PROBLÈME II

Connaissant dans une pyramide triangulsëù^ « la base et les angles des arêtes opposés aux cotés de la base^ construire le sommet de la pyramide? (Planches in-foUo {B) tt {C.)

57. Solution par Vintersectionde trais surfaces annulaires. Désignons par Â, B , C les trois cotés du triangle base de la pyramide, et par a, b,c les ^gles que les

]54 OlIOUÉTBIE DESCRIPTIVE.

arêtes font entre elles , et qui sont respectivement opposés aux trois c^tés ; on décrit sur chaque côté de la hase , sur A par exemple , un cercle qui est divisé par ce côté en deux segroens , dont chacun tsi capable de Fangle a ou de soa supplément. Ce cercle , en tournant autour du côté A , engendre une surface de révolution , dont chaque point jouit de la propriété, que les droites menées de ce point aux extrémités du côté du triangle base dé la pyramide , comprennent entre elles un angle égal à l'angle* donné ou à son supplément; d'où il suit que la surface de révolution est un lieu géométrique du sommet de la pyramide. Mais les cercles décrits sur les côtés B et C comme cordes , et divisés comme le pre-» mier cercle en deux segmens capables des angles ^ et c^ et de leurs supplémens» engendrent en tournant autour de ces côtés deux autres surfaces de révolution , qui sont encore les lieux géométriques du point demandé ; d'où il suit que lors* que les trois surfacQs de révolution se rencontrent, chacun des points communs aux lignes d'intersections , peut être pris pour le sonxmet de la pyramide.

Eapb'caeion des Jaurès y Planches (3) ei (C).

58. Soit (/?/. B), XYZ (^.i) te triangle base de la pyra«ide, et a^ b, c (Jiff. 3) les angles des arêtes respectivement opposés aux eôl?és XZ , ZY, YX ; on décrit sur le côté XZ un cercle dont le segm^H: XPZ est capable de Fangle donné a; l'autre segment X/z est capable d^u supplément de cet angle. Le cercle , en tournant autour de sa corde XZ, engendre la sur&ce dite anmdaire^ qui est un lieu géométrique du sommet de la pyramide. Prenant pour plan horiaontal de projections le plan du triangle XYZ , la limite de la projection honaontale de la surface annulaire est formée de deux demi^cercles égaux AFD, BëG , et de deux parallèles AB, DC, tangentes à ces demi-cercles,, et perpendiculaires au côté XZ. Toutes les lignes de la surface projetées sur le plan horizontal, sont renfermées . dans la^or. ABECDF.

Les cercles décrits sur les côtés ZY et YX, capables des angles donnés ^, c (,/%• 3), engendrent deux autres surfaces de lévolution^ qui soat, comme là première, les lieux géométriques du. sommet de la pyramide. Les limites de leurs projections horizontales sont également formées de deux demi-cercles égaux , et de deux parallèles tangentes à ces cercles , qui sont respectivement perpendiculaires aux a»s ^ réwhition ZY, YX. ■- •>

La méthodi^ que nqus avoua exposée (art.i 70^, liv.!**^) poyç trouver l'intersection de deux surfaces de révolution, dont les axes se rencoatreat, Sf'applique fiu cas particulier que nous examinons, puisque les axes des trois surfaces de révolution que l'on considère, sont les trois côtés d'un triangle XYZ (^. i.).On trouvera par cette méthode que les surferas dont les axes XZ, XY se rencontï»ent

GIOMIÎTRIE OESCRIl^TfVlS. l5S

au point X, 9e pénètrent suivant une ligne dont la projection horizontale est une courbe qu'on distingue (^« l) par un trait à points ronds, et qui passe par les points X, i, a, E', J^, g, 3, 4, X, «", «i, 3, 5, a\ 6, /3, F, c, X. Les cinq points Xy E', g^ F, e sont déterminés par les intersections des cercles générateurs des deux surfaces de rérolution ; ot, «' sont les deux points de contact de la courbe et des parallèles AB, CID perpendiculaires k l'axe XZ. Il y a encore un point d' de la courbe, voisin de fl»^ sur la droite KK. tangente aux deux demicercles décrits sur les droites KL, MN^ parallèles à Taxe XY comme diamètres. Les points i, !à, 3, 4? ^^ ^ ^^^^ ^^ projections horizontales des points d'intersection des trois surfaces de révolution.

59. Chaque surface de révolution peut être reganlée comme composée de deux nappes, qui sont l'une et l'autre de révolution, et qui ont pour généra-, trices les deux segmens d'un cercle , séparés par une corde de ce cercle.

Pour distinguer la nappe engendrée par le plus petit segment , de la nappe engendrée par le plus grand , nous appelerons la première, nappe intérieure y et l'autre nappe extérieure. L'intersection de 'deux surfaces résulte de l'intersection des différentes nappes qui se combinent entre elles. Les nappes extérieures , d'une part, et les nappes intérieures , de l'autre , se coupent suivant une branche de courbe fermée , dont les projections peuvent être engendrées d'un mouve* ment continu par un point mobile. Il en est de même de la branche de courbe qui résulte de la combinaison de la nappe extérieure ou intérieure de l'une des surfaces, avec la nappe intérieure ou extérieure de l'autre surface. Ces deux combinaisons donnent une seule courbe qu'un point mobile peut suivre sans discontinuité; d'où il suit que la ligne d'intersection des deux surfaces est com* posée de deux branches fermées, dont les projections sur un plan UV {fig. a) perpendiculaire à l'un des axes, à XY par exemple, sont séparées : les projections de ces deux branches sur le plan de la base XYZ (/%-. i) de la pyramide , se réunissent en une seule courbe.

60. Lesdeux nappes intérieures(/%. i,/7/«B),quiont pour axesles côtés XZ,XY, se coupent suivant une ligne dont la projection horizontale est la portion de courbe X43^£';orla partie E'J^g^ de cette courbe,quise termineaux points E'^, est en dehors des limitesde la projection horizontale des nappes intérieiures; donc cette portion de courbe ne correspond point à une partie réelle de la ligne d'intersection des deux surfaces. 11 en est de même de la portion de courbe F/Sé? qu'on trouve en dehors de la limite de la projection horizontale d'une nappe extérieure de la surface d^ révolution qui a pour axe le côté XY; et en effet, projetant la ligne d'intersection des deaxsurÊices de révolution, qui ont pour axes les droites XY, XZ,sur le plan ITY perpendiculaire à l'un de ces axes XY, on obtient {Jtg. %) la courbe aux six

l56 G^OMliTltlS DESCRIPTIVE.

points 1,2,3/19^969 do>^^ 1^ ^^^ ponctué rond est le même que dans la projection horizontale. Cette courbe est composée de deux branches séparées , dont chacune a un nœud. La première branche est iai^^(^'^^iri ; la seconde branche est x^3yu^i^^x56afit^^x^^ et il n'y a aucune partie de ces deux branches, qui cor^ responde aux portions E'J^g^, F fie (^/y. i) de la projection horizontale.

On reconnaîtra de la même manière que les deux surfaces de révolution qui ont pour axes les côtés XY, YZ, se coupent suivant une ligne qui comprend deux parties, dont les projections horizontales sont HA/;, oii^ {Jig. i), et quin^ont pas de projections verticales.

Tout ce qui est relatif à l'intersection de ces deuxsur&ces est indiqué par un trait long , suivi d'un seul point rond ■ > et tout ce qui est relatif à l'intersection des deux surfaces de révolution qui ont ppiir axes les droites YZ, ZX, est

indiqué par un trait long, suivi de trois points ronds Cette dernière

intersection comprend aussi deux parties , dont les projections horizontales sont E^^P4ï^ (/%• ^'iP^* B)> ^* q^î n'ont point de projections verticales (/?^. a.)

61. Les trois lignes qui résultent de l'intersection des trois surfaces de révolution, considérées deux à deux, se rencontrent aux points marqués des chiffres I, a, 3, 4> 5,6, sur les projections horizontale et verticale; chacun de ces points en projection horizontale correspond à deux points en projection verticale, qui sont à égales distances du plan UV {Jig. a), de la base de la pyramide. Les six points situés au-dessus du plan UV déterminent six pyramides qui satisfont aux conditions du problème, et les six points situés au-dessous déterminent les six autres pytamides symétriques par rapport aux premières.

611. Lorsque des points sont déterminés par les intersections de trois surfaces^ la considération de ces trois surfaces n'est pas nécessaire. En examinant la question sous un autre point de vue , les mêmes points peuvent appartenir à trois autres sur£aices différentes des premières : le problème dont nous venons de donner la solution graphique en ofiBre un exemple. On connaît dans une pyramide triangulaire la base, et les angles des faces de cette pyramide qui sont op-posés aux côtés de la base; il est facile (art. la) d'en déduire les angles dièdres. Soient A, B, C, les trois côtés de la base : on connaît l'angle dièdre qui comprend deux de ces trois côtés, par exemple A et B; donc si l'on a deux plans, faisant Tun par rapport à l'autre un angle invariable (i), égal à Fangle dièdre

(i) J'ai Jéinontré que lorsque cet angle est droit, le cône, lieu géométrique des intersections snccessiyes des deux plans mobiles, es| un cône oblique à base circulaire , qui est coupé par des plans perpendiculaires aux côtés de l'angle , suivant des cercles. (Voyez la Correspondance sur

2'École poljriechntquCytome i^^j -pskge i'jgfïk^ 6*)

G^OMJiTlilB DESCRIPTIVE. iSj

connu, et si Ton fait mouvoir ces deux plans, en les assujettissant à passer consr tamment par les côtés A et B, la droite intersection des deux plans mobiles engendrera un cône qui aura pour sommet le point d'intersection des deux côtés A et B; or il est évident que la surface de ce cône contient le sommet de la pyramide; donc ce sommet est le point commun à trois faces coniques, qui ont pour sommets les points de rencontre de» trois côtés A, B, C de la base de la pyramide.

63. Ayant construit sur les trois -côtés du triangle qui sert de base à la pyra*mide, les cercles générateurs des trob surfaces de révolution , qui, par leur intersection, déterminent (art. Sy) le sommet de la pyramide, qu'on se représente la ligne d'intersection de deux quelconques de ces trois surfaces, de celles, par exemple, qui ont pour axes de révolution les deux côtés A et B de la base, C étant le troisième côté. Cette ligne, en tournant autour du troisième côté C, engendré une quatrième surface de révolution, sur laquelle se trouvent les points communs aux trois premières surfaces. Mais deux surfaces de révolution qui ont même axe, et qui se pénètrent, ne peuvent se couper que suivant un cercle; donc la troisième et la quatrième surface de révolution se coupent suivant un cercle qui contient le sommet de la pyramide. Pour trouver un point de ce cercle,

il suffit de couper ces deux surfaces par un plan méridien quelconque, et ce plan peut être celui de la base de la pyramide, ou des trois côtés A, B, C de cette base; les points communs aux courbes génératrices contenues dans ce plan, déterminent les cercles communs aux deux surfaces. La courbe génératrice de la troisième surface est le cercle, qui passe par les extrémités du côté C, et dont un segment est capable de l'angle donné opposé à ce côté C. Quant à la courbe génératrice de la quatrième surface, qui est située dans un plan méridien passant par Taxe C, on la construit en remarquant que chaque point de la courbe d'intersection des deux premières surfaces, est le sommet d'une pyramide qui a pour base le triangle formé par les trois côtés A, B, C, et pour arêtes , des cordes qui déterminent sur les cercles générateurs des deux surfaces de révolution, des arcs capables des angles a, b opposés au:^ côtés A et B.

On a vu comment on détermine les points de l'art. 6i , par Tintersection de deux courbes à double courbure. La solution que nous venons d'indiquer, est préférable, puisque les courbes à double courbure sont remplacées par deux lignes planes, dont l'une est formée de deux cercles égaux , qui ont pour corde commune, un côté donné de la base de la pyramide. Regardant le rayon de ces cercles comme une quantité indéterminée, on l'augmente ou on la diminue, jusqu'à ce que ces cercles coupent la section méridienne de la quatrième surface de révolution en seize points. Le nombre de solutions ne dépend plus que de la gran-

l53 GÉOMÉTftlR DKSCKIPTIVB.

deur de ce rayon, ou du troisième angle des arêtes, qoi correspond au rajon; alors le problème proposé est ramené à celui-ci : Tixnwer la section méridienne tïune sxufacede révobition dont on cormaitVa^et une ligne génératrice^ Cette question est résolue sur la planche C inrfoUoy dout on va donner Texplication.

Explication de la Planche C in-folio.

64. Ayant pris pour plan de projections celui du triangle XZY base donnée de la pyramide , on décrit sur les côtés XZ, ZY, des cercles dont les segmens sont capables des angles des arêtes de la pyramide, opposés à ces côtés. Les cercles, en tournant autour des côtés comme axes de révolution, engendrent deux surfaces dont on construit la ligne d'intersection par la méthode exposée (art.i7a, liv.!*'); cette ligne est la génératrice de la quatrième surface de révolution, dont Taxe est le troisième côté XY de la baseXYZ; elle est formée (art. Sg) de deux branches , l'une qui résuFte de l'intersection des nappes de surfaces en* gendrées par les grands segmens XFZ, ZOY, et des nappes engendrées par les petits segmens X/z , 'Loy; l'autre qui résulte de Tintersection des nappes engendrées par un grand segment XFZ et un petit segment Zo/, ou par un grand segment ZOY et un petit segment X/z,

Les deux branches , en tournant autour de l'axe XY, engendrent deux nappes de la quatrième surface de révolution, dont lès sections par le plan du triangle XYZ sont les courbes ACBZ, ou 12345678; et A'CFZ, ou l'a 3'4'5'6y8'; ces courbes sont divisées en parties égales par TaxeXY, qui les coupe à angle droit.

, La section méridienne de la troisième surface de révolution comprend deux cercles XYGg-, XYG'^', dont les segmens sont capables de l'angle des arêtes de la pyramide, opposé au côté XY de la base XYZ, Or les sections méridiennes des troisième et quatrième surfaces de révolutio n, se coupent en seize points

marqués des chiffres i — 8, sur la courbe ABCZ, et des chiffres i' 8' sur la

courbe A'B'C'Z; donc les trois surfaces de révolution qui ont pour axes les trois côtés XZ, ZY, XY se rencontrent en seize points, situés sur des cercles de la troisième surface, qui ont pour diamètres les droites 1.8, a.7, 3*6, 4-5, 1/8', a'. 7', 3/6', 4'-5', perpendiculaires à l'axe XY de cette surface, et divisées chacune en parties égales par cet axe. Chacun des cercles, tel que celui dont le diamètre est 1.8, contient deux sommets de pyramides, qui se projettent en un seul point a de la droite i*8, en sorte que les seize sommets se projettent sur le plan du triangle XYZ, en 8 pouits tt, ^, 7, «T, «', /3', y, ^ ^ situés sur les huit diamètres

65. Nous ferons d'abord remarquer qu'on peut trouyer ta section

GiolàÉTHÎE DBSCArPTITS. |$â

ABCZ, AVCZ^de la quatrième surface de révolution, sans qu^on soit obligé de coQStruBre les projections de la hgne d'interseotiou des denx premières surfaces, qui ont pour axes de révolution les côtés XZ, ZY du triangle XYZ. En effet, un point quelconque de cette ligne , que je nomme A , après avoir tourné autour des axes XZ, ZY, vient s'appliquer sur les cercles YOZ, XFZ (pL C ,^g. i) en deux points d^ ^, également distans de l'extrémité Z des côtés XZ , ZY, en sorte que àZ = d*Z\ or les distances du point A aux extrémités X,Y du côté XY, sont mesurées par les cordes cT^^ d'Y; donc ce point A, après avoir tourné autour de Vaxe XY, s'appliquera au point i ou au point 8 de la corde i, 8, commune aux deux cercles décrits des points X et Y comme centres , avec les rayons Xd et Yûs"; les deux points i et 8 sont à égale distance de Taxe de révolution XY. On trouve de la même manière d'autres points de la courbe ABCZ, ou A'KCZ, section méridienne de la quatrième surface de révolution. Celte section et les cercles générateurs de la troisième sor&ce de révolution étant placés symétriquement par rapport à l'axe commun XY, on voit pourquoi les huit points d'intersection des ' defnr sections méridiennes, marqués i,2,3,4, i\'x^Z\l\ d'un côté de l'axe XY déterminent les huit autres points placés de l'autre côté; ces points sont placés deux à deux sur des perpendiculaires à l'axe XY, à égales distances de cet axe , et accouplés dans l'ordre suivant :

Aux points tels que i, 8, de l'un de ces couples , correspondent deux sommets de pyramides, dont nous allons construire les projections horizontales et verticales.

Projections fiorizentales et verticales des seize sommets de la pyramide. ( PI: C).

66. Les points i et 8 étant déterminés par l'intersection de la courbe ABCZ et des deux segmens égaux X^Y, Xg^Y, le cercle décrit du point X comme centre avec le rayon Xi, coupe le segment du cercle XFZ au point d d'où Fon abaisse la perpendiculaire wol sur XZ. Cette perpendiculaire rencontre la dtoite 1 8 perpendiculaire à XY, an point a projection horizontale de l'un des points de l'intersection des trois surfaces de révolution. Si du point Y comme centre, avec le rayonYï ou Y*, on eût décritle cercle qui coupe le segmentYOZau pointer, la perpendiculaire a!' A à YZ, rencontrerait encore la droite i. 8 au point a^ mterseotion des trois perpendiculaires i0, a'a, da aux trois côtés XY, Y2, XZ du triangle XYZlbase de ïa pyramide.

67. Ayant la projection a de l'un des seize sommets de la pyramide, sur le

léo GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE,

pian de la base XYZ, pris pour plan de projections horizontal, on en déduira facilement la projection sur un plan vertical 9\f (Jig. a ), dont la trace horizon* taie uv' est perpendiculaire au côté XY de la base. En effet, le côté XY a pour projection sur ce plan le points. Décrivant de ce point comme centre, un cercle du rayon xk {Jlg. a) moitié de i « 8 {Jig. i), la parallèle att au coté XY coupe ce cercle aux deux points se, (a) {Jig. a)^ projections verticales de deux sommets qui ont même projection horizontale a {^fig- 1.) Ainsi le point («e./%. i^ a fig. a) est le sommet d'une pyi*amide qui a pour base le triangle XYZ , et pour le^ angles des arêtes opposés aux trois côtés de ce triangle, ceux qu'on a désignés (art. 67) par les lettres û, bj c. Le point («,«), {/îg. i et a), est le sommet d'une seconde pyramide symétrique de la première. . Les seize sommets ont pour projections verticales {Jîg. a) les seize points marqués des lettres « , jS, 7, J^, «', /3', y\ ^\ («), (/3) , (7), (cT), (*'), (/g'), {i\{^). Les huit premiers sont au-dessus de l'horizontale i^v'; les huit autres au-dessous de cette horizontale, sont marqués des mimes lettres en parenthèses. Les deux points à égales distances de l'horizontale uv^ sont situés sur une droite perpendi^ culaire à l'intersection vi/ des plans horizontal et vertical de projections.

68. Les sommets des deux pyramides symétriques étant situés sur une droite perpendiculaire au plan de la base triangulaire XYZ (^fig. i), le point où cette droite coupe le plan de la base , est la projection horizontale des deux sommets; ce qui réduit les projections horizontales des seize sommets aux huit points

PROBLÈME la.

Trower le centre et le rayon d'une sphère tangente h quatre sphères données de

grandeur et déposition.

69. Fiete^ traducteur des ouvrages d'Apollonius de Perge , avait ajouté à la géométrie des anciens, un traité sur le contact des ligpes droites et des cercles. Fermât {né en iSqo, mort en 1664) ^ continué ce travail, et c'est à lui qu'on doit la première solution de cette question de géométrie à trois dimensions : Trouver le centre et le rayon dune sphère tangente a quatre sphères données. Les ouvrages de ce géomètre ont été imprimés à Toulouse en a voL in-folio , qui ont paru en 1670 et 17791 sous le titre ^ Opéra mathematica. J'ai traduit so|i mémoire sur le contact des sphères; on trouve cette traduction à la suite des. leçons qui ont été données aux Écoles Normales de 1796 par Lagrange et M. Laplace, et dont le conseil d'instruction de l'École Polytechnique a foriné les câdiiers 7 et 8 de son journal ( inr^^p juin 1 8 1 a).

GiOMiTRIB DESCRIPTIVK. i6t

£n 1 794 j'avais proposé les questions traitées par Fermât, aux élèves de TÉ* cole Préparatoire des chefs d'études de TÉcole Polytechnique. L'un deux, Du* puis, né avec les plus heureuses dispositions pour la géométrie, et qu'une mort prématurée enleva aux sciences, et au corps des ponts-et*cbaussés, résolut le problème de la sphère tapgente à quatre autres sphères, par une méthode toutà-fait différente de celle de Fermât. J'ai recueilli dans le premier volume de la Correspondance sur l'École Polytechnique, que j'ai publiée en 1804, les propositions qu'il m'avait communiquées de vive voix et sans démonstrations.

Ce travail a été suivi de plusieurs mémoires fort intéressans sur le même sujet. :Je citerai d'abord cekû de M. Dupin (octobre 181 a), que j'ai inséré dans la Ck)rrespondance (tome a,pag. 4ao). Le seizième cahier du Journal de l'Ecole Polytechnique contient des recherches fort curieuses sur le contact des sphères , par AL Gaultier, professeur de géométrie au Conservatoire des Arts et Métiers. ( Voyez ce cahier, pages 1 24^^ ^ 40 J**"^ 1 8 1 a.

La première solution analytique complète du problème de la sphère tangente à quatre sphères a été donnée par M. Poisson, qui l'a publiée dans le Bulletin de la Société philomathique, cahier de septembre 1 8 1 a , page 1 4 1 •

M. Français , officier du génie et professeur à l'École d'Artillerie et du génie de Metz, avait aussi traité la même question par l'analyse. J'ai publié son travail dans le tome a de la- Correspondance , pages 63 et 409 (janvier 1810, et oc* tobre 181a).

£n appliquant l'analyse à la solution synthétique que nous allons exposer, on trouve , comme par les deux solutions précédentes de MM. Poisson et Français, que la diétenûination des centres et des rayons des seize sphères qui peuvent toucher quatre sphères données, ne dépend que de la résolution d'équations du second degré. J'aî publié cette trobième solution dans la Correspondance, tome a, pag. 4^^ (janvier 181 3), et dans le dix-septième cahier du Journal inrù^ de l'École Polytechnique (janvier 181 5), pag. lag.

Monge a donné, dans sa géométrie (première édition, année 1795, art 36-44}

la solution de trois questions relatives au contact de la sphère et du plan. La

.première consiste à mener par une droite donnée , un plan tangent à la surface

d'une sphère; nous l'avons résolue de deux manières (art. a7-3i,y?|^. i et 1,

pL a5).

Voici renoncé des deux autres questions :

i^ Mener par un pohit donné, un plan tangent à deux sphères, dont les centres et les rayons sont connus;

2° Mener un plan tangent à trois sphères données^ de grandem* et de position.

ai

lïous résoudrons ces deux questions, et nous y ajouterons-celle-ci : Étant données trois sphères , déterminer la position du centre d'une quatrième sphère dont le rajon est connu ^ d'après la condition qu'elle soit tangente aux trois premières sphères?

Du contact de la sphère et du plan.

Première question. Mener par un point donné, un plan tangent à deux sphères?

70. Solution. On conçoit les deux cônes circonscrits aux deux sphères données; ite ont leurs sommets sur la droite qui joint les centres de cessphères; l'un des sommets est au delà des centres, et l'autre entre les deux centres.

Par le point donné , on mène des plans tangens à chacun des cônes circonsr crits, et il est évident que ces plans sont aussi tangens aux deux sphères doo* nées. Ainsi le problème proposé a quatre solutions.

Explication de lajîg. i,pl. 3o»

71. Soient A et B les centres des deux sphères données, Aa, Bi leurs rayons» £n supposant que ces rayons soient parallèles, la droite ab qui joint leurs extrémités , rencontre la droite AB des centres au point S, sommet de l'un des cônes circonstrits aux deux sphères; la droite ab'y menée par les extrémités a, 6' des rayons parallèles Aa , Bb\ coupe la droite AB au point s, sommet du second cône circonscrit. Il est évident que tout plan tangent aux deux sphères, sera aussi tangent à l'un des deux cônes circonscrits à ces sphères^ et passera nécessairement par l'un des sommets S, s de ces cônes.

Quelle que soit la position du point donné, on conçoit par ce point et par les centres des deux sphères, un plan que l'on peut prendre pour le plan de la ^. I. Soit D le point donné sur ce plan, les droites DS, D^ qui joignent ce point et les sommets des cônes circonscrits, seront connues; or le plan tangent aux deux sphères données, doit passer par l'une de ces droites; donc le problème proposé est résolu, puisqu'il est ramené au précédent (art. 27), qui consiste à mener par chacune des droites DS, Dj, un plan tangent à l'une des deux sphères données de grandeur et de position.

Deuxième Question* — Mener un plan tangent à trois sphères données ?

7a. Soient A, B, C (Jig. %^ph 3o) les centres des trois sphères données; Set x les sommets des deux -cônes circonscrits aux deux premières sphères ; S', é les sommets des deux cônes circonscrits aux sphères des centres B et C , et enfin •S', y les sommets des deux cônes circonscrits aux sphères des centres Aet C^

GlêOMÉTRIE DESCRIPTIVE. l63

on remarquera d'abord que les six sommets sont placés sur quatre droites dans

Tordre suivant :

SS'S", SsY, sSs\ ss'S'.

En effet y dans les combinaisons des six sommets trois à trois, il faut exclure , i^ celles dans lesquelles entrent S et j, ou S' et s, ou enfin S'' et /', parce que le même plan ne peut pas toucher les deux cônes circonscrits à deux sphères; a® celles où il entre un des trois sommets intérieurs s, s\ s", avec deux des trois sommets extérieurs S, S', S", parce que le plan qui touche deux quelconques des ' trois cônes à sommets extérieurs^ touche nécessairement le troisiètne d'un sommet de même nom ; 3^ enfin la combinaison s\ s', s'y parce que le plan qui touche deux cônes à sommets intérieurs, touche nécessairement un cône à sommet extérieur ; donc les combinaisons des sommets trois à trois se réduisent aux quatre droites précédentes.

Maintenant, remarquons que le plan tangent à trois sphères étant aussi tangent à trois des six cônes circonscrits à ces sphères, il contient les sommets de ces trois cônes ; mais ces sommets sont encore sur le plan des trois centres des sphères ; donc ils sont sur la droite intersection de ces deux plans (i).

Connaissant les quatre droites des sommets des cônes circonscrits, il est évident que le problème proposé consiste à mener par chacune de ces droites , des plans tangens à l'une des trois sphères données; ce qui le ramène au précèdent (art 27); et comme par chaque droite on peut mener deux plans tangens à une sphère, il s'ensuit que trois sphères peuvent être touchées par huit

lS»

Du contact des sphères

. Lorsque deux sphères se touchent , la distance de leurs centres est égale

^/^itt. somme ou à la difFérence de leurs rayons; donc si Ton nomme A, B, C les

^ftzM^ ^^ jcs touchées , et a, à, c leurs rayons ; T la sphère touchante et e son rayon ;

fe ^Tï ^^ntre de la sphère T est sur Tune des deux sphères a\a" concentriques à A ,

tl ^^31 ^^s rayons t+ a, t — a. Par la même raison, il est sur une des deux sphères

h ^^^'^ concentriques à B, des rayons t + bj t — à, et enfin sur une des deux

spfcx^b' :»es (f, c" concentriques à C, qui ont pour rayons /+ c et t — c; d'où il suit

v^ J M suit de cette proposition , qae lorsqu'on a^nr nn plan trois cerdcs (Jlff, a, pL 3o), et

<ï^^^^ « mené à deux quelconques de ces cercles , les deux couples de tangentes qui se coupent en

&ea:x. -joints de la droite menée par leurs centres, les tangentes et les droites des centres se ren-^

eoa^T-^^t en six points , qui sont répartis sur quatre droites, de manière que trois de ces points se

itOTiv^xit nécessairement sur Time des quatre droites.

l64 GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.

que le centre de la sphère T est le point coromun à trois des àx spbwes a', d\ b^ h'j dy c" : or, en excluant des combinaisons trinaires de ces six sphères, celles dans lesquelles entrent les sphères dy d\ ou ^', h\ ou c , c", parce que des sphères concentriques ne peuvent pas se couper, ces combinaisons se réduisent à huit, dans Tordre suivant :

i^ dbd; a° dVd'\ 3^ db'di 4^ db'c; 5« d'bc; 6« d'bé'; f d'b'c; 8^ d'F<f.

Déplus, les trois sphères de Fune quelconque des huit combinaisons, se . coupent en. deux points; d'où il suit qu'il y a en général seize points, dont chacun peut être pris pou>le centre d*une sphère T d'un rayon déterminé t, qui touche trois sphères données de grandeur et de position. Lorsque la sphère tangente est d'un rayon infini, c'est-à-dire lorsqu'elle devient un plan, on a vu fart, précédent) que le nombre de plans tangens se réduisait à huit.

74. En faisant varier le rayon de la sphère T tangente aux trois sphèrçs données, le centre de cette sphère prend successivement diverses positions, correspondantes aux valeurs de son rayon; les points de contact de la sphère variable T et des trois sphères fixes, changent conlinuellement; nous allons démontrer

I® que les centres des sphères tangentes à trois sphères données ^ ont pour lieux géométriques, quatre courbes planes du second degré;

n^ Que le lieu géométrique des points de contact de l'une quelconque des trois sphères fixes et de la sphère mobile tangente , est un cercle.

De la combe que parcourt le centre d*une sphère mobile ^ qui touche constamment

trois sphères /ixes.

75. Cette courbe jouit de la propriété que si l'on prend un point quelconque sur son contour, les distances de ce point aux centrés des sphères fixes , diffèrent entre elles d'une quantité constante et indépendante du rayon de la sphère mobile, en sorte que nommant d^ ^, d^ les distances de ce point aux centres des sphères fixes, les quantités d — rf, d — rf', d* — d sont constantes, quelle que soit la sphère tangente. En effet , adoptant les dénominations de l'article précédent ( art. 74 ) , les distances d^d^d* peuvent avoir les huit systèmes de valeurs suivantes, qui correspondent aux huit combinaisons (art. 74 ) des sphères d^ a", V^ b\ d^ d*.

GioMÉTRIK SESCltlPTITX.

' + Of

rf' = t

il est évident que pour Tud quelconque de ces système^» pour le premier par exemple, les valeurs de rf — dy d — d\ d — âfsont constantes et égales aux quantités a — b^b — c^c-^^a.

Mais il est à remarquer qUe le huitième système donne les mêmes valeurs absolues pour les différences des distances d^ dy d. La même remarque s'applique aux systèmes a et 7, 3 et 6^ 4 ^t 5 ; donc les centres de toutes les sphères qui peuvent toucher trois sphères fixés , et qui appartiennent à huit séries difrentes, sont distribués sur quatre courbes , telles que pour la première on a

Pour la seconde courbe, on a

d — d =z a — d, d' — dsf' = d4-c, d ^^d =: a -\' c.

Pour la troisième

d — d=za+b, d — d=ià4-Cy d'~^d=:c — a.

Pour la quatrième enfin d — d:=za+b, d^d

= * — c, d — rf = a + c.

!Nous démontrerons que ces quatre courbes sont planes, et que leurs plans sont perpendiculaires aux quatre droites (art 72) , qui contiennent les six som* mets des cènes circonscrits aux trois sphères fixes touchées par la sphère mobile ; enfin que chacune d'elles résulte de l'intersection d'un cône droit par un plan.

De la courbe formée peu: les points de contact de chacune des spKsres fixes et de la,

sphère mobile considérée dans toutes ses position^*

76. Parmi les huit séries de sphères qui peuvent toucher trois sphères fixes, prenoDS-en une à volonté, par exemple la série des sphères qui touchent les sphères fixes extérieurement. Une quelconque des sphères de cette série touche

l66 CléOMÉTRIE DESCRIPTIVE, ,

le» trois sphères fixes en trois points; nous allons d'abord démontrer que le plan mené par ces trois points , passe par la droite qui contient les sommets des trois cônes extérieurs cûrconscrits aux sphères fixes. Nommons comme précédemment A, B , C les sphères fixes touchées , et T la sphère mobile tangente. Le plan qui passe par le centre de la sphère T et par les centres de deux quelconques des trois sphères À, B, C, de A etB par exemple, coupe les trois sphères A, B, T suivant trois grands cercles , dont Tun appartenant à la sphère T touche les deux grands cercles des sphères A et B.

Soient {Jig. 3, pL 3o) X, Y, Z les centres de ces trois cercles, E et F les points de contact de la sphère T avec les sphères A et fi; il est évident que la droite EF qui joint les points de contact £ et F, passe par le sommet O du cône extérieur circonscrit aux sphères A et B , puisque les deux droites OE, OH sont dans le rapport constant des deux rayons parallèles XE, YH des sphères A et B; d'où il suit que quelque soit le rayon Z£ ou ZF de la sphère T, la droite qui joint les deux points de contact de cette sphère et des sphères A et B , passe cons«* tamment par le sommet O du cône extérieur circonscrit à ces sphères A et B.

Par la même raison, la. droite qui joint les points de contact de la sphère T et des sphères A et C, passe par le sommet du cône extérieur circonscrit à ces sphères ; donc le plan mené par les trois points de contact de la sphère T et des sphères A, B, C, passe par la droite qui contient les trois sommets des cônes extérieurs circonscrits aux sphères A, B, C ; ainsi, menj^nt par cette droite un plan quelconque qui coupe les trois sphères A, B, C suivant trois petits cercles , un quatrième cercle tangent à ces trois derniers, appartient à une des sphères T» qui touche les trois sphères A, B, C ; d'où il suit que la perpendiculaire au plan de ce quatrième cercle, élevée parle centre de ce cercle , passe par le centre de la sphère T.

77. Désignons les points de contact de la" sphère T et des sphères A, B, C par les trois lettres a, /3, 7/, et par fic'^ jS', y les points de contact d'une autre sphère T avec les mêmes sph^es A , B , C. On vient de prouver que le plan des trois points a, /3, y , et le plan des trois points a', /?, y, passent par une même droite, celle qui contient les sommets des cônes extérieurs circonscrits aux sphères A, B^ C. Maintenant nous allons démontrer que les six points a, ^, 7» tt', jS', y appartiennent à une même sphère.

D'abord en prenant quatre de ces six points dans Tordre suivant :

tf^a'jS', «T'^Vî ^^V>

ils sont dans un même plan et sur une même circonférence ; car les droites menées par les points a, ^, et par les points 0^, j3', concourent en un même

G£03(KTRI£ DESCRIPTIVE. 167

point , qui est le sommet du cône extérieur circonscrit aux sphères A et B; donc le plan mené par ces deux droites coupe les sphères A et B, suivant deux cercles , dont l'un contient les points d, j3', et le second les points jS , /3', comme on le voit (^g. 3,/?/. 3o) : or les droites ût/3', a0 concourent au même point O, qui représente dans cette figure le sommet du cône circonscrit aux sphères A et B; donc les quatre points et, /3, a\ j3' appartiennent à une circonférence de cercle , dont le centre K est déterminé ; d'où il suit qu'on pourra mener une sphère par les quatre points et, fi^ a\ 0 et un cinquième point y : or cette sphère contiendra le sixième point y, puisque les quatre points a'^ay ou ^fi'y, sont sur une même circonférence ; donc les six points « 5 jS ; 7 , a', ]8', y appartiennent à une même sphère : le centre et le rayon de cette sphère varient en même temps que les deux sphères T et T' qui touchent les sphères fixes A , B, C.

78. Nommons S la sphère qui passe par les six points « , j3 , 7/, a? /S', y. Elle coupe la sphère A suivant un petit cercle qui passe par les points a ^ a!j et les deux sphères T et T suivant deux autres cercles tangens au premier aux points a, Ofy puisque ces sphères sont tangentes à la sphère A. Considérons les tangentes communes au petit cercle de la sphère A et aux deux petits cercles de la sphère S, on a démontré que les plans de ces petits cercles passaient par la droite qui contient les sommets des cônes circonscrits aux trois sphères A , B , C ; donc les tangentes à ces cercles passent par la même droite , mais de plus elles sont dans le plan du cercle d'intersection des sphères A et S ; donc elles passent par le point d'intersection de ce plan et de la droite qui contient les sommets des cônes cir* concrits aux trois sommets A, B , C.

79. En supposant que les sphères A, B, Crestent les mêmes, et qu'elles soient touchées par une autre sphère T" différente de T', les nouveaux points de contact seront «", /S", y. On prouvera de la même manière i^ que les six poiiUs «» /8> y , «", /3", y sont situés sur une même sphère S qui coupera la sphère A suivant un petit cercle, et les sphères T, T' suivant deux autres petits cercles tangens au premier; ^^ que les t^ingentes communes au petit cercle de la sphère A et aux deux petits cercles des sphères T et T" se rencontrent en un même point de la droite qui contient les sommets des cônes circonscrits aux sphères A, B, C : or la tangente commune au petit cercle de la sphère A et au petit cercle de la sphère T ne diange pas de position ; donc elle coupe la droite qui contient les sommets des cônes circonscrits en un point qui ne. varie pas; donc c'est vers ce point que concourent toutes les tangentes commujnes aux petits cercles d'interjection de

la sphère constante A et des sphères variables S, S', S", etc ; d'où il suit que

ce point est le sommet d'un cône droit circonscrit à la sphère A , qui a pour

l68 GlSOMlÉTRIE DESCRIPTIVE.

base un cercle dont le plan est perpendiculaire à celui des centres des trois

sphères A, B, C.

Jinsiy lorsqu'une sphère variable T, 7", T" touche constamment trois sphères

fixes A y By C, les points de contact *, ut', a" , de l'une des sphères fixes, de A par

exemple y et des sphères Ty T'y T" , appartiennertt a un petit cercle de la sphère A^

dont le plan est perpendiculaire a cebd qui passe par les centres des trais sphères A y B.C.

80. La ligne de contact de chacune des trois sphères fixes et de la sphère mobile qui les touche étant un cercle, il s'ensuit que là courbe décrite par le centre de cette sphère mobile, est commune â trois cônes droits qui ont pour sommets les centres des sphères fixes , et pour bases le^ petits eerdes de contact de ces sphères et de la sphère mobile. De plus nous allons démontrer que cette courbe est plane.

81. Ayant nommé T et T la sphère mobile cotisidérée dans deux position^ différentes, on a vu i** que la sphère T touche les trois sphères fixes A, B, C en trois points «, /3, 7, et la sphère T en trois points a, j3', 7; a^'quelessil points a, j8, % a', /î', •>' appartiennent à une même sphère Siqui contient les petits cercles menés par les trois points «, /3, y et par les trois points a ', jS', y'\ 3® que les plans de ces petits cercles passent, quelles que soient les sphères T et T, par la droite qui contient les sommets des cônes circonscrits aux sphères fixes.

Cela posé, une perpendiculaire au plan du petit cercle tt^y (en désignant ainsi le cercle qui passe par les trois points a, jS, y), élevée par le centre de ce cercle, contient évidemment le centre de ja sphère T4 de même une perpendiculaire au plan du petit cercle a ^y élevée par aoacentre^cpatient le centre deila sphère

T. Ces perpendiculaires sont. dans le mèoie plan,. puisqu'elles. ipasseut par k centre de la sphà:'e S , et ce plan est perpendiculaii;ç à la droite qui joint les sommets des cônes circonscrits aux sphères fixes. Or le point de rencontre -de ces perpendiculaires est d'autant plus. prés de la çourhe que décrit le centre ^de la sphère mobile, que les deux sphères consécutives T et T. diffèrent moins entre elles; donc lorsque ces sphères croissent par degrés insensibles, l'intersection successive des perpendiculaires aux plans des cercles otjSy^ a j^'y^W /^y^^tc, menées par les centres de ces cercles, forme la courbe que décrit le centre de la sphère mobile; donc cette courbe a pour tangentes ces perpendiculaires. Mais une ligne dont toutes les tangentes sont, situées dans {des plans perpendiculaires à une même droite ^ est néces^irement plane ; donc la courbe décrite fkxr le centre dune sphère mobile qui touche constamment trois sphères fixes y est plane* Ayant démontré que cette courbe est commune à trois cônes droits dont elle est fin*

tersectioD^ on dok conclure que ces cpnçs se coupentsuivant une seule et même ligne plane. Ainsi la courbe décrite par le centre d*une sphère mobile qui touche constamment trois sphère^ fixes , est une section conique y dont lepUtn est perpendi*. culaire à ime droite»qui contient les sorrmets des cônes circonscrits aux sphères fixes ^

82. On a prouvé (aft 75)que les centres des huitséries de sphères qui peuvent toucher trois sphères données, étaient distribués sur quatre courbes diffé-* rentes; il suit de ce qui précède que ces courbes sont des sections coniques situées dans des plans perpendiculaires aux quatre droites qui contiennent les sommets des cônes circonscrits aux sphères fixes.

A chaque courbe, lieu des centres de la sphère mobile, correspond un cercle qui est aussi le lieu dès points de contact d'une sphère fixe avec <îétte sphère mobile; donc toutes les sphères qui peuvent toucher trois sphères fixes^ touchent chacune d'elles en des points qui sont distribués sut quatre petits cercles. Chacun de ces petits cercles étant (art. 79) la base d'un cône droit qui a son sommet sur Tune des quatre droites menées par les six sommets des cônes circonscrits aux sphères fixes , oii propose la question suivante :

Connaissojit les rayons et les centres de trois sphères , déterminer i^ la position des plans des quatre courbes lieux des centimes de toutes les sphères qui peuvent toucher les troif sphères donnéçs; a** les qu/xtre petits cercles lieux des points de contact de chacune des sphères données ^ avec la sphère mobile qui, dans toutes ses positions ^ est tangente aux spKères Jixes^

83. Solution. Ayant mené par les centres des trois sphères données un plan qui coupe ces sphères suivant trpis grands cercles ^ on tracera dans ce plan les quatre droites sur lesquelles sont distribués les sommets •d'es six cônes circonscrits îaux sphères; à chacune de ces droites correspond (art. 79) une série de sphères tangentes aux trois sphères données. Après avoir déterminé Je centre d'une quelconque des sphères compris€3 dans, une série, on mènera par ce centre et perpendiculairement à la droite correspandante à cette série, un plan qui sera un des plans demandés. Oh construit le centre d'une sphère comprise dans les quatre séries des sphères correspondantes aux droites qui unissent les sommets des cônes circonscrits, en observant que le rayon de cette sphère est pris arbitrairement, et que son centre est Tintersectiou de trois sphères dont les rayons et les cwtres sont connus.

Soient, comme les articles précédens, A^ B« C^ les trois sphères touchées

par une quatrième sphère T; dont le centre est dans un plan perpendiculaire à>

l'une des droites qui contiennent les sommets des cônes circonscrits aux troia

sphères À, B, C, et nommons D cette droite.

Par les points où la sphère T touche les trois sphères A, B, C, on mènera trois plans tangens à dette sphère T. Le plan qui touche les sphères T'et A coupera la droite D en un point -que Pon considérera comme le sommet d'un cône droit circonscrit à la sphère A. Ce cône touchera* la sphère A suivant un petit cercle qui sera le lieu des points de contact de cette sphère A, et de toutes les sphères (comprises dans une même série) qui touchent à la fois les trois sphères A, B» C. La droite D sera coupée en deux autres points par les plans qui touchent, Fun les sphères T et B, Tautre les sphères T et C. Ces points seront les sommets de deux autres cônes droits circonscrits aux sphères B et C ; les petits cercles de contact des cônes et des sphères, cpntiennent les points de contact des sphères A, B, C, et de lo sphère mobile T qui les touche.

On raisonnera de la mém^ manière pour une autre sphère T tangente aux trois sphères A, B, C, dont le centre serait dans un plan perpendiculaire à une autre droite D', contenant trois sommets do cônes circonscrits aux sphères A, B,Cr

La question précédente r^iferme la suivante , comme cas particulier.

Éumt donnés ùxhs cercles dcuis' un plan ^ trouver un quatrième cercle tangent aux

trois premiers {i)?

84- Solution. On considérera les trois cercles donnés comme les grands cercïes de trois sphères', et la question proposée sera la même que celie*ci:

(x) Ce probléoie^ traité i^gébriq;i^€ment par Sewton et Eoler» a. éxi réscfu fort âégdnunefit par MM. Cmàkj et Poncdet , à répoqae où il» étaient élèves de l'École polytechnique^ J'ai publié leurs solntions dans la Correspondance, tome i^^ ptfge 193» juillet 1806; et tome 3, page 371, jan- ▼ier iSi I. (f^o/es aussi les Annales de Mathématiques de M. Gergonne y avril 1817, tome 7, p. 289. )

On a encore traité cette question , dms l'hypothèse où les trois cercles sont donnés sur une sphère. K. Carnot Tir résolue par t'àlgèbre, dans iat' Géométrie de position (x "^o). iir-4^, année i8o3, page Aifik) M. Olivier) officier 4'artâlerie attaché à l'Acole d'application de Metz , pi'atait conimu^ nique une solution synthétique de ce problème 9 que j'ai pubiûét 4finf l* Correspondance de VJÉçole, polytechnique {tome niyp^ xo, année tSi 4) , et qui se déduit des principes que nous arons exposés. . Soit A (>^^.4y/'/.3o) le centre de la sphère sur laquelle on donne trois cercles que je désigne par les lettres X , Y, Z ; le plan mené par ce centre et par les centres des deux cercles donnés X et Yy coupe la sphère suivant un grand cercle MNi/in , et les plans des cercles X, Y suivant des cordes MN , mn du grand cercle , qui sont aussi les diamètres des petits cercles X et Y. {Voyez tax. i^'jj tiv.i*'.) On a démontré (n^èàie article )pqtte pat eesdeux petits cerdes^on peut faire passer drvi cônes. obliques 9 qui o^t^pour aomiiiels les potnu de concours S et ^ des côtés et des diagonales du quadrilatère MNiwi. • . '

En substituant le troisième cercle donné Z au second Y, et le combinant avec le premier cercle X f on forme deux autres cônes obliques dont les- sommets Syy sont situés hors du plan de la )ig. 4*

.CéOXÉTRTB i>ESCRIPTIV£. I ^ t

Trouver pannî les.sphèros tasgestes à trois $plières données, celles qui ont leurs centres dansleméme plau) qub odiili àts centres des trois sphèf'fes (lofinées ?

Pour réSQudrjç cei|:e dehrièire question/ on construira (ptùblèmé i^eiiééënt\ sur les troto' sphères/ 10^ qim&e pêtk& cerdies iieti» des'^nts ct&'ôélitdct de ces sphèfes ^^dcy tdutes. le» spbëres qui peuvent i^ totJche'^ etî nîênieteni{>s; les Imit points tcomnoms à ées petits cercles et ans gr^mlis cercles "donti'fs des sphères y .sonjt ceux par lesquels doivent passer les cercles tatigen^ afux cen^les donnés. Il suit de cette construction que le problème proposé a huit soliïtions, c^est-à-dire qu'étant donnés trois perdes, ib peuvent être touchés par un quatrième de huit manières différeiltes. *

Connaissant les points de contact des trois cercles donnés avec les cercles qui peuvent les toucher, il sera facile de distin^er ceux de ces points qui appartiennent au même cercle tangent; mais pour éviter toilte difficulté dans te choix de ces points , il conviendra de trouver sur le plan des trois cercles donnés , les traces des plans qui contiennent les centres des sphères tangentes aux trois

i*^«*«wi^^*;*'W*<

La, combinaison des deux cercles T et Z donne encore deux cônes , dont les sommets S'', Z' sont aussi hoi^dupla^^ ]a>|^^-4. , ' /.'...•

Cela posé, la solution de M. Olivier est fondée sar ceUe considération ^ que le plan d'an quatrième cercle qui touche ies trois cercles donnés X, T, Z y^est tangent à trois des six cônes ^i passent par ces cercles, et dont les somniets spaf, situés deux à dei^x^nr les trois droites &r, SV, SV* Parmi les cercles qui peuvent toucher les trois cercles donnés , considérons celui qui est en dehors de ces trias Verdies; et qui les touche en trois points. iLeV tangentes menées par les points de con«-. ucf , sont le» côtés d'uA triangle' dontle plan ne diffère pas de cehii du cercle tangent : or, le plan des Ungentesaux cereles X' et T, est évidemadent tangent avtcôiae qai passe par ces cerdts, et dont le^sonunet est en S; de m^mel^ plan des taneevtcii^uMÎÉcard^aXieiZest tangtetaïa^ène'qai passe par ces cercles » et dont le sommet lest en S' ; donc le plan (angent au cône d^ sommet S , mené par la droite SS\ esf le plaa d'un^cerdi; tangept aui^ ^rois cercles donnés X, Y, Z.

La droite $S' prolongée , r^ncoi^tre le plan du^percle X qai a pour diamètre la corde MN en un point. Menait par ce pdintdeux tangentes an cercle X » et par les tangentes deux plans tangens au cône du sommet S, ces deux plans se coiq>erdnt vaivant la droite SS' ; et ^eommt chaennderces plans est aussi tangent au oône du aoaunet S\ le«fr doottftdHntass^tton SS'toontiaiidra les ao«i^ meu S f S', S'' des trois cônes.q# pas«nt par l^sH^esde* donnés X , YyZ,

On démontrera, de la même manière, que les.auti:es stommefo sont situés trois à trois dans l'ordre suivant S//', sS'/\ f/S"; d'où il suit i<» qgue les six sommets S, S', S'',*, /, /' sont dans un seul et même plan ; o? que ce plan , qui est déterminé par deux quelconques des trois droUes SSfS^s^ SV, coupe la perpendiculaire Axrau pknrdu cercle X, élevée sur le milieu x de la corde MNy en i^ point /qui ne varie pas, quels que aoknt les iBerdès donnés Y et Z , pourvu que le premier cçrdeX du diamètre AW ne ohluigt^nsdnghuidawpiit^epoaicnm. /

Les plans Ungens aux six cônes q^i passent par les trois cercles doiuiés X, Y» Z, se coupent den k deux suivant les quatre droites SS'S'\ S//', xSV, x/S": or, par diacune de ces droites, on peut mener 46UX plans tangens à l'un des six cônes ; done il y a en général huit plans qui eoupent la sphère donnée, suÎT^t uo cercle tan^eQt ^.u$, trois cercles donnés sur ceUe sphère.

sphères deménies centre&e<^de iiiéme»iai3Polis4e{cittiësf€eiH:lëstkrMés. Chacune ' de ces traces contiendra deux des centres des cercles cherchés. A chaque tHace carrespozkl un cône droit doM fe soiDrtielTesi ^rt. i/9)Bur l'une des droites lieux des sommets des cônes ciroonsorits> ^mt sfhfres qui ont pour grands cercles les . cercles donnés. Par le sorojuet dfû cône droit, on nièiie dcfux tangentes à l'un des trois grands cercles donnas, èïchaqiiié'pomt de ibontact de ces tangentes est aussi celui oii le grand cercle est touche par ûn!quiatrienie cercle qui toucherait les trois cercles donnés; donc lés deux rayons de ce grand cercle i liiènés par les points de contact, couperont ta trace au plan qui contiè'i!it'lés centres des sphères tangentes, en deux pôpts qui seront les centrèis de HèiiK fcercles tangens aux trois cercles donnés.

SOLUTION BU PROBL^Mf 12. ' *'

Mener une sphère tahgenié aqiuUrè sphères dôàriéès, '

85. Solution. Soiient A ', B , C , D les quatre sphères données/; èt& la cinquième sphère qui les touche. Considérant d'abord trois des'cjûart^é'^phètes'ddnnées, par exemple A, B, C, on construira ï^les plans dés c^atlre'fcdtirlSes qui contiennent les centres de toutes les sphères qiil peuvent toucher lés trois premières sphères données; a® on déterminera sur chacune dés trois sphères A, B, C, lès quatre petits cercles lieux des poiuts de contact de ces sphères avec celles qui leur sont tangentes. On substituera ensuite la sphère D à la sphère C, et Ton obtiendra de la même manière, sur chacune des trois sphèiréis A, B,D, les quatre petits cercles lieux dés points de contact de ces sphères avec celles qui peuvent les toucher en même temps, ainsi que les quatre plans lieux des centres de ces mêmes sphères. Les quatre petits cercles lieux des points de contact de la sphère A, par exemple, et des sphères tangentes aux trois sphères A, B, C, et les quatre petits cercles lieux des points de contact d:e la même- sphère A et des sphères tangentes aux trois sphèresr A , B, D, se coupent en général en trentedeux points, parmi lesquels se trouvent nécessairement Icspoint» de contact de la sphère A et d'une sphère S tangente aux quatre sphères donîiées A,'B, C, I>. Pour trouver le nombre et la position de ces derniers points, il faut remarquer que des trente-deux points d'intersection des huit petits cercles de la sphère A, on ne doit tenir compte que de ceux qui. résultent de l'interseictîori des petits cercles qui proviennent de combinaisons semblables entre les sphères A, B, C ou A, B, D.

Avant d'expliquer ce que nous entendons par combinaisons semblables et dis^ Semblables f désignons dç la manière 'suivante les quatre petits cercles lieux des

pointe de contact ilêJcbsphéitefA.'^^es sphères qui touchent le$ (rois sphères

,(E) AfWQ^'AJ.PîCi^ArP^Cr, AiBjQ.

Le preçaier petit cercle A^' B/ G' est le lieu géométrique des points de contact de la sphère A et de deux sphères tangentes aux trois sphères A. B, G, les unes tans'entes toutes extérieurement , les autres toutes intérieurement : c'est pourquoi on doit lire cette notation Af B, C; de deux manières, ou A' B' G% ou Ai B, C^i elle se,r|im)prte à un sçi^l cerjcle de la sphère A, qui est le lieu géométriqvie des poin^ de contact de cette sphère et des sphères des deux séries, tangentes extérieurement ou intérieurement. Le second petit cercle Af Bj G* ( usez A' B' G', ou A^ B^ G, ) est le lieu des points de contact de la sphère A et des sphères qui touchent extérieurement les sphères A et B, et intérieurement la sphère G, et des sphères qui touchent A et B intérieurement et G extérieurement. Le troisième cercle Aj Bi C' est le lieu des points de contact de la sphère A et de deux séries dé sphères, les unes quf touchent les sphères A et G extérie.uremepit.Ct;Ia sphèr^,^ intérieurement^- lés au^'es qui. touchent les sphères A et G intériçqfjÇineji;^^ et la sphère B extérieurempnt : enfin le. quatrième cercle Ai Bf G,- est. lie jie^u.d^s .points ,de contact de la sphère A et de deux séries de sphères^ les unes qui touchent les sphères B.et G extérieurement et la sphère A intérijeurement, les autres qui touchent les sphères B et G intérieurement ^ et la sphère A extérieurement.

Les qufitrjB petits cercles lieux des points de contact de la sphère A et des sphères qui touchent les tfois sphèrçs A,, B,^p, seront désignés, daprès la même notation , de la manière suivante :

(E) ' a/ bî br, Af-Bf d:, ÀrBi Dr, ai Bf d?.

Des huit cerclés (£.)^ (EI^'h ks.notatîonisiile peux.qui résultent de combinaisons pareilles enlre ksâphères A^ B,.'G et le» sphères A, Hy D, comprennent les lettres A et B avec les nms»» lOxposonS' ; ainsi les petits eercles A;. B; CU M B/ Drésultent de combinaisons semblables; les petits cercles AJ B; G;, A; B^D; résultent de combinaisons dissemblables, et parmi les sphères tangentes aux quatre sphères A, B,.G,D, il n'y en a ailcune qui puisse toucher la sphère A en un point de Tintersection de ces deux. derniers. cercles. En effet, par ce point op ne pourrait menet* qu'une sphère qui toucherait les deutc sphères A, B intérieurement ou extérieurement^ puisqu'il appartient au cercle. A/ Bj Gj; mais par ce même point on pourrait mener une sphère qui toucherait les deux sphères A et B, Tune intérieurement, l'autre extérieuremçnlî, puisqu'il âppar* tient au cercle Aj B; Dj; or lorsqu'une sphère touche deux sphères A et B, le^

];^4 GiOMliTRIE l>ESCliIPTfTE«

contacts ne peuTent pas être en même temps tous deux extérieurs ou tous deux intérieurs , et être l'un extérieur, lautre intérieur ; donc il n'y a aucune sphère tangente aux quatre sphères A, B, C, D qui puisse toucher la sphère A au point d'intersection des deux teroles de cbmbitialsons dissemblables A/ B; C; , AîBiDf.

En raisonnant de la même manière sur deux auti^es petits cercles de combinaisons dissemblables y situés sur la sphère A , on conclura qu'une sphère tangente aux quatre sphères A, B, G, D ne peut tbucher la sphère A qu'aux points communs à l'un quelconque des quatre cercles (£), et à deux des cercles (£') ; d'où il suit qu'il y a en général seize points de contact de l'une quelconque des quatre sphère^ A, B, G, D, et d'une cinquième sphère qui les touché toutes quatre en même temps.

Ayant déterminé sur l'un des cercles (E) de la sphère A, les quatre points de contact de cette sphère A et de la sphère qui touche les quatre sphères A , B , C 9 D , on mènera par ces points les rayons de la sphère A , et ces quatre rayons prolongés contiendront les centres de quatre sphères tangentes aux isphères AjByGy D. Déplus, ces centres seront sur l'un des quatre plans (art. 83) qui contiennent les centres des sphères tangentes aux trois sphères A^ B, C, et qui correspondent aux quatre cercles (E); donc les centres et les rayons de quatre sphères tangentes aux quatre sphères A, B, C, D, seront déterminés.. On construira de la même manière les centres et les rayons des douze autres sphères tangentes aux mêmes sphères A, B, G, D. ( Voye^ la Correspondance sur C Ecole polytechnique. Juillet 1811, tome 1 , page 337.)

Résumé des propositions relatives axt contact des sphères et des plans ^ et des sphère

entre elles ( aî:tf. 69-85. )

i^ Un plan peut toucher trois sphères données de huit ofaméres différentes;

a^ Une sphère d'un rayon déterminé peut toucher ûpois sphères données de seize manières différentes;

3^ Lorsqu'une sphère variable de rayon se neut ea touchant constamment trois sphères fixes données de grandeur et de position , la courbe formée sur chacune des sphères fixes par la suite de ses points de contact avec la sphère mobile 9 est un cercle^ et la ligne que le centre de cette dernière sphère parcourt, est une section conique.

4^ Trois cercles donnés dans un plan peuvent être touchés par un quatrième cerclé de huit manières différentes.

5^ Quatt^e sphères peuvent être touchées paor une cinquième sphère de 9eûio manières ditférentes.

6^0MiTRl£ DESCRIPTIVE. jn^

%^»%<»*»»»»^l»^<^»^<^%»*^*>^^'*l*^^^^*«*»»»^*'»»»^^%^<*%l»>*i*<%%% ^^%<^^ ■'■*»»»--*-|-»»-~-»-^-^«1'>1^^^->T-t->->->->-ffcf^ai1-y>^^^,^^^lf^;^