P'. DU TRACÉ DE LA. PERSPECTIVE LINEAIRE

17a. Li'oBJETà mettre en perspective étant rapporté aux deux plans de projections horizontal et vertical , on suppose qu'on a déterminé , pour chaque partie de cet objet, le contour apparent, les lignes visibles qui ont pour limite ce contour, les lignes de séparation d*ombre et de lumière, les lignes contours d'ombres portées, les points brillans; le tracé de la perspective ne dépend plus alors que de la forme du tableau et de sa position par rapport à Tobjet et au spectateur.

La sur&ce d'un tableau peut être plane ou courbe; elle est courbe dans plusieurs circonstances, par exemple , lorsqu'il s'agit de décorer l'intérieur d'un édifice voûté , tel qu'un dôme dont la voûte est sphérique ou elliptique ; le plus souvent le tableau est plan. On le suppose ordinairement placé entre l'objet et le spectateur; dans cette hypothèse, les dimensions du dessin sont plus petites que celles de Toriginal : elles seraient plus grandes, si le tableau était derrière l'objet par rapport au spectateur.

La position de l'œil par rapport au tableau, est donnée; on le met ordinairement sur une perpendiculaire à la surface du tableau , passant par le milieu de cette surface : la distance de Fœil au tableau ne doit pas beaucoup différer de celle à laquelle on se tient d'un objet pour le voir distinctement. Le champ de la vue n'est pas seulement limité par la distance de l'œil à l'objet, mais encore par l'angle des rayons visuels extrêmes.

On voit confusément ia partie d'un tableau placée hors du cône qui a son sommet à l'œil , et dont le côté fait avec le rayon visuel dirigé vers le milieu du tableau, un angle plus grand que le demi- angle droit. La plus petite distance à laquelle on voit un objet distinctement est, pour les vues ordinaires un décimètre. Un dessin réduit ne produirait plus l'effet de la perspective, si, d'après l'échelle de réduction, la distance de l'œil au tableau devenait moindre qu'un décimètre» Les points de vue pour les plus grands tableaux, tels que les toiles d'avant-scène des théâtres , ne sont pas à plus de quinze mètres du spectateur.

Lorsque la surface du tableau est un plan vertical , on le place ordinaire- ' ment entre l'objet et le speaateur, de manière qu'il soit parallèle à l'horizontal

qui passerait par les deux yeux du spectateur. D'après cette convention , on est dans l'usage y pour juger TefTet d'un tableau , de se placer parallèlement à son plan, de manière que Foeil soit à la hauteur de son centre; si le point de Tue s^écarte sensiblement de cette position par rapport au tableau , la perspec* tive prend le nom cY anamorphoses. Nous ferons connoître dans ce chapitre les anamorphoses directes et par reflexion.

De la perspectis^e d*un système de points sur un tableau plan et vertical.

173. Chaque point à mettre en perspective est déterminé par ses projections sur deux plans ^ l'un horizontal^ l'autre vertical : le plan vertical du tableau est donné par sa trace sur le plan horizontal. On projette les rayons visuels dbigés vers les points donnés, sur un plan vertical perpendiculaire au plan du tableau» L'œil, considéré comme un point, étant donné par ses projections, les projections horizontales et verticales des rayons visuels, sont déterminées. Chacun de ces rayons est coupé par le plan du tableau en im point, qui est laperspec" tive (lu point d'où part le rayon visuel. Pour construire ce point sur le tableau même, on connaît la verticale du point du tableau qui le contient, et sa dis* tance à la trace horizontale de ce plan; d'où il suit qu'en regardant cette trace comme une ligne d'abscisses, et les distances des points du tableau à cette trace comme des ordonnées, la perspective de chaque point est déterminée par une abscisse et une ordonnée connues.

De la perspective d*une ligne droite çujcourbey sur un. tableau plan ou courbe.

174. On divise la ligne courbe donnée en un nombre de parties assez grand pour que chaque partie puisse être considérée comme une petite droite. Les rayons visuels, dirigés de cette ligne vers l'œil, forment une surface conique, dont la courbe d'intersection par la surface du tableau , est la perspective de la ligne .^ Cette courbe passe par les perspectives des points de division de la ligne proposée, c'est-à-dire par les intersections des rayons visuels dirigés de ces points vers l'œil, et de la surface plané ou courbe du tableau; intersections qu'on trouve par la méthode exposée Kv. i *', page 38.

Ix>rsque la ligne à mettre en perspective est une droite , le cône des rayons visuels devient nn plan.

On nomme ligne originale ou solide original, la ligne ou le solide qu'il s'agit de mettre en perspective.

De la perspectis^e des droites parallèles^

1 75. Le plan mené par l'œil du spectateur et par une droite, coupe la surface du tableau suivant une ligne qui est la perspective de la droite. Dans le cas où plusieurs droites données sont parallèles y les dIsmis ainsi menés passent par

une droite qui leur est parallèle ; si cette droite , qui passe aussi par Toeil , rencontre la surface du tableau prolongée indéfiniment, le point de rencontre se nomme point de concours des perspectives des droites parallèles données. Lorsque la surface du tableau est plane, ces perspectives ont nécessairement un point de concours, à moins que les droites parallèles entre elles, le soient en même temps au tableau.

Pour mettre en perspective un système de points , par exemple , les sommets des angles de prismes ou de parallèlipipèdes à faces parallèles, on regarde chaque sommet comme l'intersection de deux droites parallèles aux arêtes des prismes, et on mène par l'œil du spectateur deux autres parallèles à ces arêtes. Ces dernières droites coupent la surface plane du tableau en deux points , qui sont les points de concours de toutes les droites qui leur sont respectivement parallèles. Mais les deux droites menées par le point qu'on veut mettre en perspective, rencontrent aussi le tableau en deux points qui sont déterminés; les deux droites qui joignent ces derniers points et les points de concours des droites menées par l'œil , se coupent ; le point d'intersection est la perspective du point, qui est par hypothèse le sommet d'un angle d'un prisme donné. ' Cette méthode pour mettre en perspective un système de points sur un tableau plan, consiste à regarder chaque point comme le sommet d'un triangle, dont les côtés parallèles à deux droites données, coupent le tableau en deux points^ et qui a pour base la distance de ces deux points. La perspective de ce triangle est un autre triangle de même base, dont les cotés passent par les points de concours des deux droites données; le point du tableau où ces côtés se ren* contrent, est la perspective du sommet du premier triangle.

On se sert depuis long-temps de cette méthode des points de concours, pour mettre en perspective des édifices et autres monumens d*architecture. On en fait aussi usage dans les ateliers où l'on exécute les décorations de théâtres.

De la perspective d'un solide.

1 76. La perspective d^in solide à faces planes ou courbes comprend la perspective de son point brillant^ et celle des lignes suivantes : i^ le contour appa-' rent; 2^ les lignes visibles renfermées dans ce contour, parmi lesquelles se trouvent les lignes de séparation d'ombre et de lumière; les lignes contours d'ombres portées.

On a exposé (art. 101) une méthode générale applicable à une surface quel* conque, pour trouver les contours apparens et les lignes de séparation d^ombre et de lumière dans Thypothèse d'un point lumineux unique ^ ou de rayons lumineux parallèles. Une autre méthode non moins générale donne les perspectives des contours apparens, en considérant ces lignes comme des courbes

%39 CiOUÛTfilE OESCRIPTITB,

tangentes aux projections des génératrices de la surface proposée sur le plan du tableau j et en supposant que ces projections soient faites par un système de droites concourantes vers l'œil ; d'où il suit que la perspective d'un solide quelconque se composera de lignes que l'on construira par points, ainsi qu'on Ta Fa expliqué (art. 173-175) , et de lignes tangentes à d'autres lignes connues sur le tableau.

Mais lorsque le solide proposé sera terminé par une surface appartenant à l'un des trois genres que nous avons considérés dans le § III (art ïoi-ii3) de ce chapitre^ les contours apparens et les lignes de séparation d'ombre et de lumière seront déterminés par des constructions plus simples^ d'une exécution plus exacte, puisqu'on aura deux projections orthogonales de ces lignes; il sera alors préférable de mettre chaque point de ces lignes en perspective par la méthode générale, ou par celle des poùils de concours (art. 173-175.)

Premier exemple de perspective linécUrej par la méthode générale. Perspective d^wi cylindre posé sur un socle ( PI. 9. P , Jîg. i , a , 3. )

177. Le socle est un prisme à base carrée ABDE (Jîg. i ), dont la hauteur est ad ou bb {Jîg. a ) ; le cylindre a pour base inférieure le cercle (FGHI , iK) , et sa hauteur est mesurée par les verticales w*, hh! (Jîg. 2.)

On suppose le tableau vertical ; ses traces données sur les plans de projection sont les droites PQ (Jîg. i)jpq (Jîg* a). La position de l'œil du spectateur est déterminée par ses deux projections O et o (^. i et a. )

Perspective du socle.

Le contour apparent du socle est formé des deux horizontales inférieures (AD, ad), (AE, oe), des trois verticales (A, aa!), (D, dd)j (E, eé)^ et enfin des quatre côtés du carré supérieur ( ABDE , db' ). Les rayons visuels menés de l'œil vers les extrémités de ces droites, sont déterminés par leurs projections horizontales et verticales; ils rencontrent le plan du tableau (PQ,/'?) en des points que l'on rapporte à l'horizontale PQ et à une verticale menée par un point quelconqtie de cette horizontale. Transportant l'horizontale PQ (^. i ) en PQ , sur le développement (^. 3 ) du tableau , on construit la perspective d'un point quelconque tel que (A, ^), en menant le rayon visuel (OA, od)^ qui coupe le tableau au point (A', a"), et en rapportant ce point sur le plan du tableau (Jîg. 3.) La droite A' A" de cette Jîg. 3 étant prise pour la verticale qui passe par le point A' {/îgi i ), il n'y a aucun point de la perspective qui ne soit déterminé par deux droites rectangulaires parallèles l'une à PQ (^/%. 3)> l'autre à A'A". Ainsi ,, le rayon visuel ( OA , od ) (yîg. i et a ) , étant coupé par le

G^ÉOH^TRIE DESCRIPTIVE. ^^g

plan du tableau en un point (A', a") distant de l'horizontale PQ (J!g. i ) , de la quantité pd' {^.^)j on porte cette distance en A'a' (Jîg. 3) sur la droite A'A", et le point a ' est la perspective du point ( A , a ) ; on aurait de même la persipective fi (Jig. 3) du point (B, B)(Jig. i et 2) , en portant /?A" (Jig. a) sur I>/3

Perspective du cylindre.

Le contour apparent du cylindre est formé de deux droites de ce cylindre , qu'on détermine en menant par Tœil deux plans tangens à sa surface. Ces plans ont pour traces horizontales les droites OF , OG {Jig. i ) , tangentes au cercle FGHL Les points-de contact F, G sur ce cercle, sont les projections horizontales cks droites du contour apparent, et parce que le point O est sur une perpendiculaire KK' abaissée du centre K du cercle sur la trace horizontale PQ du tableau, les verticales F, G du cylindre se projettent sur le pian vertical XY {Jig. a), suivant une seule droite^^. Les perspectives de ces verticales ^^ , YV' {fig* 3) se construisent comme les perspectives des arêtes verticales du socle.

La portion visible du cerclé inférieur du cercle , a pour projection horizontale l'arc FGH {Jig. i ) , et pour perspective l'arc d'ellipse ^Xy. Le cercle supérieur n'est aussi visible qu'en partie, et sa perspective est l'ellipse ^'A'y, intersection du cône optique qui a pour base le cercle ( FGHI , i'K ) , par le plan du tableau.

Deuxième exemple. — De la perspective dupiédouche. (PL 10. P, fig. A, c,/?.)

1 78. Le pîédouche, qu'on emploie ordinairement comme support d'un buste ou d*un vase, est un solide de révolution composé d'une plinthe, d'une scotie et d'un filet. L'axe de révolution du piédouche étant {pi. 10. P) la verticale aa* du jrfan vertical XY {Jig*v)^ la ligne génératrice de ce solide est formée des deux verticales eé^ kk^ et d'un arc d'ellipse e'nk qui coupe ces verticales à angle droit, aux points e\k. Cette ligne, en tournant autour de la droite aa\ engendre la surface du piédouche. La plinthe et le filet du piédouche sont des cylindres qui ont respectivement pour bases les cercles EFGH, IKLM {Jîg. h)^ et pour hauteurs les verticales ee\ kK {Jig. v).

Le tableau est un plan vertical CBD {Jig^ A) , perpendiculaire au plan méridien ABF, mené par l'œil du 'spectateur ; la trace dd* du tableau sur le plan vertical XY {Jig. v) , parallèle à ce plan méridien , est la projection verticale de toutes les lignes droites ou courbes tracées sur le tableau.

Prenant pour unité de longueur le diamètre EF (/%. li) de la plinthe, Toeil est , dans cet exemple , à la distance 3 | de l'axe du piédouche ; sa hauteur au-dessus du plan horizontal, est de i -f . Ces 4eux dimensions déterminent, sur les plans

a4o GiOM^XJlIE . DESCRIPTIVE.

horizontal et vertical , les points vers lesquels concourent les projections hori« zontales et verticales des rayons visuels. Quoique ces points soient au delà du cadre de Isl planche ^ on les concevra facilement sur les prolongemens des droites projections des rayqns visuels; ces droites n ont pas été prolongées, afin de réduire îesdimensions de la planche de cuivre. Ainsi lesdeux droites RR', UU', tangentesau cercle du diamètre EF, concourent vers la projection horizontale de l'oeil, située sur la droite ABB'. La circonférence dont le centre est sur cette droite , et qui a pour diamètre la distance de l'œil au tableau, coupe les cercles des rayons AG, AL aux quatre points R, S,T, U, qui sont les projections horizontales de quatre droites verticales. Ces droites, qui forment le contour apparent des surfaces cylindriques de la plinthe et du filet du piédouche, ont pour projections verticales les droites m, st. Le contour apparent de la surface de révolution, qui termine la scotie, a pour projections, les lignes (a/S^J^ cL'fi'yJ") que l'on construit par les méthodes que nous avons exposées (art. 107). Le piédouche étant éclairé par des rayons de lumière parallèles entre, eux, et dirigés suivant la droite (A > A') {Jig.hetv)^ les mêmes méthodes donnent les projections horizontale et verticale de la ligne de séparation d'ombre et de lumière sur la surface de la scotie. Dans la même hypothèse des rayons de lumière parallèles , on construit (art. 167) les deux courbes dont les projections horizontale et verticale déterminent les projections ^, 7' du point brillant do la surface de la scotie. Considérant les cônes dont le sommet est l'œil du spectateur, et qui ont pour bases 1^ les contours apparens des cylindres qui forment la plinthe et le filet ; a® les cercles qui terminent ces cylindres ; 3® le contour apparent de la scotie ; 4^ les lignes de séparation d'ombre et de lumière^sur les cylindres et sur;la scotie; les sections de ces cônes par le plan vertical CD -du tableau, forment sur le plan développé {^^p)t la perspective du piédouche. L'intersection du tableau et du rayon visuel dirigé vers le point brillant (tt, ^), détermine la perspective ^ {fië*P) ^^ ^^ point.

Des projections du contour apparent*

179. Le contour apparent déterminé par ses deux projections tf/S^J^? ^'^'y'j (ffg. h, ç) a plusieurs points remarquables; i** ceux qui sont situés dans le plan méridien ABB' passant par l'œil du spectateur. On mène par la projection de. rœilsurleplanverticalXY'parallèleà ABB', les tangentes aV', /3'/3" aux arcs d'ellipses kne\ iqf ; les points de contact *' , /3' se projettent sur le plan hori^ zontal aux points a ^ j3; ce qui détermine les points ( (t » a'), (j3, /3') du contour apparent, et fait voir (art. i46) que ce contour a tous ses points entre les cercles de la surface de révolution des ravons A«e, Aj3 (/%•. h).

ÔÎsOMETRIE DSSGRIPTIYC. a4t

* ^^ Les points situer dans le second plan méricUen GAH, perpendiculaire aa premier ABB' passant par ToeiL

Le plan horizontal mené par Tœil, coupe la verticale ad en un point z, par lequel on mène les tangentes zn^ zq aux arcs d'ellipse de la section méridienne de la surface; les deux points de contact n^ q sont les extrémités du diamètre npq d'un cercle dont la projection horizontale NOPQ coupe la droite GAH aux points O^ P; ce qui détermine les points (O,/?), (P,/?) du contour apparent.

3** Les points (Cf,/^'), (F,/?') de ce contoiu:, situés sur le cylindre vertical qui a pour base le cercle RSATU ;

Ces points sont situés sur le cercle du diamètre riptf ^ normale à la section méridienne de la scolie aux points ri , q.

4* Les points les plus remarquables de la ligne du contour apparent, sont ceux pour lesquels les tangentes à cette ligne passent par l'œil du spectateur ; les rayons visuels menés par ces points, appartiennent au cône qui a le contour apparent pour base , et de plus elles sont tangentes à cette base.

Menant par les projections horizontale et verticale de l'œil, des droites respectivement tangentes aux projections horizontale et verticale du contour apparent , les points de contact 7 , J^ de la projection horizontale , et le point y de la projection verticale, sont situés sur une [Perpendiculaire -yJ^' à XY, Une autre perpendiculaire à XY contient les trois points de contact t , f > f; d'où il résulte que les rayons visuels des quatre points (7, 7') (tT^y), (f, f'), (^; t'), sont des tangentes au contour apparent pour ces mêmes points. I^es intersections ^'j J^^) •'j ^ de ces rayons par le plan du tableau (/%; /?), sont des points de rebroussement de la perspective ^S^f?^^ Aw contour apparent. Les tangentes cT' «/, y e/ concourent en un point ^^ dé la perspective de l'axe de révolution. On déteirmine ces tangentes en les considérant comme les intersections du plan du tableau et des plans tangens à la surface du filet menés par les points {7,7'), (^j 7)1 (/%• h^v\ Chacun de ces plans, celui par exemple qui est tangent à la surface au point (^^V) dii contour apparent, coupe l'axe de révolution de cette surface au point (A, û>); le rayon visuel de ce point rencontre le tableau au point (B, 6»'), qui devient sur le développement du tableau {/%•. /?), le point «'', vers lequel concourent les tangentes ^^c/j'/cf aux points de rebroussement J^**, 7*^ du contour apparent.

Pour construire le point (A, «), on amène le point (^,7') dans le plan tnéridien parallèle au plan vertical XY de projection , en décrivant du point A comme centre, avec A J^ pour rayon, l'arc J^A Cet arc coupe la trace horizontale du méridien ABB' au point ^' par lequel on mène la perpendiculaire J^'/'' à XY. Cette perpendiculaire rencontre l'arc d^ellipse énk au point S"" ; la tan*gente «T'^de Tare, menée par ce point, est la trace du plan tangent à la surfilée de la scotie au point (jT', J^"); d'où il suit que ce plan, et tous ceux qu'on

a43 Gion^TRis descriptive.

peut mener par les points du cercle du raycm k^^ rencontre L'axe de révolution au même point ( A , û>).

Développement du kMeau ( fig. p) , conpemmt laperspecâ^ linéaire du piédouche

et de ses ombres^

1 80. Les projections horizontales et verticales des ccmtours apparens de la plinthe et du filet dupiédouche, déterminent les projections des rayons visuels menés par les extrémités des verticales qui forment ces contours. Les projec-: tions de ces rayons RR' , r/-'. . . . (Jig. A, v\ coupent le plan CD du tableau en des points tels que (R', r'). La droite CD étant transportée en CD' (Jlg'P) > et le point R' en R' {Jig*p)y on porte les hauteurs verticales rfr', du' en RV et RV'' {Jig^ p) et la droite r^r^ est la perspective de la verticale (R, rw) du contour apparent de la plinthe. Ou construit de là même manière ijig^p) les droites iffu^y ^s^^ i^t'^ y qui sont les perspectives des trois autres verticales formant les contours apparens de la plinthe et du filet. Les cercles qui terminent ces deux parties du piédouche, ont pour perspectives les elhpses intersections du plan du tableau et des rayons visuels menés par les points de la circonférence de ces cercles. La première ellipse i^f^i^ n'est visible sur le tableau qu'entre les points de contact ;^, u^ de cette ellipse et des droites perspectives du contour apparent de la plinthe. La seconde ellipse r^f^ii^ n'est aussi visible que jusqu'aux points I, a, où elle coupe la perspective du contour apparent de la scotie. La troisième ellipse est visible entre les points ^ ^ t^ de la perspective dii contour apparent s^s^, i^i^ du filet. La quatrième ellipse /^/'^, perspective du cercle supérieur du filet, est vue en totalité.

La perspective totale du contour apparent de la scotie est une courbe à quatre branches et à quatre )K)ints de rebrousseraent y^ ^ ^ y^ j ^quon a déjà construits (art. 179), La branche' '/^^^ perspective de la partie (^/SJ^, ^y')r [Jîg. hyv) du contour apparent , est invisible. Les trois autres branches seraient visibles en totaUt^ si VelHpse perspective du cercle intérieur du filet ne cachait pas toute la branche %W^ et les parties 3i^ » k^ des deux autres brauches adjacentes*

De la perspectis^ des ombres du piédouche.

î8f. Après avoir déterminé (art. 106) les projections horizontale et verticale, de la courbe de contact de h surface de la scotie du piédoticbe et du cône ou du cylindre lumineux, on considère cette coiu*be comme la base d'un* cpiie qui a pour sommet Fœil du spectateur. L'intersection de ce cône par le plan du tableau, donne {Jig.p), pQur la perspective de la ligne de séparation d'ombre

et de lumière sur la scotie, la ligne abcde/ghiklmca ^ qui a deux nœuds c et 7v Les lettres de ia ,/%"./?, sans l'exposant /?, se rapportent aux perspectives des lignes de séparation d'ombre et de lumière , et des contours d'ombres port<^es. Le cercle inférieur du filet porte ombre sur la scolie , et la perspective du contour de cette ombre est la ligne nop qui a un nœud au point o.

La scotte porte ombre sur elle-même. Le cylindre des rayons lumineux, d*abord tangent à cette scotie , se prolonge et coupe sa surface suivant une ligne dont on construit les deux projections. La perspective de cette ligne se com^pose des deux branches -de courbe g^ç^r, Ist {Jftg, p)y tangentes à la perspective de là ligne de séparation d'ombre et de lumière aux points /, g-, perspectives des points de la surface de la scotie , qui sont les limites du conttxur de Tombre portée par la scotie sur elle-même.

Le piédo»che étant éclairé par des rayons de lumière parallèles entre eux, les perspectives de ces rayons ont sur le tableau (Jig, p) un point de concours. En supposant que ce point soit déterminé, la droite menée j%. p par ce point et par un point quelconque r de la courbe gqr^ rencontrera la perspective abcde.. . . de la ligne de séparation d'ombre et de lumière, et lè point de rencontre sera la perspective du point de la surface de la scotie ;, dont lombre sur cette surface, a pour perspective le point r.

Les lignes v\f ^ xy {Jig-p) sont les perspectives des droites qui forment sur la plinthe et Bur le filet, les lignes de réparation d'ombre et de knnière.

On n'a point considéré i[/%-.jj7) les ombres portées par le piédouche sur le plan horizontal qui le supporte ; mais ces ombres étant coniuies sur le plan horizontal (/%. A), le tracé de leurs perspectives ne présente aucune difficulté.

11 n'y a qu'une partie efg {Jîg.p) de la perspective de la ligne de séparation d'ombre et de lumière sur la scotie, qui soit visible; le reste est caché par les courbes g^r, nocp^ perspectives des ombres portées sur la scotie par elle-même et par le cercle inférieur du filet.

S IL EXEMPLES VfE PERSPECTIVE LIOîÉAIRC PAR LA HÉTflODE DES POIITXSDE CONCOffAS..

{PL u,P, 12.P, i3.P, t4.P.)

i'8a. 'On afait voir comment (art. 173) la perspective linéaire se déduit des deux, projections de l'objet proposé sur deux plans rectangulaires, l'un horizontal et/ l'autre vertical. Les rayons visuels menés des points principaux de l'objet original vers l'oeil du spectateur étant connus par leurs projections sur ces mêmes plans , l'intersection de ces rayons par Iç tableau, détermine la perspective de* l'objet. L'application de cette méthode générale ne laisse rien à désirer, lorsque les objets à mettre en perspectiveti'pnt que de petites dimensions; mais il y a des

cas OÙ le nombre et la grandew 4^sJigQe^,de construction la rendraient impraticable. Supposons en efjpet qu!ir.C^U'^'écutcc ^^s déccNrations d'un grand théâtrer On prend ordinairement Id toilo» 4'ayajatr$cène pour tableau , et on suppose le spectateur placé immédiatement ^lUnde^^ovi^ 4c. ia première galerie ou des premières loges, et sur Ifiiigxi^ du ip(^lieu<du part^cre, perpendiculaire au tableau. La toile a ordinair^ipient quiivf c^ ipètr^s 4^iarg?ur ; le spectateur est en avant de cette toile d'envirpn4e ipéme nçnibrf^ de mètre£t.;^n supposant la profondeur du théâtre de quinze mètres > les décorations du fond seront, à trente mètres environ du spectateur; les aires sur lesquelles on tracerait les projections orthogonales, auraient donc cette, dimension dans le sens de la longueur , ce qui entraînerait des opérations graphiques longues et pénibles : c'est pour les éviter, qu'on emploie les points de concours. Ces points étant donnés sur le tableau, on peut mettre en perspective tous les objets réguliers , tels que les nionumens d'architecture y dont les dimensions sont exprimées en nombre» Au moyen de ces nombres ou cote^, la projection perspective se construit directement sur le tableau, sans avoir retours aux deux projections orthogonales* On a déjà résolu plusieurs questions de géométrie descriptive pour lesquelles une de ces dernières projections sexonstruit iadépendcpnment de l'autre} lea intersections cylindriques^ coniques (a?t. i^a et 1 65, livre i^'), en sont de^ exemples. La projection perspective peut aussi se déduire immédiatement des cotes qui fixent les dimensions de l'objet original, en : faisant usage dels^ méthode des points de concours, dont nous ayons exposé le principe art. 17 5^

Application du principe dA ia perspe^aii^e. par ks points de concours.

1 83. La surface du tableau et sa positioA par rapport auxobjeta étant données,, on conçoit par Toeil deux droites arbitraires, |C;t p)ir /chaque point de l'espace à mettre en perspective, des parallèles à pe# ,dF9s^f:es^ Les p/çrspectives de cesi parallèles se coupent en un points qujl^st la perspective du point de l'espace.

Lorsque le tableau est plan, les droite^ menées par l'œil coupent ce plan en deux points, qui sont respectivement les points de concours de leurs parallèles, et que je désigne par les lettres D et ]>. Un point donné de l'espace est le sommet d'un angle dont les côt^s parallèles aux droi^tes iqenées par l'œil, coupent le tableau en deux autres points d^d ; joignant les point^.D^t d^ U etd^ intersections du plan du tableau et de deux.droites parallèles entre elles, on a deux nouvelles droites qui se rencontrant;» et le point de rencontre- détermine la perspective du point de Fespace.

On peut supposer que le tableau soit un plan vertical , et que les droites menées par Tœil soient deux horizontales , l'une perpendiculaire et l'autre

inclinée à'45^pat*i*apport àutablebu^'k j[)€tsp«!*rc d'ian point quelconque de l'espace sera dans fcette' bypotWèëe Tîiitèrséctioti dés perspectives de deux pa- T^lèles aux droites hotiilotita'îés';: cès'plài^llèlcs;''èt la droite qui joint les points où elle rencontre le tableau , formèàl' tin trîànfgîé ifectàngle isocèle.

Pour donner un exemple ^dfe râpplidâtiéte 'du' pTÎftcipe que nous venons d'exposer, au caà' pârtiiAiIier ftés flîTErtte» '«parallèles horiJEohtalds , nous allons considérer un système de carrés horteohtaiix dont les centres sont situés siu» une vertitale. - . . . i '

De ht perspective des carrés par laméthode des points de concours. (PL 1 1 . P).

1 84* Soit un système de carrés horizontaux ^ dont les centres sont sitoés sur la verticale C (/>/. 1 1. P, fig. i ) , et supposons que les diagonales de ces carrés soient, en piïjjeclmi hcnrizontale , les deux droites AB/DE. L'un de ces carrés a pQur sommet* un point A du tableau vertical PQ; le plan horizontal qui contient ce carré^ est à une distance donnée du plan horizontal mené par J'œil du; spectateur. . ; :< '

Le point O étant la projectîoii^ hdHdooÉitflle'de Tœil , les droites OP, OQ, OR {>arallèUs perspeotivement aoiiC' cotés AD, AE , et à la diagonale AB du premier carré ABGDË, déteroiînent sur letableauiles^ points de concours des parallèles ^ux côtés et à la diagonale de tout autre carré placé parallèlement au premier.

Soit(/%r* a.) FQM' horizontale intersection du plan vertical du tableau et dû plan horizontal mené par Tœil; on prend sur cette droite les trois points F,Q', R' pour les points de concours des parallèles aux côtés des carrés AD, AE {^fig. \\ et de la diagonale AB. Le sommet de l'angle du premier carré est sur une ver* ticale donnée ahl (./%•. a), à une distance connue hla de Thorizontale P'Q'. Menant les droites A'F, A'Q', A^R' {^fig. a), on a indéfiniment les perspectives des droites AD ^ A£ et ' de Is^ diagonale AB {^fig. i )• L'arc de cercle décrit du point A comme centre avec AE pour râyon^^;^. i)coilpé la droite PQ au point e, et la corde Ee.de cet arc forme â>^ee lesâfoites'AE, Aâ un triatigle isocèle, dont la pmispective exterminera celte du point '£. Tortànt le côté AE ou son égal Ae sur l'horizontale AV {^fig. a), et menant c'S' vers le point dé concours S' des parallèles à la corde Ec (^Z^^, i ), le point E', intersection des droites e'S', A'Q' , est la perspective do point E {figé i ) , intersection des droites Ee , EA, Tirant la droite £%' vers F, et menant par le :poifit'B' où cette droite coupe A'RV une autre droite B'Q', on aura le quadrilatère' A'^DTE' j[)our là perspective du carré ABDE (^^. i).

i85. Ayant trouvé la droite A'E' pour la pei-spèctive du côté AE {Jtg. i), nous allons construire les points de cette perspective qUi correspondent à des points

ji^g jaioMàtnn bescaiptivc»

de division donnég sur la droite AE» On imagine «ur cette droite un plan verJ* tical, et dans ce pïaa un parallélogramme recta^le qui a la droite A£ pout l'un de ses côtés» Ayant pris pour l'autre coté adjacent, unf longueur arbitraire A'K ( j%. a) , on la divise en autant de parties ^gal^ on semblables qu'il y eii a sur la droite AE. La droite K.L dirigé vers QV coMpe la verticale EL au point L, ce qui donne le trapèae A'&LË' G/%^. a) pqiw, la pwjpeclive du pa]:^étD«gramme rect^gle construit sur AE C/%. i) et A'K. {^. a) commç côtés. Par les points de division de la verticale A'K , on mène vers le point Q' dçs droites qui coupent la diagonale AL du trapèze en des points , par lesquels on abaisse des parallèles à la verticale EX. Ces parallèles rencontrent la droite AET. eu des points, qui sont les perspectives des points de division de la droite AE

De la per^ectù^ du cofré GfilF plus petit ^pie Je premier ABDË , et 'construit stit

les mêmes dimgsmales. (fig. i jet à, pL 1 1. P. ) •

1 86. Le côté GH prolongé coupe le côté AE au point M, et on connaît en nom* bres, le rapport de la droite. A£ et de sa pattie ÂM. Oo porte (/%. s») dt A' en N une partie semblable AN de A'K, et on mène yei!$ Q' la droite Un , q«ù o<Hipi la diagonale AL au point n. La verticale nVi! oempe ia droite A'E' au point M", perspective du point M (^. i) de la droite AE. On mène vers P la droite Mli'G^ qui rencontre la droite A'R' au point H'; les droites HTQ', JKGV <x>upeBt la droite TŒ aux points G'^ T, par ksqudson mène les droites G'FIQ', rFF, qui se rencontrent au point F du quadrilatère PG'^Fr, perspective du cairé FGfit (Jig. i) conteim dans le même platà hori«i>iytal que le premier cairé ABDE. '

Si le premier carré à mettre en perspective ^ au lieu d'avoir, comme le cairé ABDE^ l'un de ses sonnets, sur le planda tableau, était pbtoé comme le carré FGHI, on prolongerait :1a diagonale FH jusqu'au point A de la droite PQ, et on regarderait ce point cçmme le isonmitt tl'un second coÈré ABDE de mém^ centre que le carré proposée Gonnaissaiit Le côté A£ ou AD, on construite le trapèze A^B'ED' {fig. i ), perspective idtu carré AfiED, sitcBé dans le même plan que le carré proposé FGHI.,

On aiuraitpu supposer <fuefe plan vertical du tablean passait par le centre G [JSg. I ) du cairé à mettre en pierspective. La trace; Aiomontale PQ «levîendraît pq. Cette droite pq serait coupée pair le côté fi£ ou Fi du carré 4 mettre en perspective au point U ou ¥. Connaissant les distances CV o« CU,les points éé concours des côtés des carrés et de l'une de leurs diagonales , la perspective 4ii carré ABIffi ou IFGH sera déterminée.

GliOMiTRIE BESCRIPTiTfi.

De la perspective du carre FGHI contenu dans un plan horizontal^ dont la distance au plan horizontal qui contient le premier carré ABDE, est donnée.

187. Le plan du carré FGHI ^5-. i) coupe la verticale A en un point dont la distance à Fhorizontale PQ du tableau est donnée ; portant cette distance {^g. 2) de a en T, la droite TR' dirigée vers R' est indéfiniment la perspective de la diagonale FH {Jîg* i ) du carré proposé. Eu supposant ce carré et le prefnier carré ABDE dans le même plan horizontal, le côté GH prolpngé coupe le côté AE au point M, distant du point A d'une quantité donnée AM. Portant cette distance en Am {fig. i ) , et menant I.1 corde M/ti ,'la perspective du point M *era déterminée par les perspectives* des deux droites* AM ou AE et Mm. Menant {^g, 2) l'horizontale T/n'==r Km (Jig'J ), les droites TQ' et m:9f , dirigées vers les points de concours Q% S', se coupent au point 11 perspective du point M \fig. i); d'où il suit que la droite /ttP' {Jig. 2) est la perspective indéfinie du côté GH {fig. I ). Mais cette droite coupe la perspective TR' (Jig. 2 ) de la diagonale FH {fig. ï ), an point h {fig 2); donc ce point h est la perspective du point H {fig. I.) Menant hg^ hi {fig. 2)' vers les points de concours F, Q', et tirant les parallèles O'g , IV à la droite h! à , qui coupent les droites hg , hi aux points^ et /', on achèvera la perspective du carré PGHI {fig. i), pai* les droites g/Q» ^/^ q"^ ^^ coupent au pointy de la droite TR'. On remarquera que les deux points F.^sont sur une droite Fy parallèle à la verticale A'a.

On aurait pu déterminer la perspective fx {fig* ^) du point M {Jîg. i ) par pne construction semblable à celle qu*on a faite (art î86) pour trouver le point M'(;î^.2). •

Des anciennes définitions ^ employées dans les divers traités, de perspective^

188. Taylor(i), dans son Traité de perspcctii^e^ appelle /?/cz/i ohJectiJXe plan parallèle aux droites qu'il s'agit de mettre en perspective; ligne de fiiite du plan objectifs l'intersection du plan du tableau et d'un plan parallèle au plan objectif mené par l'œil; centre du tableau^ le pied de la perpendiculaire abaissée de l'œil 9%XT le plan du tableau.

La ligne de fuite des carrés horizontaux que nous avons considérés, est (^o- ^j/^'- ''• ^) rhorizonral FQ'. Cette ligne contient six points de concours, savoir: les poitîts de concours de deux diagonales, de deux côtés rectangulaires des carrés, et des cordes des angles que ces côtés font avec le tableau. Ces deux

(i) Célèbre géomètre^ connu par le théorème fondamental de Tanalise matliématiqiie ; né en tS^^^ mort en lyîi ; son Traite de perspective , ouvrage fort estîmr, a été traduit en français , Tannée 1767.

a48 çioaiftHJMJJk-DEse^iPMVE.

derniers points senQ]iii;K^c^^^/z^é^:fX^im^Af»^«anikf/I)efrsu pointt de concours, quatre suffisent,^ ^,jj;^gpjy;it^^r;^i4l«diçi^ ndui^des côtés des câr^ rés. On emploie de préférence les'poîiitHi4f^4(ii|ûour^il^ (>lus voisins du centre du tableau. D»qs, jj^ .fy^ftHfjBiWitWJ* jite.i»W|iflP^ l>ow ^du .tahteao, la géométrie fournit ptusi^^f^jnpyW* .4?.^0$IIW.4^ dimiOfti^^ mens passeraient par ces p9iii%« oi. #ï*ïi tiii-ul <? i » *i *'. •• r - - '* ■

De la perspective (Vune sidté â^^l!a^tf^i'%A^cùïinnes\ àoAt les dxts vérticcàix sont

éqaidùtans^h ittitéstûiks riA m?mé'6ïivi.\t\. Vi. t^.Y * '

189. Soient (Jlg. upl. 12. P)» C, C\ C\.,m«- Us.uxes wtiGOUx d'une suite de

pilastres situés dans un plan vertical CCC ; on pr^«d.|)pur tableau unplaa

vertical PQ passant par.l^ pF^ij^ia^(|/^vl,^jï»9&clipns.ihon90iitales despil^tres sont des carrés ,qui ont pour centres les points.C , C ,X" ^ et dont le^ çoti^ sont parallèles ou perpendiculaires à la droite CCÔ. Le point O étatft la projection jiorizontale jde Tœii^ W§>pOMM P<%*JLr<S4 '^'^'t/^^'^ sont^^espectivement les points de concours ^ i^des^q^liéa^dd^ -caMàSjpeif eAdkukÛres k la droite GCC; 3» des diagonales de o^si;(Wféit>p»ralià|esti^ J» é^Vp ^AQMy^ttdes cordes telles que KKs bases des trûip^keûsobèla» G&^'i^Dtt rtppôTte'è^^ points sur la ligné de fuite des hori:^ntale9)r/c)i|iieit9ui^;dl^ol<!f^ ^tableau (y%. 2), la

droite PSRS'- Le prenÀ&K A%e^^ftJtÀXXy{i/l^ ^jétmt'k^htéfklAiïct €P dû point de concours P, on porte ceU^ dislafao軫^j%^a) de^^ll'rf/ét la'vfertîcalédc du tableau est I9 perspective iéaiprenûeras«i04/^>^ï)^ Le plan du ékrré' ABDE coupe Taxe vertical C entUOi{>aiBt distant tkiM4igfae^*ftiîléf^S^P/%; a) d'une quantité donnée; porftai^t>oeltQ diitance^ur )a verticale Vc, reiti^jnité é de cette verticale est la pfixspf c«îVe duuocfitve du><taprr>i ji|»ï9 Q^. *ipt.e point K. de ce carré étant l'intersection des deux droites CK,' 1^' ' (ji^. '1) f^ Août les perspectives concoureQtii(Jy%jp^7attii^(|felntS't^ (b 8^ lei^ciréifës ;cP,-X'S''se rencontrent au point k (^Jîgi^i)^ii^eUptptàmiàfL4^^ i .)- Le ]f>oitit k' Çjîg. n), par lequel on mc^ae \^ djrç4t§rp'9ti4:.f apparlidnMuii^U'hdt^ôÀtâle cq^ parallèle à I4 ligne de fuite Vd4. et on a cK {fig, 2) = CK' {Jig-'^^ • ' •

On aura de même la perspective du point L {^fig* i) pai' Fiutersection des deux droites k*l....Sj cc'c".^...q"{J^!'àX dirigées Tune y er$ lepointS, l'autre vers le point de concours y' {Jig: a^d^^VfSrkAk^btj^g^^. i) du carré ADDE. Le point M (Jig. i) a pour Pfrs^f,<^jvV^^^^^ ^i^i^teSIf filis*. *». 4eux droites

mm\...S,cdc\...q[. , .,ji^ ^^uu-ii uj» tn-u.u..i v-, Ci yv^ '»*^ ..î^'\«» ; •^/ - -- Menant (Ji^. ^) ï^^^'roiteî c^^ Ilitt^;, et les

droites lbV\ amV vers ïe Jxom(^^çoncop^r^ e^ ^yjerQOt déter^

Vninés, et tirant les droites û^J^^^^ râV.^^Ç .99ffSSHfi5Ai£^ ^^9%A\V^ \^

Jjuadrilatère abUe pour l/^^^spjî^^ ^^h). •♦vu,.: ^. ^*u :

rgo. Dans le cas où le point de concours q' serait trop éloigné , et hors du tableau, on pourra, sans y avoir recours, construire la perspective d'un point quelconque C Ç/%^. i) de la droite CCCT.

Ayant tracé letriangleisocèleOCN,rectangle en Q dont lecôtéCCrriCNrzzCN, lepointNestriaterse«tiondesdroitesCN,]!îîf',dontIe§ perspectives concourent Lfi8* ^) ^^^^ ^^* points P et S'. Tirant les droites riS et cP, leurs prolongemens se coupent au point tî p^specUye du .point N {^. i)\ mais le point C {Jig. i) est l'intersection des dpui^ .droites NC', Iî!C!, dont les perspectives nR , n'S se coupent au point d{^g. a); donc ce point d çst la perspective du point C {Jig. \ .) Joignant les points c;'c\ la > droite ccc".... {Jig^ a) est la perspective indéfinie de

U droite CC'C"...-C/%;i>

191^ formant (/%• i) le cwré CG'UV, qui a pour centreie point m^ on abaisse

de ce point la perpendiculaire ^T sur CCC", et Ton porte CT= — en CT', pour

déterminer la corde TT «para^ll^k k OSu Les deux droites oe'c", /S {^. a) , se coupent au point /, qui est la pwq[>ective du point T (Jîg. i). Les droites /P, cR (y%: a) se rencontrât au point m\ perspective du point a»(^. a). Les droites 4:*€»^ et ccâ coupent les droites ç'ff^ eu .diriges vers le point P^ aui^poînts if etUj qui sont les perpectivi^ diss ppiots V et U {^. i). Joignant les points ^, « (^i a) , la droite i^t' est laperspecUvf) de U droite UVX (^/%. i ), parallèle à la droite CCC", et distante de cette droite de la quantité CU32; CC*

La droite cR {fig. 2) coupe la droite 2^1^. au point x; menant par ce point x la 4lroite Px, qui cnnçonlDe.l%di*oile'^cV... au point c'\ ce point appartient à la perspectiye c"d' de l'aie C" {Jig. i.) De même, tirant d'x'B, et a^P, cette dermère droite proloajgée <H>upe la droite cp'd* su point c" de la perspective c'"rf"d'unweC"'C>^i.> »

Toutes ces constructions dérivent du principe que nous avons exposé (art. 175 et i8a), et qui consiste à regsirder les points qu'il s'agit de mettre en perspective, comme les sommets d'angles dont les côtés sont parallèles à deux droites fixes , menées par roeil du spectateur.

De la perspective des carrés qid ont leurs centres sur les (zxes verticaux C, C, C .(y%^, i)de pilastres ou de colonnes dont les cUmensions sont données. (PI. i a et 1 40

1 9a. M^ous avons construit (art 1 83) la perspective aède {pi. i a, ^. a) du carré ABDE (jffg. u) On sait (art. i85) comment on trouverait la perspective d'autres /carrés FGIH , situés ou non dans le métiàe plan qne le premier, et dont les centres situés sur l'axe C, seraient à des distances données du premier centre c {Jig. a). If DUS allons maintenant construire la perspective^ d'un carré ¥Z {Jîg*^y$ dont le centre est ea^C sur l'horizontale OGXT. Les poipts Y et Z de ce carré

«ont les intersections àe$ droites CY, YY", et CZ , ZZ\ qui ont poar perspectives i fig* ^) <^y^ et jy s, CZ tl%7i%\ d*où il soit que les^points y^ z sont les perspectives des points Y, Z. Tirant les droites jP, jbP vers le point de concours P des cotés du carré, la droite c^VersIe point w perspective du point U (,^.i)dela diagonale eu, la droite cTi(^. a) rers lépoint de concours R de la diagonale CX (j^. i) j ces quatre droites comprennent entre elles le quadrilatère j^ ip' (/%*.a), qui est la perspective du carré YZ^ (y%; i). Connaissant la perspective de ce premier carré, on construira (art. i85) la perspective de tout autre carré qui a pour côté la droite €'4^ pc^^nr centre un point de Taxe C\ et dont le pian est parallèle k celui du premier carré.

On opérera de ta même manière pour des carrés oit des paraBélogrammes rectangles qui auront leurs centres sur Taxe C, et dont les plans seront perpendiculaires à cet axe; d'où il suit qu'il n'y a aucun pilastre dont on ne puisse construire la perspective par la métliode que nous venons d^exposer. On voit (/%"■ ^> P^' ^^t P) la perspective de deux pilastres consécutifs ; on y a marqué des mêmes lettres lés points déjà trouvés (jTg. i^pt 12 P.)

Dahs le cas où les verticales C , C, C... seraient les axes de colonnes, on aurait pour sections horizontales, à diverses hauteurs, des Cerclés, et on met chaque cercle en perspective par la considération de dcfux carrés 4 côtés parallèles, Fun inscrit, et l'autre circonscrit; les perspectives de ces deux carrés déterminent huit points et quatre tangentes de la courbe qui est la perspective du cercle.

De hiperspecé^e d'un cercle par la méthode des points ilé comours. (PL 1 $. P, fig. 1 et 2 .)

1 93. Soit LMTîK, (Jig, ï) le cercle à mettre en perspective sur un tableau vertical tQ; on inscrit et on circonscrit à ce cercle deux carrés FGHI, ABD£, dont les côtés sont parallèles aux deux droites OP, OQ menées par Tœil O. Les points de concours de ces côtés, de la diagonale AB, des cordes parallèles KU^ NT, sont respectivement les points P, Q, R, S' sur Ist ligne de fuite PQ. Rapportant cette ligne de fuite {Jig. 2) Sur le développement du plan du tableau, on construira sur ce plan développé (art. 18 3) les quadrilatères perspectives ^/«, abde des carrés inscrit» et cjrcouscritSy et des droites LM^ NK (,^. i) ^i les divisent chacun ei^ quatre earrés égaux. Les quatre sominets^^^ h^ i {jUg. a^du premier quadrilatère, appartiennent à Tellipse perspective du cercle ; les quatre côtés du second quadrilatère aàdk sont tMigens &k mène ellipse, tojt points ^, /, m, n, perspectives des points K, L, M, I^ ^J%.ï), extrémités des deux diamètres rectangulaires Ui,. &K du ctrck proposé. Huit poiiïts et qtiatré tangentes déterminent . àases^ exactetnent le ccmlsour de i'^eMipse perspective de ce cercte (i).

(i ) Od dcmoiilrc plii»Murs propriété», Iréi^ycaiHUMilplM 4ir) elHpe^s et hoAr» acdkai» oMiicpMS >

Conclusion.

194. Nous avons mis en perspective des carres à côtés parallèles, qui ont leurs centres sur les stues des pilastres ou colonnes, et dont les plaiis sont horizontaux. On en dé<luit la perspective, 1^ des parallélogrammes dont les côtés sont parallèles aux côtés des carrés; a® des sections circulaires horizontales, qui ont leurs centres sur les axes : d*où il suit qu'ayant le dessin géométral d'un ordre <juelconque cVarchitecture,on pourra en construire directement la perspective, en ne faisant usage que des cotes ou nombres qui fixent les dimen^ons des parties de cet ordre, et sans avoir recours à la combinaison des deux plans de projections orthogonales.

195. Le dessin perspective (/?/. 18. P) a été construit d'après cette méthode, par M. Girard. Il représente un chapiteau dorique du théâtre At Marcellus, dont la fig. a fait voir la dfemi-section passant pai* l'axe. Ce chapiteau jest composé de parties dont on a £iit l'énu^mération (art 1 70). Il diffère du chapiteau de la j}l. j6. O, par les deux filets au-dessuâ du gorgeriii , qui sont substitués au cavet.

Au-dessus du tailloir, composé du larmier, d'un talon et d'un filet, la,/%. a donne le profil dç Tarcliitrave, de la frisç, et du filet q^i les sépare.

La hauteur verticale ^comprise entre les paissances du gorgerin et de Tarchitrave est d^un module. Le pjian du tableau sur lequel on a construit la perspective [pi 18), passe t>ar l'axe vertical AB du chapiteau, et le module y est représenta, par Ifi parue ab de cet axe*

Le plan horizontal mené par l'œil coupe celui du tableau suivant la droite

ARO) sur laquelle on donne la projection O de l'œil et un point de concours fi,

des diagonales des carrés du chapiteau, qni ont leiirs centres sur l'axe AB. La

distance de l'œil au tableau est mesurée par la droite 00' {hors du cadre de la

planche^

Avec ces données et J'échelle en module de la /îg. a, on peut tracer le dessin perspeaive/?/. 1 8. P. Le point a de Taxe vertical Afi étant par hypothèse le centre ^u carré qui termine le filet du t^illdiir^ le centre du carré intérieur du lari^ier ^est au point c de cet axe , distant du point a de la quantité ac donnée par ,1e profil {^. a)i, en parties du module ab. Ce car/*é*a pour perspective le qua^iitatère defg^ dont la diagonale 4!? ' concourt vers le point fi. de la ligne de fuite

«n considérant ces lignes comme des perspectives de cercles'; là Théorie des TransTerseles comprend 'des propositions qni sont des conséquences des principe^ de ila perspective , appliqués ai^K lignes droites. Celle géométrie-perspective a été traitée dans plusieurs ouvrages anciens et modernes fort -estimes. Vojes la Théorie des TrérnspemUes, par Gernel» aC deux opnscales de MM, Serrois , Brianchon, profaïauii des écolet4>*aitaterîe(Paris, iêe^4 ec i<ii7> ' « '

h5lk GléOMimit' DESCAlPriTE.

âO. Le contour i^v^/i^S tst^h^rspecûve de k sectktoi paP'P&i^du diftpîtemiV dont le plan est parallèle £)ide«£>&pesidliilâirmter, lesqifalkés^ftces^hs^ent par les droites parallèles qui ont pcmp^erqpel^ivdê bu càtés iif\, ^d«'qiMlrilatèredS^«

m. DES AIf>U!ffORPHOà£S. (Pl/ï3 P, fig. lût, lî, 2^, a3.>

igô/La plupart de ceilx qiH^ljtoil»èrttèntPëlddiede lapféi^^ le tracé d'un dessin pei^spei^lîve'cjiiè^éômtinerin^^îhïple J^tdblètoe dtigéënJéti'ie; ils n*ônt point égard aux pc^s^âdrisr respectives des èî)jfe&;'de Ftèil êt'dn tableau r souvent ils placent Toeil du speét^tfeuVtenei^M^ptEH^^tif àlAeM VqtHÎà pe^ tiVe, quoique construite pitr léfc t*èj^eb d^ fo gé):^étfiè^pbi^it fautire. EHe Test réellement dans ce sens, qu^un objet plaéé^à là^xâéMe'dislafiyce'd^ spectateur, ne lui présenterait qu'une i<nage)èotafosé. 'tiyii AelMo^^ (^tlfosibh èâns'Pitnage^ lorsque le spectateur ikï se pïaèé»|)tfs a>i!t'pdMt;dy. Vtte pbUt^eqotélielâbleau a été fait. On voit ordinaifeiâeiit de^'des^n^ifo^ti if^fégiiriiiers, dans tes cabinets de physique, où Ton fait df s leiftpériebces qtii ont seViIement pour objet de pro* duire des illusions, et (Tins^HrersimiBpeciateur» de ta crainte 6ud« TétonnemenL Ces dessins, vus de face sur^ebpotoî^ danlimr,me présentent qu^ne difformité choquante; mais si Ton regarde {^anune petite ouverture 'à^ travers une 'planchette placée d'équerre survie mup,' la difformité^se^^hange en un objet qui produit une surprise agréable. • Cette perspective^ qui n^estpas'con^ruite pour un point de vue placé* su^ la fierpendiculâire élerée par^soû centres se nomme anamorphose; on en trace >le^ coniboi^ piir les règles ordinaires. Ayant placé un petit dessin bien exécuté ^ns un piap perpeodiculaEre à>la)&ce peinte dumur^ et très-près de ce mur, on Vé^fdoce dessin* comme ht base d'un cône <>pt}que^; dont l'intersection par ie plan du mur, détëonmine la pearis^eotive linéaire dite anamorphose. Les rayons visuels' de? cettei per^ective étant :ttès-inclinés par rapport au tableau, elle parait differkneieltrès-irrégûttère^afaKAnrieux qoyne sont pas prévenus qu'on s'est écarté de la règle ordinaire pour le placenBent 4n point de vue, et qui le cherchent à uii.e eertaifne distance an mur^ en £aK)e du tableau.

197. On réunit quelquefois dans un même cadre une perspective ordinaire vue de face, et deux perspectives anamorphoses vues de côt^. Cette espèce de tableau se compose de lames étnoîles;, de forme rectangulkiré, pkcées à angl^ droit sur un plan. La premiers perspectite est dessinée ' sur ce plaa^ pour un point de vue situé sur la pei*pendic«daire au miKep>du lableau. Chaeuïie des deux autres perspectives est tracée pour iun point ^le vne^plloé à drcnfe ou & gauche du premier ; de maniérée, qu^nn petit mouvement- de-tete^ amène Tœil dans la position convenable Ji^pyr vpir suçce^^ivdnent.^ro^si qlyets différeiis.

198. Les anamorphoses S09t .dîrççte^ ou .^yifléfbiesKiLes pncyoïières. se>fOons-

truiacBt coiilfMt.MsTpifi»pc9^yad obcftw«i^?i4<pfàeiwna^;xlm^ par

féfiexion :.i9JUtp90Ktt>,«»iiQépsAMf^imicAMii^ éelairé. Les rayon»

de inmiere 4UÎ p^urt^ 4u $liAtOi»i jâè^Aftoigiie.jfifiiif ^ise iréjfiéchissent sur un miroir pour arriver à l'œil du spectateur. L'image régulière qui se réfléchit sur le miroir, détermme la %ifreJiprég\d]ière qu'on d^^^^ le carton. Les

miroirs dont on se sert ordtriairement dans les cours d optique , pour produire pes :pbéwWWe^#j»Wf ^M ;<îïU«4B«lUS«^r ^^- cqp#qiW»jaM pyi^awicUax. ,

l*î«'B§^PRcrÂ^;#Wf ^owé^-s w ^p, taJ^P^UfWp > pn,^^wdc*e le point de vue.fiç; tQ^tt^)^?*^ Wnipp ieiHH^iîiet d'w Qwe opl^qwe,: qui a pour base k desi^îq »]^f«ptim«iil/wtfl»^iy^ d^ <» c^pe.^^de I^ Hvface da n»roir, doit prodmi^ suftl'piil.l^rfl^éiqf tç^t^qu^ \^ d^psip p/ersp^cfcive : or, chaque rayon yisueils^f^fl|^q|b|it,ai^ faisap^ l'i^gl^.f l'incidence égal à l'angle de

réflmotij d0nfl.l$t.<jmte.deft i»jjrons7rtféçUi$r4'?prçs «ette loi, forme une sur- &ce d^ot VitiMf^^clion; p^r^ lé>pla& sur WquçlJe ipirp^* est posé, donne la perspectiv<}antf«*ir7/jc^^^d[^chk»)L^Myona deiiifikiQ^^ qui partiront desTpoints de cetteipel^p^olip^evseiréâéchidront vers, l'œil du spectateur, et produiront la méme^tmoge qée le dessil^ ptn^miiimi^vk «dirrolemcnt.

ExesHple, Ott (danMÛiMie i'(tnamoD|diOife •paijréâexion*, qui fait Toir un cercle sur un miroir cylindrique^ Soiiènib {[pl. i^P^^. xa^fig. ib) ABCD, A'ISab le plan, et ia'ootipe du.mii^îr; la «position del'odil est -doànée par ses projections O, Oy situé6s*sur«ine droite O^ peçpendîcalfttre^urtràceri horizontales XY, £F du plan dei%/^.i^,et du>plan par^Uèley^àngcbt à latsoiface dumirôiT/On imagine sui» ce dernier plan un cercle du ditawètre (IK, ik\ 4|ui a pour centre le point (C, c) ; le cône opttque*doniiee cercle.est la base, et qui a son sommet an point doMtié(0/o)^ pénètre la smfaceduiaiibi]^ swmmt une c6urbe(ABC^, mmWy(t). 6haqu0 droite dii cônc^ telle que (OM v vni) ^ m . réflécftiit snivaift unis > autre droite^ (MN , mn) ; qui coupelè plan {jSgi ia^<le lirbafriofi^eiirodu miroir -anv point N. Ge>pQiint ap*> |>artient k)lkumttarpfcK»e >PNpi àa^ cercle^ Les)ray6ii»<4e lumière qui partiront dêspoiàts deJ»ooifrlBie*BNQysenidt)véfl^ii& pW l'œil

(O, o) du ^pectateury et ptodoîrdnida «ém^ âfpate^i^'qu^ le cerolë (IR, r^) vu directemetiti ] ;»*..,? M/j m u} ^n^^} ■'a:A>h.:: >..• . .*

> La nomiale'iu point (M,^m) d«ia>bfirfitl}idù^tbi(i<^taRt horizontale, sa prbjecftioD* Q/ig. ia). LMA-^Mte eD'idtiuixripartMfiPé^liinf^^ OMN-, qui a pour csôcés ifi8 péûjedions hovizontalès BQf ^ MO* dfilti^rsiy<ii| incideirt sur le point (M., m) du teiiKMD djrbndrique , et «te oe ràyiMb<ré$ét5biV^ers l'o^fl (O, 'o)i ' \

1/ La mènQ«'toutmctoims'Applîi|u6iâaiioit(Âr^Mhi(]^ a^); ABCD est

(i) tAé<hthémïtlirtf'(JI^:th),^XIËiAié^'cèTàe cTà 'du^mètre a-, se confond aréc

lifr dUA» la ptM»wÊpSti^mB.*ZuQt4aàlMmp ^aafd ^fitéÉ tkèlàd^iàiéS^'}''&A^éwiitrâh cette confusion.

la base du miroir, à!lR sa section par le ipian verlicaMJLB ; Toeil est sur le plan Terticai OCLD, au point (O, o) de <ae plan. On ÛDagioe nu cercle (IK, ïA) dans un plan vertical EF perpendiculaire à la droite OU. Le c6ne optique qui a f¥)ur base ce cercle , pénètre la surface du miroir suivant la courbe (MAfM% nudm"). Les droites de ce c^ie se réfléchissent et forment une surface réglée, dont rintersection NPQ par le plan de \à hase inférieure du miroir, est Tanamor^ phose du cercle (UL, ^k.)

§ IV. Ds Là FftorBcriOK KiaspccrnrE, diee miOYEcnotr sxénKOORAPmQDS»

{PL3oduï^Mi)^re.)

.* ' 199^ Ce mode de projection n'est en usage que pour indiquer sur une

'carte qu*on appelle mappanonde^ ,Ia position respective des lignes tracées jsiir

la surface de Ja terre et des points remarquabfes du ^lobe, déterminés par les

intersections de ces lign^.

Considérant la surface 4e la teire cornue spfaériquei on la divise par deux systèmes de plans, tes uns. mérkiifiuSf passant par Taxe de la terne; les »itrjes peq^eruUcidaires à cet axe, ou parailèfes à Téquateiic Une mappemonde est un plan sur lequel <m a projeté les detvi syiStèmes de cercles; savoiri les ^méridiens et les parallèles k l'équateur. Les géographes emploient pour .la oonslknction des cartes , plusieurs 0iodes de f^roj^ction, parmi iescpieh on doit distinguer celin qui jouît de ces demi propriétés trèsHrpmarcpwil^es ^ .

I* Qtt'«ua<3ercle qufdoonqve de la spliè^v se projette suivant un autre ceTCle;

a^ Que Faffigle de deux tangentes à la sphère ne difiere pas de sa praled&ofla.

On satisÊiit .à ces decox conditions, ea prenant pour pl^n de projectionsiy celui d'un grand oercle de la spbère» et:enf«isant>concouitfr les dnoites de protections Ters Textrémilé du rayon !perpQndicufa6re 9u plaq 4n grand oerde. jGonsidérant tetce extréniilé du rayon comme un ,po«;pt 4e vue, le pBan îdn griand oqrcle comme un tableau, les droites de .projeeticvos comme jdrs rayions visuels, la projection dite stéréographiquey est un dessin de perspective linénire.: nous allons démontrer les deux .propriétés qui disâoguent cel^e projection. ,

ftoo. Soit {.fig. 5, pi. 3o<dû livre; i^^),J|i^tQ^ Je^and^cerclç d'upe sphère^ dont le plan ^pasae ipar les trois points^» G «,)),, qui sont pespei^tivfKmeiil: »le point d^ vue, le centre deia sphère» et, le centm; ^'-un oercle qnekpnque.de |2^. sphère à mettre en p^spective. Ce plan est^^erpendiciilaire au tal^kauetanplandn cercle donné k mettre en .perspectlire, .puisqu'il xoatiant-deux -dreites -OCyCD^ dont Tune est par l^pothèsfe perpen4iculaii;e au pl.^^duta|]Jeau^Xautre joigpanVl^ centre de la sphère ^et le •centre du cercle doimé, est^anssi.pieqiendieulatffe.au

plan cic ce cercle; d'où il suit que le plan ^u^^rand cercles ABEFÛ contient la seclîon principale EOF (art. 188, lir. i^'^)idu côueoblique, qui apour sommetle point de Tue O, et pour base le cet cle du diamètre Ef , dont le plan £F fait avec le côt^ OË de la section principale, Tangle OËF; mais le plan Kefh du tableau perpendiculaire au plan de la section priÀcipaie, fait avec Tautre coté OF de cette section un angle Vfh^ qui est égal au premier EOF, parce qu ils ont tous deux pour mesure la moitié d'un quart de circonférence AO ou OB, plus la moitié de l'arc BF;d'où il suit (art 187, liv. \^^) qae le plan kefh coupe le cône oblique suivant im cercle du diamètre ef^ qui est la perspective du cercle du diamètre EF. Cette conclusion s'applique à tout autre cercle; il est donc démontré que tous \e& cercles de la sphère seront représentés par des cercles sur la mappemonde construite par la projection stéréographique.

aof. La seconde propriété se démontre de la manièresuivaute(/?|^.5t/^.3o) (1): Soit ABOE le grand cercle d'une sphère dont le plan passe par leé trois points O, C, E qui sont respectivement le point de vue, le centre de la sphère, et le sommet de l'angle compris entre deux tangentes à la surface de la sphère; ces tangentes sont dans le plan tangentEG, perpendiculaire au rayon de la sphèreCE. Kousferons d'abord remarquer que ce plan tangent EG,et le plan du tableau ACB perpendiculaire au rayon OC, sont tous deux perpendiculaires au plan du grand cercle AOBE, qui contient le rayon visuel OE du sommet £ de l'angle des deun tangentes à ta surface de la sphère, et que , de plus, ils font avec ce rayon visuel des angles égaux OEG; E^fB, puisque chacun de ces angles a pour mesure la moitié d'un quart de circonférence OB ou AO, plus la moitié de l'arc EFB; d'où il suit qu'ayant mené la droite glE^ parallèle à AB, les deux phms GEG', gE^ qui comprennent entre eux l'angle GE^', font avec le rayon visuel OEE' les angles égaux OEG , gE£\ Cela (>osé , transportons sur un plan horizontal (Jîg. 6) les droites OE, EG, Eg^ de la^. 5, et menons dans im plan vertical XE'Y, perpendiculaire au rayon visuel OEE', lès côtés E'w, E'/z de l'angle compris entre les deux plans (OË'm), (OE'/i) menés par le pbint de vue O, et par îeâ deux tan- ^ntes à la snvfaee de la sphère. Le pllan trertkal EG, qui représente (fig. 6) le plan tat)gen4 à la sphère; coupe les plans {EE^m')^ (OE'n) suirant denx droites dont Tangle esl égal à celui des deux tangentes à la surface de la sphère.- La plsm vertical Eff coupe aussi les deux pbns (OF/ti), (OE'a) suivant deux autres <lrdîie8 qui f<^t emre elles nn second ftngle, project ion dn paremier : or ces deia angles som égsaUx, et pour le prouver, menons un plan korîaontdl xy^ qui

(i) CeUe démonstration est extraite âe la Correspondance sur VÉcott PofyUchnùpie, tome 1 ^agc 364, et tome 2 , page a4a.

a56 GÉOM<TRTK DKSCRIPTIVE.

coupe les deux plans (OE'at?), (OEn) suÎTant les horizontales (MM', m), (NN',n). Puisque par hypothèse Fangle OEG = Tangle E'Eg, la perpendiculaire EQ à la droite OEE' divisera en parties égales lès parallèles MM', NN' à OE. Supposons qu*on ait amené les plans verticaux EG, E^ dans le plan vertical EQ, en les faisant tourner autour de la verticale E, qui est leur intersection commune, et qu'on ait projeté sur le plan vertical XY, parallèle au plan vertical EQ, les droites d'intersection des plans verticaux EG, Eg^ et des plans (OE'/w), (OE'aî), ramenées sur le plan vertical EQ; ces droites comprendront entre elles Tangle/^EY, soit qu'on les considère dans le plan vertical EG ou dans le plan vertical Eg. En effet, l'arc de cercle décrit du point E comme centre avec le rayon EM ou EM*, coupe la droite EQ au point P; l'arc de cercle décrit du même centre avec le rayon EN ou EN', coupe la droite EQ au point Q; d'ailleurs les points P etQ se projettent sur le plan vertical XY en p et g; d'où il suit que l'angle /?E'^ est la mesmre des deux angles égaux contenus dans les plans verticaux EG, E^.

Revenant de lay?^. 6 à la^. 5 , le plan EG tangent à la sphère, contient l'angle des deux tangentes à cette sphère, dont le sommet est au point £; le plan E,^ est parallèle à celui du tableau AB, perpendiculaire au rayon OC; donc lé plan EG et le plan du tableau coupent les plans menés par le rayon visuel OE et par les deux tangentes à la surface de la sphère, suivant deux^mgles égaux; mais le premier de ces angles a pour côtés les tangentes à la surface de la sphère. Le second angle est égal à la projection stéréographique du premier; donc un angle quelconque de deux cercles d'une sphère, ou de deux tangentes à la sur- &ice de cette sphère , qui se croisent au point d'intersection des deux cercles y est égal à sa projection stéréographique.

Construction stéréographique ttune mappemonde sur le plan (Tun méridien.

(Fig. 7, pi. 3o du I*' livre.)

^oa. Soit PFa.o^.3o*... (/%. 7,/?i3o), le cercle de la sphère terrestre, contenu dans le plan d'un preniier méridien ; on divise sa circonférence en quatre parties égales, par les droites PF et ^.o^ qui représentent l'une l'axe de la terre, et Tautre la trace de Téquateur terrestre suc le plan du premier méridien. On subdivise chaque partie en 90 degrés. Soient o^, 3o^, 60^.... a, b^ d les points de division qui déterminent les parallèles à l'équateur, des diamètres 6.3o(^, ^6o^... ; les mêmes points déterminent les méridiens terrestres , dont les plans font avec le plan du premier méridien des angles mesurés par les arcs ab^ bd... Il s'agit maintenant de construire la projection stéréographique des méridiens et des parallèles à Téquateiu*.

J^oje^tiçn siéréo^aphique d'un paraUele a Véquateur.

!4o3. Le par^yèle d'une latitude dpi^n^e, So** par exemple, coupe le premier méridien aux: deux points 36^ et, è {Jig. 7); d'op il suit que la projection de co • parallèle, ou sa perspective suf le premip y^r]dien qu'on prend pour tableai), passe par ces points..^^ , , ^^^ ^, ;v "

Considérant le plan du pr/eto^er méridien comme un plan horizontal, le plan vertical PF, mené par l'aide dç la terije, coupe le parallèle à l'équateur en un pv>i|it, et pour mettre ce point jen perspective, on abat le plan vertical sur le plan horizontal. Le point du parallèle s^tué au-dessus du premier méridien, et à i^o^ à^& points b et 3o% s'applique en 3o% et le point de vue situé au-dessous du premier méridien , au point o^extrémité au rWçn Ca. Menant le rayon visuel a.3o**, qui coupe ladroite PP'^ du tableau au pointyÇ les trois points 3o®, A,/ déterminent l'arc ^d^ ceçcle ^3o% m\ est U per^ectiye du demi-parallèle à l'équateur, sitwé ai^-^çsâ^u^ (JHJpf^iiÇF p}^ridi€p,.doht; la latitude est de 3o®.

2p4. Prénom» .pwr»qii)j^krI^^.flNé«i4iWtfi^ l^,lqpgilu4£^,dont le plan fait avec celai du pi^pi^r «p^m^iei»^ . i^A^^ * n)^wM« pw Tarq ai. t Le plaa,de i'^^u^ur éiG.^wélw(t4katt« HiTitÀhii du^firemier méridien, l'intersactioQ'dp oeiidflurfdwRtpnep^ Ja posiCmn Gi;ie «point de vue s'abat en F, et le rayon visuel V6 du point ^du mérî(ii«Di|.^99ipe|U«droite Ca du tableau au point €, perspective du point 6. Les trois points P, F, e déterminent l'arc de" cercle ^PP'^, pen^j^pti^yq dit dqmf-ip^i4«n Mç i? l^^^gi^e ab, situé au-dessus du premier méridien. ,, ' * , ,,1 .;•:,,, 1

On déterminera de la même manière l'arc Pg'P', perspective du méridien de la longitude. ^.•Ti>uâiJ^iaii€8 peiSjiecltivM ^s^- méridiens passeront évidemnaiB^tpacles pole8.P^ ¥f*ef^tWWQnt^lfttT9^Mutp^>8w\e.dîàmèire oC.o^ interseciiQU duifHiemienniéii^iWtftr^k J'^àqud^ur.t^rNstTQ. ^

. Mes ta^çnies (^ua^proj^fiot^: ^^9ff!9S^iflJ^4^^ tpei^idiens et des parallèles a

. ao5. Les parallèles à Ijéguateur coupeqt le premier méridien à angle droit; or, l'angle de de^x cerçlç^ ^uel^onqups de la sphère terrestre, ne diffère pas de sa projection stéréograplîiqué (art. aoi ) ; donc la perspective ^3o® d'un parallèle rencontre à angle droit le premier méridien aux points b et 3o^; d'où il suit

•jl58 GÉOMETAIE DESCRIPTIVE.

que les rayons Cb et C.So** sont tangens à l'arc ^3o®. Par la même raisou, la tangente I^ au premier méridien, el la droite T?b tangente à la perspective P^F du méridien de la longitude ab^ comprennent entre elles Tangle bVp^ i\\n a pour mesure la moitié de Tare J?db double de la longitude ab. L'angle de deux tangentes Vb, Vb' aux perspectives P^F, VgV de deux méridiens quelconques , est égal à Tangle des plans de ces deux méridiens.

206. \j3Ljig, 8 (/?/. 3o) est une mappemonde sur Tliorizon d'un lieu dont la latitude est donnée. Le plan de l'horizon passe par le centre de la terre; la verticale menée par ce centre, coupe la sphère terrestre au point de vue. La ligne des pôles étant donnée de position par rapport au plan de la carte , la perspective du pôle situé au-dessus de ce plan , est le point de concours des perspectives des méridiens visibles sur la carte.

aoy. Les deux propriétés de la projection stéréographique réunies, n'appartiennent qu'à la surface de la sphère; mais la première, qu'on a démontrée (art. 200), a également lieu pour Tellipsoide de révolution, pourvu qu'on place l'œil à l'extrémité de l'axe de révolution. Toutes les sections planes de l'ellipsoïde vues de ce point, et projetées sur le plan de l'équateur, doivent paraître des cercles. Cette proposition nous ayant été communiquée par M.Legendre, nous avons démontré qu'elle avait encore lieu pour l'ellipsoide à trois axes inégaux, en projetant les sections planes de cette surface sur l'un des plans parallèles aux deux systèmes de cercles dont cette surface se compose , et en faisant concourir les lignes de projection, vers l'extrémité du disMiiètre qui passe par les centres des cercles parallèles au plan de.projection^. {yoy&u la Correspondance sur V Ecole polytechnique^ t» 1,, p. 76, juillet i8q5.)