CHAPITRE IL
OMBRE» ET .PERSPECTiTBk
S V^**^ Introduction^
S6. La théorie géofnétrique des ombres et de la perspective est fondée sur plusieurs hypothèses qiie les physiciens ont admises y pour expliquer lés phénomènes de la vision. On sait que tous les corps sont ou lumineux , ou opaques , ou transparens ; un point quelconque d'un corps lumineux est œnsi'déré comme le centre d'une infinité de rayons blancs, qui se propagent en lignes droites dans tous les sens, hors du corps lumineux. Ces rayons ne conservent leur blancheur et leur direction primitive, que lorsqu'ils traversent un milieu homogène. La lumière se comporté comme un fluide composé de mo* lécules par&itement élastiques; elle est soumise aux forces attractives ou répulsives des molécules des corps qu'elle traverse, ou dont elle s'approche à des distances imperceptibles. La loi suivaiit laquelle ces attractions moléculaires s'exercent, détermine le mouvement de chaque rayon lumineux dans des milieux donnés, ou vers les bords des corps éclairés.
87. On suppose, dans la théorie géométrique des ombres, que la lumière se meut toujours en ligne droite , soit au contact des corps dont elle rase les bords ^ soit dans le milieu qu'elle traverse et que l'on regarde comme homogène. On fait abstraction , dans cette théorie , des forces qui produisent les phénomènes de l'inflexion , de la réfraction , et de la décomposition de la lumière blanche en rayons colorés. On admet que chaque point de la surface visible d'un corps non lumineux par lui-même, devient le centre d'une infinité de rayons réfléchis ^ qui se propagent en faisceaux comme les rayons directs d'un corps lumineux; ce point est visible dans la direction de l'axe du faisceau dirigé vers l'oeil du spectateur.
On suppose encore , dans la théorie géométrique de la perspective , que Foeit est un point unique vers lequel viennent concourir tous les rayons de lumière, qui portent sur la tétine l'image des objets visibles.
88. Ces hypothèses admises, nous ne considérerons d'abord daiis l'espace
1^6. GïOMÉrftîE DESCRÎ^TIVE,.
qu*nn seul corps lumineux, et des points pris en dehors de ce corps. Chaque point du corps lumineux sera le centre d'une infinité de rayons ^ qui se propageront en lignes droites dans tous les sens, en dehors du plan tangent à la surface du corps lumineux mené par ce point.
Chaque point pris en dehors du corps lumineux sera éclairé, et la quantité de lumière qu'il recevra sera déterminée par le cône ((ai a ce point pour sommet, et qui est circonscrit au corps lumineux; tous ces points seront totcdement éclairés; mais leurs clartés seront inégales', puisqu'elles ont pour mesures les volumes variables des cônes lumineux compris entre les points éclairés <. et les lignes de contact du corps lumineux et dés côhe^ qui l'enveloppent.
89. Plaçons maintenant en dehors du corpè ïuitiineûx, un corps opaque; la surface de ce dernier corps se divisera en trois parties, la première totalement éclairée, la seconde totalement privée de ' himierë ,' Id troisième intermédiaire privée de lumière partiellement. L^Sjplace ieri dévots de^ corps opaque et lumineux sera aussi divisé eh trois" parties sehililablës. et pour le démontrer, on mènera par un point quélconqué'du éôrps épa^e ,àh plan tangent à la surface de ce corps : ou ce plan né Vèricôhtrérâ J3^à la ^ùf'fiice dii cbrps lumineux, ou il le rencontrera- De plus, eii lcfeu]f)p6ia'nt^bp2ÀJuèVôii irinterôeptéra les rayons de lumière qui, partant du corps iiiniinféWx';^^ôht' dirigés Vers lé corps opaque, ou placé au delà de ce corps , il b*iritéi*6<îpterài aucun* des fàybns qui Féclairent ; eè qui présente plusieurs cas que n8us aligné examiner stacééssivement.
1** Le plan tangent à la surface dû corps ôpaqiié, nef ebcontrepasi la siu^^ du corps lumineux , et-il est placé éritre leà surfaèés dé ces deux corps. Dans ce cas, le point de contact est totalement éclài^éi if reçoit Wute la lumière comprise dans le cône qui a ce point pour soittmef /et '(jui est circonscrit à la siu^face du corps lumineux;
a® Le plan tangent à la surface du corps opaque, ne? rencontre pas la surface du corps lumineux, mais il est placé dé manière que le corps opaque, et le corps lumineux , sont du même côté par rapport à ce plan. Dans ce cas le point de contact est totalement privé de luihière. Le corps opaque intercepte toute la lumière comprise dans le cône qui aurait ce point pour sommet, et qui serait circonscrit au corps lumineux ;
3** Le plan tangent à la surface du corps opaque , rencontre la surface du corps lumineux , et la coupe suivant une ligne courbe ; dans ce cas^ le point de contact n'est que partiellement éclairé, car le cône dont ce point est le sommet, et qui est circonscrit au corps. lumineux, touche la surface de ce corps, suivant une autre ligne courbe ; la portion de cette surface comprise entre la courbe de contact et la ligne d'intersection parlé plan tangent au corps opaque, détermine
GlSOMiTRIE DESCRIPTIVE. • |i^.^
la quantité de lumière qui peut arriver du corps lumineux au point de contact du corps opaque : or cette lumière n'occupe qu'une portion du cône qui a pour, sommet le point de contact, et qui est circonscrit au corps lumineux; donc le «point de contact n'est que partiellement éclairé ;
4^ Le plan tangent à la sur£ace du corps opaque, est aussi tangent à la sur-, face du corps lumineux. En supposant que le plan ait une épaisseur, les deux points.de contact sont du même coté de ce plan ou de côtés différens. Dans le premier cas, le point de contact est éclairé par un seul rayon de lumière; le cône lumineux qui a ce point pour sommet, se réduit à la ligne droite menée par les deux points de contact; si Ton conçoit la surface développable engendrée par un plan mobile, qui touche constamment du même côté de. ce plan« les deux surfaces du corps opaque et du corps lumineux, chaque point de la ligne de contact de cette surface développable et du corps opaque ne sera de même éclairé que par un seul rayon de lumière;
5^ Le plan tengent à la surface du corps opaque est aussltangent à la surface . du corps lumineux ; mais les deux points de contact seraient placés de côtés différens , par rapport au plan tangent qui aurait une épaisseur sensible. Dans ce cas, le. point de cqntact est totalement éclairé, car il peut recevoir toute la lumière comprise dans le cône qui a ce point ppur sommet, et qui est circons*critau corps lumineux. Le plan mobile qui, dans chaque position, est tangent aux deux sur&ces du corps opaque et du corps lumineux , de manière que les deux .^points, de. oontajct. soient^ ^ur le3 deux faces opposées du plan tangent,' engendre un autre nappe de la surface développable du cas précédent, et tous les points de la courbe de coptact de cette nappe et du corps opaque sont totalement éclairés. Pqur distinguer ces deux nappes, qui sont les limites Tune de l'ombre^ et l'antjre de la pénombiie; nous appellerons la première nappe de. r ombre y et la seconde, nappe de la pénombre. U ombre est un espace dont tous les points sont totalement privés de lumière^ Is^ pénombre est un espace dont chaque point n'est, quç partjelleinent éclairé ^ar le corps lumineux.
90. Pour éclaircir cette théorie par nn exemple, on peut supposer que le corps lununeux et le corps opaque sont des sphères; dans ce cas, les deux nappes de la sur&ce développable circonscrite aux deux sphères se séparent, et chacune d'elle est une surface conique droite. La nappe de l'ombre devient un cône droit, . dont le sommet, situé sur la ligne qui joint les centres des deux sphères, est au delà de ces sphères. La nap^e de la pénombre est un second cône droit , dont le sommet est encore situé sur la ligne des centres, mais entre les sphères.
Les lignes qui séparent sur la sphère opaque la zone éclairée de la pénombre,, et Ja pénombre de l'ombre, sont deux petits cercles de cette sphère, situés.
dans des plans peipendiculairea à la droite qui joint les centres. des deux
sphères.
91. Ayant déterminé la surface de 1,'ombre et dç.la pénombre, dans l'hypothèse d'un ^eul corps lumineux, qui éqljûre un seul corps opaque ^ ajoutons-y un second corps opaque , qui aura comm^^ le premier, son o|nbre «t sa pénombre; alors les deux corps opaques se comporteront l'im à Tégard de l'autre, comme le corps lumineux par rapport à chacun deux. Un point pris dans l'ombre de l'un des corps opaques, sera en partie éclairé par l'autre corps opaque. Da^s cette hypothèse, il n'y aura plus d'ombre totale. Les points de l'espace seront néanmoins très-inégalement éclairés; c'est cette inégalité de clarté qui produit ce qu'on appelle ordinairement ï ombre d'un corps* . .
Ainsi lorsque des objets sont éclairés par le soleil , l'ombre de ces objets n'est pas un espace totalement privé de lumière.
. L'atmosphère, et tous les corps qui environnent les objets ,éc^irés., réfléchissent la lumière dans tous les sens, et toutes les parties dq ^'espace reçoivent plus ou moins de la lumière réfléchie. On fait voir dans les cours d'optique le contraste d'un espace éclairé et d'une ombre totale. L'observateur est dans l'intérieur d'une chambre obscure, dont les parois sont peintes en noir. Une ouverture faite à l'une de ces parois pencnet à la lumière solaire d'y pénétrer : on reçoit cette lumière sur un tableau blanc v<ertical. La partie de ce tableau frappée par la lumière , est parfaitement éclairée ; |e re^te du tableau est-comptetement privé de lumière sensible. L'image blanche du soleil se détache sur un fond noir; d'où résulte un contraste que nous jugeons encore pl^s parÊdt qu'il n'est réellement, à cause d'une imperfection de l'org^pe de la vue, qui nous porte à juger le blao.c qui est en contact avee le n^ir, plus blanc, et réciproquement le noir voisin du blanc, plus noir qu'il n'est)|;éeUement.
g^. Lorsque le.foyer^e lumière cesse d'être un corps étenduauxtix^îs dimensions, et qu'il se réduit à une ligne courbç lumineuse, un point quelconque de l'espace qui est totalement éclairé , reçoit le cône de lumière dont ce point est le sommet, et qui a pour base la courbe lumineuse. Interceptant par un corps opaque une partie de la lumiète dirigée vers un point, ce point est dans la partie de l'espace que nous avons nommée ( art. 89 ) pénombre. Jl y aurait encore pénombre, dans l'hypothèse où la courbe lumineuse serait plane. Up point situé . dans le plan de cette courbe pourrait ne recevoir qu'une partie delà lumière comprise dans le triangle dont le point serait le sommet, et qui aurait pour base la courbe plane lumineuse; mais si Ton suppose le foyer de lumière réduit à un point, alors un autre point quelconque de l'espace, n'est éclairé que par un seul rayon de lumière dirigé suivant la droite qui joint ces deux points; d'où
G£OM]éTRIE DESCIlIPTlt£« f^g
il résulte que dans cette dernière hypothèse , il n y a aucun point de Tespace qui soU partiellement éclairé, autrement, qu'il n*y a pas de pénombre possible. La surface développable de l'ombre devient une surface conique qui a pour sommet le point lumineux, et qui est circonscrite à la surface du corps opaque. Lorsque le pDint lumineux est à une distance infinie du corps opaque, la sur- &ce conique de Tombre se transforme en une surface cylindrique , é|;alement circonscrite au corps opaque, et dont la génératrice est parallèle aux rayons de limiière.
Conclusions.
93. L'ombre et la pénombre d'un corps opaque ont pour limites les deux nappes de la surface développable, engendrée par un plan mobile constamment tangent à la surface du corps opaque et à celle du corps lumineux. Ces nappes tangentes à la sur&ce du corps opaque la divisent en trois zones : la première de ces zones est totalement éclairée, la seconde totalement dans lombre; la troisième est partiellement éclairée ou dans la pénombre. Cette dernière zone est comprise entre les deux courbes de contact de la surface du corps opaque et des deux nappes de Fombre et de la pénombre. Un point quelconque d^ la première courbe ne reçoit du corps lumineux qu'un seul rayon de lumière ; un point quelconque de -la seconde courbe est complètement éclairé, c'est-à* dire qu'il reçoit tout le cône de lumière dont il est le sommet , et qui est circonscrit au cône lumineux.
La zope du corps opaque, renfermée dans la courbe de contact de la sur&ce de ce corps et de la nappe de l'ombre , est totalement privée de lumière. La lone , renfermée dans la seconde courbe de contact, qui appartient à la nappe de la pénombre, est totalement éclairée.'
Enfin la zone du corps opaque , comprise entre les deux courbes de contact avec les deux nappes, est ^ sur ée corps i^ limite de la pénombre^ diacun des points de cette courbe n'est que partiellement éclairé par le corps lumineux.
Lorsque le foyer de lumière est réduit à un point unique , ce qui comprend le cas où les rayons de lumière sont parallèles entre eux , tous les points de l'espace sont totalement éclairés ou totalement dans l'ombre ; il n'y a plus de pénombre. La surface^ de l'ombre d'un corps opaque est un cône ou un cylindre circonscrit à la surface de ce corps.
jgo Gl^OMSXIUE DESCBIPTIVE.
§ IL DES OMBRES SUR LES DpSSIW» X>E L4. GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE, ET DE LA
PEBSPI^CTIVE LINÉAIRE*
9/1. On sait que l'application la plus immédiate de la géomélrie descriptive est la représentation des corps sur deux plans de projections (art. l^', liv. i*'). Chacun des points pris à la surface <le ces corps étant déterminé par ses projections sur deux plans rectaogulaires i ht- ct)ml»naison rdes lignas droites ou courbes tracées sur les plans ^ fera ^nnaîtreU forme, les diroension» et la position respective des obj-els reprédentés. JEtow.coBoplétei? ce«e description, on conçoit que les corps sontrdftns un lQilft9U<^)9Îré , qu'ils sont eux-mêmes en partie éclairés, en partie dans^Uombre ) que leurombre se projette sur d'autt'es corps environnans, ou sur las> plans dei ptojwitions. Les lignes de séparation d'ombre et de lumière, le$<co^^.vlrs d'ombres portée», en un mot tout ce qui résulte de l'hypothèse qu'on a faite, sw la manière dont les corps sont éclairés , sert Vie base aux jugemensi que nous ^pocton^ sur la forma el la position respective des objets. Les lignes déterminées par cette hypothèse -wt aussi leurs projections, et la construction de ces, lignes est, dans Udoc grand»nombre de cas, un complément nécessaire de la description géométrique desi. corps. La construction de ces lignes n'est d'aucune utilité pour l'artiste' qui. ae. propose d'exécuter en relief lin objet dont il a les deux projections; mais elle est d'un grand secours à l'ingénieur chargé de l'examen d'un projet qufil nef connaît que par des dessins et par des mémoires joints à ces dessin^.' .. • - * ' g5. 11 était nécessaire pour atteindre le but qu'on s'est proposé' eri déterminant 4es lignes de séparation d'ombre et de lumière , et les' contours d*otnbres portées, de faire, sur la manière dont les 'corps sont éclaîfés', une hypothèse simple dont on pouvait prévoir facilement' toutes las ct)tiééc{oéncès. Il était encore important que cette hypothèse ne s'écartât pas bieaii(5ô\i^ de ce qUî se passe continuellement sous nos yeux. On- satisfait a ce^*fcdriditions , en supposant que les corps sont éclairés ou par des rayons de lumière parallèles entre eux, ou par un seul point lumineux dont la position est donnée; c'est ainsi que , pour un instant donné, tous les objets terrestres sont éclairés par le soleil. J^ la distance dont cet astre est de la terre , lès rayons solaires nous semblent parallèles entre eux, quoique néanmoins ils convergent sensiblement vers
terre.
L'ombre des corps éclairés par la lumière d*^uiie bougie ou d'un quiiiquet, diffèrent d'autant moins de celte qui résulterait cf%n point lumineux unique, que les dimensiqps de la flamme sont plus petites, et dans tous les c^s , le centre de cette flamme peut être considéré comme le point lumineux.
fit
GÉOMÉTRIE BESCHIPTIVE^ ]8l
Des ombres , dans Vhjpotlàse où les corps sont éclairés par des rayons de lumih'e
parallèles , ou par tut seul point lumineux. ,
96. Chaque rayon de lumière doit» être considéré comme une droite qui traverse tous les milieux transparen», et s'approche indéfiniment des corps opaques en conservant toujours sa direction primitive. Les rayons tangens à la surface de chaque corps opaque , forment) mi une surface conique ou une surface cylindrique tangente à la surface de ce corps, et il est évident que la ligne de contact de ces deux suriacee est sur le corps opaque la ligne de séparation d!" ombre et de lumière. Cette ligne e^t en* général imé courbe à double courbure , et dans quelques cas particuliers ûûe couit^' plane; Chaque point de cette ligne est sur la surface du corps opaque > le point ^ contact de cette surface et d*un plan tangent qui pcisserait'pdr lepoinl lamineur ^ ou qui serait parallèle à des rayons de lumièife dont la direction esli dontfée.
La limite de IV^rAbi^'tfrtn ' corps: oplkjUé' quelconcjue est ou une surface conique^ on utie'Mrfecé cyHndrique, Sèlôty'que la lumière part d*un point à une distanùè'finiéiin infinie deis corps él5tai^és. La lijgné de séparation d*ombre et de lumière sur <m «orps opaque, |^ëût ét¥é cdùsidërée' comme la ligne de contact de la «tir&ce de^c^ coirp» et de là sdtfà'cedèrômbre.
. 97. Lorsque Iq corp^ o|xaquf e^t fuu poly>ad)rQ à Capfss planes, les arêtes intersections des faces éclairées /^t de.eeUes qui ae le «ont pas^ forment sur chaque polyèdre un pçlygç^ietdopl^eM gôoéraj lea côt^s ne sont pajs dans le même plan; la pyramide qui a pQiir base loe jv;4yfi;one et ipaur sommet le point lumineux , détermine Nombre du, polyèdre^ .çet^e^ombire se; (irploage indéfiniment au delà, du polyèdre , à partir du^ply^ojM qui e^JU. séparation d'ombre et de lumière. Lorsque les rayons 4^ laqaif^esont parallèles «ntre, eux , la pyramide devient un prisme qui a de même pour base le p9l};gpn^ .dont chaque côté est Tintersection de deux faces, l'une éclairée, et rautr^.qui ne l'est pas; les arêtes du prisme sontparallèles aux rayons de lumière* ; . , •
• 98. L'ombre d'un^ corps opaque ayapt pour limite, I4 partie de la surface^ conique ou cylindrique circonscrite à la surface de ce corpSf qu'on prolonge indéfiniment au delà de la ligne de séparation d'ombre et de lumière^ tons le$ objets placés dans cette ombre sont totalement privés de lumière; mais si Ton' conçoit un autre corps opaque pu transparent, dont la surface dépasse celle de l'ombre , l'interseiction de ces deux surfaces sera une ligne qu'on appelle aussi ombre du premier coips opaque, quoiqu'elle ne soit que le contour de l'ombre, portée par le premier corps sûr lé second. Appelant ombres linéaires les contours
X8si GÉOXKXAIE DESCRIPTIVE,
d ombres portées par les corps opaques sur (d'autres corps, et les lignes de sépa* ration d'ombre et de lumière , qu*on a -définies ( art. g6 ) , la détermination de ces ombres sera l'objet, du paragraphe suivant; elle comprendra la perspective linéaire que nous allons définir.
De la^perspectwe linéaire.
99. Chaque point d'un corps éclairé n'est visible que par le rayon, ou par le petit faisceau de rayons de lumière , dont l^e est dirigé vers Tœil d'un spectateur. Poar définir* la science quk>n nomaio perspective ^ nous supposerons qu'on ait placé entre l'ceil du spectateur et les corps qu'il aperçoit, une toile ou un tableau parfaiteuient transparent, de même couleur que le milieu dans lequel il est placé. Quelle que soit la surface de ce tableau , plane ou courbe , nous concevrons que chaque rayon Visuel qui le traverse, y laisse l'impression de la direction de la lumière^ de son ihteosité efde tous les accidens qui déteitninent les effets d'une vision parfaite : il est évident que ce tableau devra produire sur l'œil du spectateur la même senssition que les* objets eux-mêmes; que supprimant les objets, le spectateur n'en sera point averti, tant que Firnage sera sous ses yeux« Cette image, peinte Sur le tableau, est'une perspective complète, qui comprend deux parties très-distiteles,/]u'on nomme j9en^e/iV^/^a«nf, etperspec-' twe aérienne. Elle se réduit à la pretùière partie \ lorsque les rayons visuels, en traversant le tableau, n'y ont laissé que l'impressîôh dfe leur direction. La perspective aérienne est un art dont les règles servent de complément à la perspective linéaire : elle a pour objet de mettre sur diaque point du tableau la teinte et k couletMT^tt rayon visuel qui passe parce point; les grands tableaux des peintres anciens et modernes prouvent assez que cette science est arrivée à un haut degré de perfection : cependant. elle n'a ja^i^iis été écrite; <m né Fèpprend que dans les atrfiers de peinture. Un géomètre qui serait à la fois peintre et physicien, et qui considérerait la lumière souslè t*apport*dêî'art , fehîit un travail d'tme grande utilité, et qui manque presqtve entièrement (ï). '
1 00. D'après la défirïitipp^^e ^^ pe^^pççtive linéairQ^ ia> perspective d'un point de l'espace est sur ui> tableau donné de forme et de position, le point d'intersectioii
(1) Monge j^taàX fortement oooapë lie .plmevm qQffttiviis relirtive» » là ^persp«cli¥e aérienne^ On a troirré dans vès j^iers uoe rëdacUpn.^ \^ leçqn qii'^fmit d'aburd-douiée «aorÉ^des normales âe 1 7^5^ et postérîeapemeiit à l'ilcole poîytechnîfoe. Le talent de Moi^ , «^onuane profetsevr,. i>ril]ait dans tout sott ëdaf, lorsqu'il parlait de péiiûure on a^architectare. On a rapp^é des sonve-^ nira très-agréables aux élèves qni cm ed le bonlîeuir dé l'entendre , en publiant %t% Recherche^ sur U Dessm au htm y avec sa Gé^méine Htâiryrtwe'^ r^ttij^riWeen i8ao par les soins îh M. Brisson et de Madame Tcuye B^onge, . , . i ,.. .i ^ ; -. » > . . . .
GÉOMÉTRIE DESCRIPTrVE. l33
de la surface de ce tableau et de la droite menée par ce point et par Tœil du spectateur considéré comiàe un autre- point (art. 87 ).
La perspective d'une ligne courbe estlHntersection de la surface conique qui a pour sommet l'œil du spectateur, et pour base la ligné courbe visible.
La perspective d'une surface a pour limite la courbe tracée sur le tableau, qui est la perspective d'une autre courbe de la surface qu'on nomme contour appareni : cette seconde courbe est la ligne de contact de la surface visible et d'un cône qui a pour sommet Fœil du spectateur.
La détermination ^es ombres linéaires^ et la perspective linéaire, ne comprennent que ces deux problèmes de géométrie :
I ^ Trouver l'intersection d'une surface conique dont on connaît le sommet et la base , et d'une autre surface donnée.
Ce problème comprend le cas où la surfaice conique devient une surface cylindrique dont on connaît la base , et qui a potur génératrice ime droite dont la direction est donnée;
a*> Trouver la courbe de contact d'une surface donnée, et d'un cône dont on connaît seulement le sommet.
Ce second problème comprend le cas où le cane circonscrit à la surface proposée devient un cylitidre dont les arêtes sont parallèles à une droite donnée*
La solution de ce dernier problème sert de base aux constructions graphiques ; relatives aux ombres et à la perspective linéaires.
§ in. CDirsraucTioirs graphiques relatives aux okbres et a la ybrspective
LlIviAIRES.
Pu cone 0u du cylindre tangent a une surface^
»ioi . LoTsquVn cône ou un cylindre est tangent à une sur£ice donnée , un plan quelconque mené par une droite du cône ou du. cylindre, coupe ïa surface suivant une courbe qui a pour tangente la droite; le point de contact sur cette éreitt appartient ii la ligue de éontact du cône ou du cylindre, et de la surface proposée. .
La surface étant définie , des plans verticaux menés par le sommet du cône tangent, ou paraHèlement aux droites du cylindre tangent , coupent la surface suivant des lignes que l'on construit par la inétbode exposée (livre i, art. 59).
Les tangentes à ces lignes inenées par fc sommet du cône, ou parallèlement à la géeiératriee du cylindre , sont des droites du cône ou àa cylindre tangent, et Jes points de contact sur les lignes de la surface proposée appartiennent à la ceurbe de contact de cette sur&ce et du cône ou du cylindre. La construction de
|{^4 0£OM£XRT£ DESCRIPTIVE.
cette courbe est ramenée à la solution de cette question de géométrie plane : par un point donné hors d'une courbe plane , mener une tangente à cette courbe, ou lui mener une tangente qui soit parallèle à une droite donnée ?
Cette méthode, pour déterminer le cône ou le cylindre tangent aux surfaces, s'applique à toute surface dont on "connaît la génération , et pour laquelle on peut assigner la génératrice qui passe par un point quelconque de cette Muface. Si Ton demandait la section du côn^ ou du cylindre tangent par un plan donné, on pourrait l'obtenir avec une exactitude suffisante pour la pratique, ssLns être obligé de construire par points la ligue de contact du cône ou du cylindre tangent et de la surface proposée. IL &u£Glrait de projeter sur le plan donné la ligne génératriûe de la surface proposée, par des droites concourantes vers le sommet du cône, ou par des droites paralléle&à celles du cylindre : les projections de cette ligne, considérée dans. toutes ses positions, seraient touchées par une courbe unique, qui serait la section demandée du cône ou du cylindre tangent; connaissant la section plane d'un cône et son sommet , ce cône est déterminé, . UoL cône ou un cylindre peut être inscrit ou circonscrit à une ^urface; dans les deux cas, nous les désignons par cône tangent^ cylindre tangent.' Ijà, détermi*» pation d'un cône tangent comprend celle d'un cylindre tangent dont la droite génératrice est donnée en direction, car le cylindre est un cône dont le 8om<» met est à l'infini sur une droite dont la directit^n'Cst connue.
I oa. Le contour apparent d'une surface étant ( art. i oo). la base d'un cône tan* gent à cette surface , on déterminera ce cône par là méthode générale qui vient d'être exposée. Si l'on regarde le ^mmet du cône comme un point lumineux, le contour apparent devient la ligne de5épai*atipn d'ombre et de- lumière sur la surface* Cette ligne, dans l'hypothèse des rayons lumineux parallèles, appartient au cylindre tangent, dont la droite génératrice est aussi parallèle à ces rayons.
Des deux méthodes (art loi ) par lesquelles on détermine le cône ou le cy* lindre tangent, il est à ren^qner que.la première sei^ement donne le contpur apparent, ou Ja courbe de contact du cône et de la surface proposée. La seconde donne seulement une section du cône tangent; néanmoins ce. cône ayant pour sommet l'œil du spectateur, et prenant le plan de la section pour le tableau , la section sera la perspective du contour apparent
Des surfaces déi^kfyHibl^s etde leurs enveloppes.
io34 LorsquVne surface conique est tangente à une autre surface , un plan tangent à la première surface e&t aussi tangent à la seconde ; le contact du plan et du cône se fait suivant une arête de ce cône; Fintersection de cette arête, et de la ligne commune au cône et'àia surface détermine le. point de contact. 4^ cette
GÉOMliT&IE DESCRIPTIVE. l85
sorface et dupfoxi; il suit <le eette coimdératîon que la courbe de contact d'une sorSaice et d'ua cÀne tangoit à, cette sorfeecvest le lieu géométrique des points de contact deiaAuvfacet et 4es phiDsXivffma k>]^s^T£aLce menée par le sommet du cône. Dana le cas où la suvface jpiopoiée est développable, le cône ou lé cylindre tangent se rédiû* à^uaplan^ et.pour déterminer ce plan, il suffît de mener par le somoitst du «ène^ un plaaiqprioaoque qui coupe la surface développsMesuivafiitttfie«Quiibe; la droite "laiigeate à cette courbe menée par le somiaeM etvl^rdroite de la surface ^kéveloppable qui passe par le point de contact ,* àétenDiotnêle plan tangent; Si ce. plan devait être parallèle à une droite donnée, oa ooi^fierait Jasiufaee dév.elop|i^blfei par un plan parallèle à cette droite, et on meBerailuaelaiigeDteà lai section piarallèle à la même droite; cette droite tangente^ vet la drciate.de la «unfteeidévèioppable menée parle point de contact, déterjslineÉaûnift le .plim tangent. Le^penl^ deplaas taiigens qu|on peut mener à la:surfaod^dével«^abbv 'esbttgal.au tiondMre de tangentes ^*on peut meiier par un point diMsné, ou paraUèlejBoent à une droite donnée , à une section de la sur£tce dontJe.pIaopasse^pair cepoînt, ou /est pari^Uèle à la droite donnée.
io4« De qoelqueMBànîére qu'une surface développable se meuve, les courbes qui résulteotdeiS^iittterbcolioniisuccessivéfi^&paDent une seconde surface, qui est renv«lo|^dejrjeflp0oe qèeipj|DColirtia première (art. 4^ 9 li^* 1 ^^^ Ces courbes étant connues, la lifiiflide contMOiloila s^oCtte ettyelqppe et d'un cône dont on donne le sommety^seca détenmî^.fia.oficÉf la «surface mobile considérée dans une position quelcomfue »es^ oaiipée par^deUBauirfaces adjacentes suivant deux courbes f et l'élément de surfaHOfidéir^^paMe t^m^iné par ces courbes^ appar* tient à la s^yfaeet^yetpCTpftt^fr W pkw^ tyngffit»» Jai sucfaee mobile:, mené par le point donné, touche. cettesuiiwie^wyaatrUlie droite, et ^élément de la surface enveloppe suivant unie pqjliim de iri^tte dsoift&jdoac k point d'intersection de la courbe quiterB9iQie:oet(élitoe^^e|idiK(l%fd|[*oît0 rde4a^ surface développable à laqudle appartient jCii9i<aemeiéléR9e^t,;esli^ui^ de contact de la surface
enveloppe de la)SUx;^aQe.idéiEQl0ppablekddapbfle^eii^ pone qui a son sommet au point donnée . , • •.. i. i , ^ - ^r.» • •• . r* *•' .'
Du cône ou du cylmdm.ùmgmi'0?iu^Mr^kse em^ppe.
1 o5. Nous déjbe^r^^er^ns l^^QO^tang!^ (^i*^- 4^ 9
liv. i^'), par une méthode particulière plus simple, plus exacte que la méthode
Poi^r XîOfflpyefKlre te^pBiniîij^^f ^r, JçqggJ .fifAte^^^ttode est Éandée, il faut coosidéreTiSur,ui^f»yj^8fip#*JB#i|pik la caractéristique de
ren>:elqppe, qjii.,^st (,af^ i^Jà^vXn)^^^^ mobile avec
elle-même, et là coarbe dé contact avec un càm de même sonmet que le cane tangent à l'enveloppe. Lorsque ce& deux lignes se eoupent, le point d'mlencv^ tion appai*tient à la Gomrbe de eolitact de l'envdoppe ettlu cône demandé; car ïenTeloppe et l'enveloppée ayant en ce point même plan tangent, ce plan patte par le point donné, sommet du cône tangent j^ l'enreloppe*
Nous allons prendre pqtis^ exemple» Ufr surface» de révolution et le^ aurfacM réglées; elles sont comprises dahs la fittaaille des surfaces enveh^pes^ car les pre* mîères ont pour enveloppées des cônes dmits , des ^bères ^ ou des cylindres droits, qui ont pour bases les sectkms méridiennes : elles ont pour caractâris* tiques dés cercles ; les sut&ees réglées ont pour enveloppées des hyperboloîdes i une nappe, ou des paraboloides hyperboliques, et pour caractéristiques des lignes droites. L'application de la méthode est facile pour ces*deux genres d'enveloppes, parce qu'on trouve directement )mr chaque càractiéristique, le point de contact de l'enveloppe, et d'un plan passant pw le sommet du cône tàn^nt à cette enveloppe.
DiL cône ou du cjlindre cifx:onscrit aux sur/aces de res^olution et h leurs eweloppes.
— De la sphère et de ses en\^eloppes.
io6. La sphère est une surface de révolution, qui a pour axe l'un de ses diamètres, et pour section méridienne le grand cercle dont le plan passe par ce diamètre. \a coui4>6 de contact de la sphère etd'un cylindrée^ un {grand cercle dont te plan est perpendiculaire à ladi^te génératiice da cylindre tangent. Un cône touche la sphère suivant le petk cercle d'intersedtion de cette sphère et d'une seconde sphère qui a pour diamètre lai distance du sommet du cône au centre de la première.
De quelque mahière qu'une ^hère constante ou variable de rayon se meuve , les intersections successives de la sphère mobile sont des cerdes, parce que deux sphères qui se pénètrent ont pour ligne dHntersection un cercle dont le plan est perpendiculaire à la droite qui joint leurs cenbres (art. i86, liv. i*^'). \jà sphèse mobile considérée dans une position quelconque^ étant coupée par les deux sphères adjacentes suivant deux cercles, la zone sphérique comprise entre ces deux cercles est un élément de la surface enveloppe, lieu des in ter* sections successives de la sphère mobile.Lorsque le cercle qui termine cet élément est rencontré par le cercle de contact de la sphère mobile et du cône dont on connaît le sommet , les points de rencontre appartiennent à la ligne de contact de la surface enveloppe, et du cône tangent à cette surfece; car les plans tangens à l'enveloppé , menés par ces poi»ts, passeraient par le sommet du cône (art. io5).
Si la surface enveloppe de la sur&ce mobile se mouvait elle-même suivant mie loi donnée, elle engendrerait une nouveHe surface enveloppe. Goamaissant
GÉOMÉTRIE l3£ftCRI»TIVe> l9«
pour chaque position cje la première enveloppe sa caracierUiiqM (art. io5), et la Ugne de contact <Je cette enveloppe mobile avec le «pne ^ui im est tancent, Tintersection <le ces4euK Ugiies> serait up point de la ligne de contact de la seconde enveloppe, et du cône tangent à cette envel^pe. Il en serait de même de toutes les enveloppes sucoessives , qui dériveraient de \% mémf surface primitive , pour lesquelles on détemiaerait, par de> procédés analogues^ leurs lignes de contact avec un cône dont le sommet serait donné.
Du coae tangent a une sur/ace de réifolution.
107 . Une surfece de révolution peut être Gonsidéréecomme l'enveloppe 00 d'un cône, QU d^une sphère, ou d'un cylindre mobile; d'où l'on déduit trois méthodes pour déterminer la courbé de contact de cette surface , et d'qn cône qui lui est tangent.
Qu'on imagine par un point quelconque d'une surface de révolatioa deux plans, l'un perpendiculat re à Taxe , €4 l'autre passfint par Tas»; la section du premier plan est un cercle, et la section du second plan une courbe méridienne. La tangente à cette courbe menée par le point de rencontre des deux sections, rencontre l'axe de révolution en un point, et ce point est le sommet d'un cône droit tangent à la surface , qui a pour base la section circulaire. Il n'y a aucun cercle de la surface de révolution , qu'on ne puisse regarder comme la couilie de contact de cette surface, et d'un cône droit qui aurak son son^met sur t'axe de révolution ; d'où il suit qu'une svHHTace 4e révolution est l'enveloppe de l'espace que parcocurt un cône droit, qui varie de manière que sa base ^tant on cei:^e de la surface de révolution , sa géoéralrioe est une tangente à la section méridienne , menée par le point où cette section coupe }a ba$e circulaire ; le sommet du cône mobile étant coti<»tamment sur l'axe de révolution, ses intersections suc-^ cessives sont des cercles de la surface -de révolution. Considérant le cône droit dans une position quelconque , et menant par le sommet du côni& qui doit être tangent à la surface de révolution , un plan tangent au cône droit , farête de contatct sur ce cônc/et su base circulaire se couperont en un point; ce point appar* tient à la ligne de contact d^la surface de révcAution et du cône tangent à cette sur&ce, dont le somn^t est donné hors la surlace; car le plan tangent à la surface de révolution, mené par le point ainsi déterminé, passerait par le sommet du cône inscrit ou circonscrite -
io8. Une sphère mobile qui aurait successivement pour rayons ^ les parties de normales à la ^section méridienne d'une surface de révolution, comprises entre la section et l'axe de révolution, et de plus pour centres les points de rencontre des normales et de l'axe, engendrerait la sur&eede révolution, fl y a pour chaque position de la sphère mobile (art. 106), 4a mratîéristique de son enveloppe , qui est
j88 ' GJÉOMETRIE 0ESCR1PTITE.
un cercle de la surface de révolutîoii; ce cercle est coupé par le cercle de contact de la même sphère mobile et do cône dont le sommet est donné; Tinter* section de ces deux cercles appartient à la ligne de contact de la sur&ce de révolution et du cône -tangent à cette surface. >
109. Chaque section méridiàme d'une sur&ce de révolution étant jconsidéréc comme la base d'un cylindre dont les arêtes sont, pecpendicuiatres au plan de la section, ce cylindre est tangent à la surÊice; £«isantiz^UTptr ce cylindre de manière que sa base se trouve successivement dans les difFérens plans méridiens ^ ses intersections successives seront les sections jaiâ:*idîennes : or il y a pour chaque position, du cylindre tmobilç, la earaciénstifiietpj^i, e^Vune section méridienne de l'a' Surface ^ et TaréCe i^e coptact avec le pUn tangent au cylindre, mené par le sommet du oône donné; Tinterseotion' de ratréte et de la section détermine un point de la coUrbe de contact de la^.sur&ce d<9 révolution et du eàné inscrit ou circonscrit à cette surface^ o . ,>../..' t 1
io6.C^s trois méthodesnes'appUq^entpasseukmetitJiiareeherchedela courbe de contact d'une surface de.xévoluticoiitet dlun câqe dpnt le sommet est donné; elles serviraient aussi à trouver ceitei courbe dans le cas où le sommet du cône étant à Tinfini, le cône tangent deviendrait un cylindre tangent. La surface mobile génératrice de la surface de révolution, étimt un cône ou un cylindre , on amènerait un plan tangent à cette surfiaK^e.paralIèle à la droite génératrice du cylindre, et ce plan tangent serait substitué à celui qu'on aurait mené par un sommet donné. Regardant la sphère comme la génératrice de la surface de révolution, on construirait pour chaque position de la sphère mobile, le gipaud cercle suivant lequel cette sphère est touchée par un cyiindre dont. les arêtes sont parallèles à celles du cylindre tangent à la surface- dc.r^voliiition; l'intersection de ce grand cercle, et du petit cercle commun. à la sphère et à la surface de révolution, déterminerait un point de la ligne de;conta<)t de la surface de révolution et du cylindre tangent.
. . On ferait pour les enveloppes successives d'une^ surfa^ce de révolution quelconque, les mêmes raisonnemens que pour l^s enveloppes successives de la sphère (art. 106 ); la caractéristique d'une enveloppe queloonqU(e, et la ligne de contact d'un cône avec la surface m<diile qui contient cette caractéristique,., déterminent par leur intersection^ un point de la ligne de contact de la surface ' enveloppe et d'un cône tangent à cette surface.
Du cône tangent à une surface réglée,
III. Avant de construire la coutbe de'contact d'un cône <vu d'un cylindre et d'une surface réglée, rappelions ce qui a été dit (art* 1 44 ? i»v. 1*'} sur le plan tangent à cette surface. On a fait voir que- ce plan à la fois tangent et sécant, coupe la
GEOMETRIE DESCRIPTIVE. i8q
surface réglée suivant une courbe qui contient le point de contact; et comme ce point est aussi sur la droite de la siu*face par laquelle on a mené le plan tangent, l'intersection de cette droite et de la courbe détermine sa position.
La surface réglée la plus générale, est engendrée par une droite mobile qui s'appuie sur trois courbes données.
Soient Afi , A'B', A"B" trois courbes quelconques d'une surface réglée ( pi. 5, fig. c)\ la droite mobile prend successivement les positions AA' A", BFB". La droite kklhl' rencontre les trois courbes données. aux points A^ A', A-', et si l'on mène par ces points les tangentes kk, M^j k'h, la surface engendrée par une • droite mobile qui s'appuie sur ces trois tangentes aux courbes données, est tan*gente (art i33, liv. i^') à la [surface réglée générale suivant la droite AA'A". qui leur est commune. Les deux surfaces se touchent suivant cette droite, parce quelles ont un élément gauche commun kkK*add\ Nous avons démontré qu'un plan passant par la droite AA'A", et tournant' autourde cette droite, était dans toutes ses positions tangent à la surface réglée particulière, qui a pour directrices les trois droites AX:, Aï, A-'A; d'où il suit que ce plan est aussi tangent dans . toutes ses positions à la surface réglée- générale , et pour chacune de ses positions, le point de contact est le même pour les deux surfaces. Ainsi, ayant déterminé ce point sur la surface réglée particulière que nous avons nommée hjrperboloide à une nappe ^ il l'est aussi sur la surface réglée générale.
L'hyperboloide tangent à la surface réglée devient (art. 1 349 l^v. i^**) un para* . boloide , lorsque les trois droites directrices de la première surface sont parallèles à un même plan.
1 1 ^. Connaissant pour chaque position de la droite mobile génératrice d'une surface réglée, l'hyperboloide ou le paraboloide tangent, le plan mené par cette droite et par le sommet du cône, tangent à la surface ^ touchera l'hyperboloide eu le paraboloide en un point qui sera déterminé ; ce point appartient à la courbe de contact du cône et de la surface réglée générale. Lorsque le plan mené par la droite de la surface est parallèle à la droite génératrice du cylindre tangent, il touchera rhyberboloide ou le paraboloide en un point , qui sera sur la courbe de contact du cylindre et de \dc surface réglée. La courbe de contact du cône ou du cylindre tangent sera donc déterminée. Dans le cas où l'on ne connaît une surface réglée ique par la loi du mouvement de sa droite génératrice, et en supposant que les tangentes à cette surface qui déterminent les hyperboloides ou paraboloides tangens neso^tpaç données, on peut encore construire la courbe de contact , en remarquant que le plan mené par le sommet du cône tangent et parla droite de la surface réglée, est tangenJt à cette surface. En effet ce plan, qpioiquie. tangent, conpe toutes les droites de la surface réglée, placées de chaque côté de. la .droite p^r laquelle on l'a mené ; or les points d'intersection
igO GÊOMiÎTRIE DESCBIPTIVIÎ.
(art r44, Uy- î*'') forment sur la surface une ligne dont la tangente est dans le plan de la courbe ; donc ce plan est tangent au point dé la surface où h, courbe et la droite de cette surface se rencontrent , puiscpi'il contient nne tan» gente à cette courbe, et une droite de la surface qui est sa pîx>pre tangente; le point de contact du plan tangent est à Tintersection de la courbe et de la droite de la surface. D*après cette considération^ on déterminera chaque point de la coirrbe de contact d'un cône ou d\m cylindre tangent à une surface réglée, par l'intersection d'une droite et d'une courbe construite par points. La détermination de cette courbe , au moyen de l'hyperboloide ou du paraboloide tangent , est bien préférable , puisqu'on trouve chaque point de la courbe de contact pair n^tersection de deux droites.
Si l'on demandait le cône tangent à la surface enveloppe de Tespace que parcourt une surface réglée , on déterminerait pour chaque position de la soifface réglée mobile , la caractéristique de l'enveloppe, et le cône de même sommet que le cône demandé , tangent à cette surface réglée mobile; la courbe de contact de ce cône et de la surface mobile rencontrerait la caractéristique de l'enveloppe, en un point de la ligne de contact de cette enveloppe et du cône qui lui est tangent. ,
Des points limites de la courbe de contacl d'une sur/itce donnée et d'un cône ou d'un
cylindre tangent à cette surface.
ïi3. Le mode de génération des surfaces, en détermine la forme/ et lorsqu'on demande un cône ou un cylindre tangent à ces surfaces , on les suppose prolongées indéfiniment, de manière que la courbe de contact ait toute l'étendue dont elle est susceptible. Cette hypothèse convient aux généralités de la géométrie; mais les corps éclairés et pour lesquels on demande les lignes de séparation d'ombre et de lumière, sont terminés par des surfaces qiii ôrit pour limites les arêtes ou les lignes communes aux sur&ces adjacentes, et on ferait im travail graphique inutile, si Fon construisait les contours des ombres portées , ou les lignes de séparation d'ombre et de himicre, hot* de ces limites. Pour éviter ce travail, on considérera chaque arête de la surface d\m corps de deux manières, 4*abord comme la base d'un cône qui^auraît son-sotnm^ au point lumineux, ensuite comme la ligne de contact de la surface du corps, et d'une surface développable qui serait le lieu des intersections successives des plans tangens au corps menés par les points de l'arête.
La surface du cône lumineux qui a pour base l'arête du corps , rencontrera les lignes qui portent ombre sur ce corps en des points ; et les rayons de lumière menés par ces points , couperont la surface du corps en d'autre points qui seront,^ sur l'arête de ce corps, des points limites du contour des ombres portées.
QàOUÉTtilE ]>ESORIPTIVB« ^gi
'. Ayaûl meiié par le point lumineux un plan tangent à la surfsice dévelpppabie qui pa^e par i'aréte du corps, la droite de contact coupera cette arête en un point qui sera une limite de la ligne de séparation d'ombre et de lumière sur le corps.
Si le poûfit lumineux est à l'infini , le cône lumineux qui a pour base l'arête du corps proposé, se change en un cylindre dont la droite génératrice est parallèle au rayon de lumière^ et le plan tangent à la surface développable, est aussi parallèle à ces rayons»
. Nous ferons l'applicution de cei paropositions à la détermination de l'ombre -d'une vis triangMlaire.
Ces préliminaires posés, nous allons d'abord considérer les lignes de séparation d'ombre et de lumière sur les corps simples de la géométrie , tels que le polyèdre à faces planes , la sphère , le cylindre et le cône droit , et déterminer les ombres portées par des droites ou par des cercles donnés , sur quelques-unes ^e ces sttr£aices.
§ ly. BU TRACÉ DES OMBRES LINIÎAIRES.
De r ombre ctunpolj^èdre a faces planes.
T 1 4* Lorsqu'un polyèdre est éclairé par des rayons de lumière parallèles entre eux, l'ombre de ce corps, ou l'espace quHl prive de lumière, est un prisme dont chaque face est dans un plan mené par une arête du polyèdre parallèlement aux rayons de lumière. Le système d'arêtes qui forment sur le polyèdre la ligne de séparation d'ombre et de lumière, est déterminé par cette considération , que chacune d^eUes efl^t l'intersection de deux feces , Tune édaîi^ et l'autre dans l'ombre , et que ces faces sont placées du même côté par rapport au plan qui contient Fombre de rareté. Si par un point quelconque d'une arête de polyèdre, cm mène une parallèle aux rayons de lumière , cette parallèle ou son prolon* gement sera dans Fangle des deux faces dont elle est Tinlersection, ou en dehors* Siàns le premier cas , les deux faces seront ou éclairées ou dans Nombre. Dans 'le second cas , Tune sera éclairée et l'autre dans l'ombre, et on sera assuré que leur intersection appartient à la ligne de séparation d'ombre et de lumière.
Les faces du prisme d'omt^e étant connues, on cherchera les lignes d'intersection des plans qui forment ce prisme, et des surfaces planes ou courbes qui terminent les corps dont la position par rapport au prisme est connue ; ce$ lignes seront les contours des ombres portées sur ces corps par le polyèdre. Leur construction est une application très-simple de la géométrie descriptive ; et pour en montrer un exemple» nous supposerons qu'il faille trouver l'ombre
d'une cheminée sur un comble. La solution de cette question se rédiât à trouver Tombre d'un point et l'ombre d'une droite sur des plans donnés : or, Tombre d'un point est sur la droite menée par ce point parallèlement au rayon de lumière, et l'ombre d'une droite est dans un plan conduit par la droite parallèlement à ce rayon de lumière, en sotte qlié là droite étant verticale, le plan qui contient son ombre est aussi vertical ; dônfe les parallèles au rayon de lumière menées par des points donnés , et les plans parallèles au rayon de lumière menés par des droites données , rencontrent les pIShs ou les sur&ces aussi donnés, suivant des points ou des lignes qui détermin'éilt les ombres des points et des droites , qu'on suppose éclairés par des rayons de lumière parallèles entre eux.
De Combla d'une cheminée sur un comble. (PL i . O.)
11 5. La cheminée porte ombre sur un comblé de bâtiment , et pour décrire le bâtiment, nous le rapporteroqs , suivant Fusage des architectes, à trois plans, l'un horizontal, qu'on appelle simplement /^/o/i, et les deux autres verticaux, qu'on nomme élévation ^X. profil.
Description du bâtiment, {Jig* \j a, 3.)
11 6. Le plan de te bâtiment [Jig: i) est un rectangle ÂBCD , dont les côtés AB, BC, CD représentent les faces verticales extérieures de trois murs droits. Le long de ces murs règne une corniche dont la saillie est la même sur les trois faces. Les filets extrêmes de cette corniche se projettent sur le plan (y%-. i), suivant les droites ËF, FG, GH^ La portion de corniche correspondante au petit côté BC du bâtiment se termine aux deux plaitt verticaux ^ dont les traces horizontales BF, CG divisent en parties égales les angles droits EFG , FGIL
Le comble du bâtiment a la forme d'\m prisme, dont les arét^ soni horizontales, et qui a pour base un triaqgle4ont le plan est incliné parjrapportau plan horizontal On nomme en charpente œtte partie triangulaire du comble, corres*** ponds^nte au petit côté du bâtiment^ croupe droite; l'autre partie, formée de deux plans également inclinés par rapport à l'horizon , se nomme long pan. La droite intersection de ces plans s'appelle ligne de couronnement du comble. Le triangle KMN ijig' i) est la projection horizontale de la croupe; les trapèzes IKLM, IKON sont les projections des longs pans ; la ligne de couronnement a pour projections {Jtg. i et a) les droites IK, l'K'; les lattis de long pan et de croupie se prolongent jusqu'à l'extrémité de la cortiiche. Trois surfaces- cylindriques, telles que(NMFG, N'G') (^g*. i et a), raccordent les plans inclinés 4es trois lattis et le plan horizontal supérieur de la corniche. Le raccordement se fait,
r'siMT la corniche, suiyant les horizontales qiii ont pour projections ks droites HG;GP, FE (^^. i) , et la clroitp unique GH' (^g. a); a* sur les pïans des lattis, suivant les horizontales dont les projections sont ON, NM, ML {J!g. i), et C/N'
Le comble est traversé par une cheminée, dont les quatre faces verticales, extérieures coupent le plan du lattis de long pan , suivant un parallélogramme qui a pour projections (^g. i et a) aicd, dbdd. Les côtés cuL^ cb du parallélogramme abcd^ prolongés , coupent la projection horizontale KNG dé l'interscc- ' tion des plans de lattis et de croupe, aux points z,^'. Élevant les perpendictilaires zzj 9^ à l'intersection des plans de projections C/%. i et a), qui coupent la droite K'N' aux points z', ^', et menant par ces points les horirontaiès £hd^ vdc^ on aura ia projectiop verticale dtfcd qui correspond & la projection hont^ontaie aJbcd de la section de la cheminée par le plan du lattis de long pan* '
Lies quaU^e faces intérieurj^s coupent ce plan du lattis suivant un autre paraU lélogramme, qui a pour projections {^Jig* i) a/9>J^- Le bandeau de ta cheminée a pour projection horizontale efgh {Jîg. i) , et pour projection verticale {^g* 2 )
Le comble et la cheminée étant éclairés par des rayons de lumière parai* lèles à la droite (ST,.ST), oh^ demande i® le système de droites qui séparent l'ombre de la lumière ; a^ les ombras portées par les lignes de séparation d'ombre et de lumière , sur le corps de cheminée et sur les trois ^lanfs du comble qu'on nomme longs pans et croupe , plans qui se rencontibent au point (K , K') de^ la ligne de couronnement (JlIi^KT).
Lignes de séparation d'ombre et de lumière sur la cheminée.
1 1 7.' Eafaisant abstracticm du creux de la cheminée et de son ouverture supé* rieure {afiyJ^^ ^jT), ^ bandeau est un prisme plein, qui a pour projections horizontale et verticale les deux rectangles ç/^A, e'f^H. La ligne de séparation d'ombre et de lumière stir ce prisme, se'compose de'la verticale (A, A/^), des deux horizontales (4^/')> (>^» ^' f^^ ^^ ^^ verticale {e^eg), et des deux horizontales (^eg,^)j (gh, gfk'). La ligne de séparation d'ombre et de lumière sur le corps de la cheminée , se réduit aux deux Tcrftcales ( a^ a' a" ), ( b^ bîf. )
Ombre du bandetm sur la eheminée.
i i8« Lé contour dénombre que le bandeau porte sur la cheminée, se coippbse; de l'ombre portée par le& horiiaontales (f A, gh >, {eg^if) sur les faces verticales èc, ca {Jig. i) du coffps de la cbemiftée. En œeôant pw le point g {fig. a ) une parallèle âr's à •» projection. verticale SX' du rayon de lumièfe, elle coupe la
G£OMiTBIE DESCRIPTIVE.
i point ^9 p taie (é^f/ê^jdu L'ombre du point ( h-JT'i hir') au rayoii (le liimieré' x oV^ fece
lrerti(
fc/fcf. i) dû côrbs dé cKieimnëè. ^ ' ' ' ' '^ "/'/ ^'"'^'M '^•'" *'"'! ^""•* -"' "' '-"^ "j
' ,i • ■' -'. M 1-1 altitaosnoH noilo-^ioiq woq G j*j(jxni3if:> ol' îjioo îil croupe. Cette is^t^ p^\m%i^f>^^ ^j^xs'^ 6Sê'J^9ùft»t»Mii<if«*J|>WîW
plaq de croupe au ^m^{jy j'i^ç lwk^!tfiî^hfëJ!;>(<è^ W^^ ^^^^p^^M rorobrequiest pprtée pff4'4WH2^«»Jfe^Wé';il[^ J^/»lff«f PteJl^^t-itloiirtfi* projection hQrizoptale ^sf, ;i9,(efeo%lbI<i§»ft#^&îi^(fil»l<«^ifiWJ>f.}f ^|9^ MN'au pointR de la droite M])<^, quon détermine en nièi^.i|^]pa^.l^r|f(i^^^ç
rhorizontaïè , (^A ^/K ) .pf P^pj^ ^, p^f qf (^^'à,.»^^«ffl«!U^(fy» i/k:v^\k-
la projection hprizoû^tate ^;r 4ftÇ^^ieM^Wt^'F9»pite^%«¥A?Wî^HW^'^ Vombre de^Ia y^C2XeXl^^]l?^^\lfei[^y^^e^^j§s^fils^^j^^
qui.rcnçont^ H, 4r?^P, .'^7<iPfplWW^« rft»i BW5? alî^MBï'Çftmi^toRFR'lfl**^® èpupe la droite ^A;?^,I?PHï^^p <îf^<«j<?ffPFMfflM^KW»iÇ^?ffifrff^H**^^^^
çjoirt //R est,. la, ppjçetipij„%^n|^e,3l,eg ttS^-Mi Û'^i^Û
oinbre$. q^^eiIps pôf;tep,1: s^fj îf ji4ftft^f.4ft4^i?fi^f .^ftRçiî«ïtf ff^^S**.. .. projections hori^piïtal^^^^fi^,qr9Jtjiç^.^^ç,3JS^
^? ,!'kçpK^ ^f^lçç^iwifofl^^^Vm^ lf»^^f^^ jÊ<(^i^R5 AbJkéoiff ^iî^.-
CEOMETRIE. DESCHIPTIVï. ,^5
est la proieclidiihonzèp^ale de 1 ombre portée narl^^ siirlé^latfU
rayon de lumière, s
f^.^.^":?»li« C^#) Pr,^ f î^f^rf^oMafff 4?Ç te'« fl«.»«"ê; pan . et, pour
du lattis dé long pan aut p8ihtlr{«, «),(«,• )• ta, droite j-j» Ç^^.^,) «^Oiqpe 1,^ droite ca3 au point a, extrémité de la droite a3, projection tiorizontaîe de l'ombre de l'arête vertia»le><<«» e(g\}.Atfi^n^m^ H9,UkVimbit ^ kL\«éiHcale (a, «'a') du corps de cheminée a pour projection horizontale la parallèle ai à ST, et cette p*àBêlè'<feiiiSe-fedr<fiiië tff '*i'j)Wnf>i'|«^ftiirïidit\ue le contour deVomire
layiff.'^rY» p''^i'j^'-3rj^noia\tun^Krv9i egai a ceiuides deux' lattis dé long i^À; 'be'ieéttiiil yank^âé phjeikb)é'Ùéi\^bl^màiisiiliiK- et ii6ùs'-à'«in feront M?èkejlië4J«« A^9flftlMQ)^'^te>*ti3flèrté^ c^^^'omatià lés pï^ns àé proi
péiâii^j^à^ 5^^ iàîÀ^Wi S^'V ^^^nt't:^^, ») . honzonl^le 4'
pondent cnprojgi»iétlJ4i«lfcfl«j5I^Ja5t«iiIiéttMaë©W/jt/;'i'dù triabirfe'W/t'
1^ Pour le plaix de lattU 4e croupie) JM^HT, {jfig* i ) 4-#.>*.***»;' . 6.K1', {Jig. a).
a° PourleplaadelattiSr4«Jopg,p^p l|LIft5î(jyî5g-. %).. ydéçiXl^^Jig. a>
3<* Pour le pian de lattis ^lppgpUliI^JiJyï|{^., I)^ ..M.*.f .A'>.V3'4;(^. a).
On aurait pu déterminer rhorizoptalc..4'3i'(i>^g^^ja) ^p^^e serTantî du profil (./%• 3) , sur lequel on a projet!^ le rayon dp Jqpaière,(Sl, ST {Jig. i e^ a) suivant la droite S'T'.L'horizontale(ç/;^/') éfapt.proje^^e^ui If e^ profil a^^ é'Ji' à S T', coupe la jdroitç % a^ .point ,4".s jfnée |SU« Vhcffisç»)^^© UX prolongée La projection horizontale de ce poj^^t 4''i^^»f.,^(i/%'if^)rla.p^'Wi*»I&vnienée par le point û>se confopd avec la droitç,3^-;. . ; . ,, .h;i. .| » I ^^
De r ombre (Tune seconde cheminée (JT/JT^, (fi^. iahl'ib, pl^i* 0.)surïepùin de
lattis de longpaniîKNO, ftNaaSg. 1 ^/a) (i)! '"
I a a; La cheminée (X,X') et son bandeau étai\t donnés dié forme et déposition, on détermine l'ombre qu'elle porte sur le plan de l'un des lattis^ de long pan, «n procédant de la méibé maùiètey^ pèutlà pt^xtfîèil^ cliêkhinée. Après avoir reconnu les droitfe^horiaoîîtales et Vertîéales V qtfi tei^îent Islli^e de séparation d'ombre et de lumière, oh cherche Tombée âé ces'(ht>îtes srut le plàh de lattis de long pan ^ elle corttour>éefcei«yotflJh*'ëst*eri^jcciioh'hoW2ontâIé(;/%. la) ai ia345678*,«nprojecKôiïT*rtiéirte't;%^/'l*)tf*V^ye'53ViV^^^ ' ' ' - Pour construire ceg pipjéetioitëy^bti'mèrie ^ht Ffiorizontale '(/»,'y*) nn plan parallèle au rayon de lumière , qui coupe le plan du lattis de loAg pan suivant la droite (/W*; in*).Lè8pûrall*les^^6,>!i5 k'ST}{Jig. m) intej^eeptciït sur la droite mk le coté 56'de la pBrojeolioi4^horikwwtQlëjîa^<^^ de la chemi-
née (X', X'). • - ' ' '. MM ..' .:.^/^ î '».'.■• • ..- . : » »
. Un second plan par allèleiati^ rayon d^ twitrièt^ , mené par l'horizontale (^/k , A') , coupe le plan du lattis de longpah'suivanf la droite (A7', /7); le point 7 (Jîg. là) étant déterminé par la rencbnlo^de la^droité A6, et de la parallèle 47 à 56, on à .67 pour la projection de l'ombre de l'arête verticale du bahdeau (fc,y*A'). Les parallèles 53, 4a, et l& ,'eoilpent Ift^araHèleà ST menée pat» le poinVè^^aiix points a, 3 eitrémités de Im prejeetion »3 «de l'ombre de Id verticale (è; c^^) du bandeau. Menant les parallèles tfi,"*8 k ST, là ^parallèle af à' 56; et !â parallèle 78 il 35,. on à la projection horizontale totale ai a3 5678^ (y%-. la). '; Le prisme vertical abcd {Jig. 1 a) du corps de là cheminée coupe le plan du lattis suivant un parallélogramme dont la projection Terticsde {Jîg. j A) est a'bcd\ Les .droites ^, ch {Jig. \d) étant prolongées jusqu'en NK, et les points de rencontre
. .(i) Les fig, \a et lé sont traeëes «ir to ptani àes'/^. 1 el*i; on les' âïstiîigue par ïes lettres a et &, parce qn'oft te lert pouf? rcxiflie*licm4e€as figures de leilies ou- chiffres ^jà empîoycs 4aQs Ica^f^. i et a.
«tantmis en projecttoayertioâle siir dadic 'autres *pomt8 delà drmte KTî' (^. a), les horizontales menées par cés^ derhlers'poiilts*, conpent les verticales à/f, bbr {fig. li) aiiK sommets al y Hic y i' ^M pa^Uëlôgfamrtie a'bcd\
Les verticales élevées par les point$ ['S, 6; 7, Jî^, ta) et projetées (y%. x6)^ coapent'le^ dfôitte/'A^, AY aux pdiiïts 5*, &;j\ MenàM Thori^ontale 7'B' de roéftie longueur que 78 {Jig. irf)> ^* joignant Ites points d\ 8', la droite ctS' est la projection verticale cow-espoftdahte à là projection horitontale M (J!g. la.) La parallèle a I ' à rf*8 'J^J I à) contient la projection' verticale l' correspondante au point 1 (Jlg. la.) Laparallèfe l'a' à y6'détfermine le poiiit i' correspondant à a (jTg.id); la parallèle a'3'.à d'8' contient la projection verticale 3' correspondante à 3 (y^. i/i) ; menaiit Thorizontale ^^\{fig* 1^)9 pn a pour la projection verticale du contour de Tombre portée par la cheminée ( X, 1i!) sur le plan de lattis de long pan, U/igure (<fd'ïïf&i'^!^'iWtf.) . . ...
i$kà. Popr cpmpléter,V€a^^catipci4eU>prQ«iàr9^ avpbtWy qou$
n'ayonsà oof»id^r qp6.1!oop)3)ff(dii.l^^ et-I'oiahre
lie la corniche t^xxr uae bf4 ^lair^e dM wMf. /t . < 1» >j.
T^ face du mur GO («/%* UpL .FvO«)jqui.esfi ^méft^^t .ht lace à angle droit £B qui est dans Fombire^se coupent jfuivant.uBe vei^oaleC, qui porte sur le plan horizontal (/%^ i) ^J'ombre CC' parallèle à &T, projection horisontale du rayon de lumière. . • . » ;« v ,.. ,1 . . .
L'horizontale de lacoriiiche (GH^ •} i'«ia{) (Jtg^ i^eta) porte on^e sur la face verticale CD c^u muiÇj ft ^e contour de.J'oipbm estune autre horiœntaLe qu'on détermine en menant par un point (^, ^' ) de là première horizontale , uneparalr lèleaurajonde lumière qui cpupe le pfeu vertical CD au point (lo^io'), dont la . projection . verticale (Jig'^) est 10'.. L/hoviaontale io'.i3 est la projection verticale de la limite (^e l'ombre portée pai>.la»<cofiM8be sur la face verticsde CD, {Jig. i) du bàtîment* \ . ... .^ .1 ^ 1 r» •*•. ...
Cet exemple siil^ pour /aine jv^ir oomiBc^t on» fl^tenamerait Tombre d'un polyèdre à faces planea, quelle^ que lut la posîtiodadeiteft arêtes par rapport aux suifaces qui roçoiveat les on^f^ .pi^es par ci^il ^^^
OMBMS 'B^UITE *SfPBiRB. ^M. 2.*0}.
ia3- Une sphère suspendue à l'extrémité d'un fil, est éclairée par des rayons de lumière j^aUèlês; cax deioandelaligM deséyaéatifMi d'onbre et de lumière sur cette sphère ,etle contour jdeJVnnfail^ qti^ette porte sur un pian horizontal clonné(/i/. 2. O)?
Soit XY (>/. a. O) Ià-U^(»<ëVfftWte*t«3tfïafeSJA^
quels on rapporte arièipfaètè*%'?ây61i>Jlff/'ae»hl^1é'«t^£kHi' j'|ikt'^^^
les points A, a.i:a aMiri(^'èè'\à''^M{&k ëkté^i^èi^miié'^^tàlStûi ^to^ec^ ti6nsL,fa'utl^yoril6iiiîuiiu!£l"^'snoilfi.i..(..lin«,^l;,AîiKv.../y ■!.;<, .; '
On sait (art 106) <|tte'Hti»gii^^^âë^^ki'3'ti%»<î^ ë^a^HkinHrè'^i^fe spbère, est xvù ^tsnd^ërt^è'âd^lg ]^W'W^ë^el^ifcàti)^-l/'Ik<^lu%ci9^B'deIù^ mière. Pour construire ce'^é^^;{<Al^rfÊ^rté' Ri!<^kéSr^<à^'^''âéM4ki(i'» vertical dfe ^i^Ôj^«ft>ifeV''«Aft^^fiii^ti^^iQPY'iM"W'ja{to'^ftft*ièoA*ï'tt<<Ii^^ lèleèla projécH6h ho^àU^ {i'(e^f^lî>)dï^l^«d>!i'ôil'^i^Jétiè'itii'^'^;ifl le centre de là spbère ët'la'tiki^âèlê lb¥âWl]^ftinfi^a%«fîè'^ti^r^èë'éeâl^ Cette paraHèl4 i:oÂi<e Itf pl^A'^HiSblHàrik-^m îi^Wm^Hki'^^kiaiica'^ laires Aa'fetlW' stir XT^fi^«à4W'Jï'rf>=ëaJt';^'titfi^*a^^fe^àti^i^i^ËAS^é» aW, dont les côtés <tJ%<â'& ià^f; TUA j'trrié'ffti'àHèiyûi Wj^o^fci»inelik't»à'^iit' par le centre de la sphère , et V!aii^ ^'w^^p^callèfe à la projection horizontale AD de ce rayon. La perpendiculaire ea'fz»x côté a'd\ menée par le point a' déterminelfthgaeidea^pànBtMiv'^iiihte^Wi liHni^iftai<i9S|ih<iBi6eïl0<4i|[riè est un grand cercle de la sphère du di;dmitrBtf/^ dont le plan est perpendiculaire au plan vertical X'Y. La projection horizontale de ce grand cercle est une ellipse qui a pour grand axé le d^^^ry^lf^WWfVaM'^^iéè ^é'iPpS^^tifit ^u
construira ce? points de 4a ipaniereiwîvantei ■• ', , ' ,.
1^ Constructions des pomuxL trae VjsUwse etghjfof^lesauêis lesÂingentes sont
■ . •• "> \,- '{ ,if^i) !r ,8,«niinifl^.> înoe ?i.^'\j> ')«qilfo'l ah 's ,'<* "^fn <><j
la spùere, a pour pioa^çpi .spr œ m^J^mo^^d\fi^%ifél^'^''^'^ry^ tpurnerce cercle au^w,a< sa ^^c^l^^^u^^
(V^.ik)M'm^f^Pii^¥if^\?iSf^B6\^}A^ points p et y du
gïw4 c.Ç5^-TOr»î-**Hji«8»t««'idR9P,W.<rfî?^f .j^Pi^-fiftf^ les .tan-
geptes^' jf6f«?Ç<i^e^t>fl^Wèi%^|^dfiqitfi,PF^>^RiiM[h j^ dj? ces points,
sur le plan X% sont ret j, sur le planiiomont^Jl^^^l fi%M1 Ifi pl»n verti-
( î^!*-.f,ï«MYD*'ï)il^#ifS:à{Wwiffa*/^îLf^ Bf'ÎÇfefl'èfiî^'tJfii^i'^Ç ?st le grand
îJfl^PÏ»Pftfto§lW»«l^%?ï4ij»»YgCcl^^rJSd}Hftflint^ peïjjrt, av^c
«ft l^«iS? lfô|<^^llé<lÇbRÇÎi!fâjpÇF.f?l^%H? ^Jft,«^\^?»e^ wmtenus dws les, P*?ffa ,^*OT^^S§/ff§^nBHrf^omîl 5lÇfïffi,4l»rPl»P f «T*iÇaI XT; r et r', 0\\^(Ç^^q^Çf^yBiP^m^®?« Tfiîîiî'ill*lSMrl?ftMî'ffi;P|'«»X!X» XT, des méwe» B?WÎ5*»onç!ft%?^'#«¥i5''W%6 et4ç AMWftÇrfl»'^» ^ r»prts ^vpir n^ené les
.. Jia(j([ ol iBq oàflsm j'V» àlôj i;B'\r)'b oiif.liir)ilni')(['r>(| i.i ■. . ' j «« . ,; .;,
'iiir.]ii-)i\;(i^rp-iq i^o nfilq al lirob ,\vânOsalÊrI) ubriiu!'!*- s.', i t.-'ilil, > :»riij Ja'^ol'jiso biiKiyao yb olr-liioxiioil fioi)o''in'i ! "■ ' > |.
j»7J]i;TÏTosnuiTTTonDT>lO^^"^I7r3jrmD BF^X^ y' Y" ' . 'V '
BÏ!ff«.W^^î(fiti»fffiMB!ftft4s^«flîî.^fl'iPM#«^^^ en.
¥.taft'i)ft<WW^f^8l?%,*,ii^è§^!S^f^fimÇÎ#l^^'t'?p ? on obtient cette ';P^KP*;K^W^*^^ W'^^-^^ife^^l'^'^'Bfe .^^"îi^l-^Ç^^f \f9'. Elevant ^Ç*rj?W»i^?f>??^4% ^f^'^^r^'^B^^n^^^W illÇ^ffl cercle de la sphère,
dont le ccaitrejsst en a', le^ ta
section^ /^>^', sont évitleniment parallèles a, la droite aQ r or ces points tt? ^ ont pour projections sur le plan vemçal XT- deiix.-pointsf' et z du diamètre ^fljiQWM>ntk la même distance du centre a: donc si 1 on mené par ces dermers ppiots deâ plans honzontaiix, 4$ couperont la spnere suivant deux cercles quioBtDour nrojecuonSiOprizon tares un cercle unique du diarpetre connu 5^b, ou 7j&8. Ce cercle étant cçmpé.pâr Tes Perpendiculaires fV» zL a XT, aux points et /^ ces points sont Tes projections horizontales des points ^, 'Tt de la sphère. ' Elevant les perpendiculaires Y/, zi" aXY/les distances dés points /, z'au dia^*
connues des
que. les points y les tan-
^0<% GiOMiTmiB .DESCRIPTIVE.
pour traces sur le plan vertical XY^ des horizontales i/if\ zz" qui coupent la verticale A a aux pmnts i^', z , dont les distances au centre a sont ésnades entre elles
et de uiéitte longueur que les pèrpendicutau'es abaissées du point a' (plan X'Y) sur rhorizontale 5<^ ou 72S dJfCcefifKA..? "^' i v^ » c\ u. r
3**. Constmetion des points ^y'i' de j|(#îwa qtfitji^iyy <4>rf4!^iyy^ les janffçKfes sont
I ^6. Les plans iiorÎEontaux nen^s par les points Cy/'àu pl«q vertical TY cpupén t la Sphère suivant deux petits cercles du diBmètrtJii^ dont la projection horizontale est un cercle de même châmètre déçnt du point k comme eeotre ; ce dernier cercle est coupé par la parallèle ÀD k la projection horizontaleX du i*ayon ide lumière aux points Br, F ; les points (£» ^) , (F»/) ont par hypothèse pour projec* tions verticales sor le plan XY, les points e^f; doiic si Ton prend a^ bM at' égale à a ^ ou di , les horizontales iV, ^/^ et les perpendiculaires Ec', F/' à XY se rencontreront aux points e\ /'A^ Fellipse projection du grand cercle de séparation d'ombre et de lumière sur la sphère. Mais les tangentes aux points (E, e), (F, y) de ce grand cercle sont, horizontales ; donc leurs projçctions f9\ et' sur le plan vertical XY le sont aussi.
Considéi^ant le grand cercle de séparation d'ombre et de liùnteresùr la sphère,
On construit chaque poinf d^^ç^e^te e^ipse., en menant un rayo^ lumineux par un point de la lignç ^e séj^^uf^pn d^ombre et .^ lun^ièfe, et eii prolongeant ce rayon jusqu'à ce qu'^l^çpupp.le pl^n tprizibp^^ [^ \ ; •
j>z l'bMshB Éà Kit*s'Dà'i?Rcin DR iM^. (Pi '3.;0/)i» ■
1^7. Le puits ittiitt^îr^^^t^nae cp^:g(v^ipn .qui a la ^gurp d'un cône tronqué renversé. On donne au diamàf^^^rp((riçj^l^ djffeipètres, à rinftrienr trois , et
à la hauteur^ dix-sept, j^ç^ . teri^|prpyeiianies 4» 4^^.^ ^^ relèvent sur ks lèyres du puits avec un talus suffisant pour qu'elles ne retombent pas. Dans le'lén J de chaque puits, on 'enfonteeii* piqtmt ffnrt mèli»è^-<Jn fetagrièur, très-poîntu à reltrémité supérieure, ;I^our SiBïil«ïfr }^ pi^ts pîiKtaires à If^fSp^e^é^^ ou-^ vrages fortifiés, on les di^qç^i^^l^oÂ^'iûLi; q^i^tf^ r^^ p^i^lèjes en,<çimconce. Ayant tracé de% triangles é<;(iiiistj^^ux dei sept mè;ti;^f (j^ Ç^jf^? ^^ extrértaités et le;» milieux de ces côtés 3C)pj^ l^p^f^^ ^tf^^^^ \^^iT^^^^i%^^^, ^ intervalles des puits achèvçQi; ,d/s xpi^dre .lj& tprrftin, assez irr^lier pot^» tj^oe les troupes^ infenterie ou cavajcjrf^ jie pui$$e.nt.pas s'y former/(yoycÈ te Trffî^ éCAri mUiiaire de M. Gay de Vemon. Paris ,. f 8o5 , page ai^S. )'
\Tant de tracer le^onilfmdo pvits cooM|»e (J^. i) , nous considérerons deux autses excavationfl) Tune^niMpliénquei^. 9, et Vautre cylindrique ^y^^. 3-
' ^ De rexcMoiùm hémi^jphénfmf. {¥i^. ^^ pi. 3. O.) ce centre un rayon de lumière (AL , «/), leplaÉai vertical qui passe par ce rayon y
horizontal fiDlÇF de'^a spliere comme Va base d*un cylindre dont les àrétes sont parallèles au rayon de lumière ;;br ce cylindre coupèfà là spKère, suivant un autre grfind cercle (a^rt.' 109, Jlv. i^)," dont le plan passera jpar les points E, F du tnHsième srana cercle gui ser^lit, âur'la spnere/Ia ligné de séparation d'ombre et de lumière; mais ces l>omts sont les extrémités du diamètre £F perpendiculaire au diamètre BD du cercflê, tiorizontal.éBEF; donc le grand cercle; intersection de la sphère étdu cyliqdre; est dans un plan perpendiculaire, au plan.ver-^ tîcal AB ou X Y, mené par te centre dé là sphéf e paraHèlément au rayon de lumière. Pour . déterminer la )race ac de ce pian ;sur le plan vertical XY, il «suffira de mener oar le poin^ ^ une paraitèle"^ 4t ^4 droite o^; cette parallèle^ coupe le demi-cercle ^t/au jpoïi(t c i paV lequel On ipèiie là trace ac^ [
îjt plan de l'ombré dii bor^t ÉBFti dâiis Tintériéiu* de l^émispbère, ayant pour traces sur le plan horizontal la clroite Ëï", et sur lé^plan vertical la droite.^, ilcoupe rhéïoispbère siiivaiiit ûu IJeÀ^i grand. çercYe'dont la proje<^(ion borizontale est la demi-elU[^e ECP* Cette jEiUipse a pour gi^nd'aise le diamè^ £F, et pour demi petit axe. la droite ÂC, projection horizontale do rayon ac du cercle iod. Prenant sortie cercle horicontal BDEF UA-|Mttt quelconque (M, m) y et menant par .ce point unepat-s^tèle {US , 'mn}% m xêytm ^ luinière , la droite mn^ pro^ jection verticale de ce .rayon, coupe la droite ac au point /i, d'où Ton abaisse la perpendiculaire nH à XY, cjui cOupe les drortes MN, Itf'N' parallèles à AB, auix points ^^ If de Tèllipse £CF: Le cercle (£CP , ac)^ partage î'bémbphère en <ieux parties f BC£F^ àèce)^ (DÊCP, adc) , Tunèdans Tombre , et Tautre éclairée.
De rexcaçcuioncxlindrîgue. (Fig.^^pLi.On)
lag. Soit BDEï*, le. cercle horitàkita! / basé d\in cfyfindre vertical, dont la: section par le ptan vertical BAD par^lèle ab Myon de lilmi^ , est le paradlélo-^ graro'm^ èi/àd ^ dans lequel on 'aiie/i:=:d'«/= BAD diamètre du cercle BDEF. Le cylindre qui a pour base ce Cercle ^«et dont les ai*éles sont parallèles au rayon de. liimiere (A L , dl)\ pénètre le cylindre verticail suivant une courbe platle (art 1 90 , . liv. I ^') , dont le plan passe par les points E , F dei droite verticales qui formtntsur
eylÎAclM la ligne de séparation- d'anbre et de lumièM. MaU ces "points sont les ^tFimi%6ê du diafx>èti« j^ pei^ifendîoulaMreamxlmaiètfe K) ^ eerele hori*^ zontal BD£F; donc l'ombre parlée «par ce «cercle sur le cylindre vertical, est dans^ un plan pèrpendûaiiaire à. celui du paraUélo^anune bb'def. Pour déterflâner la ttace oc de ce plan , it stiffit ^ -mentfr U' panMèle àé k la projeetion yartieale al du ray^n dfe iuimère çxf tte parallèle coupe la àtoiïtdJ eu point c de la droite 4ttr. /i '• - -^ ' - ' \.
* Le plan de l'ombre .dti-bwd £BF dans Tinlérieur du cylindre t ayant pour traces sur le plan horûsontat la droite £F, et sur le plan Têvtical ladrwte acy il coupe le cylindre vertical (EBDF, bVdd), suivant la portion d'ellipse ^£DF, oc). La partie du «creux eylindrique au<leèsoos du plan de l'ellipse est dans l'ombre -^ la partie aunlessus veste éclairée*
Du piUts mUitaire. ( Fig. i , pL 3. O.)
i3o. Soit BCDE (/%. i .) le cercle qui est la section du puits par le plan du sol qu'on suppose horisontal. Un plan vertical CÂE , mené par le sommet (A , s ) , du eàne qui forme l'intériepr du puits , eoupe ce cane suivant le trapèze CE/g\, dont le eoté CE' est sur la droite XY , intersection des deux plans de projecr tion , l'un horizontal i et Tautre vertical. La parallèle au rayon de lumière , menée par le sommet (À, /), du c6ne tronqué, coupe le plan horizontal ou le plan du sol au point (H', H). Les tangentes HI , HK au cercle BCDE, menées par le point H^ déterminent les droites AI, AR, projections horizontales des arêtes qui sépareraient sur le c6ne en relief, Tombre de la lumière. La portion IBK du cercle BCDE , comprise entre les points de ccmtact I et R, porte omlure dans l'intérieur du puits, et pour construire le contour de cette ombre , on se sert d^un second plan vertical LAD, mené par le somipet (S, ^), du cène parallèlement au rayon de lumière. La section du puits par ce plan est Ç/!g. i a), le trapèze àt^*§f. ' Le contour de l'ombre portée par le cercle BCDE dans l'intérieur du puits, est une courbe plane (art. r 90, liv. i ^^); mais les points I et R du cercle BCDE appartiens nent en même temps à la ligne de séparation d'ombre et de lumière sur le c6ne du puits vu extérieurement , et à l'ombre portée par ce cercle sur le même o6ne vu intérieurement ; donc la droite IR est dans le plan de cette ombre portée. Or, cette droite IR est perpendiculaire au plan de l^J^. la ; donc le plan de l'ombre lui est aussi perpendiculaire. Ces deux plans ont pour intersection commune la droite im {Jig. i€z),d€«itle point i est déterminé par la rencontre des deux droites 'KI,Xnf'. On trouve le point m en menant par le point h (Jtg. la), la parallèle ^m au rayon de lumière //', qui coupe la^droite /^au point m. Le rayon jII' passe par le aoipmet / du cône tronqué % la droite f^ est Un diamètre de la petite base de ee cône égal à }a droite ^ (/%. I )•
îjit pUn éé l'ombie (IK , un), a pour fTMé^ su» fes ptdfis des bues âà c6ne tronqué V i^ <^îiei^IKt l^^S eMàes dM cercles Goncentriques BCDE, FG^G^j il coupe le c6âe âuÎTSMt Une éUipse qui serait projetée sur le plan horissoMat suitant tfne autre df ipse iNMlf K , dont le êomtÊM M est sur ta perpendieutairc^ M/n à XT ou à ta droite LADw Mais parée que I# côAe est tronqué, et qu'il se termine au plan horizontaiy'g:' (/iff. w), la projeciioti horizontale du contouir de Tombre sur le cône tronqué ^ se compose des deux branches égales d*ellipses IPN , KPIT , qui se terminent aux points IT , ÎT de la projection FF'GG' de la petite base do cône tronqué. L» eordè W , prolongée y passerait par le point n (/gr. ïtf), de hi droite/y.
Menant par les points », îf des parallèle» IfS, N'Tà la droite AL, qui coupent le cercle BGDE aux points S,T , Parc SBTde ee cercle porte ombre sur le plan de Isf petite basedu cènetrohqué. L'ombre du cercle(BCDE, XY) sur un plan paraflèié à ceint de ce cercle, est tm autre cercle de même rayon que le premier , dont ori détermine le centre , en menant par le point ( A, A' ) une parallèle (AO , A'of au rayon de lomiére. Cette parall^e eoupe le plan horizomal^ delà petite basê^ du cône au point (0,d) de la drotte-LAD prolongëe. L-arcHN', décrit du point (3 comme centre avec un rayon Gff on ON% égal àAB ou Aî>), forme aîv^c les por-' tions d'ellipse fPS , KFN' la projection horizontale du contour de l'ombre portée par Tare IftK du bord supérieur du puits dans Fintérieur de ce puits.
Cçmtruction d'un point quelconque (P, p), <>«• ( P ^ p'), d^. contour de VonArt
portée dans V intérieur du puits conique par le bord supérieitr*
1 3i • n y a deux manières de*constrntre ce pomt ; ou en considérant le contour
de Tombrécomme Fintersectton'd'un cylindre et d\m eône , où cpuime la seçtioif
d^m cône par un plan^donné. Ayant mené par le sommet du cdtie ( A , ^) , une
parallèle au rayon* de lumière qui coupe la base coAimune du eône et du cy^
ïindreau point ( H , H') , et par cette parallèle une suite de plans coupans , les traceur
de ces plans passeront par le point If. Soit HR , Fune queïconque de ces tracés ,
qm coupe le cerde BCDE aux points B et Q ; ht parallèle au rayon de lâmièré ,
menée par le point Q , et Taréte du cône menée par le point R , se coupent au
point (P,/?) , ou (P ,^ ).. Le point P est Tintersection de la droite AR , projection
horizontale d'une arête du cooe^ et de la droite QP, projection horizontale de
Tamle du cylîiMtre de hunîère qm> a pour bwe le cerde-BCBË, etkdetiî arêtes
do «me et du cylindre étant dans le plflk dont faD trace boii^ontule est HQR/
En menant une autre trace BQ'R% la draîte AR' et la porallëe Q^à Q^
9e coopeaatent an point /»' de l'eUipae IMKLé O» trou^erïik encore ce point
(F ffl,^ du GMrtonr de Tombre^ ea le considérant comme âppoflrteftànt il la xcM
tion dac6nepar leplan (IK^ â»),^. t a)i * .
Menant par m j^oflnk l^ftflCM^%i ^siji^>tla^ceraleifi€lffi> one paMttfefer
l'on abaisse là perpéfl(lll7idàir«^/«^<«to^ ^^lA^U'^^^^pi^i^^^^ért prolongée ^ rencontre les droites Q P, Q^ F parallèles à ISIXfiWKb^aàM Pset V. Élevant la perpéndii3ttlàirè*FWf^.%Y4i€lnJUflAè({i^^
sera la seconde pfit)jectr<]iH'yMt*Wie«fltt'iH*iot ^fV9^y>^' '• '^ ^^***^ '^'' < ' '^ '• '• ' ^ '
De la tangente en mu pomt P ouY aerelïtpse ÏRlk. , '
i3a.Les traces horizoïltai^ de^'pIafn6*taPg€iu>JKieèn«eta(iitcyl»^^ (P, p) de leur intersection , sdnties tangentes Q'f > &'^ du cerob^fiCDE v HMBées par les points Q", R': or ces ti^ces se cM^nt efo f ; donc la dreiâe ^^ «sC 1^. tangente au point F de Fellipse IMK^^Aim pointS' I et K>4e.â9tti»jelUp9e^l€SfJaw^latigens du cône et du. cylindre se confondent ; mais; le plan «an^at>au point I sera coupé par le plan (IK., ipnm) siûvant lune dimte» dcfot)a*pqo)<«IÎMBbohzontateIU sera la tangente au point I de Tellipse* Le plan taa^eiU'quira pour faraoe>boBi- «ontale là droite HI, est coupé par k pla» horiAontal.y^^ otij^^suivanâla tangente 4U du petit cercle FFG64»paraHèlfi^l& tangente HI du* cercle. SGDE; or ce [dan horbontal ceupe le plan IR> ipnm suivant rhosîaçataleKJKXXti donc rintersection des deux horisontales 4u, SrN-U détermine le pointai! deJa tangente lU. Prolongeant la droite NK' en Y, et prenant KXsxrflfU, la^iduoite KV est la tangente au point Ré . '• l . .; ... ,^t '
Ayant la projection borieontale IPNK'F& du contoor de Foinfeiie portée dans Fintérieur du puits , par le bord circulaire et ^upérieucdece puits; etwiepnqec* tion verticale {fig. \d) de ce même contoor, il seiia Êtcîle^d'an^lédrâe ta seconde projection verticale sur le plan XY. I^es points i'rPy^. ^ cette projection, coires* pondent aux points I, P> M de ^projection horizontale, et ausr points i^//,i», (/%*. lâr).^ On p<^uiTait se dispenser de construire la partie . ponctuée m'is.de la projecticm verticale {Jîg. i ), qui est au-dessous de rhorL&ontale.>^; lapais en la construisant^ il faut observer que le pobact j» où elle est toudiée paribidooile^jE' , est un. peu au-dessous de rhoricoDtale^, projection de la petite base» do puits«
OirnsS I>£ LA JTICHE SPEJÉRIQUE. (PL 4* O'}
i33. La surlace intérieure d- une niche ^phérique est formée d'tm i^^ëre vertical, qui a pour base un demi-cercle horizontid, ef (â'dh qàart dé^phèèé de même, rayon «que ce cercle, qui termine la partie cjflîhdtiqùè.' i ' ' ' "
Spit {^ vl. 4. O.) ABCD le demi-cercle base dii'c^yitridrfe Be laînichfe spbériquè ; un plan vertical ÂB coupe cette hichè suivant la^f^gtirèA^is^ compdéétf dès'dêtix verticales égales A'â, F*, et d'ûudemi-ccrde'a^ tàtigent àciJs'dëtii^^ atec
jpéiaÊ»antè. QidlS^figtee^tsbtrapée^â^i^^l^mr^^ parallèle au plmAB. oulf{Ml)(lM'dcp9iémit«a>eH^\X^ tM«^^ centra
verdcal AIT de cfette ofmhre ot^^ Iftjcj^indr^j^ *îy»«fibft §¥iy«"pM' W^f« <P , DVf). L'^lNQabre du pQ»ti^(A i a) est (D;, #/) v^la parallèleD'a' à ad coupe la droite A! a au point a'; d'où'à suit que l'ombre (D, W) est poitée par ta j^Vtion (A, flw) de l'flûpéte«v«iMBaled«c]rliiiidb«., «donft ^prQ)eçtipi;i,^9r^ptis^ e^t le jK>îat,A. Elle est suivie de^lVHtibiie portée par le demirper^e iae &m le cylii^dre vertical. Ce demtcerde louiKe l*«rertîcakf(A, A-a) au; p^tfit ^; or:l^,pir9J^tiQnj| yc^gonales 9U obliques^ do deuxiiignes ^quî se toochept ,- su|^ une.^i^^ce quelconque, seront eocore 'réoîproc]oca9em tang^tes; dotio^ qu^U^ qu«> soit la projection veiti* eale^ dgk de4'<Mibr9^ ppvtéefMur le demi^ceral^ atUi sor Ip c^t^indre. vertîcjal ABD , cette c<>«rbe4i^Aserataii^;BateeB! un point i/ à la verticale DV. ,. . .
Pm» détero)îiiér la{>QiëQn du demi-cercle (AB , aeli) qui peut porter, omhre eu Mrle c]rlitidf0, <n fHat la sphère de. la^nicbe y oa mène une tangente au demi^<ie£cte.iie^^^paaai|èlarà p'oo à la4l'0i|t« CA-. L^ ppuvt de contact 1 détermiQe la portion a»4^ demi-otrcle aelf, qui p^ut ^porter omb^e sur les dçux surfaces intérieuMside/ta niche. . t . ^ .. *: . .
Le rayoa- de lumière mené par un point qudconqua ( F,/*) du deioi-cerele , ;CO«ipeïte ryttûdre vOTtical AJBil>au pod^tr(G> g)j dont la projection veir^cale g ,appartiivtT4 la courbe f^^«
i34& Pppninmvei) Tomln^portée par le demircercle aeb de .la sphère sur elle-même^ on regarde le^plan de ce cercle Gomme horûcontal , et on rapporte le rayon de lumière à un jiouveau plan vertiml. cVf ')parallèle à p' ou à ce ; alors le problème {woposé ne ^lif£ère:pas de celui quVm a déji résolu ( art. ia8) pour le » creux s|ihénqse. i- • . '.'•--, ^ . ^ : - ■ ■ r
Regardant cf coinme une pn^ectîeo belÎMOtalejlii rayon de Uiimère / on
-toiistraît'faii^ a^AïqiUB k^^ij^fsenioA iûiaMctsa projettion «e, et on pcojette les
points c, e de cette projection 5 sur sa fiarallèle c'e'ê'é Pii poipt d comme centre
avec dé^=,ce^ pour rayon, oadécrit un d^mi-cercle éHfl , et on mène la parallèle
dhkch, qmcdupecédétei-<i€^cleèn A'( L'9mbr$p^itéep^4eî;rand cercle (oe^y^c'f')
.€blnsXint)érîe^]p 4^. |a, 9p)i/èr,e ^est u^ a,i|^e gKand cercle 9 4ûnt la tracç 9ur le plan
fdu,prenMe];,e^t cç\. Ce s,eQQn4,grai^ Q^rc^e a.pQur trace sur le plan vertical éHf!
auquel il est perpj^ndiçulaîre, }a.^drp!ite çK-^ Sja, projection sur le plai^ du cercle
oH» est i)n.Çiellipse. JL.^,pq|^qa^^,de' cçtte ellipse a son origine au ppint i^
iQt)ersçjç69ii 4*^ c)[^àjki-çerf le.fïe^et de l^^jjroitejicyr'; Textrémité k e$t la projection
i4S VfflL^j^^^^^^^i^P ^^ cei^cle hori;&ont0l ab^% 4u cerçU inpliné .contenu dans.îe
plan d€»s droites ce', dL Pour coiistruire ce point A-, on élève la perpendiculaire
2o6 GlOVi'TB» DBMmiPTIViC;
bO à cVi; qui ooope la droite ^A' ou poisl w; pottant la diitatite ^i?^ en «u^êur k droite 9^ prolongée, et tirant la dioMe ionV cette droife eonpe le èercW 0^ au point /> du cercle horiaootd o^^^ dont ie pin» a tdunié aotsor de lliorizon^ taie ab^ pour venir s'appliquer sur le cercle aeb. La perpendicakore vx* à Tho^ rizontale cA coupe cette horizontale au pomr k. Éfevantia perpendiealaîré kl à erfb', qui coupe le cercle Mb au point /, le demi-cercle aeb est divisé, au point /, en deux arcs, Tun ael^ qui porte sur la partie cylindrique de la niche, fomhre dont la projection verticale est la courbe dgk; Taiître H qui porte sur la partie sphériqne, l'ombre dont la projection .verticale es^ l'arc d'ellipse iqk. Un poiitt: quelconque (/?,/!') de Tare ff porte une oinbre située sur le rayon de lumière {qq^pi) y qni est rapporté aux plans des cercles 'ajeb€idK€\ or la projection/?y de ce rayon coupe la droite dK au point ^ ; donc la perpendiadaire q'qs à bci coupe la parallèle/^ à ce, au point q de l'arc d'ellipse iqk.
Les plans tangens à la sphère aux points {p, /), (y, q^ passent (art. 1 07) par un point r de la droite crd; or cette droite est la trace du plan du cercle aeb y et du plan de l'^ombre dont la projection verticale est iqk; donc le point r appartient à l'intersection de ces deux plans, et par conséquent à b droite rq^ qui est la tangente de la courbe iqk zm point q de cette courbe. Une construction semblable donne la tangente ko au point k ; iLsuffitde mener, par le point /, la tangente la au cercle aeb. Cette tangente là coupe la droite cd au point Oy par lequel on mène la tangente ok de Tare d'ellipse /y*. Cette droite c*est aussi tangente à la courbe %^, parce que cette courbe et l'arc d'elRpse sont des projections dbliques d'un cercle vertical sur deux surfaces, savoir le cylindre et ta sphère de* la niche, qui se touchent suivant le cercle horizontal commun à ces deux surfaces.
(hnclttsioH*
1 35. Le contour de l'ombre portée par le bord extérieur de la niché, dans Tintérieur de cette n\t\k% se cbmpoae i^ d'une rtrtica^e ( D, D' 1/); %^ dîune courbe à double courbure ( DGK ^ 4igk > inter^ectiàn de* àmà cgrlinikes ;. 3p. d'uir, ^c de cerclé (RQ(, Aç^/), dont la projecUbn horizontale KQI ae déduit d^ la^pisojec* tion ék* sur le plan du cercle ddhl%'^ Les points K et I résnitsent 4e Finteisection des perpendiculaires KK^et 1/ \ iXY , et^ des lignes AB , AffiD du.phni bor&ontal. Quant au point Q, qui correspotldvà unsf point quelconque q de la projection verticsde, on l'obtient en iioenafiC la perpendif^nlaire q&kHYf quàcpape la droite-AB au point S, et en poi^taatsur c^té perpendiculaire la èfiàlt è(i^^=:s^j distance du point ^ à la- droite e'e^ du plan/de prqeqtion ^^xilirâre.
L'ordre que nous avons^ûivi pour feiire connaître les ombre» de la niche , est l'inverse de celui qui eonrvilBnt au tracé du contour de e^ ombres ; aÎQfii l'on construira d'abord l'ombre (RFQ, kiq) du bwd de la sphère siir elle-même ejB
qtti doQûera le point k, Tuae de» ex^réoiités ile la courbe kg<i et la taD|;eDte A:o eu c« point GowaîsMiit d'aîUeur» Vaaln extréiaîfcé £/ et te langente D'tif en ^e poiotf^ on détewptnega h» ipoînl» interm^diAve^^ tela que g, de cette couriie 4y^^ qui é0t la prc^eçtÎMv i^etticak de >rombfé pcurtée par le. bord oreulatre de la loehe sur la partie cylindrique 4e^ cette niche.
OMBa^S DU POIfT. ( PL 5. O. )
' i56, iJc dessin du pont que nofus allons expliquer, comprend des exemples* 1® d^ombres portées par des droites et de« cercles sur des surfaces planes ou' cylindriques ; a^ de lignes de séparations d'ombre et de lumière sur des cylindres. Ce dessin se compose des trois parties ordinaires, ptan, éléç^ation, coi^, qui font connaître la forme et les dimensions de la première archef d'un pont en plein cintre , adossée à un mur de quai. Les hachures k lignes parallèles ont pour objet de distinguer les parties du pont qui sont dans l'ombre.
BxpUcatiùn d» dessin. (PL 5. 0. Fi^ let a.)
La droite AS du plan {Jig^ i ) représente la face verticale du mur de quai ;
f arche adp^^e à ce fnur est comprise entre les deux plans verticaux BC, B'd
perpendiculaires aux plans ÀB A'fi' ; XY sépare \^ plan, de V élévation {Jig. a.)
Le plan vertical XX parallèle au mur de quai passe par le milieu de l'arche ,
et coupe le pont suivant la figure que nous allons décrire.
De la coupe du pont.
Cette coupe {Jîg. a ) se compose de l'ho^zontale dd\ arête la plus élevée da plein-cintre de l'sûrche, i^ des deux verticales bdy b'd'; a^ de deux autres verticales^^y^ réunies aux premières par les arcs convexes bfj hf^ limites des parapets hfgj If/'g'; 3^ de deux honzontales ^, ^K égales à la largeur de chaque trottoir ; 4^ de deux oblique»^/, Kl* en pente vers le trottoir pour fonner les ruisseaux; 5' de l'arc convexe kk^ section de la chaussée.
Lea lignes en saillie sur chacun des plans verticaux BD, fflX {^Jîg. i ) appartiennent au bandeau du parapet et à la corniche de l'arche. Les bandeaux des parapets, les corniches de Tarche, les trottoirs se continuent en retour le long du mur da quai, avec les mérites dimensions en largeur et hauteur; en plan, {Jlg. i) les parapets se terminent aux lignes MN*, WO à gauche de l'arche, et aux lignes Bflf , H'<y à droite de la même arche.
Les deux lignes pleines en avant des droites AB, BC, ou A'F, FC', et respectivement parallèles â ces droites, appartiennent aux bandeaux des. parapets et
208 GioÀitKlt l>BSC1iIPTf^E.
aux cornîclie». Une ligne ponctné^ en atant de AB ou de kV marque ta saiHie d'un socle du mur du quai, dont la hauteur est la dîitanoe Xsjlg. %y ^ horizontales XY, XX' Le plan horizontal ^ est le plan des naissances du berceau cylindrique^ et la distance df des deuK^ faorisontales dét^ 4^ 4SI égal au rayon du plein-cintre de Tarche.
XT' étant par hypothèse le plan qiii dinse Tarche en deux parties égales dans le sens de la longueur, et TT' étant celui qui la dîviée en deux autres parties égales dans le sens de la longueur, on prend SI=zSr=zdf rayon du pleincintre, et> les 'naissances des frfeins-ciotres sont 1^ ^droites intersections * des deux plans verticaux QTQ', Q'T'Q^'T^ i « par ^ plan horizooCal xyfig. -a.
Du raccordement du murdujquai et de la p9^em&re rnicbCf pat des éperons à
chapUeOAix coniques.^
137. Du point B comme centre avec BQ pour» rayon, on décrit le quart de circonférence QTf qui se termine aux deux droites rectangulaires marquées sur le plan ÂB et BDC; cet arc est la sectkm horizontale du fàt de Téperon ; la naissance de ce (ut est dans le plan horizontal sy* La base de, l'éperon se com^ pose de deux socles, dont chacun n'a que la moitié de la haùteuir du socle du mur de quai. La saillie du premier socle sur le fijt de Téperon est égale à la saillie du socle principal qui règne le long du mur de quai. i
' fin avant de Tare Q^ du pkn , on voit les trois arcs concentriques, intersections horizontales des deux socles du fut de l'éperon, et de la partie cylindrique du chapiteau de cet éperon. • -^
A droite de l'arche y dans l'angle Q'BV, il y a un second éperon en tout égal
au premier. * x .
Les deux parallèles à -QQf en avant de cette' droite ; sont tangentes aux arcs de. cercle, sections horizontales des socles des déùt éperons; ces socles se terminent à la face verticale dû socle du mur de t]ùai. ' ' - . Lsijig. a représente sur une plus grande échelle le plan et l'élévation de Féperon à droite de l'arphe ; elle fait Voir les lignes BA'- et VC du nu des mùt& de quai et de l'arch^. La. Kgne ^4' ^t sur luette figure h tracée de b-face verticale du isocle du mur de quai 9 et les deux arcs âi, ($', sections ^horizontales 4es .socles.' de l'éperon, se terminent d'une part à la face verticale; B'CT'de l'aide ,* et de* Vautre à la droite ^.J^ droite B'A' ijfg. a) sépare le plan de Télé vatJN^n;. elle ^ tient lieu de la droite XY sur la,/%. a de rélération générale. L'horisont^le- xjr (7%^. a) représente le plan des naissances du-berceauderarchef commewria j^*. a^.
Le pont que l'on vient de déctire est,.par.hypothèse, éclairé par des rayons 4ç lumièfepa^rallèles entre eux ; il s'agit de trouver les ombres portées sur l^s
les, diy«^^^z^t<^. fiai l^,p^tpj^9]^f^,f^t f^é^nt les deux ipt<^ectioa& d'un
Des ombres au pont. ,
-( .-' < . i»- 1 »m - , ,^ .u Mj •• l*»- t '.•'•■•'■A- *
vi3ft Bn tidt^ilde'gftudte à droîte^^'et^uvrathtid mm* de quai, les ombres dont on demande le contour, sont, en les désignant par lettres, Â, B, C, etc.
1^ Ombrtfss.id.^&à^htts'ét la éamkhedii nxia de quai, sur eUe-méme ou sur le nti du- raur; Mobres du 'pasape^ qoi tetaûne lé mur, sur le trottoir adjacent et Sur lénn dm smur; timbrai, dk» trottoir, du* mur de quai sur la chaussée parallèle à ce «mnr. -i. i - /. * 1 * ,44^ •
a^ Omb^ i^..Oinbresidu parapet dupqat.sur le trottoir de ce pont; ombres^ du trottoir sur la chaussée du pont.
3^ Ombf^s (!7)^< Ombre» de la coupe transversale DD'(j%. i) du pont; (le plan de cette coupe, parallèle au mur de quai, divise l'arche en deux parties égales ; la droite DD' et les droites QQk, q(f sont de même longueur, comme parallèles compvisfs entre ks |>ar^Uèlesr BC ,. BÇ» : ) ' .
tf*' Ombres D. Ombres des pleins-antres de l'arche ou des quarti de cercle. DQ, IXQ' (Jig. i) scttAef beroeau cylindrique de Farehe, et sur le fût Q'BV de Téperon, à drqite de Farchei : •.
^'^■Omifrés E. ■ Limites' dé âéparatkin d'ombre et de lumière sur le fût QBv (jîg. I') -de r^peron,.|e('sulp le& soclesKle ht base dé cet éperon.
6** Ombres F. Ombres <^es socles .de l'épeirba 4 droite de l'arche, sur la ^ce
▼erlraate dir inor de tjuai ; ombres du ^h&pjteau die l'jéperon à gauche de l'arche*
surile'Sibtidela'piie. ' •?■■.»> ' v'.-
Ombres A et B.
1 39. Construisons d'abord sur les deux plans verticauxSVTjSVD^/?^. 1) ou leurs panmi^flPf4«»'RVf#QttPrps (l'p«n;raim^,<^4ifffliii^sr<tTq^iÇlF>«se PJM* le milieu (S , s) , d«:l»^çt^^ à^9ffi^ ^^t.flfjçij,^,§^ p^Pe ^f^,,f,t, sw paraUèle à p-, on abaisse d'un pont quelcof^qw^U j^^j^t J(^4>fTPf«?<î»9P'*i*"«* UU' UV, sur ^Xxf^m,^J^M\Vm^t^^f^mf^^'^^^î^y^%^j.,^^ on décriât l'arc
V.y'»H,fio»#Pk%V«^S^WïPWÎ.Kr Î*,e^,^i4gpt.^e l^jprojection dû point
i»^Mi«ïM%IMnrlf 9WRm «Bafîidefl^ljit^pB %¥f> P"«î»er plan vertical SV'.
^V\ffmm»^'.iW^iÂ'flf'àmm^ ombre sur le
tWttsirfcjBh|»w,J«44<««W«l«lVi»JWÏ«» Wy^ (*"»/) ^« cette horizon-
tal. Hft«»P%^JtfffiWre^#Prt^^.HB^eç|ipi>,,v,er,^c^ /a, parà^^^^ à su ou p',
«^!»W4'fr5»W>f»<a^?«*<$*V-tr<l^>»»»W»«^ parallèle A LL
219 CioniTRlB DESCRIYTIVE.
k KO. Le pro^l da parsipet dti m^r de quai étanl te même (fU p^r le parapet du pont, la parallèle/ A à si/^ coupe Thorizontale gk au point A' didlsiBt èo point ^ de la largeur g A' de l'ombre portée sur le trottoir du mur de quai. Portant cette largeur sur le plan {^g. i) de M en L", et tirant UL parallèle à MN, ou aura L'^LL'ONM pour la projection horizontale {^. i) de l'ombre des parapets du^ pont et du mur de quai, sur leurs trottoirs respectifs- Une parallèle à la projection j/ du rayon lumineux , menée par un paint de rhorij^ontale inférieure du bandeau du parapet du pont , coupe la face extérieure du parapet , en un point qui détermine Thorizontale i.a. Cette horizontale est le contour de l'ombre portée par le bandeau du parapet du mur de quaî^ sur le nu de ce mur.
La corniche du parapet se compose d'une plate-bande ^ d'un filet et d'un cavet. IVaprès la direction du rayon lumineux ( pi p'), l'horizontale inférieure de là plate-bande met dans Nombre le filet et le cavet ; elle porte ombre sur le nu du mur de quai , et une parallèle à S{/ {Jig* a) , menée par l'extrémité de la verticale qui est la projection de la plate-bande dé la corniche du parapet, coupe la Êce verticale extérieure de ce parapet en un point qui détermine comme précédemmeiit Fômbre portée (3.4) par la corniche du mur de quai sur le nu de ce mur. Le trottoir du pont porte ombre ou sur la chaussée ou sur le ruisseau de cette chaussée. Le contour de cette ombre est une horizontale parallèle à Thorizontale ( HH'^ A), qui termine le trottoir. Menant par le point h une parallèle à chacune des droites sU^ sv\ les deUx parallèles rencontrent le profil de la chaussée en deux points, qui déterminent les distances respectives des droites 5.6 , 5.6' {fig. i) aux droites HH', HH"-
Ombres C.
i4o. Le pkâ de la seclion trafisversak DIX i^fig. i) du pont, eonpe le bcr* eeau de l'arche suivant m^e horizontale ( ISO , dd ). L'ombre p(»tée par cette horizontale 9ur le berceau, est une autre droite horizontale, arête 4e ce berceau. Ces deux droites sont dans un plan parallèle au rayon de lumière, perpendiculaire au plan vertical DQ du plein-cintre. Ayant décrit du point D eomme centre , avec DQ pour rayon, l'arc QR , on transporte la droite DR en qr {Jtg. a) sur %y et du point q comme centre, arec qp = DR pour rayon , on décrit Tare d^ , qui i^présente le quart du plein-cintre de l'arche. La projection du rayoH de hnmère sur le plan de cet arc, est parallèle à la droite ^s; donc si Pon mène par le point 4 extrémité de Thorizôntale dd, une parallèle 1/7 à Js, cette parallèle eoupera l'arc dy au point 7 , qui détermine l'horizontale 7.8 , projection verticale de Nombre portée par l'arête (DD, ^) du berceau sur ce berceau même. Cette projection a son origine au point ^, qu'on obtient par Fintersection de la
tlroite connue 7,8, et de la parallèle à.p' ou su\ menée par le point cL Abaissant Ik p6tf>eiidM»jbûn »£ à XY^ «t iseiiam; h pwaHèfee DE à la projectîôà bmzontale f du rayon.de inîmière^ jeiies «e MncottlMiit au point E , projection horizontale de Vorigine (E, ^) , de Tombre portée par l'horizontale (Ï>D', dti) sur le b^rceàû de l'apciie. Geite boritontalè porto ausei deft ombres 6ur le cyliiidre ▼erttcàl de la pile à droite «de ï'OLtchè, ^ sw la istce TerVioale £%'' jlii socle éa mte de quai. Les rayons de lumière (DE y de) , (DE", ^^) , coupent cette (ace vexfî* cale 'SlSf auK poists (E', ^) , (B"', ^'). Le second point est l'exlrémité de Foœbte ponée par t'horiaontale (DD", ^)mirle socle du mur de qtts». La projection verticale de €etie ombre se troure (J^. 9) sur Thonzontale menée par le pomt e ou e**.
Le même *àyan ^(pïT , dé')^ prolongé jusqu'^au nu du tnur ÀV, le rencon- Wrait âu point éotft §' est la projection verticale. La verticale flf\ qui contient fornbre -de la verticale ( D' , éV ) , coupera rhoriaontale xjr en^. Menant par ce poidt la parallèle i^f kf\ et la proSctigeant jiusqu*au point § de ki verticale db\ îdsetà la projection verticale de la portion de la coupe extérieure 4m parapet , qui porte ombre sur le «ode du imir de quai. Le reste de cette coupe porte ombre sur k «u du mmr, La parallèle J^'i^" k p% menée par le point ^, rencontre U verticale té" au point é**, origine du contour de cette ombre. Ce eontour ne différerait pag du profil d'à' 4«i parapet > s'il n'hait modifié par les ombres dbes horiBoatales du bandeau <ltt parapet et «de la saillie de lacomicb^, compriscB entne les plahs verticaux D'X' Y' et D'£". Ainsi fhori^ontale «upéi^oure de Ibl comicbe porte sur le mur de quai, l'ombre zz' parattéde à d'ff' ou k f\
Ombres /?•
t4î.Le cylindre qui a pour base le quart (DQ\ dq) du plein-cintre deTarclie^ et pour arêtes des parallèles au rayon de lumière , coupe le berceau liorizontal suivant une courbe plane (art. 190 , liv. i*'). La détermination de cette courbe est un problème tout-à-&it semblable à celui (art. 229) du puits cylindrique, et qu'on résout de la même manière, â'j {Jig. 2) étant la projection d'un rayon de lumière sur le plan<lu plein-cintre drjr^ on mène la parallèle 9.10 à celte projection, qui touche Tare d'jr au point 11^ et détermine sur cet arc la portion d.w qui porte ombre sur le berceau. Ijc point 1 1 , origine de l'ombre portée , ayant pour projection verticale (fig. 2) le point 1 2 de la verticale dq^ la projection verticale du contour de cette ombre, sera la courbe i^x^yHe, On aura liii poitit quelconque intermédiaire /it", en menant yn£ parallèle à ^7, et les horizontales ^V<i A*-i3« L'horizontale ^ 1 3 coupe la verticale dq au point i3, par le qudontire la parallèle i3.// à de ou p. Cette parallèle coupe rhorieontale ^'fi'' au point fi! de la courbe 1 2.ju"c.
aia GàOUiTtiJt BESCRIPTITE.
Des tangentes à la courbe l'x.yC e {^f%)yppffect^n4e C^mlnt portée par Marc ^Ai
pleùhcintre (Tune arche j sur le beroeau de Porche.
142. La courbe li.fji'e a pour tangente à Vune 4e;^s ei^tl^îtés e la droite tkj parallèle à p, ou Us. En efFet, cette droite de est la trace d'un plan tangent au cylindre ) qui a pour arêtes les rayons de lumière menés par le cintre de Tarche : or ce plan est perpendiculaire au plan vertical de projection X Y, et d'ailleurs la courbe dpnt miJile est la projection verticaley appartient aa cylindre; d'où il suit que cette courbe a pour tangente au point e la droite éd. -
Autrement; les plans tangens aux deux cylindres, dont l'intersection est la tangente au point (£, e), ont ppur traces sur le plan <]e l'arc d. 11.7, les deux tangentes à cet arc ^7' , 7'7 qui se croisent au point 7' de la droite ^i 1 1 . 7', perpendiculaires à la corde ^7 d.e l'arc d^y or le point 7' se projette; sur le plan vertical XY ^nd; donc ce point ^ appartient à la tangente de la courbe efi\\a^ au point e de cette courbe. , .
Les tangentes à l'arc de cercle d^r aux points /u ^ fi\ se rencontrei:aient de même au point 1 4 de la droite g.ii.'j, L'lv>rizontale 1 4 9 ^^ coupe la verticale elq au point 1 5 de la droite 1 5.fi" , qui est tangente au point /ur' de la courbe i a «juTi?.
Cette construction ne s'applique pas au point 12, projection verticale de Fch rigine de la courbe ; mais on obtiendra la tangente pour ce point , en cherchant l'intersection du plan tangent au berceau au point 1 1, etdu plan de la courbe. Or, le plan, tangent au berceau, suivant l'arête de ce berceau qui passe par le point 1 1 de sa base, coupe le plan vertical QQ' suivant une horizontale parallèle à l'arête de contact ; le plan de la courbe coupe ce plan vertical QQ', suivant une autre droite ; l'intersection de ces deux droites , détermine la tangente au point de la courbe qui se projette en 12 sur le plan vertical {Jig. 2), En effet, la tangente 9. 1 o. 1 1, rencontre la verticale rr du plan vertical QQ', au poiqt 16; donc, l'horizontale 16.17, intersection du plan tangent au berceau et du plan vertical QQ', contient un point de la tangente cherchée. Mais la droite q.ii.fj prolongée , coupe la verticale r/ au point r, qui se projette ( /%. 2), au point r de la verticale qd. La parallèle à la droite 5^.1 1 .r du plan de l'ombre, menée par un point quelconque de cette ombre , tel que (E , e) , coupe le plan vertical QQ'. au point dont 18 est la projection verticale ; donc la droite r.i8 est l'intersection du plan de l'ombre cherchée et du plan vertical QQ' : or cette droite coupe l'horizontale 16.17 ^^ point 17 ; donc la droite 12.17 ^^^ ^^ tangente au point lade la courbe i2.juV.
L'arc en plein-cintre Q'iy, opposé à celui qui porte ombre sur le berceau, porte lui-même ombre sur le cylindre vertical de l'éperon à droite de l'arche. On .
OÈOMÉrUlB JDESCBlVTiVE. ai3
$ait (art. loo) comment on tVonve l'ombre d'une ligne sur une surface. La projeetien ^iticale de TStfibre d^ Taré Q'Q'i représentée à part (fig. à) , est marquée ai; sa projection &^rf:^otitale se confond' dans ce cas particulier avec la base du cylindre , fût de Téperon , puisque ce cylindre a pour génératrice une
droite verticale, (/^/(rfs 'arr/6i ,1iv. i*^V
{)fnbfés'E»
1 43. La; perpendiculaire abaissée da point B' (^. i ) sur UfE' ou p , projection horizontale du rayon de lumière, coupe les trois cercles bases du fut et des deux socles, de Téperon de droite , en trois points ; les verticales élevées par ces points sont, sur les cylindres du fut et des socles, les lignes de séparation d'ombre et de lumière.
;I^./%* ^f V^ représente l'élévation de l'éperon sur une plus grande échelle, fait voir le quadrilatère aàcd, dans lequel les droites ad et de, les courbes cd et ba sont respectivement les projections verticales de la base du fût de l'éperon, de la droite séparation d'ombre et de lumière sur ce fût , des ombres portées par rhoiîzputale de l'arche (DD",^/), et par l'arc en plein-cintre (Q'IX, q'd') sur le fût de Téperon* La parallèle au rayon de lumière (19. ao), (19'. ao'),^/^. i et a), menée par le point (19, 19') de l'horizontale (DIX, dd')^ coupe le fut de l'éperon au point (ao,.2o'), ce* qui détermine le point ao', marqué des mêmes chiffres sur h courbe rapportée Xy?^- «) en bc. 2o\
. , . Ombres F.
i44« Le bandeau du chapiteau de l'éperon à gauche de Tarche, et les socles de réperon à droite , sont terminés dans la partie supérieure par des quarts de cercle. Le premier des trois cylindres qui ont pour bases ces quarts de cercle , et dont les arêtes sont parallèles au rayon de lumière , rencontre le £fkt de l'éperon de gauche; les deux autres se prolongent jusqu'à la face verticale du socle du mur de quai; les lignes d'intersection sont les contours des ombres portées. <3n voit {^g. a) y les deux courbes e et é', projections verticales des ombres portées par les bords circulaires des socles de l'éperon de droite de Farche, sur le socle du mur de quai.
Ces exemples suffisent pour faire voir comment on trouve les ombres por« tées par des lignes ou des cercles donnés, sur des corps ronds, tels que la sphère, le cône- ou le cylindre. Nous allons maintenant construire des lignes de séparation d'ombre et de lumière sur deux surfaces, l'une de révolution , et l'autre n^/«^, dans l'hypothèse d'un point lumineux, ou du parallélisme des rayons de lumière.
ai4 «ÉoMirmiB BBScaiPinrf.
, , , ©E wÉvoMjno», (PL 6. 0.)
j4S- Nous avons exposé (art. icj^i i i)tr9is: métbo4e$ pour ^étetaaj^eir le icooe ou le cylindre tangent à une surface de révolution ; nous allons appliquer ces méthodes au cas particulier de l'ellipèDiée de ^révolution , en supposant cette surface successivement éclairée par un point lumineux et par des rayons parallèles.
Soit {A., na")y Taxe de révolutian éé Telfip«oîde. Un p'Iâtt mériiâfieti <>AO% pffirallète •au plan veititîd XT deprojectîoïi , troupe-cet eHîpsoîde suivant Tteïlipse ojaoo. Les poîn ts E et é étant les deux projections du point lumineux , on denafnde sut relKpsoide la Kgne tle séparation d'om)>re -et de lumiète. Cette ligne est la courbe de contact de l'ellipsoide et du cône tangent qui a son sommet ait fyoiiit iutmneuiE; tX. pom* troirver un point de t^ette cotut^e, notis considérerons tfabord r^Bipsoide comme l'enveloppe de f espace que -parcoort un cône <)roit<iont le sommet est constamment isur Pâte de réinofttrtion;
Ayant coupé la surface -de révolution par un plan XTf' perpendiculaire à Taxe ad , on mène ime tangente à ia confiée méridrenne advx) , par le point d intersection de cette x:o\iAe «t de l'horizontak X?Y'.
Cette tangente coupe Faxc xzd au point s. On prend ce point pour le sommet tTmi cône Aoit qui toitche l'ellipsoide suivant le cercle du diamètre dd , et tout plan tangent à ce cône est aussi tangent ik Fellipsaîd^. Pour amener ce plan par le point lumineux (E, e ) , ou joint ce point et le sommet ( A , j ) du cône droit, par la droite (AE, se)^ qui coupe le plan X'Y'du cercle base du cône droit, au point ( F ,/ )* Ayant déorît du fXHBt A ûQi»»e centre , le cencle du diamètre BO' 7=^ dd , la tttogeBte à oe cercle ioefiée f^ar le pomt F, le to«ciie ^ax |>okds H^ H', qui .se pro)eilesft «ht k plan vertical X Y aux joints A, h tle l'borÎEOntale Xlf' ou dà. Isa deux poÎAts:(H, A ) y { H., k),^ ap|>artie&i!ient à la ligne de aéparatioit d'outre et de luB9Îère de l'^Kpsotde.
. i46. On seraît averti que le cercle du dtanèire DD\ dd se contient pas de fXMnts de la courbe , si le poiot , tel qoe F.^ létait dans Tinténetir du c&dL% du diamètre DI>. Mais pour éviter des constructions inutsks , ou cdxendiera 4'a« bord la liaûAe des oerdes tjni contâonncnt «bs poônts de laxoierbe da contact. Pour trouver cette liante ^ tm mènera f^r le pcnni; kmaîneu (£) e)^ les tao* ^eii^s à la oottrbe génératrice ttaicée dan» fe ptan nnëridieu «pxi flaore ipaîr o« point. Dans te vcas fiarticMftîeT de reUipsoids ^ on peut mjdner éeuK tangenlm ^ et les ceiMirles de k aiM&ee de réTolsitîcm q«î rpassent par les f 0*>^ "^ contact
de ces àeiû langeAfeâ' , Mnl les limites de» cercles qui coâtienHeM les points ^ la courbe de ccmtaet do cène et -Ab la ^Mrface de rétolnfkm.
F»îsaBt touTHer le plan mérîAen AK d"^oi» aie égal à Ei&^ powr amener ce plan dam le plan méridiefi OACXG, et te point G étasM prejeté en ff snr Thorizontaie doAnée eg, on iinmcra pat )e poifit g^ deitoc tangente» àr la courbe méridienne adtrct; et* par les dettx points de contact i^tr^fm mènera des plans perpendicalaires à Faite aac^\\ couperont la surfeo^ de rëiFohÉtion suivant tes cercles limites de ta coarbe cherchée : prenant les distances des points i^ i' à Tare oe^, mesni^es sur les boriiontales li , rA" , et les portant s«r te méridien AE de A en K , et de A en R', lespoials qui se projettent sur le plan horizontal en K et K\ et sur te plan vertical en A* et A', sont tes points extrêmes de la Kgne de contact de k siir&ce de révolutkn et da ^Ône qui a son ^mmet-au point kimitteux (E , e).
- 147. L*ardre des opérations graphiques n'est pas indifférent, et pour suivre celui qne nous regardons comme te meilteiir, on déterminera d*abord les deux points (M, m}eî (M^ nf)^ situés sifr le phis grand cercle (OO^ , 00') de ïa surface de révolution. Ayant décrit du point A ,* comme centre , avec un diamètre CXy=:oo\ un cercle , et considérant ce cercle comme la base d'un cylindre vertical , ce cylindre touchera la surface de révolution suivant le cercle (OO', 00' )'^ or les deux plans tangens à ce cylindre , qui ont pour traces horizontales les dï'oites EM i EM', touchent cette surfece àtrx deux points M , /« et ftT , m'. Donc ces deux points appartiennent à Ta courbe de contact du carte qui a son sommet au point ( E , ^ ) , et de Tellipsoide de révolution.
La eouAe miéricbenne ( OO', ad 00^^ peut être considérée comme ht base d'un cylindre horizontal tangent à la surface de révolution ; donc si l'on mène les tangentes el^ et à cette courbe, les plans tangens aa cylindre qui ont pour traces ces tangentes, touchent la surface de révolution en des points (/, L), et (^, L'), qui appartiennent encore à la courbe de contact.
Ayant déterminé les six points K, K', L, L', M, M' de la projection horizontate de la courbe de contact, et tes six points correspondans hytî ^ /, l^ m^m' de la projection verticate , on trouvera lès pointa intermédiaires par ta méthode qu'on, a suivie (art. 1 45) pour trouver les points (H, A) et (H', K.)
i4^* Nous avons considéré la surface de révohition comme Fenveloppe de l'espace que parcourt un cône droit qui a successivement pour arêtes les tangentes de la courbe méridienne. Maintenant nous allons substituer aux cônes des sphères qui ont pour rayons les portions de normales à la courbe méri* dieQue , comprises entre cette coarbe et Taxe de révolution. Soit ( A , /), le centre de l'une de ces sphères , d't son rayon , diuti^ Fun de ses
grands cereles^ Le méri4ien A£^oqp(^ ç^t€i^pb%#ffifiiy^U:.iu^ gkyt^d ic6rcl#^ et en supposant ce méridien ggnffl^ svif ^»Tnfrirfit<i làPifi f le point {.£, e) prend la position g; donc si par le point gy on mèRQ.]M»tlP0^tles gu^gt^ au cereîe ^j^^^^ la droite w est le diamètr^ ^wfd^^fWUtmçtA^,Xà «phère etdiLiOÔne droit dont le sommet est en (£, e)^ pp.ga g, O.çencle. ^iMi' decU spàière et le cercle iàf commun à la sphère let^ à la ^mrfat^Stdf .#réyol«ûo|i^ sf coupettt suivant une droite horizontale x'j parpen^ÎPuIaPQ W plrat dmi méridien A£; donc si Ton porte la distapçe du point ^ ^ Taye 04% di^ A en .j; 4ur AE , cette droite horizon^ taie sera en projection horizoï^t^^ iioe perpendiculaire UsW k la trace AE dn méridien qui passe, par le ç^inX (£#.e), li'intessectiMi de eetle droite HxW- et du cercle décrit du point A i4ifMf^ »centre^ af ec «m diamètre? DD' =z dà 4 donnera les points H|.3' .4a 1^' pi^O^tt tiofiwnlide'd^tb» courbe de contact cherchée. •" 1 . ' , .0» ■) 0 •» • - ij u , •
Éleyant Jçs perp^wliful^iri^s-flifr^ H'M k A'intenifQttan Xï 4^ plans de pro4 jection, et les prol^^ge^ptJuçt^ul^i^iquMWs^icelopèAt^rhs^rizontâlè auic points ^ et A', cç^ poîi»t% .app^i;tî^i^t,'à/^4>«f9Màan «vertteale de la cçurb^^ dq.çont^^t; on trçtive^a ^s U içéii^Q^tipîèdettMkt^'fniIres^^niinls ifu'oo voudra^ de eett^ courbe.. .. .; . ♦ :, lit vri 00 omiM. i»..«» t ;' lu.:» *. . :: /
, • .r ^. , • ,.,» i;i iqiK af'iifc!uoAOnttp;,q ^-..uv/i./ e-ob ,1.: «OU .».i. • . . . 1/19. Considérons, maintenant la surface de révolution comme Tenveloppe de . Tfisg^cp' qu^iparcounti Q£rieylîil4w^if«LwpaM)lM9e laf^oouHbvf m^ridfemies ^t cherchons dans cette hypothèse un point de la (sôtùrfteKdeM^ontàcttle la' sup* f^ce de Dé^lutioa^t dvkco^^ii^imimmii^oMmkiiaxopôiM taîÊkiMtm.'Sùit(Ailt)j la tracQ^hpiâzontak id'un(|>4iniiiién(liw»qmUK^ N^, ^ ^^ t>i^ débitai f^t^
pendiçulaire ahajss^ du pdian ^ existe ,M;ylanvmérîidièi|iAiMliOtv >elE(àiqtiersr que tous :les,||ojio ts. Itis que JSi,iseAr»(lvpBii9flki«|f |ee«die niédrif *9É!r A& ««^ifintaé cj^mètre/^^t lait 4qi4'oegik>Kirii wbnn lâBtijtKcft^a M'flttUl ali>p^î64àlf>^^iti<»K AJi' pas aUèle. à XT , ie .pQiiit{(H; mPtâïvMu^pmKt&m^nX Pair ce «pOiM /r,^ l»tt»Mft^^ Is^. tan^^entt^ n'p ,à 1^ Aovkbte^ ni^tiiietin^ ç et tmP|i6rtti4adi^atfè« Jbi^ tfif ^Mt Ût^ contact p à Taxe aa\ sur la trace4ll>fMte'Ai'^lPPttL<^pbitiLl^P'«%tf^
dantjc?:, situé ^ffirborîaàailAdgtt^V^a^)^^^^
la courbe cberchéq.;Û9l^ ml^tiMkU^Kip^Mè»,^^ êrfHxiiét ûPléifïAf i^^èrfi
saéhe «fpener utte ta»ga9t)ttr4étki|fi^>2)feifp^>kMé^u¥l$(^éi^^
pris horafcetté cqurl)a I;attângett^/fj*^%«t|lft^liiMë\f%iH^âl^ri^^
pendiculaires au plan méridien 4ïNl«l««i>tt^^ ^W^^ ;ib.9i^i^u liAi^ifi nuiq 1 5o. Ces trois méthodes s'appliquent également à la détermination de, laiigne . d^ «|é^av(Mi^4lf/(^l]|j^g,ft,<is4^^
OioUitîiilBl DESCRIPTIVE. SI 7
Soit (p, f) Fun de ces rayons;on conçoit un cylindre tangent à Tellipsoidey engendré par une droite parallèle à (p , p') 6u (BC, àc) : la courbe de contact de ces deux surfaces est la ligtie demandée.
Ayant coupé la surface de révolution par un plan quelconque perpendiculaire k son axe, elle. est touchée suivant le cercle contenu dans ce plan , par un cône droit qui a son sommet sur l'axe. Le plan tangent à ce cône droit, mené parallèle-* ment au rayon de lumière (f , p' ) , touthe la surface de révolution en un point qui appartient à la courbe de contact de cette surface , et de la sur£aice cylindrique dont la génératrice est parallèle aux rayons lumineux- La surface de Tévoluticm est 4tussi touchée suivant le cercle contenu dans le
plan perpendiculaire à son axe , par une sphère dont le centre est sur cet axe. Lorsque le grand cerde de celtfe sphère dont le plan est perpendiculaire au rayon de lumière , et le petit cercle commun à la sphère et à la surface de révolution se coupent, les deux points d'intersection appartiennent k la courbe <]e contact de la surface de révolution et du cylindre dont les arêtes sont parallèles au rayon de lumière. On obtient encore des points de cette courbe, en menant parallèlement au rayon de lumière, des plans tangens au cylindre qui a successivement pour base la courbe méridienne considérée dans ses différentes positions, et poiu* arêtes, des droites perpendiculaires au plan de cette courbe méridienne. . .
Oa^obtiendra. par funede ce» tt ob métkade», la ligne de séparation d*ombre et de lumière ( ^cT, afiy^).
' On remarquera, aur cette courbe de crartaet , les points dont les projections verticales sont ^, 4 9 ^' M 9 y\ ^'* Les deux premiers p' et 4' ^^^^ ^^ points de conta^çt de la courbe méridienne a^^ et des parallèles à la projisction verticale du ra^Qii iumineux ;meifi appartienoent aux cercles limites de la courbe de <;çip^ct du cylandre tangent , et se déterminent comme tes points k, ^ (art. i46y dp la courbe de contact du cône tangent. Enfin les points y> /' correspondent aux points > ,. ^ placés sur un diamètre yS" du cercb OO'yJ*, perpendiculaire à la prf^ec^ion hori«oi)tale p du rayon lumineux.
-JUs prv>jec^Qns verticales des courl^es de contact du cône et du cylindre, sont de^il^éesen parties pleines et en parties ponctuées. La partie pleine correspond ^ la portion de la sur&ce de révolution qui est en ayant du méridien OO', parallèle au plan vertical de projection* La partie pleine dans la projection horizontale^ correspond à la portion de la sur&ce de révolution qui est au-dessu:^ duplus grand cercle de cette surkce (OO'MM^, 00^*)
«1^1» Des trois méthode^ que «pus avons exposées, une seule suffit pour taHiver lee lignes de aéparation dVmibre et de lumièfe suc les surfaces de révQ^
aiS GiOMÉTRIE DESCRIPTIVE.
lution 9 dont on connaît les génératrices^ cependant pour obtenir cen courbes *avéc exactitude, et pour éviter KeHipLoi» dts lignes diPdites qnif^e couperaient trop obliquement, on sentira "dans 'là praltîipa^ d» dessin'^ in aécessilé d'avoir recours à Tune ou à l'autre des trot^'méltiQdesy'tt-éeclioàir , daMchflKjite cas 'particulier, cette qui donnera les eotwtructioBS le^'plus exactes.
Corollaire.
iSa. Si Ton regarde la parallèle (BC; ôc) au rayon de lumière comme une droite donnée, oh aura résolu la quèstioh de nllener par cette droite un plan tangent à une surface de révolution. En effet, cfe plan est (art. 3a) tangent au cône et au cylindre circonscrits à l'eUipsoide , et le point de contact a pour lieux géométriques, les courbes de contact de TeHipsoide et des- surfaces qui lui sont circonscrites : or, ces courbes qui ont pour projections, Tune, les lignes HITMM'P, hhmnip; Tautre , les lignes ai3>/, a /S'y/", se coupent aux points (tf; a') , (/3. jS'); donc les plans menés par ces points et par la droite donnée (BC, bc) , sont tangens à l'eUipsoide.
PE L*OMBRE d'une VIS TRIANGULAmE. ( Pi. 7. O.)
De la ligne de séparation Nombre et de lumière sur la surface réglée àuJUet
de ia vis.
1 53. Nous ne considérerons^ sur la vis triangulaire , que le filet qui est es saillie j^ur le noyau dé cette vis. Le noyau est un cylindre droit , qui a pour base un cercle du rayon AB ou AD. La section du premier tour de filet par un pla^ vertical CAS , qui passe par Taxe vertical A du noyau , est un triangle isocèle Cbcy dont les côtés Ci, cb prolongés coupent l'axe du noyau aux points (A, «), (A, af). Le chevron Cbc est la figure génératrice du filet de la vb; les droites Cby bc se meuvent de manière que chaque point de ces droites décrit une bélice (art 36) dont \epas est égal au troisième côté Ce du triangle Cbc ; chaque hdice est sur un cylindre droit de même axe que le noyau , dont la base est un cercle qui a pour rayon la distanceconstante du point mobile à cet axe. Ainsi le point (G, G') décrit, sur le cylindre droit à base circulaire GFEF, une hélice dont la projection sur le plan vertical XY, est Gfecft 'd... L'hélice décrite par le point (B, A) sur le noyau BDtïG', sépare le dessus et le dessous du filet ; elle a pour projection
verticale , la ligne bgdb'^4*^ tlles deux hélices et Taxe du noyau peuvent être
considérés comme les trois directices de la droite mobile qui engendre le filet de la vis. Soit (GBA, Gbd) la première position de la génénitrice; cette droite coupe l'axe du noyau au point (A, a) y et les deux hélices directrices aux pointa
GiOMKTEIS DESGRIPTIirC. Hig
(G,C), (B, b). L'axe^ pour ducun de ses potnls, est sa propre tangente. Les hélices ont pour tangentes aux points (C , £/ ) , (B, ^) de la droite (CB i Ob) de la surface du filet , d^ droites situées dans les plans verticaux CH, BI perpendiculaires 9U rayon ABC, et par conséqu^tt parallèles à Taxe du noyau (A, o^'); d'où il suit (art. i35, liv. i^'^) que la sur&ce du filet est touchée suivant la drmté (ABC , Cèa\ par un paraboloide , qui a pour directrices Taxe du noyau et deux tangentes aux hélices décrites par les points (Cyc)(By3). La tangente au point (C , d) est (art. Sy) l'hypothénusé d*un triangle rect^gle qui a pcrar côtés une droite hoiîzontale GH égale au quart de la circonférence CFEF, et une droite verticale égale au quart Ch du pas de l'hélice. Lataiigente au point (B^é) de la seconde hélice , est Thypothénuse d'un autre triangle rectangle qui a aussi pour ooCé vertical un quwt de pas ^ de l'hélice, et pour côté horizontal une droite BI égale an quart de la drconféreoce BGD&. Un plan vertical quelconque AIH, passant par l'axe ( A , aaf) du noyau , coupe le paraboloide tangent, suivant une droite dont la projection verticale hh est parallèle au côté Cb du triangle C6c.
Ainsi la droite mobile génératrice de paraboloide tangent , est pour le pre- Bsier mode de génération , constamment parallèle au plan vertical CH , lequel est perpendiculaire au plan vertical ABC , et pour le second mode , elle se meut parallèlement au plan (CC', Cb) , perpendiculaire au plan vertical ÀBC , et incliné à l'horizon sous un angle B'Gb.
Si l'on conçoit ce paraboloide fixé à la droite mobile génératrice de la sur^ £ice du fiiet, il sera tangent à cette sur&oe dans toutes les positions de la droite. ^ ,
Du cône (m 4u cyiindrB tangem a la smFfaùe ^
1 54- Xe^ point lumineux étant le sommet ducone tangent à la sur&ce du .filet d'une vis ,ie plan mené par» poiotec pair uned^itoquelconque de la. sur£au:e, est tangmt à cette Aurùicii (arjU i44, Uv» i^''.) ^ le point de contact appartient à la lâgaa defiéparatioa àLomhK:,»t .de lomièr^.,. ou.au contour apparent (art loo ) , silWa prisJ'io^ du sp^etuteur. fiow: le^ sonpim^t du cône. Pour déterminer le point de 'Oowtact, on conçoit par la droitç de l^ iJ^WS&ce du filet , le paraboloide tfn^ent dont q«i conoait les deux 6y$|;èn)es.d6)gf§nération. Le plan m^né par le fic^En^^ldu^^^e^ coupe ideox dwite s quelconques dUiSecondsystèipe de généra- 1 tîûaen,.d«uxpis>ints, et ladaroiAe^i^i jciinA>ces4^Ux.poi^ renppptre la droite * CDiûimioeau pambeloide et ki^\Vif^o^à^ $let,.£m^poÂnt de cçfnjtact) demandé. - •veiptao^mené paraUèlei»^ati4ilx myCins^ dejluwiÀre^ toucherait le paraboloide j'en uïupûintqwseraît sur la ligne^âépara^on 4'ombqeet de lumière, dans rhfppdiè»?. d'im 'point lumînetix attiré (k l'in^nK ,Ce!tt? ligne peut aussi être
considérée comme la,c<>urbe.de>09^tact d^ila «irÊvce.^uflet et d'iiù cylindre dont la droite génératrice fMpaitallèkl9PXir9tyoaé»li]tBfinei^^ titution d'une zone de .pafii)>oipide^'àffH^Ueid€iilasai&ce<luffilet) on dét^mine sur chaque droite de,,^ M^9^Q/^ UOi poiofc ^Q^l^. lignes* 'de* <(eCte' surface- et d'un cône dont on doiujie le aiHmoet^loiL d'uji c^DrlittdjQe^dont »]a .çénécataiGe est parallèle à une droite .doiméfe, .: I !.lr (f tll! . 1 i> .' . I .
Z^ /^ courbeide cMtaetd^la \5uiffkoê* î^^^i Q'une^w etcPim^cyUnére tangent à . . tettestitfacçydes pclintfilimiies dôiceifecourb^
1 55. Le filet d'une vis étant iKimpris' entre .les deux cylindres verticaux qui ont pour bases les cercles des rayons AB, AG, les lignes.de séparation d'ombre et de lumière daus. l'hypothèse de» rayons de lumière parallèles, ne doivent pas s'é* tendre au delà de ces cylindres; c'est pourquoi nous allons rechevcher les points de ces lignes qui, se trouvent sur les hélices décrites par les extrémités ( C , C% (B^ ^), de la droite génératrice du filet.
Nous ferons remarquer que les plans tangens de la sur£ioe du filet , menés par tous les points d'une hélice de cette surface, font. le même angle avec l'axe du noyau de la vis ou avec toute autre droite parallèle à cet axe. En efiPet , chacun de ces plans contient une tangente à Thélice , et la droite de la sur&ce qui passe par le point de contact; or, ces deux droites font entre elles et avec une parallèle à l'axe du noyau, des angles qui ne varient pas; donc le. plan mené par* ces deux droites, à une inclinaison constante par rapport à l'axe, quel que soit le point de l'hélice, intersection de ces droites.
Déterminons ce plan, pour le point ( F j/) de l'hélice (GEFF, C^) , tel que la tangente à l'hélice en ce point, a pour projection horizontale une droite FK perpendiculaire au rayon AF. La hauteur^' du point (F, /) de l'hélice au-dessus du plan horizontal de projection , étant égale à un quart de pas de l'hélice, on prend FK égal au quart de circonférence CF, et la tangente à l'hélice au point (F^) coupe le plan horizontal au point K* La droite de la surface du filet ^ui passe par le même point ( F ,y) de l'hélice , rencontre le plan horizontal au point ^', qu'on détermine en menanty^^ parallèle au côté cb du triangle C'^, et en portant Mtp de F en (f/. La droite K^' qui joint les deux points K, (p', est la trace horizontale du plan tangent à la surfaice du filet au point (F, y) de l'hélice décrite par le point ( C , C. )
Si par un point quelconque ( O , o ) de l'espace , on mène un plan parallèle à ce plan tangent, il aura pour trace horizontale une droite LK' parallèle à <p'K; et pour déterminer le point L où cette trace coupe la droite OO'L, parallèle à AF, on conçoit par le point (O , o) une parallèle à la génératrice ( F0' ,/Â' ), qui coupe
h droite OLi at> |ioini L.*A^»M4É)éApé<d/^Mltèie'<à'^^*où/^9 cette parallèle rencontre rijitei»bclk)i»)X¥'lckB*deiifttf(ltttii^ii^ an point /; la cir-
confèpenoe décrit}etidu;piiîntoO eémmc^lbehtt^e^Wéo'OI/ 3=?07 potir rayon, rencontre la droite 00''prdk>ngéé ,'Gla>(io(Ml} itllerëection du plan horizontal et de la parallèle à la gé»iératiltice(F^v/3lr')da filek de la^w , Menée par le point (O, o). La perpendiculaire OM, abaissée du point O sur LR', détermine le rayon de la base d'un cône droit , dont tous les plans tangens ont , par rapport à Taxe de ce çone , une inclinaison égale à celle du {llan tangent à la surface du filet , mené par le point (F,y) de l'hélice que Ton considère , ou par tout autre point de cette hélice. Les deux cônes droits qui ont pour sommet commun le point (O, o) , et pour bases des cercles décrits du point O comme centre avec les rayons OM , OL. sont tels qu un plan tangent au premier cône et sécant du second, contient deux droites de ces cônes qui font constamment entre elles le même angle : la projection horizontale LOM de cet angle est aussi constante. Nous désignerons les deux cônes droits du sommet conimun (O , t>) par l'es lettres C et G. D'après la construction du point L de la base du second cône C\ chaque côté de ce cône fait avec son axe, un angle égal à celui que la droite génératrice de la surface du filet fait avec l'axe du noyau ( A, a^). •
i56. Supposons maintenant qu'il faille mener im plan tangent à la surface du filet, parallèle au rayon de lumière (A, A'), et déterminer le point de contact, sur rhélice donnée qui contient ce point. On mènera un plan tangent au cône C par la droite (OZ , oZ'), parallèle à ce rayon. L'arête de contsict sur ce cône ayant pour projection horizontale la droite ON , on fera l'angle NOP égal à l'angle à MOL, et la droite OP sera la*projection horizontale de la parallèle à la projection de la génératrice de la surface du filet qui contient le point de contact demandé. Menant la droite AS parallèle à OP, cette parallèle coupe la base circulaire du rayon AG au point S, projection horizontale d'un point (S, s) de la courbe de contact de la snrface du- filet et d'un cylindre tangent à cette surface, dont les arêtes sont parallèles au rayon de lumière. On déterminera de la même manière, par la considération de deux autres cônes droits C, C, le point (T, /) de la courbe de contact, sur ThéHce du noyau , décrite par le point (B, à). Ayant trouvé les points limites de la courbe de contact de la surface du filet et du cylindre tangent, on construira, les points intermédiaires, ou sur les droites de la surface du filet comprises dans l'angle des deux plans verticaux AS, AT, en imaginant par chacune de ces droites, le «paraboloide tangent ( art. i53), ou sur des héliees qui auraient pour projections horizontales des cercles décrits du point A comme centre, avec des rayons plus petits que AS et plus grands que AT.
La .verticale élevée par le point S ou T , rencontre les hélices auxquelles ces
points appartiennent en (Fautres points dont les projectkN» verticales sont s s\s"j etc. , ou t^ i yi\ et pour chacun de ces points ^ le plan tangent à la sur* fece du filet est parallëe an rayon de lumière.
Des Uniites de la projection verticale (Tune vis triangulaire,
157. Le triangle générateur (CB, Cfc) du filet de la vis, se meut de manière que chaque point des côtés Cb^bcde ce triangle engendre une hélice ; les projections verticales des hélices du filet sont touchées par une courbe qui est la limite de îâ projection verticale de la vis. Pour construire celte courbe, on la considère comme la section droite d un cylindre horizontal tangent aux surfaces supérieure et inférieure du filet, ou comme la projection de la ligne, lieu géométrique des points de contact de la surface du filet , et de plans perpendiculaires au plan vertical de projections. Une hélice étant donnée sur la surface du filet , on détermine le point de cette ligne pour lequel le plan tangent au filet , est perpendiculaire au plan vertical de projections : la projection verticale de ce point appartient à la limite de la projection verticale de la vis. Prenons pour exemple Thélice décrite par le point (C , C). Le plan tangent à la surface du filet, mené par un point quelconque de cette hélice , fait avec Taxe de la vis Un angle constant qui détermine Tangle du cône droit C dont le sommet est en un point quelconque (O , o) de l'espace (art. i55). Le plan tangent i ce cône droit, perpendiculaire au plan vertical de projection , passe par une horizontale KM" perpendiculaire à XY et tangente au cercle de rayon ÔM==OM'. Portant Tangle MOL en M'Ojtt , la droite Ofi est la projection horizontale d^une parallèle à la projection de la génératrice de la surface du filet , laquelle génératrice est située dans le plan tangent à cette surface, perpendiculaire au plan vertical de projections. Menant le rayon Att, parallèle à Ô;* , qui coupé le cercle du rayon AC au point tt, la perpendiculaire Tr^r' a XV," coupe là projection verticale C/e de l'hélice décrite par le point (C , C), au poiiit (* , ir) àe la courbe tangente aux projections verticales des hélices dû ÉÎlet. La droite cttî^ prolongée coupe les tours successife de là projection verticale dèlà'^ènniière BtélWe ' endes points distans de la hauteur du pas de cette hëlîcë. ï^ôur fflteûl'lroîr Ià'])rojecHon verticale du filet de la vis entre les boints CS'et*^ de teWè j^rojèction , bn a tracé à part (^. a), sur une pliM grande
cale de l'hélice f C/»ur laquell(e on ^r , j , ,,^ . , .-. , - .-
des deux branches ir"'i, i^h de là Umite'de 'li pi^jedSàh ve<<^ïcai«rde la Vis. En raisonnant sur rhéUce du noyau <iécrH;è' ^'àil W )^MliX'^), delà meèié Manière que pourlapremière'ïiâîce;ony%(iuvé;<ï^'i^6ïW^^ points V , ^. Les points 5 , ^ V sont lès xi&smèé <îes 'diruk' bi»àiicheS 5:7.8 ; 6:7.9 ,
6.7.9 est le prolongepicnt de la branche 7r4-9*6 , q»i se répète en ^3 au-desr S0US de rkorixontaie XY , e^f?a 5^7,.8 ^t4^»ps 4e Tihorizoïitale 7.7'.
De la courbe de contact de la surface du filet de la vis triangulaire^ et d^un çorie
* tangent à cette jiurface.
1 58. Le sommet on cône tangent étant donné, ri n y a aucune droite de la surface du filet qui ne contienne un point de la courpe de contact. Cette courbe a pour limites les points situes sur les hétîces extrêmes décrites par les points (C, c'V, YB, il de la droite Génératrice du filet. Nous allons d*abord construire le poinè 'situé sur I9 première bélice. Soit (O, o) le sommet du cône tangent, et en même temps le sommet du cône droit que nous avons désigné (art. i55) par la lettre C , dont tous les plans tangeiis font avec la verticale (O, Go) un angle égal à celui que les plans tangens à la surface du filet, menés par les points de la première bélice, font avec l'axe (A, ûj'A) du noyau. Regardons le point donné (O, o) comme le sommet d'un troisième cône, qui a pour base la première hélice, décrite par le point (C, C) ; le plan tangent à ce dernier cône et au cône C, sera aussi tangent à la surface développable , circonscrite à la surface du filet suivant l'hélice; donc il sera tangent à cette dernière surface, et le point de contact sur l'hélice appartient à la courbe de contact de la surface du filet et du cône tangent à cette surface dont le sommet est le point donné (O, o).
Le cône dont le sommet est au point (O, 6) , et qui a pour base Fhélice décrite par le point (C, C), est coupé par le plan horizontal suivant la courbe spirale CxMÎai^ comprise dans l'angle (iOa\ lequel angle est formé par les tangentes an cercle du rayon ÂC, menées par le point O; le cône droit C a pour base sur le plan horizontal, le cercle du rayon OM; donc si Ton mène les tangentes 1.1', a. a', etc. aux deux bases, on aura les traces horizontales des plans tangens ,àu cône C et au cône qui a pour base l'hélice décrite par le point (C, C).
La première tangente r.i' touche le cercle du rayon OM au point i', et le plan tangent à la surlace du filet , qui a pour trace horizontale cette tangente , touche le cône droit G suivant une droite dont la projection horizontale est Oi'. Ce plan coupe le cône droit qui a pour base le cercle du rayon OL, suivant une
cherché (Q, q) sur Thélice décri^p ^ar le.pou^t (C,C).
iSg. La droite OQ prolongée, cpujfe la courbe spirale au point de contact i de cette courbe et de la droite boji^ont'ale l'^i',' trace du plah qiîi est tangent à la surface du filet, au point {Q^q) de cette surface. L'intersection de ce plan tan-
U24 CÉanéTAIB . DESCBIPTllTE.
gent et dcFaxe (A, ezâf), est le point (A, 9) qu'on détermine en roenant le plan vertical Oj^, parallèle au plan Tertical de projections. La section du plan tangent par le plan vertical OA ^^ une droite dont la projection verticale est^u Par le point (797') de cette droite ^ skué dnna le plan vertical A')^ parallèle à la
droite i.i' J^, on mène l'horizontale (A7iy4) d" P'*" tangent; ta parallèle ^4 * XY, coupe la droite aa' au point 4* î^ droite génératrice du filet dans sa pre* mière position (CB, C3), coupe raxe(A,^AV)au point (A^ a'yi quand elJe coupe l'axe au point (A, 4)» chacun de ses point» s'est élevé de la hauteur ^74 dont on connaît le rapport avec la hauteur du pas de Thélice décrite par le point (C , C). Prenant un arc CFQ du rayon AC, qui soit & la circonférence entière de rayon dans le ménie rapport» l'extrémité Q de cet arc sera la projection hori* zontale du point cherché (Q, y) de l'hélice écrite par le point (G, C), et qu'on a déjà trouvé par une autre considération.
On construira de la même manière le point (R,/^* sur Thélice décrite par le point (B,^), et quant aux poiûts intermédiaires compris entre les deux plans verticaux AS, AR, on les trouverait ou par la même méthode, ou par la considération du paraboloide tangent (art. 1 53)^
1 66. Le second plan tangent à la surface du filetdont la trace horizontale est a.a\ touche cette surface au point (Q', q^)^ situé sur le tour du filet qui suit immédiatement celui sur lequel on a trouvé le point (Q, q). Le cane tangent, dont le sommet est au point donné (0,o), touche les toui^ successifs du filet suivant
les courbes (QR, ^r)^ (Q'R'^?'^')'» - ^^ ^^^^^ ^ suite à l'infini. Dans le cas où
le cône tangent devient un cylindre , tous les points tels que ç^ (f^ etc. , ou r^ /, etc. ^ 9ont situés sur une parallèle à la projection verticale aAV de l'axe du noyau.
Les courbes de contact de la surface de la vis et du c6ne tangent à cette suis face, qu'on n'a tracées que sur le dessus des filets, se construiraient de la même inanière poiu* le dessous.
Quant aux ombres portées sur les filets de la vis , on peut coMulter la légende de répure , que nous avons publiée en 181 3, (tome a de la Correspondance ^ n** V, page 447). Cette épure comprend k dessin complet de la vî» avec sa let« et 9Wk écrou.
^i^mt^mmm^
§'. YI. DES pourra faAfgprs des $uiu:ac£s«
De la largeur de la pénmnjbtti àons "fkjfptfdùtse^où le corps lumineux et le corm cpaque sont dés sphères. (M: S^O, récmie à la planche 10 P.)
1 6 1 . On a vu ( art 93) que 4e$ svr&ce$4u eoi|i3 Jura ineux et du corps opaque étant données,, lai ^siufilce d4velq|)lp'A)e f'^^rconscrite à ces deux surfaces est déterminée ; qu*eUe est f ^xveloppe de Feapace qu'un pla^ mobile parcoure^ rait enitoucbant continuelleraent les surfaces des deux corps; enfin que les portions.de l'espace, coihpriseB enâré- les nappes^ ^dc cette surface enveloppe, sont dan&Fomï^ie on dans la pénombre. Prenoqj^ pour exemple la terre éclairée par le sol^fl^ 0t|ilppo$oiis q^e okacun de ces cè^A , ;I'uu opaque , Tautre lumineux, soient des sphères; en joignant leurs centres par une droite., un plan quelconque mené piâr cettl^fâite cantfent les centres S, T {pi. 8 O^Jtg. i) du soleil et de la ten^e, et les grands cercles ABDE, abde de ces deux globes. La sur£atCQtdéy^Iofip^leipCirftOiis<aiteaux deux sphères des.centres S et T, se compose de deux cônes droits qui ont pfur axe dommun la droite ST des centres , ^t'pour sommets^ îtm le ^mi J de l'axe situé'entre les centres, l'autre unpoint situé au delà 4^ Mntres. lie premier «ônè'-est^jtàngen^ aux sphères suivant les Cercles de5 diamètres AB ^ ^; et k ^cood )o6iie suivant les cercles des dia* mètres DE , dlir; ll>mbre totale de la sphère dii.VJentre T, est comprise ^ntre ce: demiercfe9d^,etleWond c6ne droit, pHolongé itld4fini||l€nt^u delà du centre T. %jaL péaonbre est I| i^artîe de l'èspaçeeoniprise entre la z<»ie sph^ique qui est tennioéQ par les cerclès'des diamètres ^^ db; ^ les deàx cônes droits prolongés^ Méj&mdfient au delfcdtf ces cercles. En coupant «l^s deux cônes par un plan XT jpcr{^diaillîffe*jsla dMâteST«deBoentMS,.U sèolîonde Tombre totale est un cercle du diamètre PQ, et celle de la pénombre est im disque compris entre ks^oerdes dris^WfDtit^^/^^ ILP« Les* plahîi lahgisii^ ft tb sphère T, menés par leA djeux>iKNiitsfarym) de Ih ^étmitlbra Q^y étant pipiongés indéfiniment en M «lkM^ilMrf|p«roo*ia4plÉàfiiiMÉi}neM f^pe seule-
ment éclaire Je point moule point m'; ce dernier point , plus éloigné de Votoiïté totale que le premier, est aussi plus éclairé.
Lorsque la distance ST des centres des deux sphères est très-grande, les droites £4 Aïa des cônes circonscrits à ces sphères «^ se coupent en un point e, très-rapprocbé de la sphère du cea» e T; Les points S,T étant considérés comme les centres du soleil et de la terre, cette distance est de aSSyS rayons terrestres j alors le point c ne s'écarte pas sensiblement de la surface de la terre , et l'angle d'un demi-degré, sous lequel on voit le soleil d'un point quelconque de la terre, ^u de celui que les deux côtés cÀ , cE ou leurs prolgngemens c^ , cQ
font entre eux. Il en ré^ulî^ane/^^^icftgpj?/!^^^ de la largeur ^^ de ja^e^^^
sur le plan XY, k la di^ôltë cQ'^^dKMÏfè^dti t)blttif'(^ H i'btixUëQ de tfe ï5otnt, a pour valeur très-apt)ric)fcfcée ; re'?a^pôtf!lriVc!rëè âûVa^oh' ;^kia tâttgèïiW angle de demi-degré, c^èst-à-diVë rn. Sïïe^^làn ffomîité Q^ était lùeliné par rapport au plan XY, la nouvelle pénomBfe^lJ^^ S^àit'^à ïfrèfj^-peu pÈik Jiéil égale à la première Qq multipliée ^^r le^ sihiïi^lle ^Tangîé Q^^^ <îW^l^h Qç^ et du^ i^yoïl dé lumière cçç'. En supposant «et kifj^é de 45 «tegi^s^dn durait (;^'=£i%w^7,' et par conséquent le rapport de'ik f)énottibrë'^Ç^ à* fe droite eQ, distance du
point .c à son ombre Q, serait^; prodoit^de rh pan* \^a.
La zone sphérique, comprise ehdrelès cercles* de^ dianic*re*û^/€sfe, appartient à la pénombre; et parce que les i^yons T^, Ttf perpendiculaires aux côtés des cônes Bip, AdP font entre eux un'dnfgle égâl^^elui dfc ce$ iJÔtés, c'est-àdire d'un demi-degré, il s^ensuit <jue la largeur bdy o\x ae-ydè la pénombre siur la sphère terrestre , est^ à très-peu près Ik iï5® partie an rayon de cette sphère.
Du rapport des clartés réelles et apparentes ^ dans V hypothèse d^un corps lumineux , . à dmensioms finies. -^ Dès points brillojïs des surfaces polies.
l6a. Ifôuâ avons déterminé les otnbres linéaires dans l'hypothèse où chaque point de 4'espace n'est éclairé que par un seul rayon, parallèle à une droite donnée, ou pàï^tant d'un point lumineux. * Lorsque les rayons de lumière sont parallèles entre eut, tous ies points isolés de l'espace sont également éclairés, et la clarté d'un élément de surfece courbe est proportionnelle au sinus dé l'angle îqùiei le "plan de cet élément feit avec le rayon de Jumière. Lors- 'que l^s rayons partent d'un ppint , la clarté d'un point isolé de l'espace est e» raison inverse du carré de sa distance au point lumineux; celle d'un élément de surface est en raison inverse du carré de la distance de cet élément au point lumineux, et feW..rafson\di^e€te du sinus de l'angle, formé par le plan de l'élément et par le rayon de lumière incident; le rapport de la clarté réelle d'un "point isbli^ de l'espace, à sa .clartéi apparente, ue dépend que 4e la distance de ce point à IVeil du ^péGtatfuk*,i<et;ce rapport, poui? un élément de surface, dépend d'abord de cette<'distaa!ice^tet ensuite die l'angle que ie rayon visuel, dirigé vers Fteil^ fait avec «le (plana de l'élément. La détermination des^ clartés réelles et apparentes^ devient beaucoup plus compliquée dans l'hypothèse où ' la lumière émane d'un , corps à dimttisioiis finies., tel que le soleil : alors , la clarté d'un point isolé de l'espace est déterminée par le cône lumineux qui a son sommet en ce point , et qui est «circonscrit à la surface du corps lumineux. Un point dont le cône lumineux n'est atteint par aucun corps opaque , est
totalement éclair^ (art. 80) ; les,pointft totalement éclairée, né le sont égalemeni, que lorsque les cônes lumineux qui les éclairent, sont égaux.
Après avoir construit les lignes qui forment sur la surface d'un corps donné ^ la séparation d*ombre et de lumière et le contour apparent qui correspond à une position déterminée de Toçil d*un spectateur , -la partie de la surface comprise entre ces lignes, est visible en totalité, et cependant die ne le serait qu'en^ partie, si le corps était parfaitef9e.nt poli, En effet , considérons un point écl^ré de ce corps , placé dans l'intérieur du contour apparent Ce point , dans l'hypothèse d'un corps lumineux à dimensions finies , est le sommet du cône de lumière dont la sur&ce est circonscrite à celle du corps lumineux ; or, on conçoit qu aucun des rayons de lumière appartenant au cône de lumière , ne puisse être réfléchi vers l'œil du spectateur : donc il peut arriver que le point de l'intérieur du contour apparent sur le corps opaque donné , ne soit pas visible si ce corps était parfaitement poli. Mais tous les points ^ éclairés de l'intérieur du contour apparent d'un corps opaque , sont effectivement visibles. Il résulte de cette obser*vation qu'il n'y a aucun corps qui soit d'un poli parfait. La surface de tous les corps est ondulée; chaque molécule de cette surface s'étend dans divers sens, et présente au corps lumineux une facette , qui réfléchit la lumière vers l'œil du spectateur.
La partie d'un corps cjui serait la seule . visible dans l'hypothèse d'un poli parfait, en serait encore la partie brillante dans l'hypothèse contraire, et l'on pourrait proposer d'en déterminer le contour, qui. dépendrait de la forme du corps opaque et du* corps lumineux, et de leurs positions par rsfippert au spec^ tateur. Nous allons résoudre ce problème pour le cas particulier où le coips lumineux se réduit à un point. Alors* les seuls points visibles d un corps dans Tbypothèse d'un poli parfait,. sont encore le$ points briUans de ce corps, eu admettant Fim^erfection des surfaces».
Du point briUcou sur une surface courbe guelconçue.
f 163/ Qfielle ^e soit la surface du corps- donne , on conçoit un ellipsoïde de révblutîob fanant à cette surfaire et qui a pour foyers le point lumineux et l'œil du spectsitedr. Le point dt& contact de la sfnr&eefM*aposée et de l'ellipsoide, détermine le poiM brillant IjOl nèrmale eh èepoînt divise en dieux parties égales le frayott^lumlèf^ incident ^t le rayo^ nifléoht vers l'œil du spectateur; de plus, elle pitese («ài* rake d|s ré^olutiob de MKpsoide^qui joint le point lumineiux et l'œil dtt i^dtateAr. Lbrsqfue les« rayons» de bin^ièi^ sont parallèles entre eux; IVlHj^dlâémtige^ seèhangie en un pandMlloidci de révolution, qui a pour axe iâ pararllèleattlMyoûde iumièr^^menée^par i'œîAiduspeetatettr^.La normale au
point de contact de U smiace da -corps et du paraboloide, divise en dtux parties égales, Tangle formé par le iny«« inotéent *n ce point et par le rayon réfléchi ir^rs i'œil; elle passe amsi par Taxe diiparabolokie.
CojutrucHon dtipai/H brillant
1® Dans riiypothèsc d'un point lumineux. {PL 8. O,^. a.)
164. On joint Fœil du spectateur et le point lumineux par une droite, et par tous les points de cette droite, on mène des normales à la surface proposée. Les pieds de ces normales sur la surlace, forment une courbe qui est évidemment lé lieu géométrique du point brillant Mais il y a sur chaque normale un point que Ton peut regarder comme le sommet d'un angle dont les côtés passent par le point lumineux et par Tœil du spectateur, et qui est divisé en deux parties égales par la normale ; ce point qui appartient à une courbe de la surface réglée des normales, serait le point brillant demandé, s'il était le pied de la normale; â'où il suit que cette courbe est un lieu géométrique du point brillant. Mais la courbe des pieds des normales sur la surface proposée est un autre lieu géo< métrique du même point ; donc rintersection de ces deux courbes détermine lé point brillant.
a^ Dans l'hypothèse des rayons lumineux parallèles (P/. 8. O^g. a.)
i65. On mène par l'œil une parallèle aux rayoos hmineux ; de toos les pctols ééd cette droite^ *on abaisse des nonnaks sur la sur&ce proposée. La coorbe des pieds des «monnaies , et celle des sommets des angles égaux fonnës de part et d'autre de chaque normsde par un rayon incident et un. rayon réfléchi , détermînettt le point brillant.
Explication de lajig, 2, 0L8. O*
1 66. Soient NO une normale à une surface i L, <t, le point lumineux et l'œil qu'on suppose dssns le plan de la normale. Ou abaisse la perpendiculabe âeaef sur KO , et on poite la distance Q<y en Qo^. La droite Lœ\ prolongée' coupe la nocnud^ au point P , qui siérait le. point briUant de la surface > si oe point coïocidaii'aYeç le pied de la normale sur U suriaçie.
Lorsque le« rayons de Ivmi^e sont parallèles à la droite donnée j^» 00. abaisae^d^ iœil og la perpendiculaire 0^ 4 b normale ; on porte la distance ^eQ en Q^'( la parallèle ^F à la droite p coupe la normale au point F , qui serait I0 poînt brillait de la surface, si pe poiat cûïpKJdait avec le pied de la normale -«ur la surface.
Ces deux consIrcictioM font YOir comment , dan^l'lr^pothète d'un point lami- «eiix ou des rayom parallèlilB', <mi détemsM sur chacune des^ formates d'ane ftUFÊiee, qm est dam \e fhtk é^ Vcàï et d'an rayon Icmîneux^ un floint tel que P ou P^ d^nne eoorbe , qui est un lieu géométrxpie da point brillant de la surface.
Construction du point brillant sur quelques surfaces particulières,
167. ILta méthode générale que nous Tenons d'exposer se sûnplifie pour queir ^ues cas particttliers quç nous allons examiner.
Supposons i^ que la surface donnée soit telle qu'elle ait pour surface norr Oiale le long d'une ligue connue, un plan; chacun de ces pbas normaux cou* peffa laUgue droite qui joint Teeil du spectateur et le point lumioeux, ou la parallèle aux rayons de lumière menée par l'oeil; &t du point d'ioter section on abaisse une normale sur la ligne connue du plaa normal , ell^ sera ai^si nor-" maW à la surÊice : le pied de cette normale , et le sommtetcle L!ai>gle qu ou trouve sur cette normale comme pour le cas général , appartiennent k deux courbes , dont l'intersection détermine le point brillant.
Les suc&ces développables et les suriaces de révolution sont dans ce cas particulier^ car dles ont pour surfaces normales des plans qui coupent les premières suivant des droites ^ et les dernières suivant des courbes méridiennes.
a<> La surface proposée peut avoir pour surfaces normales suivant des lignes conniies , ou des cylindres ou des cônes qui ont ces lignes potu* bases. Dans le premier cas , on mène un plan par la droite qui joint le point lumineux' et Foeil du spectateur, et par une parallèle à la génératrice de Tun des cylindres normaux ; si ce plan coupe le cylindre , il contiendra une normale sur laqueHe om aura , comme précédemment , les points de deux couii)es dont Vinterseclion détermine le point brillant. Dans le second cas , on mène le plan par la droite qui joint le point lumineux et l'œil du spectateur, et par le sommet de l'un des cônes normaux; rî&teraection du plan et du cône normal, déterminé nue normale à la surface proposée, qui rencontre comme la précédente, la droite menée par l'oeil et par le point lumineux , ou la parallèle aux rayons lumineux 5pii passe par l'œil , lorsque le point lumineux est à Imfini.
On a vu (art. 1 7 5, liv . i ^^) que les surfaces de^vôlntion' ont pour éurfacés Normales suivant des cercles , des' cônes droits qui ont pour bases ce* cercles , « pçvf sommet, de$ poîa^Ae^ l'axe ^de révokitioii ; on- pourra donc employer les côoQs «couMiux pow la Mchorche des points bnUans. La détengaioMion de ces |HW>ts#eDa encore plus facile que par la méthodiepréeédeBta, qui suppose quon abaisse d'un point hors d'une courbe jnéridi^eimey^une normale sw cette cowbe*
a3o OiOBflTRIE l>£^CRl^TIYï:«.
3<^ La surface proposée est réglée^ t^est-à-Hii'e^ qu'elle a pour génératrice une ligne droite. Toute surface réglée- a pour aurâice tangente , suivant une droite, une infinité de plans gauches otf pâîrldiôtoides hjperboloides. En effet, si Ton conçoit une droite de la surface réglée , et trois plans tangens en trois points différens de cette droite , trois plans quelconques , parallèles entre eux , menés par les points de contact , coupent les trois plans tangens suivant trois droites, qui sont les directrices de la droite gémératrtce d-un paraboloide tangent (art. i34 ) liv. i^'). Or, Tun'de ces paraboloidesr tangens a po«r directrices, trois droites perpendiculaires à la droite de la surface réglée; donc si Ton fait tourner ce paraboloide autour de la droite de contact, il deviendra, après un quart de révolution, normal à la surface réglée. Il n'y a donc aucune droite de cette surface par laquelle on ne puisse concevcnr un plan gauche qui lui soit normal. La droite qui joint le point lumineux et l'œil du spectateur, <m la parallèle aux rayons de lumière menée par l'œil, rencontre ce paraboloide normal en un point. Le plan conduit par ce point et par la^^droite de ta surface réglée, contient , comme dans la solution générale , une normale sur laquelle se trouvent les points des deux courbes, dont Tintersection détermine le point brillant.
Des points brillons à vue d'oiseau^ c^est-àrdire dans Vkypoûîèse ou le spectateur est a une distance des objets visibles ^ telle que tous les râpons visuels peuçent être considérés comme pamllèles à une droite donnée.
i68. Le point brillant d'une surface est, dans cette hypothèse, Tintersection de deux droites qui sont parallèles , Fune aux rayons lumineux , et l'autre aux rayons visuels , ou l'intersection d'une parallèle aux rayons visuels et d'une droite qui passe par le point lumineux. Dans les deux cas, la direction de la normale passant par le point brillant , sera déterminée, puisqu'elle divise ^en deux angles égaux, l'angle des rayons incîdens et réfléchis de ce* ^int; la recherche du brillant dépend donc de la solution de -ce problème : . - >
Étant donnée une siirface courbé ^ lui mener une normale parallèle a une droite donnée?
Ou de celui-ci :
Étant doimée une surface courbe y lui mener un plan tangent perpendiculaire à une droite donnée?
Ce dernier problème se résout (art. loi) en enveloppant la surface proposée de deux sur£sices cylindriques, dont les génératrices sont parallèles à deux droites menées dans le plan perpendiculaii;^ à la droite donnée; les deux courbes de contact se rencontrent wx point brillant.
Si la smfàee pr^^OAi» .i^t ^n^i^^kitiori f^oti mep^^ 4'abord un plau méridien parallèle à.la dr<»t8rdoniiié$itii^îïQ0«^i€i^^4¥^Q (^^ méridienne; la normale à eette eottffb«j^«pàidliièfeàilA<Âsâîl»4^^^^ surface de révolution au
Dans le cas où la:^ur&q«ide réyoUiitiaji^^ pne fi^phère , on mène parle centre de cette ^hète uiie' paraUèle «uk i^ajrons yjfiuels^ etpar ce même centre un rayon lumineiu^l9 4«mèl3^4eiUi^^«*quîid^^ ei^deux parties égales Tangle de la parall^ «iiaLifa|rm9^^u«la^.dUr]|9yfi». luibiBèOt V coupe la sphère au point
brillant (^>i3t£ti4^|^. & 3»^) > : ii. ?!.• ^'> » ^^ '^ - . ^ lè^éQm détenaÙPi(art4 1 ^^pi^ a-^O) Jn ligne de séparation d^ombre et de lumière sur vme sphèrerdfuAs l'bypOthèse où les trayons de lumière seraient parallèles k une xlr^iedo^i^ée^j^l.^ /) » (^JS$f..^ et l^^pL 8P). Cette ligne est un grand cercle de la spbère».qm a. pour yrojectionsLeS' ellipses (£FGH,2%rV). Pour trouver lepoint brîUaiit jpiir rappcurt à un spectateur placé à une distance infinie du plan'horiBoatftl d^ pro)eotkms ('./fif-*3)v' oa conçoit le plan vertical AM , et dans ce plan , ie rajf on de luimère- AIï et 1^ . veriicale AG passant par le' centre de la sphère; la droit6 kp qui diyise.en deus parties égales Tangle GAN , coppe le grand cercle BCGH au point /?, qui est le point brillant demandé; ce point/; est en projection horizontiJe//» ....
On troui^ de lai miémematiière^le point brillant pour un spectateur placé à une distance infinie du plan vertical. Le plan a^' (y^. 4)9 perpendiculaire à ce plan vertical, contient le rayon de lumière am et l'horizontale àky passant par le centre a de la Sphère; La droite a^y qui divise en deux partie^ .égales Tangle karuy coupe le grand cercle bcik au point q; ce point est un autre point brillant, qui a pour projection verticale le point q'.
• •». . ... , 1 70. Nous terminerons ^ ce chapitre des ombres , par les légendes des frois .
planches colées 1 5^ 16 et 17., qui ofirent d'idutres exemples de Tapplication de
la géoii^étrie descriptive au tracé des ombres linéaires ; les deux premiers sont
pris dans les ordres d'architecture, le troisième dans la gnompnique.
La base attique {pi. 1 5 O ), se compose de huit solides de révolution et d'un
parallélipipède rectangle.
• ♦Ml » ' » ;
23a cÈoniTUtn dsscaiptive.
Omhres {Tune hase attique. (PL i5. O.)
LA BASE ATTIQUE. ii» OOmiMMa»,
Fut de la coldnae. | Séparation d'ombre et de lumière.
, - j £* .. Il* Séparation d'ombfte et ée loratère.
Congé au-dessous du fut j ^o o^bw portée par le fût de la colonne.
Premier filet au-dessous du congé. | Séparation d'ombre et dte irtraière.
iï^ Ombre portée par le premier filet, qui se compose des ombres portées par une droite et par un cercle.
1^ Séparation d*ombrc de lumière.
Deuxième filel au^lessous du petit j ^^^^ ^^^^ ^^ ^ ^^^^^
tore I
ii^ Ombre portée par le cercle inieneur du deuxième filet, a® Ombre portée par le tore.
Troisième filet au-dessous de la ( .^^ ^^^^^^ ^ ^ j^.^
scotie ^.H •..•..'^
Y I® Ombre portée par le troisième filet.
j {yoy. plus \^\A petit tore, GM9 ***• \^ Ombre portée par le petit tore.
\3^ Séparation d ombre et de lumière.
, . , I Faces verticales , les unes éclairées , les autres
PUvtbe. -j dansl'Duikre.
Labtt^ àttkîtie est»pré«enlée<j^ i5 O) en plan et en ^lévatk». L'élévation é^ en même temps «ne Bection de cme bi»c par wi plaa cpii pa#se par son axe, et qtxi fait voir les courbes métidienaes généramoes des aoUdes d« révo^ hition dotit ékt se compose.
Ombres (Pun chapiteau dorique y plan et éléi^ati&fh (W. 16. O^ :
jrOMS DES PAKTIES DOITT SE COMPOSE MSIGK ATION DES OMBRES LWlÉAniES
