OH

L*ellipse CAD' du troisième ellipsoïde, coupe Tellipse AHB génératrice du premier, au point E, et on mène la droite OE. Cette droite et le demi petit axe OH déterminent le triangle EOG : or il est évident que le plan EO perpendiculaire au plan parallèle aux deux axes, coupe le premier et le troisième ellipsoïdes qui sont semblables et ont des axes proportionnels, suivant des ellipses dont les projections sur le plan EG ou E'G', sont des cercles ; d'ailleurs , les sections parallèles d'un ellipsoïde sont semblables et semblablement placées ; donc en prenant pour plan de projections le plan EG ou E'G', chaque couple de sections faites sur le premier et troisième ellipsoïdes , se projettera sur le plan suivant deux cercles, qui se couperont en deux points de la ligne d'intersection du premier ellipsoïde et de l'ellipsoïde auxiliaire. Ce dernier ellipsoïde est par hypothèse semblable au second , et semblablement placé ; d'où il suit que les deux ellipsoïdes donnés , seront coupés par des plans parallèles à celui dont la trace est £0, suivant des ellipses dont les projections sur le plan EG ou ses parallèles, seront des cercles.

18a. Soit A'ff une perpendiculaire quelconque au côté 06 du triangle EOG 9 qu'on prend pour l'intersection commune des deux plans de projections. Supposant que le premier de ces plans, qui contient l'ellipse AHB , soit vertical ; la droite OG sera une verticale, et A'B', la projection horizontale du premier axe de révolution AB. La plus courte distance des deux axes étant donnée, on mettra la même distance entre les parallèles A'B'> C"0', et cette dernière sera la projection horizontale du second axe. Les sections des deux ellipsoïdes par des plans parallèles à OE, et perpendiculaires au plan vertical de projections, se projetteront sur le plan horizontal suivant des cercles.

I0.f\ GiOMJ^TRIE' dÉSCBIPTIVE.

Soit la parallèle ce/ à 0£ ou O'E'^ la trace verticale d\m plan qui catipe les deux ellipsoïdes suivant deux ellipses (£),(£') qui ont pour axes les cordes tfj3, 7/ des ellipses génératrices. Ces axesse projettent, le premier en «/3' sur la droite A'BV et le second en yJ^' sur la droite CD". Les cercles décrits sur a'f^ et y S"' comme diamètres, sont les projections horizontales des ellipses (E) , (E) y et se coupent en deux points ^ , 4 V^^ ^^^^ ^^^ projections horizontales de deux points de la ligne d'intersection dès deux ellipsoïdes; on aurait leurs projections verticales par la rencontre de la droite aJ" et des perpendiculaires à la droite A'B', ou sa parallèle XY, élevées par les points f et 4«

i83. Les deux ellipses génératrices du premier ellipsoïde donné, et de Tellipsoïde semblable au second ellipsoïde donné, se rencontrent en quatre points, qui sont placés sur les deux diamètres Ee, if', et les plans menés par ces diamètres perpendiculairement au plan des axes AB, CD" des deux ellipsoïdes, contiennent deux ellipses qui sont les lignes d'intersection de ces eHipsoides. En général, deux ellipsoïdes qui ont même centre et un axe principal de même longueur, se coupent suivant des courbes planes. On s'est servi du diâ^ mètre Ee pour déterminer le triangle EOG, dont le côté EG est la trace du plan sur lequel les sections des ellipsoïdes se projettent suivant des cercles ; mais le second diamètre lOi' serait l'hypothénuse d'un triangle flO/ rectangle en ^, dont le côté 0/ déterminerait un second plan , tel que toutes les sections des ellipsoïdes parallèles au plan mené parle diamètre f f' perpendiculairement au plan des'deux âxes AB, CD", s'y projetteraient aussi suivant des cercles.

De r intersection de deux surfaces de réwlution qm ont même axe , et construcHon des points oà une ligne quelconque plane ou à double courbure rencontre une surface de révolution dont on connaît la section méridienne.

1 84* Un plan quelconque mené par l'axe commun aux deux surfaces de révoilution, contient les sections méridiennes de ces surfaces. Les points où ces sections se coupent , décrivent en tournant autour de l'axe commun , des cercles . qui appartiennent évidemment aux deux surfaces, et sont leurs lignes d'intersection.

Une ligne donnée hors d'une surface de révolution, décrit, en tournant autour de l'axe de cette sur&ce, une seconde surface dont la section méridienne est déterminée. Il est évident que lorsque les deux sections méridiennes se cou*^ peront, les points d'intersection détermineront des cercles qui rencontreront la ligne donnée, et les points de rencontre sont ceux où cette ligne coupe la surface de révolution proposée.

CiOMiTUlS DESGAIPTITS. Io5

C'est sur cette 'eoAftidéiation qu'est fondée la méthode que nous appliquerons à la recherche des points qu'on trouve par les intersections de trois cônes droits, ou de trois surfaces annulaires, {f^ojrez liv. n, chap. i, des Lieux géomé'^ arqués).

§• m. DE QUELQUES SURFACES DU SECOND DEGRÉ , DONT LA LIGNE D'ufTEaSECTION