DES PREMIER ET SECOND LIVRES

NOTK !•

Article Gi , livre i*'', ^dLge.^^.-:- Intersection de surfaces par des plans.

vJn a exposé dans cet article une méthode générale, pour trouver les points successifs de la ligne suivant laquelle une surface définie est coupée par un plan donné de position. Il est évident que si Ton demandait les points d'intersection de cette surface par une droite aussi donnée , cette seconde question dépendrait de la première ; car un plan quelconque mené par la droite donnée, couperait la surface définie suivant une courbe^ les points de rencontre de cette courbe et de la droite , seraient leâ points^ demandés.

WoTE II, Article 88, livre i*', page 5i. — Développement de surfaces.

M. Lacroix a donné, dans un Mémoire présenté à VAcadémie de» Sciences en 1790 , la solution analitique du problème suivant : <• Une courbe quelconque étant tracée sur ^ une surface dévelc^pable, trouver ce qu elle devient dan» le développement de cette « surface; et, réciproquement, une courbe étant tracée sur un pi^n, trower ce qaelle « devient, lorsqu'on enveloppe ce plan sur une surfftce donnée. »

Il a aussi publié cette solution dans le premier volume de son. gnMid Calcul différen* tîel, in-4**> page 636.

Note IIL

Article i44> livre i®**, page 84. — Du plan tangent à une sur/ace réglée.

Méthode graphique des tangentes.

On a résolu (art. 489 liv. 1^') ce problème : « Mener un plan tangent à ane surface cylindrique, par un point donné de cette surface. » Nous allons exposer une autre solution grapbîque de ce problème, à laquelle on doit appliquer la remarque qui termine l'article i44*

La surface cylindrique étant définie, la génératrice qui passe par le point donné de cette surface , rencontre la directrice en un autre point connu ; et si la ungente à la di* ^

rectrice en ce second point était menée, le plan tangent serait déterminé* La solution suivante a pour objet de mener le plan tangent, sans avoir recours à la métbode ordinaire de» tangentes.

On conçoit par le point donné de la surface cylindrique^ le plan tangent à cette surface, et dans ce plan la droite de contact D, et une autre droite D' qui passe par le point où la droite D de la surface coupe la directrice : l'angle de ces deux droites est arbi

traire; nommons-le A. Il est clair que si cette seconde droite D' étoît connue, le plan tangent passerait par les deux côtés D et D de l'angle A, dont le sommet est sur la directrice de la surface cylindrique, et ce plan serait par conséquent déterminé. Pour trouver la droite D', on observe qu elle a pour lieux géométriques, deux surfaces, i® un cône droit qui a son sommet sur la directrice de la surface cylindrique , pour axe la droite D de cette surface, et dont le côté fait avec Taxe l angle A; a® une surface réglée, qui a pour génératrice, une droite assujettie à ces trois cQpditions, de passer par la, directrice de la surface cylindrique; par la droite D de cette surface; de former avec.ççtte droite D un angle constant A : d'où il suit que la droite D' est riptersection commune d'un cône droit et d'une surface réglée définie. Le sommet connu de langle A apparent i cette droite; pour en trouver un second point, il suffira de couper le cône- et la. surfaice réglée par un plan perpendiculaire à la droite D ; la section du cône sera un cercle; celle de la surface réglée, une courbe qui rencontrera le cercle en deux points ; les droites ly, D" qui joindront chacun de ces points, et le sommet de l'angle Acompl'is entre les droites D et ly, ou D etlT, seront dans le plan tangent à la surface cylindrique, et fixeront la position de ce plan. Cette solution comprend le cas particulier, qu'on a traité dans le cahier des Annales de M^ithématiques de M. Gergonne, septembre i8ig.

On remarquera qu'on emploie dans la construction précédente , une surface réglée , qui est complètement définie, mais que deux des trois conditions qui déterminent le mouvement de sa génératrice, se réduisent à une seule, lorsque cette génératrice passe par le sommet de l'angle A , puisque ce point appartient en même temps à la droite D et à la directrice de la surface cylindrique; que la droite D' ou D'' correspond à cette position particulière de la génératrice, et qu'elle est par cette raison indéterminée. D'où il suit que la ligne d'intersection de la surface réglée par un plan perpendiculaire à la droite donnée D du cylindre, sera formée, comme la courbe /it./n'.m'',.../i.n'./z^.... de l'art. i44> de deux branches séparées par un élément infiniment petit ; que ces branches convergeront vers un point de la section circulaire du cône droit , et qu'elles se raccorderont en ce point, par la condition d'y avoir une tangente commune.

En appliquant l'analise à la construction géométrique précédente , ou à celle de l'article i44} relative au plan tangent d'une surface réglée, on n'est point dispensé d'employer les méthodes connues de calcul différentiel pour déterminer le plan tangent d'un cylindre, ou le point de contact d'un plan tangent à une surface réglée mené par .une droite de cette surface ; c'est seulement dans des cas particuliers que cette détermination ne dépend que d'opérations algébriques.

Une courbe plane étant donnée, on considérera cette courbe comme la directrice de la droite génératrice d'une surface cylindrique; on mènera par un point donné de la courbe, le plan tangent à cette surface, qui coupera le plan de la courbe, et la droite intersection de ces deux plans sera une tangente à* la courbe, au point donné.

Lorsque la courbe proposée sera à double courbure , on là placera successivement sur . deux surfaces cylindriques. On mènera par la métkode précédente, les plans tangens à ces surfaces, qui passent par un point déterminé sur la courbe, et la droite intersection de ces deux plans , sera la tangente de la courbe en ce point.

lîOTEs. a6i

Une courbe plane étant Tane des directrices d une surface réglée, dont la droite génératrice mobile est constamment normale à la courbe, j'ai fait Toir dans les Eiémens ' de Géométrie à trois dimensions (art. 76 , page 79) qu'un plan normal à la courbe et tangent à la surface réglée, touchait cette surface en un point, dont la projection orthogonale sur le plan de la courbe, était un centre de courbure de cette courbe.

En plaçant une courbe à double courbure sur deux surfaces réglées composées de lignes droites perpendîcidaires k la courbe , le cercle osculateur en un point quelconque est l'intersection de deux sphères dont les centres et les rayons sont déterminés. La construction géométrique de œ cercle est l'objet de farticle 78 de l'ouvrage cité, et j'en ai donné des exemples dans le second Supplément (page ai) de la Géométrie de»criptÎTe deMonge (in-4% Firmin Didot, 181 8.) ii

Note IV.

Article 1 46, livre i*', page 85. — Intersection de sur/aces courbes entre elles.

On a fait voir dans cet article comment on construit la ligne d'intersection de deux surfaces qui se pénètrent; mais on pourrait proposer de trouver les points de rencontre d'une surface définie, et d'une courbe donnée hors la surface. Pour résoudre cette question, on imaginerait par la courbe donnée une surface quelconque, dont la génération serait connue. En supposant qu'on ait placé la courbe sur une surface cylindrique ou conique , on construirait la ligne d'intersection de cette surface et de la première surface définie ; les points communs à cette ligne et à la courbe donnée seraient évidemment les points demandés.

Note V.

Article 39, livre a, page i43. — De C hélice et de la surfiice kéliçoide.

Une droite étant fixe, on conçoit une courbe mobile, dont chaque point décrit une hélice sur le cylindre à base circulaire, qui a pour axe la droite fixe, et pour rayon , la distance du point de la courbe à cette droite ; le lieu géométrique des hélices de même pas (art. 36 , liv. a) , décrites simultanément par tous les points de la courbe, se nomme surtsLcehélicoide; la droite fixe est Y axe de cette surface. La voûte qui supporte les marches d'un escalier à noyau , qu'on désigne dans les traités d'architecture par le nom de ^vis Saint*GUlesy est terminée par une surface héliçoidey qui a pour génératrice un demicerele, et pour axe, une droite verticale située dans le plan de ce demi-cercle, laquelle droite est aussi l'axe du noyau de l'escalier.

On conçoit par l'axe d'une surface héliçoide deux plans, l'un passant par cet axe, et l'autre qui lui soit perpendiculaire ; considérant ces deux sections et l'hélice décrite par un point quelconque de la surface autour de Taxe, on aura trob choses, dont deux déterminent la troisième. De cette relation , j'ai déduit la théorie géométrique des Damas ^ ou lames figurées de Clouet, que j'ai exposée dans le cahier des Annales des Mines, mars 1804, tome i5. J'avais antérieurement (en 1798) proposé cette question aux élèves de rÉcole polytechnique : « De ces trois choses d'une surface héliçoide, la section par Vaxe^ la section perpendiculaire a Vaxe^ l hélice décrite par un point quelconque de la surface

autour de rtixôj deux étant données, trouTer la troisième ? « (Voyez le aecond câ^ier du journal in 4** de l'Ecole , page i o3 .)

Note VT.

Article 49, livre a, page i47« — ^^s épicjdoides sphèriques^ et de leur usage

dans la construction des engrenages*

On déduit des propriétés de Iepicjcloide'sphériqne,'Ia sofaitionde cette question de

mécanique :

« Étant donnés deux axes fixes, et deux points 'M, KT attachés invariablement à cesàxes^ on suppose qu'tmé force appliquée à Ton de ces points , à' M ptir exemple , lefasse tourner autour du premier axe, on demande par quel mécanisme on doit* joindre le point M au point M', pour que ce dernier tournant autour du second axe , les arcs de cercle parcourus dans le même temps par les deux points, soient dans un rapport donné et constant. »

(Voyez la solution de cette question dans moni Traité des Machines, seconde édition y année 1819, page a86). ,

Note VIL

Article 56, livre 2, problème 10, page i5i. — Intersection de trou canes droits

à axes parallèles.

Le problème lo, page i&i, a au plus quatre solutions : pour le. démontrer, nous rapportearons les trois surfaces coniques droites^ Ueux géométriques du point cherché à trois plans rectangulaires, et nous supposerons que leurs axes sont parallèles à Taxe des z; nous placerons le sommet du premier cane à Torigine des coordonnées; le sommet du second sur le plai^ de xZj au point déterminé par le& coordonnées :r=a, z=^A; lesommet du troisième, au point qui a pour coordonnées x = a\ y=- b\ z = A'.

Nommant /, vi, m' les cotangentes des angles que les droites génératrices des cAnes droirs, font respectivement avec les axes de ces cdnes, on aura pour les équations des trois surfaces:

Dévelopfant les deux dernières équaclioBS , on a :

/'s.A)»=m^(a?«+j'')+f7i*(/i».2û5:r) ; (2.A>===w'«(.r«+j»)4-m'^(a M-*'*)— a^W^jr—aiW^T-,

et mettant pour x'^ -f-^* , la valeur égale -r->

{zr^hy = -— -+.m»(rt*— aax); (s--*')* = ""^ +/?t'»(tf'>-f.*'») — aa W^op — vifrri'^x; doulontire:j:= ;-— - — ^^ '— (i>

Substituant ces valeurs de a^ ei^ dans Féquation z* = /» [x^ +T^))