verticaux ; chacun de ces plans coupe le cône suivant des lignes droites , la sphère suivant un grand cercle ; les points communs au cercle et aux lignes droites appartiennent à Tin* tersection de la sphère et du cône.

Soit BCDE la base du cône donnée sur le plan horizontal ; (A|^ a') le sommet du cône ou le centre d'une sphère du rayon a'I ou aX, Un plan vertical quel* conque CAE, mené par ce point (A, a'), coupe le cône suivant deux arêtes qui passent par les points C et E, et la sphène suivant un grand cercle. Faisant tourner ce plan autour de la verticale (A, aa') , pour Famener dans le plan vertical FAG parallèle au plan vertical de projections , les points C ^ E viennent en F et G , et les arêtes du cône qui passent par ces points , se projettent sur le plan vertical en a'ftX a'gz or ces droites sont rencontrées par le cercle du diamètre IX aux pointsy,g^, distans de la verticale aa* Ae/'^ ^*^4- Portant ces distances sur l'horizontale CAE de A en H et en J, ces points H et J appartiennent à la projection horizontale de la courbe d'intersection de la sphère et du cône. Les points correspondans h et / de la projection verticale de cette courbe, se trouvent sur les perpendiculaires HA , 1i à la trace XY des plans de projections , et sur les horizontalesy A^ , ^i*\^ par conséquent les points de rencontre A, i de ces droites, appartiennent à la projection verticale de la courbe d'intersection.

1 5o. La tangente à cette courbe au point (J, i) s'obtient par l'intersection des plans tangens aux deux surfaces, menés parce point. Le plan tangent au cône a pour trace (art. 53) sur le plan horizontal , la droite CP tangente à la base BCDE ; le plan tangent à la sphère considérée comme surface de révolution, rencontre le plan horizontal (art. 56) suivant la droite OP; les deux traces OP, GP se

coupent au point P de la tangente ; d'où il suit que les droites PJ, pi sont les projections horizontale et verticale de la tangente au point ( J, i) de la courbe d'intersection des deux sui*faces.

Pour trouver le point O de la trace horizontale OP du plan tangent à la sphère, ou a mené la tangente go au grand cercle de la sphère, décrit du pointa' comnie centre avec le rayon donné a'I; cette tangente rencontre la droite XY au point o^ distant de la verticale ad de oo» On a porté cette distance oo de A en O' sur la droite AF, parallèle à XY; Tare de cercle décrit du point A comme centre avec AO' pour raypn , coupe la droite AE au point O.

. 1 5f . Dans le cas particulier où la base du cône est une ellipse BCD£, on dé» terminera les arêtes de ce cône situées dans les plans tangens perpendiculaires au plan vertical de projections, en menant le diamètre BD de l'ellipse conjugué au diamètre qui est parallèle à la droite XY, intersection des plans de projections. Les tangentes B^, Hd coupent cette droite XY aux points b et d; les droites a'b^ ad sont les limites de la projection verticale du cône, et comme elles sont aussi les traces verticales des plans tangens au cône, perpendiculaires au plan vertical de projections , elles touchent (art. 8a) la courbe hikn aux points /z, k. . Pour détçrminer ces points de contact, on décrit du point A comme centre avec les rayons AB, AD, les arcs BB', DD' qui coupent la droite FAG aux points B', D', par lesquels on élève les perpendiculaires B'è', Ji'd à XY. Tirant les droites <z'^, dd qui coupent le grand cercle de la sphère du diamètre A, aux points n\k\ les horizontales lïriy kk rencontrent les limites db, a'rf de la projection verticale du cône, aux points /} et A. Les perpendiculaires «N, k\k. à XY rencontrent les droites AB, AD aux points N et K de la projection horizontale NKCH de la courbe d'intci^section de la sphère et du cône. On construirait les tangentes ^14-9 l^i^ aux points N et R de cette projection , comme poiu* le point J,

1 Sa. Il y a encore sur la courbe d'intersection d*autres points remarquables, ceux pour lesquels les tangentes à la courbe sont horizontales, Ces points se trouvent sur les arêtes du cône, qui passent par les pieds des normales qu'on peut abaisser du point A sur l'eUipse BCDE. Soit Ap l'une de ces normales, sur laquelle se trouve le point (M, m) de la courbe d'intersection de la sphère et du cône; la tangente en ce point est horizontale ; d'où il suit que le point m de la courbe nkch est le plus élevé au-dessus du plan horizontal de projections. (L'horizontale kk\ sécante de cette courbe , ne parait tangente sur le dessin, que parce qu'elle #e cou* fond avec l'horizontale qui passerait par le point m),

Jj^ tangentes aux points situés dans les plan» verticaux normaux à la basQ

aiouittin descriptiyi. 8^

jdu c&ne, sont horizontales, parce que les plans tangens^au cône et à la sphère ^ dont elles sont les intersections , se coupent suivant des horizontales ou des perpendiculaires aux plans verticaux , qui ont pour traces horizontales des droites telles que Ap, n<Minale& à l'ellipse base du cône.

1 53. La courbe /|A/^,. construite sur le plan vertical XY, est tangente au grand cercle if'g^j limite de la projection verticale de la sphère, et pour déterminer les points de contact >, /, on mettra en. projection verticale les points de rencontre a , ^ de la droite FAG et de Fellipse BCD£ ; ce qui donnera les points et\ /S'y par lesquels on mènera les droites a'al} d^ qui coupent le grand cercle 1/ '^ A aux points de contact 79 ^ de ce grand cercle de la sphère et de la courbe hikn^ Cette courbe a un point double a» qui se trouve sur une droite diy menée par la pjTojection a! du sommet du cône, et par le point % projection verticale du point f. Ce dernier point est l'intersection de la droite FAG parallèle à XY, et du diamètre BD de Tellipse. En effet, ce diamètre (art. i5i) coupe en deux parties égales Vordonnée 'ïïîii' de Tellipse, et le milieu i étant sur la droite FAG, il s'ensuit que les droites Aa»V, k(é*fif sont égales. Considérant ces droites comme les Xx^cts de deux plans verticaux qui appartiennent au système de plans qui coupent la sphère et le cône, les arêtes du cône contenues dans ces plans se projettent sur le plan vertical XY, suivant une droite unique a'f', et seront rencontrées par la sphère en deux points situés sur Thorizontale {têài'^ tè) perpendiculaire au plan vertical de projections. L'intersection des deux droites connues ùù'd\ a'%' détermine le point double ta de la courbe nyS'kùù.

Du développement (Tun cône à bczse quelconque (pi. 18). {^Dernier exemple de

développement).

- i54. Nous avons vu (art. 93) que le développement d'un cône droit est. un secteur de cercle qui a pour base un arc de même longueur que la base circulaire du cône , et pour rayon la distance d'un point de cette base au sommet du cône. En considérant un cône à base quelconque, plane ou à double courbure, le développement de la partie de ce cône comprise entre son sommet et sa ligne d'intersection par une sphère qui a ce sommet pour centre , est aussi jin secteur de cercle de même longueur que la courbe d'intersection de la sphère et du- cône, et d'un rayon égal à celui dé la sphère. Il faut donc, pour coiistruire ce développement, rectifier la courbe dont on a les deux projections JNHKy inhk. Considérant la première de ces courbes comme la section droite d'un cylindre vertical, on la divise en uti assez grand nombre de parties, pour que chaque partie spit sensiblement droite.

Le plan vertical AMp coupe la base du cône aux points p et p', et contient le point (M, m) de l'intersection du cône et de la sphère, qui est le plus élevé au-

la

dessus du plan homontal ; od prend le plan tangent au cône en ce point (M, m) pour le plan de développement, et on porte sur la droite R'R' (/?g^. i a), les deux parties MJR, MHR i^fig* i) de la courbe, qui est la projection horizontale deTintersection du cône et delà sphère. Cette courbe étant divisée à partir du point M {Jig. i) en un assez grand nombre de parties, pour que chaque partie puisse êti'e considérée comme une droite, les points M, J, y, R se placent sur I^ •droite RU' C/^- 1^) respectivement en M', T, y' , R', et les points M, K, H, R {fig^i) se placent du côté opposé sur la même droite R'R', en M', K', H', R'. On élève par ces points des perpendiculaires qui représentent les distances des points de la courbe d'intersection du cône et de la sphère au plan horizontal; ces distances sont connues par la projection verticale de cette courbe.

Ainsi les ordonnées R'R", >y, JT, M'M", K'K" C/%. i û) ont pour longueurs lea perpendiculaires abaissées des points t', y, /, /», k {Jig. i) sur la droite XY. Lu courbe R" y'3"M"K" {Jig-i a) qui passe par les extrémités de ces ordonnées, fait connaître ce que devient Fune des branches R'^^M" de là courbe d'intersection de la sphère et du cône , sur le développement d'un cylindre vertical qui la conr tient; on trouvera de la même manière l'autre branche M"KlI"R".

Cette courbe R"M"R'' a pour ordonnée maximum la droite M'^I" qui correspond au point (M, m) (Jig. i) de l'intersection des deut surfaces. L'ayant divisée en parties très-petites et sensiblement droites, on rapporte toutes ces parties sur un arc de cercle décrit du point S {Jig.xb) comme centre, avec un rayon SR'' égal au rayon de la sphère qui pénètre le cône. On joint les points de division et le centre S par des droites qui représentent les arêtes du cône. Supposons que l'arc de cercle R'Y'J" soit de même longueur que la portion de courbe R'yj" {Jîg. i a) 9 la droite SJ^'C sera l'arête du cône qui a pour projections {Jig. i) les droites AC, û!c^ et le point J'' (/%•! d) représentera le point (J, i) {Jig. i) de la courbé d'intersection du cône et de la sphère* Construisant la longueur de l'arête du cône^ qui a pour projections les droites ACyi^'c^/^. i), et la rapportant {Jig. i £) de S enC, le point C appartiendra à la coUrbe p'CfEp\ qui est sur le dév^oppement du cône, la transformée de l'ellipse BCDE, base de ce cône (art. 84).

La tangente CP {^. i) de l'ellipse , et la tangente de 1^ courbe d'intersection au point ( J, i) , forment avec la portion d'arête du cône (CJ^ ci) , un triangle CJ"P (^. I b), dont le côté CP est une tangente à la courbe p'C^E'p'; mais chaque tangente de la transformée de la courbe d'intersection , est une tangente de l'arc da rayon SIM' {Jig.i à) ; donc si l'on construit la longueur de la droite (JP, ^) (/%*i) 9 et qu'on la porte de J" en P ^/%. i 6) sur la perpendiculaire ÏV a SJ% l'hypOr thénuse CP du triangle rect£^ngle Q'T^ sera la tangente de la courbe p'CpE'pS tnmsformée de TeUipse base du cône,:

Deuxième Exemple d* intersection de surfaces. — Deux surfaces cylindriques se pétiètrent, et oh demande la courbe d intersection? (Pi. 19) — (Voy. là dèfinitior% de ces surfaces y /?. 28 , art* 48 )•

1 55. Chaque point de la ligne d'intersection de deu& surfaces cylindriques est déterminé par la rencontre des deux droites qu'on peut mener par ce point sur les surfaces : or tous ces couples de droites sont situés dans des plans parallèles aux droites génératrices des deux cylindres ; donc en coupant les deux surfaces par des plans parallèles à ces génératrices, on construira chaque point de la ligne d'intersection par la rencontre de deux droites ; ce qui est la solution la plus simple qu'on puisse trouver. La direction des plans coupaiis étant connue , il ne s'agit que de fixer les limites de ces plans ; elles dépendent des Jbases ou des directrices des droites mobiles, génératrices des cylindres. En effet, supposons ques ces bases soient des lignes données sur le plan horizontal de projections, tellesque les ellipses ÂBCD, EFGH {Jig. i,/?/. 19); les parallèles ^1K,^%:), (IL, ^0 aux génératrices, menées par un point quelconque (I, /) de l'espace, rencontrent ie plan horizontal de projections aux points R, L; d'o& il suit que les traces horizontales de tous- les pians parallèles aux génératrices , seront des parallèles à la droite KL.

Menant les tangentes MNO, PQR aux ellipses ABCD, EFGH parallèles à la droite KL, elles seront les traces des plans cou pans limites, c'est-à dire que tons les points de la courbe d'intersection des deux cylindres seront renfermés entre ces plans. En effet, un plan quelconque parallde aux génératrices des cylindres, dont la trace horizontale serait en dehors de l'aire comprise entre les deux parallèles MO, PR , ne rencontrerait qu'une seule base , ou n'en rencontrerait aucune; Dans les deux cas, ce plan ne renfermerait aucun point de la courbe d'intersection, puisqu'il ne contiendrait pas des droites appartenant à l'une et à l'autre surface. Soit donc STUV parallèle à la droite KL, la trace d'un plan coupant qui rencontre les hases des deux cylindres aux points S, T, U, V; on aura les projections des arêtes des cylindres contenus dans ce plan, en menant par les points S, T des parallèles à Kl, et par les points U, V des parallèles à LT; CM parallèles se couperont aux quatre points M^fity^J^^ qui appartiennent à la projedâon horizontale de l'intersection des deux cylindres. Abaissant les perpendiculaires SS', TT, UU' VV sur XY intersection des plans de projections, les parallèles Saly', T^ê* i la droite A', et les parallèle» U^a\ V'cTy à la droite //, se coupent aux quatre points a , /}', y\ J^, qui appartiennent à la projection verticale de U coui6e d'intersectiou; les droites «i« , jSjS', yy^ /^ sont perpendiculaires à XY, parce qu'elles joignent les projections des points de cette courbe , • «taés dbans l'un <ies plans coupans*

9» cioMtrniT DcscniPtivK

Les projections horizontale et verticale de la ligne dUntersection des deux cylindres^ se construisent indépendamment Tune de l'autre. Conservant les bases des deilx cylindres, on pourrait faire varier les directions de leurs génératrices, de manière que la projection horizontale de Tintefsectiou restant la même , la projection verticale changeât , et réciprôqueiAent.

1 56. La tangente au point tel que (/S? jS) de la eourbe d'intersection, est à la fois dans les plans qui sont tan gens aux cylindres suivant les arêtes qui se reii«* contrent en ce point : or ces arêtes sont (Tj3 , T'/S ) , (U^ , U'/3') , et les plans tangens i^uivant ces arêtes , ont pour traces horizontales les droites TZ, UZ tangentes aiiit ^ses des cylindres; donc le point Z'OÙ oes traces se coupent, appartî^it à la tangente. Tirant Z^ du point Z au point donné /3, abaissant la perpendiculaire ^Z'surXY, et joignant les points Z', ]3'» on aura les projections Z^, Z'j3' de la* tangente au point (^, ^') de la courbe d'intersection des deux cylindres.

1 57. On mènera d'autres plans cmipans, par les points C, D, G, H où les bases des cylindres sont touchées par les droites CC, DD', GG', HH'. Les plans coupans limites MNO, PQR sont tangens au premier cylindre suivant des arêtes qui passent par les points M, P de la base ABCD, et sont sécans du second cylindre sui^ vant les arêtes qui passent par les points N, O, Q, R de la seconde base EFGII; ces dernières arêtes sont des tangentes à la courbe d'intersection , puisqu'elles sont aussi les droites intersections des plans tangens au second cylindre menés par les arêtes, et des plans tangens au premier menés par les points M, P dç sa base. Mais \^s arêtes du second cylindre qui passent par les points N, 0,Q, &

. ont pour projections horizontales quatre parallèles à la droite LJ! menées par ces points, et pour projections verticales quatre parallèles à la droite // menées pair les points N', O', Q', R', projections verticales des points N, O, Q, R; d'où il suit que les quatre premières parallèles sont tangentes à la projection horizontale de la courbe d'intersection des deux cylindres, et les quatre autres sont tangentes à la projection verticale de cette courbe.

i58.^Les projections horizontales des deux cylindres, ont pour limites les tangentes DD', ce menées à la base ÂBCD, parallèlement à Kl, et les tangentes •GG', HH' à la base EFGH , parallèles à LI ^ or ces tangentes sont aussi les traces de plans verticaux tangens aux cylindres , et ces traces sont .elles-mêmes des tangentes à la projection horizontale de la courbe d'intersection ; donc les droites Diy, CC, GG', HH' sont tangentes à cette projection. Le même raisonnement , s'applique aux limites des projections verticales des cylindres. Les tangentes aux bases, telles que AA', BK, EE', FF perpendiculaires à XY, reiicoiitreut cette

CEOaiéTlilB DE8CRIPTIVB, g3

droite auic points A', B', £\ T; menant par les points A', V des droites parais lèles à k ij et par les points E', F des droites parallèles à &; ces droites A'a, B'è, E'^, F/ sont des tangentes à la projection verticale de la courbe d'intersection.

iSg. Lorsqaedeux surfaces cylindriques dont les génératrices sont parallèles, se rencontrent, la pénétration a lieu suivant une ou plusieurs droites; dans le cas où les génératrices ne sont pas parallèles, il peut arriver deux cas, ou que les bases des cylindres, c'est-à-dire* leurs traces sur le plan horizontal, soient ^es courbes fermées, ou infinies. Si elles sont fermées, la courbe d'intersectioa est aussi fermée ; si elles s'étendent à l'infini , de manière qu'elles soient rencon*» trées par tous les plans parallèles aux génératrices, la courbe d'intersection s'étend aussi à l'infini*

i6o. En supposant que les bases des cylindres donnés, soient les ellipses ABCD , EFGH qui sont des courbes fermées^ la ligne d'intersection est aussi fer" mée; mais elle peut avoir ou une seule branche, ou deux branches séparées: c'est ce qu'on reconnaît à priori^ par les traces des plans coupans limites.

Lorsque les deux traces sont tangentes à l'une des deux bases seulement , et sécantes de l'autre, comme là^.i,/)/.i9 l'indique, le cylindre correspondant à la première base pénètre le second cylindre , de manière qu'il y a sur celui-ci courbe d'entrée et courbe de sortie; mais si les traces des plans sécans limites ne sont pas tangentes à une seule des deux bases données , il n'y a pas pénétration totale, il y a seulement arrachement; la ligne d'intersection est dans ce cas d'une seule branche. On aurait cette branche unique {pL 1 9 ) , en prenant les droites ^4' ^4' pour les limites des plans sécans; chacune de ces droites est tan* . gente à une base , et sécante de l'autre.

161. Il y a des cas où la pénétration de deux cylindres est une courbe plane. Soit, par exemple, {Jig. a^pL 19) un cylindre horizontal qui a pour base un cercle vertical du diamètre AB, et dont les arêtes passant par les extrémités A, B de ce diamètre, soient les horizontales ACE, BFD; en coupant ce premier .cylindre par un plan vertical CD, et regardant la section comme la base d'un second cylindre dont les arêtes sont parallèles aux droites données CF, DE, il est évident que les deux cylindres se pénétreront , et que la ligne d'intersection sera composée de deux courbes planes, situées dans les plans verticaux CD, £F; ces deux courbes se coupent au point dont O est la projection horizontale. Ce point est l'intersection de deux, arêtes horizontales^ contenues dans le même plan tangent. L'intersection de ce plan et des plans verticaux CD , £F, déteir* minera les tangentes horizontales de la ligne d'intersection des deux cylindres.

q4 eiOUliTEIK BSSCRIPTTTE.

Troisième Exemple d^ intersection des sur/aces. — Pénétration de deux surfaces

coniques. (PL 20).

16a. Deux surfaces coniques , telles qu'on les a défiaies page 3i| se pénètrent, et on propose de construire leur ligne d'intersection ?

On prend pour le système de plans qui coupent à la fois les deux surfaces données, ceux qui passent par les sommets des deux cônes, ou plutôt par la droite qui joint ces sommets. Chaque point de la courbe d'intexisectioa étant déterminé par la rencontre des deux droites des surfaces , le plan de ces droites contient évidemment la droite qui joint ces sommets, fmisque toutes les droites de chaque cône passent par le sommet de ce cône. Réciproquement , un plan conduit par la droite qui joint les d'eux sommets et qui rencontre les deux bases , contient les droites des cônes, qui se coupent en un point de la Ugne d'intersection demandée*

* i63. Soient {pL ao) (A, ^t), (B, 3) les sommets des côpes qui se pénètrent; DEFG, HIKL les directrices des droites génératrices de ces cônes, données sur le plan horizontal de projections; la droite (AB, ab) qui joint les sommets des cônes, coupe le plan horizontal au point C, par lequel on mène les tangentes CDK , CEL à la directrice DEFG base du premier cône. Ces tangentes sont les traces horizontales des plans coupans limites ; le plan coupant dont la trace horizontale serait hors de l'angle DCE, ne rencontrerait pas les deux cônes ^ et par conséquent ne contiendrait pas de points de l'intersection demandée. Les traces limites CD, CE coupent la directrice HIKL, base du second cône^ aux points K, L, extrémités de l'arc KIL, base de la partie de ce <:ône, <pii est pénétrée par le premier cône. Menant les arêtes (BK, *K'), (BL, ôU) du second cône, et les arêtes (AD, aD') , (AE, aE') du premier, elles se coupent aux points (M, m), (iN*, n) de la Ugne d*intersection des deux cônes. T/es projections horir Eontale et verticale de ces arèles sont tangentes aux projections de la ligne d'intersection, parce que ces arêtes peuvent être considérées comme les df)oites intersections des plans langens aux cônes, maiés par les points (M, m), (N, /i^.

i6/|. Un plan coupant dont la trace horizontale CBQP est dans l'angle DCE, coupe le premier cône suivant les arêtes (AQ , aQ' ) , (AR, aR') , et le second cône suivant l'arête (BP, *F) ; ces arêtes situées dans le même plan , se rencontrent aux points (S, s)^ (T, t) de la ligne d'intersection. On déterminerait de la même manière d'autres points de cette ligne.

On a. déjà remarqué (art. 1 55) qu'en prenant pour plan de projections le plaii

diOHl^TRIE BÉSCRIFTIVir. g5

des bases des cylindres qui se pénètrent , les projections de la ligne id'inter-section sur ce plan se construisaient à part, et sans avoir recours au second plan de projections , si ce n'est pour déterminer un plan parallèle aux droites génératrices des deux cylindres; la même remarque s'applique aux cônes. On ne se sert du second plan de projection que pour trouver le point d'intersec* fion de la droite qui joint les sommets des deux cônes et du plan des basés de ces cônes. Cependant, si l'on demandait {pL ap) les points de la projection hort« mentale de la ligne d'intersection des deux cônes , qui sont sur la droite ABC, la projection verticale deviendrait nécessaire. Cette droite ABC , projection hori« zontale de la droite qui joint les deux, sommets, peut aussi être considérée comme la trace d'un plan coupant vertical ^ qui rencontre chacun des cônes Juivant deux arêtes ; les projections verticales de ces arêtes se coupent en quatre points de la projection verticale de la ligne d'intersection des deux cônes. Deux de ces quatre points , marqués 3', 4S {pi* ^o) , sur le plan vertical de projectiotis , déterminent sur la droite ABC les deux points 3 , 4 de la courbe MI7ST, projection horizontale de la ligne d'intersection des deux cônes.

i65. La tangente en un point quelconque (S, s) dé l'intersection des deux cônes , 96 trouve dans les plans tangens aux cônes menés par ce point. Le plan tangent au premier cône passe par l'arête qui rencontre le plan horizontal au point Q ; d'où il suit que la tangente QY à la base DEFG est la trace horizontale de ce plan tangent. La trace du second plan tangent au même point (S, s) dil second cône , est la droite PV tangente au point P de la base IGHK : or ces deux traces se coupent au point V; donc ce point appartient à la tangente (YS, Y'j)« La droite YS est tangente à la projection horizontale MNST de la ligne d'intersection des deux cônes, et la droite Y s est tangente à la projection verti* cale iwisi de cette ligne. Cette projection mnst a encore pour tangente la droite b\\ limite de la projection verticale du cône à base IKH , et les droites aF, oG", fimites de la projection verticale du cône à base FDG. Pour construire le point de contact sur l'une de ces tangentes , par exemple sur aF, qui correspond à l'arête (AF, àP) du premier cône, on mènera par le point F la trace CF d'un plan coupant; cette trace coupe la base du second cône au point j3. L'arête (^/8, b^) de ce cône rencontre l'arête (AF, aF) du premier cône au point (a, *'); ce qui détermine le point de contact a' sur la droite aâf^ tangente à la courbe mnst.

i66. La courbe (MNST«, mnsfûi) que nous venons de construire , n'est qu'une branche de la ligne d'intersectioh des deux cônes. Il est évident que le premier cône serait coupé en totalité par la portion du second cône, qui a pour base l'arc S% de, la base de ce cône; ce qui formerait une seconde branche de la*

q6 GiOM^TRIK BESCErPTITB.

ligne d*intersectloâ| que Ton doU tracer pour résoudre le problème complètement, mais qu'on a omise {j>L ao) afin d'éviter la confusion des lignes de cons% truction.

De la courbe d'intersection de deux cônes du second degré.

167. On nomme cônes ou cylindres du second degrés ceux dont les bases sont des courbes planes du second degré, T^Hipse, la parabole , Fhyperbole (art. 73).

Deux cylindres à bases elliptiques ne peuvent se couper que suivant une courbe fermée , d'une seule branche ou de deux branches séparées ; la courbe d'intei^ection ne s'étend à l'infini que lorsque les deux bases sont des hyperboles ou des paraboles. La condition nécessaire pour que deux cônes quelconques se pénètrent suivant une ligne à branches infinies , c'est qu*ils aient des arêtes parallèles. Chaque point de l'intersection étant donné par la rencontre de deux droites des cônes, il est évident que ce point ne peut être situé à l'infini que lorsque les droites deviennent parallèles. En ne considérant que les cônes du second degré , on peut déterminer a priori le nombre de branches infinies de leur ligne d'intersection , et les asymptotes de cette ligne.

Des asymptotes de la ligne d intersection de deux cônes du second degré.

168. L'asymptote de la ligne d'intersection de deux cônes est la tangente au point de cette ligne situé à l'infini : or ce point est l'intersection des droites des cônes , qui sont parallèles ; d'où il suit que les plans tangens aux cônes menés par ces droites , se coupent suivant les asymptotes de la ligne d'intersection. Pour déterminer les droites parallèles de deux cônes , on joint leurs sommets par une droite, et, supposant que le premier cône soit fixe, on fait mouvoir le second cône parallèlement à lui-même, de manière que son sommet parcoure la droite dirigée vers le sommet du premier cône. Lorsque les deux sommets sont réunis , on coupe le cône fixe et le cône transporté par un même plan ; les courbes qu'on obtient , présentent les cas suivans ;

i*^ Elles peuvent se couper en quatre points;

^^ Se couper en deux points, et se toucher en un troisième;

3® Se toucher en deux points ;

4° Se couper en deux points ;

5° Se toucher en un seul point ;

6® If avoir aucun point commun. - - .

• Nous allons examiner ces six cas, et pour distinguer les cônes donnés,' nous' appellerons le premier A , le second B , et ce dernier, transporté paralièlement* à lui-même, B'; les deux cônes A et B' ont même sommet

.CÏOXiT&IB DESCRIPTIVE. "^j

169. Premier cas. Les sections des deux cônes A et B' par un même plan , se coupent en quatre points.

Les cooes A et B'^ dans cette hypothèse, ont quatre arêtes communes qui passent par ies points où leurs sections pknes se coupent : or ces arêtes ont leurs parallèles sur le cône B; donc Ton des àeux cônes A ouB, a quatre arêtes qui ont leurs parallèles sur Tautre cône. IjCS points à Tio^i de leur ligne d'intersection sont situés sur ces arêtes; donc les pltns tangens menés par les quatre couples d'arêtes parallèles, se coupent suivant quatre droites, qui sont les asymptotes de la courbe d'intersection des deux cônes. Les asymptotes sont respectivement parallèles aux quatre droites de contact des cônes et des plans tangens aux c^es suivant ces droites.

Deuxième cas. Les sections planes des deux cônes A et B' se coupent en deux points, et se touchent en un troisième.

Dans cette faiypo thèse, Jes cônes A et B ont trois arêtes parallèles; les plans tangens à ces cônes , suivant les deux premières arêtes , se coupent en deux droites qui sont asymptotes de la courbe d'intersection. Les plans tangens suivant la troisième arête sont parallèles, et ne se rencontrent pas.

Troisième cas. Les cônes A et B' se touchent suivant deux arêtes; ce qui indique que les cônes A et B ont deux arêtes parallèles , et que leurs plans tangens sui^ vant ces arêtes sont parallèles entre eux ; d'où il suit que la courbe d'intersection n'a pas d'asymptote.

Quatrième cas. Les cônes A, F se coupent suivant deux arêtes;* la courbe d'intersection des deux cônes A et B a deux asymptotes.

Cinquième cas. Les cônes A, F se touchent suivant une arête; la courbe d'intersection s'étend à Finfini et n'a pas d'asymptote.

Sixième cas. Les cônes A et B' n'ont aucune arête qui leur soit commune. Les cônes A et B n'ont alcurs aucune arête parallèle ; toutes les branches de la courbe d'intersection sont fermées, et elles n'ont point d'asymptotes.

En résumé, la courbe d'intersection de deux cônes du second degré a deux où- quatre asymptotes; les branches de cette courbe qui s'étendent à l'infini, sont ou hyperboliques avec asymptotes, ou paraboliques sans asymptotes.

170. Dans l'interseùtion de deux cônes du second degré, le nombre de branches fermées , de branches infinies hjrperboliques ou paraboliques , dépend de la position respective des deux cônes; de quelque manière que les branchés soient combinées entre elles , leurs projections ne peuvent être cQupées par une

98 CLOMÉTRIE DESCRIPTIVE.

ligne droite en plus de quatre points. Lorsque le sommet de Tun des cÔDés est sur la surface de l'autre, alors ce sommet est un des points de la courbe d'intersection; projetant ce point et la courbe sur un plan, la projection du point tient lieu d'une branche. Cet exemple fait voir en géométrie ce que dans la théorie des courbes on entend par point isole. .

Le sommet de l'un des cônes étant sur la surface de l'autre, et ces deux cônes ayant une arête commune , cette arête sera une des branches de la courbe d'intersection , et les branches qui complètent cette courbe , ne pourront être coupées qu'en trois points.

De r intersection du cône et du cylindre dans le cas ou les sections de ces surfaces

par un plan j sont des courbes du second degré fennecs.

171. Pour reconnaître a priori si la ligne qui résulte de l'intersection des deux surfaces^ le cône et le cylindre du second degré, s'étend à l'infini, on mènera par le sommet du cône une parallèle à la génératrice du cylindre, et on construira le point d'intersection de cette parallèle avec la courbe du second degré, qui est la trace du cône sur l'un des plans de projections. Ou ce point se trouvera hors du contour de la courbe, ou sur ce contour; s'il est hors du contour, on conclura que le cylindre et le cône n'ont aucune arête parallèle, et que la courbe qui résulte de leur pénétration est nécessairement composée de branches fermées; s'il est sur le contour, toutes les arêtes du cylindre seront parallèles à une arête du cône, et le plan tangent au cône suivant cette arête, sera xxnplœi asjrmpiotique de la courbe d'intersection du cylindre et du cône.

§ n. AUTRE EXEMPLE d'uTTERSECTIOIT DE SURFACES*

1 7a. On suppose que deux surfaces de révolution se pénètrent, et on propose de construire leur ligne d'intersection dans le cas particulier où leurs axes se rencontrent ? [PL a i .) v

Les deux axes des surfaces de révolution étalât <k)rinés, on preud pour l'un des plans de projections, l'horizontal par exemple, un plan perpendiculaire au premier axe, et pour plan vertical, un plan parallèle aux deux axes.

Nous avons considéré jusqu'à présent chaque point de la ligne d'intersection de deux surfaces, comme le point de rencontre de deux courbes de ces surfaces, contenues dans un même plan, et nous avons déterminé pour quelques cas particuliers, le système de plans qui coupent les surfaces proposées suivant

^îiOMiTBlB DESCRIPTIVE. ^q

les lignes les plus faciles à construire. Ace système de plans coupans, on substitué quelquefois (art. i45) avec avantage, d'autres surfaces coupantes; les deux surfaces de révolution dont les axes se rencontrent, en offrent un exemple. On considère le point de rencontre de ces axes comme le centre d'une série de sphères qui coupent cl^pune des deux surfaces suivant des cercles. Les cercles qui ne se couperont pas, ne contiendront pas de points de la ligne d'inter$ection; mais il y aura ime ou plusieurs sphères coupantes qui contiendront des cercles tangens Vuu à l'autre ; les points de contact de ces cercles appartiendront à la ligne d'intersection, et à partir de ces sphères limiteis, des sphères intermédiaires de même centre et de divers rayons, couperont les surfaces de révolution suivant des cercles qui auront leurs centres sur les axes de ces surfaces, et dont les plans seront perpendiculaires à ces axes. Deux cercles situés dans deux plans inclinés l'un par rapport à l'autre, ne peuvent se couper que sur la droite intersection de ces plans ; lorsque cette droite coupe l'un des cercles , les points d'intersection appartiennent à la ligne d'intersection des deux surfaces,

Expliccuiot^ de lajig. ly pi. ai,

173. Soient (D, D"^)» (DR, dr) les axes de. révolution , dont les projections sur le plan vertical de projections parallèle à ces axes, font entre elles Tangle D'^; le plan horizontal de projectibns est perpendiculaire à Taxe (D, Vfd). Le plan méridien ADfi. parallèle au plan vertical de projections, coupe les deux .surfaces de révolution suivant les courbes €ibcc\ efgh^ qui se rencontrent aux points ct,^. La sphère du ceiitre (O, d) et du rayon d»y coupe les deux surfaces suivant des cercles des diamètres «i/S, a>, qui se touchent au poipt (a^ et) de la ligne d'intersection. Le premier cercle se projette sur le plan horizontal suivant un autre cercle de même diamètre afi\ qui a pour centre le point D. Une autre sphère limite du rayon t/J\ coupe les deux surfaces, suivant deux cercles tangens des diamètres J^^, J\)^, qui se touchent au point (J^, J^') delà ligne d'intersection.

Une sphère intermédiaire d'un rayon dç plus petit que cW^, et plus grand que da^ coupe les deux surfaces suivant deux cercles des diamètres In^pq^ dont les plans se coupent suivant une droite horizontale (/w, M^), perpendiculaire au plan vertical de projections. La projection horizontale M/^ de cette droite rencontre le cercle du rayon DM, moitié de In^ aux points M, ^ de la projection horizontale '^iKtS^ de l'intersection des deux surfaces. En faisant varier le rayon de la sphère coupante, dont le centre (D, d) est invariable , on trouverait tant d'autres points qu'on voudrait de la ligne d'intersection des deux surfaces

lOO GJ^OMÉTRIE BESCatPTIYB.

De la tangente h la ligne {TinêersecHon des deux surfaces de révolution.

1 74* La tangente en un point de la ligne d'intersection de deux surfaces de révolution est , comme dans les exemples {»*écédens , la droite intersection de» plans tangens à ces sar£ices menés par le point qui leur est commun. Chaque plan tangent est en général déterminé par les tangentes à deux sections de la surface ; mais dans le cas particulier de la surface de révolution , la tangente à la courbe méridienne en un point quelconque, détermine la droite normale à la surface, qui passe par ce point, puisque cette droite est aussi normale à la courbe méridienne. Connaissant les projections de la normale à la surface , on construit les traces du plan tangent à la sur&ce de révolution, en considérant que ces traces sont perpendiculaires aux projections de la normale*

175. Soit TM, m) le point commun à deux surfaces de révolution, par lequel il s'agît de mener des plans tangens à ces surfaces. Le plan tangent à la sur£aice dont Faxe est vertical , se construit comme il a été dit ( art. 56 ) ; le cercle horizontal du diamètre //z, dont le plan passe par le noint (M, m), coupe la méridienne cAcd au point /, par lequel on mène la tangente lo à cette méridienne. On prend la distance Ho du point o de la droite XY au point IX de la projection de l'axe qui est sur la même droite, et on la porte sur le méridien vertical DM de D en O ; la perpendiculaire OY à DM est la trace horizontale du plan tangent à la première surfisice au point (M ^ m).

Le cercle du diamètre/^, dont le plan est perpendiculaire à Faxe incliné dr^ rencontre la méridienne èfgh de la seconde surface au point /;; la tangente /^r de cette méridienne coupe Taxe dfr au point r, et par conséquent (art. 57) la tangente de la méridienne au point (M, m) a pour projection verticale là droite mr^ et la droite IVIR pour sa projection horizontale. La perpendiculaire/?^» \ la tangente pr, rencontre Taxe dr au point de concours m de toutes les normales à la surface suivant le cercle du diamètre /17 : or ce point de concours a pour projection- horizontale le point âi'de la droite DR; donc la normale au point(M,/72)apour projections les droites mû», Mû»'. Le plan perpendiculaire â cette normale mené par le même point (M, ni) , a pour trace horizontale la droite Vï perpendiculaire à la projection horizontale Ma»' de la normale : or cette droite rencontre la trace D'V du premier plan tangent au point V; donc la tangente demandée a pour projections les droites MY, mY. ■

1 76. La trace horizontale YT du plan tangent à la seconde surface de révolu^ tion, est déterminée par trois conditions, dont deux seulement soùt nécessaires.

GiÉoaiiTRiE descriptive:

toi

En effet, puisque le plan tangent est perpendiculaire à la normaïe (md>, Mûi), sa trace sur le plan vertical est perpendiculaire à la droite m ûi, et la parallèle à cette trace menée parle point (M, /w) a pour projection verticale la droite mt perpendiculaire à mai, et pour projection horizontale la droite MT parallèle à rintersection XY des plans de projections : or cette parallèle rencontre le plan horizontal au point T ; donc la trace horizontale VT du plan tangent passera par le point T, première condition. Puisque ce plan est perpendiculaire à la normale ' dont la projection horizontale est Mû^', la droite VT est perpendiculaire à cette projection ; deuxième condition. Enfin , elle passe par le point S où la tangente (MR, mr) , située dans le plan tangent^ rencontre le plan horizontal ; cette troisième condition dispenserait de construire la droite (MT, mt)^ et le point T où elle coupe le plan horizontal.

177. De ce que les normales aux deux surfaces de révolution, menées par le point (M , m) de leur ligne d'intersection , rencontrent les deux axes dé révolution aux points flr et A, il suit que le plan conduit par ces normales coupe le plan des deux axes, qui est par hypothèse parallèle au plan vertical de projections suivant la droite €»A : or la tangente à la ligne d'intersection au point (M, m) est perpendiculaire au plan des deux normales; donc la perpendiculaire uniY abaissée du point m sur la droite a^A^ est une tangente de la projection verticale am J^ de la ligne d'intersection des deux surfaces.

Menant par le point (D, A) de la première normale (MD, /tiA) un plan horizontal qui coupe la seconde normale au point (8 , O') , la droite Dd' sera parallèle à la trace horizontale du plan des deux normales; d'où il suit que la projection - horizontale MY de la tangente à la ligne d'intersection, doit être perpendiculaire à la droite connue Dd'. Il suffirait, pour satisfaire à cette condition , d'abaisser du point M la perpendiculaire MY sur la droite DO'.

Tout ce qu'on vient de dire sur la tangente à la ligné d'intersection de deux 8ur£sices de révolution dont les axes se rencontrent, serait encore vrai, dans le cas où les axes ne se rencontreraient pas. *"

1 78. Dans le cas général où les axes des deux surfaces de révolution ne se rencontreraient pas, chaque point de la ligne de pénétration de ces surfaces serait l'intersection d'un cercle appartenant à la première surface, et de la section de la seconde surface par le plan de ce cercle» 11 serait donc convenable de couper les deux surfaces par un système de plans perpendiculaires à l'axe de l'une d'elles, afin de n'avoir à construire par points, que des courbes de l'autre surface. Cependant il y a un cas particulier où les axes ne se rencontrent pas, et pour lequel néanmoins on parvient à trouver chaque point de la ligne d'inter-

lOa GEOMETRIE DESCRIPTIVE.

section, par la rencontre de deux cercles qui sont les projections des sections des smTaces par un même plan. On sait que les surfaces du second degré sont coupées par des plans parallèles suivant des lignes semblables, et semblablement placées. Deux surfaces du second degré de révolution , telles que deux ellipsoïdes dont les axes ne se rencontrent pas , jouissent de la même propriété. C'est sur cette considération qu'est fondée la solution de M. Chapuis, que j'ai publiée dans la Correspondance, tome ii, page i56. Un plan quelconque P, parallèle aux deux axes, étant pris pour premier plan de projections, nous allons démontrer qu'il existe deux autres plans F et P", qui lui sont' perpendiculaires, dont l'un F coupe les deux ellipsoïdes suivant deux ellipses, qui ont chacune pour projection orthogonale sur le plan P" un cercle d'un diamètre déterminé.

179. Soient (/%. a,/?/, ai) deux ellipsoïdes de révolution qui se pénètrent; le premier a pour axe la droite AB, et pour section méridienne l'ellipse AHB, qui a pour grand axe la droite AB, perpendiculaire au demi petit axe OH. On prend pour premier plan de projections celui qui passe par l'axe AB, et qui est parallèle au second axe ; on donne la distance de ce second axe au premier, mesurée sur une droite qui leur serait perpendiculaire.

Tout plan perpendiculaire au premier plan de projections, mené par le centre O du premier ellipsoïde AB, coupe cet ellipsoïde suivant une ellipse, dont le grand axe est un diamètre de l'ellipse A£B, et le demi petit axe est égal à OH , demi petit axe de l'ellipsoïde.

Il en serait de même d'un autre plan perpendiculaire au plan de projections , qui passerait par le centre O' du second ellipsoïde. La section serait une ellipse qui aurait pour petit axe une droite égale au petit axe VU h! de l'ellipsoïde, et pour grand axe un diamètre de l'ellipse CDHA', qui est la section méridienne de ce second ellipsoïde*

180. Soit OE la trace d'un plan quelconque perpendiculaire au premier plan de projections, qui passe par le centre O du premier ellipsoïde; la section faite par ce plan sur l'ellipsoïde , sera une ellipse (E), qui a pour demi grand axe O E, et pour demi petit axe OH. Construisant sur OE comme hypothénuse, avec un côté EG égal à OH, le triangle rectangle EGO, EG sera la trace d'un plan F' perpendiculaire au premier plan de projections , et en le prenant pour le second plan de projections , l'ellipse (E) s'y projettera suivant un cercle, puisque la projection du grand axe de cette ellipse sera égale au petit axe.

On fera un raisonnement semblable sur le triangle E'O'G', rectangle en G'. Si le côté EG' est égal au petit axe OU', l'ellipse (K) , section du second ellipsoïde par le plan OE', se projettera sur le plan E'G' suivant un cercle , les lignes de pro-

CEOMKÏRIE DESCRIPTIVE. lo3

jections étant parallèles au côté O'G', perpendiculaire à E'G'; mais il faut que les plans des deux ellipses (E), (E')^oient parallèles , et , pour déterminer leur direction , on a recours à Fartifice suivant.

i8i. On imagine un troisième ellipsoïde de révolution, semblable au second, et dont le petit axe est égal à celui du premier ellipsoïde. Ce troisième ellipsoïde a même centre O que le premier; son grand axe CD', parallèle à Taxe CD du second ellipsoïde, est à cet axe CD dans le rapport des deux petits axes OU', OH. On porte sur OA, perpendiculaire à Cli\ le petit axe Oh = OH; et pour avoir la longueur OC" du demi grand axe, on fait la proportion :

O'H' : OA :: OC : OC = OA x OC