I. DEFINITION ET PROCÉDÉS GÉNÉRAUX DE ]:«A STÉRÉOTOMIE

I. U N solide.est défini, lorsqu'on donne la génération et la position respective des surfaces, qui, par leurs intersections, forment les arêtes ou les contours des faces de ce solide. Le dessin^ ou le système de lignes qu'on obtient en projetant les arêtes d'un solide et les points remarquables des faces de ce solide, sur deux plans rectangulaires, se nomme le trait ou \ épure du solide. La construction de ce dessin est une application immédiate des principes qu'on a exposés dans la géométrie descriptive, et principalement de la méthode par laquelle on trouve l'intersection de deux surfaces , dont on connaît la génération, et la position, par rapport aux deux plans de projections. Le choix de ces plans est encore plus important en stéréotomie qu'en géométrie descriptive pure (voyez p. 109, art. 192, liv. i^'). Une épure de stéréotomie ayant pour objet défaire connaître les dimensions d'un solide, et ces dimensions se mesurant en général sur des droites qui joignent des points déterminés de ce solide, il faut, autant que possible, que les plans de projections soient parallèles aux droites sur lesquelles on mesure le plus grand nombre de dimensions.

a. On exécute les corps d'une forme déterminée par l'épure, au moyen de machines et outils qui varient suivant les qualités physiques des matières dont ces corps se composent. Cette opération , purement mécanique, est précédée de constructions géométriques, au moyen desquelles la matière passe sans tâtonnement, et par une méthode rigoureuse, de son état naturel, aux formes les plus composées, qui sont déterminées parle trait, ou l'épure. Cette méthode, par laquelle on trouve la figure des objets, d'après le dessin qui les représente, constitue un art particulier, qu'on nomme stéréotomie.. CtX. art, aussi ancien que l'architecture, est connu de ceux qui pratiquent la coupe des pierres et des bois , sous le nom Ôl appareil ou art du trait.

Des procédés généraux de la stéréotomie.

3. Quel que soit le solide qu'on propose d'exécuter, on doit le diviser en autant de parties qu'il est nécessaire , pour que le volume de chaque partie soit moindre que celui du solide brut dont il doit être formé , et qu'on suppose

ayO GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.

donné. Ce mode de division varie pour chaque cas particulier; néanmoins on lâche toujours de satisfaire à ces trois oonditiom, l^ que les arêtes de chaque partie soient ou des lignes droites, ou des cercles, ou des courbes faciles à construire par points, exempts de changemens brusques dans leur courbure ;

a^ Que les joints de deux parties consécutives soient ou des plans ou des surfaces du genre de celles qu'on a définies (p^ !^, art.4^9 li^« t), et quW a nommées surfaces de révolution , surfaces développables , et surfaces réglées ;

3^ Que les angles des surfaces , en un point quelconque des arêtes formées par les intersections de ces surfaces , diffèrent le moins possible de Tangle droit.

4. Les arts mécaniques offrent des moyens commodes pour exécuter les surfaces planes, développables, réglées, et les surfaces de révolution, ainsi que pour ti^acer des lignes droites ou des cercles. Cest pourquoi Ton obtient, en remplfssant les deux premières conditions, économie dç temps et de main d'oeuvre dans le travail qui a pour objet de donner à chaque solide, la forme déterminée par l'épure.

La solidité des constructions est le motif principal de la trobième condition. Deux corps contigus étant terminés par des portions d'une même surface, et ayant pour joint commun une seconde surface qui coupe la première suivant une arête commune aux deux corps, chaque point de cette arête est le sommet de deux angles ; que l'un de ces angles soit obtus, l'autre sera nécessairement aigu.

Or il est très-important d'exclure, dans un système de corps, ceux dont les fkces font entre elles de petits angles. En effet, quel que soit le moyen mécanique par lequel on exécute la partie d'un corps , voisine du sommet de ces angles , on conçoit facilement que la moindre pression ou le plus léger choc de Toutil qu'on emploie, pourra briser cette partie, qui ne présente qu'une faible résistance. Supposant encore à celui qui dirige l'outil, assez d'adresse pour éviter les fractures, le solide mis sous la forme déterminée par l'épure, et à la place qu'il doit occuper dans un système de corps, éprouvera des pressions qui tendront à détacher les portions où il y a le moins de matière ; il est donc nécessaire, pour la solidité des constructions, de n'employer que des corps dont les faces comprennent entre elles des angles peu différens de l'angle droit.

5. Un solide, quelles que soient ses dimensions, sera toujours divisible en un assez grand nombre de parties, pour que chaeime soit formée d'une seule pièce. Ayant donné à chaque partie, la figure et les dimensions déterminées par l'épure, le système de toutes les parties qu'on aura exécutées isolément, et le solide proposé, seront renfermés dans le même espace , et terminés par des surlieeir i^entiqiiesc irsnffit d6iK7 <te cenmAittr en stéréotomie, èes solide» entiers, ée dtMieMiott» moindres^qne ceA^de la matière première dont on doit kf» former.

Av«M ittiposet lei principes généraux dé cet art, il esf viéceêsatre. d'exa-

XPPBKDIGE. ^yt

miner le cas pAiticolier où le corps propcpsé qu'il fl^agil d'exécuter, est un solide 4 faces planes , ou un polyèdre.

Bu polyèdre , ou solide à faces planes.

6. Le polyèdre étant défini, on peut supposer que chacune de ses arêtes est détemiiiiée par ses profections sur deux plans rectangulaires, auxquels le solide est rapportée Les arêtes contenues dans un même plan forment le contour d'un polygone <» qui comprend une face du solide. Ayant divisé chaque polygone en triangles, les longueurs des c6lés de ces triangles sont déterminées. Cons« truisant à part les triangles, et les réunissant dans le même ordre où ils sont placés sur le polygone , on aura évidemment le développement d'une face du polyèdre proposé.

Ayant développé de la même manière toutes les faces du polyèdre, on cons» truira les angles des plans qui ont pour intersections communes, les arêtes du solide; alors Tépnre ou le trait sera complet , et voici Fnsage qu'on en fera.

Après avoir soumis la matière première^ pierre ou bois, dcmt cm doit former le solide , à une action mécanique qui dsvsse Tune de ses faces , c>st*à-dire , qui l'aplanit <lans on sens, on trace sur cette face plane, Tun des polygones formés par les arêtes du solide défini. Le plan de ce polygone fait avec les plans qui passent par ses c6tés, des angles dièdres qui, par hypothèse, sont connus. On dressera enoore la matière brute dans le sens de ces nouveaux plans, et on rapportera dans chacun d'eux le polygone qu'il contient.

En procédant de cette manière, on exécutera successivement foutes les fiices du solide proposé , sous les angles que les plans de ces faces font entre eux ; il est évident que le solide ainsi construit aura la forme déterminée par le trait ou l'épurer

§ II. DE Lii STÉRÉOTOMIE APPLIQUÉE A UV SOLIDE QUELCONQUE DÉFOrT.

7. Un soKde terminé par des surfaces courbes, a pour arêtes les co«rbes i double courbure qui résultent de la pénétration de ces surfaces. Chaque arête érant l'intersection de deux faces, il peut arriver deux cas, ou que les angles de ces faces, qui ont poursommets les points de Tarête , soient saillans ou rentrans. N'eus considérerons d'abord le solide à angles saillans , sur lequel il n'y a aucun aitgle rentrant, et nous le supposerons enveloppé de plans, disposés de manière que le volume du potyèdre compris entre ces plans, difiere le moins possible vokime du soK^îe proposé.

On exécutera d'abord le polyèchre enveloppe d'après ce qtri a été &l prêté-

^n^ GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.

demment (art. 6), et la question de stéréotomie qu'il s'agit de résoudre, consistera à donner au polyèdre la forme du solide proposé. Pour résoudre cette question, on conçoit que les surfaces courbes qui contiennent les faces du solide « et dont la génération est connue (art. 4a, liv. i®'), soient prolongées jusqu'aux faces planes du polyèdre. Le solide et le polyèdre étant rapportés aux mêmes plans de projections, les projections des lignes d'intersections des &ces du solide prolongées et des faces planes du polyèdre, seront déterminées sur lepure ; et après avoir construit le développement de chacune de ces lignes, on pourra la rapporter sur la face du polyèdre qui la contient. Prenant ces lignes tracées sur le polyèdre, pour les directrices des génératrices mobiles des faces du solide proposé, la construction de ce solide ne dépendra plus que d'une opération mécanique, qui consistera à enlever de la matière du polyèdre, tout ce qui sera en dehors de l'espace que les diverses génératrices parcourent , pour engendrer les faces du solide proposé.

Deux lignes suffisent, pour diriger Je mouvement d'une droite; mais lorsque la génératrice est un cercle , une ellipse , et en général , une courbe plane , il faut tracer sur l'une des faces du polyèdre, les intersections successives du plan mobile de la génératrice courbe. Connaissant deux points de cette génératrice sur les lignes directrices, et une droite du plan, qui la contient, chacune de ses positions est déterminée.

8. Ce mode d'exécution ne convient évidemment qu'aux solides dans lesquels il n'y a pas d'angles rentrans ; car, en supposant que deux faces contiguês comprennent entre elles des angles de cette espèce, leurs prolongemens enlèveront du polyèdre une partie du volume de ce solide^ qu'il faut lui conserver pour l'assimiler au solide proposé.

Dans le cas où il y a une arête rentrante sur le solide proposé , on dispose le polyèdre, enveloppe de ce solide, de manière que l'une de ses faces plajies, la plus voisine de l'arête rentrante , puisse contenir la projection orthogonale de l'arête entière.

Au moyen de cette projection , et des distances de chaque point de l'arête à sa projection, on trace dans l'intérieur du polyèdre, l'arête même, que l'on considère comme une directrice , et dont on se sert pour engendrer les deux surfaces qui se coupent suivant cette arête.

La même opération se répète pour toutes les arêtes rentrantes du solide proposé.

9. L'une des faces courbes du solide étant exécutée, on trouve sûr cette face, les arêtes qui la terminent; ce qui peut se faire de la manière suivante :

Ayant marqué deux points P et P* sur les directrices dont on s'est servi , pour engendrer la surface qui contient la face du solide , on connaîtra ces points sur

APPEI^DICE. 273

répure, et leurs distances à un point quelconque , donné par ses deux projections. Décrivant des points P et F comme centres, avec des rayons égaux aux distances de ces points à celui qu'on veut rapporter, des courbes sphériques , ces courbes se rencontrent sur cette face au point demandé. Répétant cette opération pour les sommets des angles du polygone formé par les arêtes contenues dans la face, ainsi que pour d'autres points intermédiaires, on tracera les arêtes elles-mêmes.

Cette opération s applique à toute espèce de surfaces ; mais elle se simplifie , lorsque la face du solide appartient à une surface réglée. En effet un point quelconque de cette face se trouve sur une droite qui coupe Tune des directrices de ia surface réglée, en un autre point connu. La distance de ces deux points est donnée par l'épure ; d'où il suit qu'on peut la rapporter avec le compas, après avoir exécuté la surface, sur la droite de cette surface qui contient les deux points.

10. Lorsque la face appartient à une surface développable, on déduit de l'épure (art. 89, liv. I*', p. 49) la transformée de cette face sur le plan de développement. Cette transformée se compose des transformées des courbes , ou dés arêtes qui forment le contour de la face.

Ayant tracé le contour de la transformée de la face développable , sur un pkn flexible, tel que du carton , on applique ce carton sur la surface développable qu'on a déjà exécutée, en ayant soin que deux points de cette surface coïncident avec les mêmes points rapportés sur le plan flexible.

En coupe des pierres, on nomme ia transfohnée d'une face développable, panneau.

11. Lorsque la matière première dont on forme un solide est, comme la plupart des pierres, d'un prix peu élevé> on ne s'assujettit pas à la condition de prendre pour polyèdre enveloppe, celui dont le volume diffère le moins possible du volume du solide. Souvent on donne à ce polyèdre la forme d'un parallélipipède rectangle ; alors le volume de matière contenue entre lés faces du parallélipipède et celles du solide proposé , est augmenté. Quoiqu'on perde cet excédant de matière , on est le plus souvent dédommagé de cette perte par réconofliie du temps et de la main d'oeuvre.

13. Il y a des cas où le solide à exécuter est composé de faces courbes et de £iices planes. Alors, ^ quel que soit le polyèdre enveloppe, il sera convenable, pour économiser la matière, que le plan de chaque face du solide, contienne aussi une face de ce polyèdre. Cependant il y a encore, dans cette hypothèse, des circonstances où l'on préfère le parallélipipède enveloppe^ qui n'a aucune face dans le plan de l'une des faces du solide enveloppé. Dans ce cas, le mode d'exécution de ces faces ne diffère pas de celui qu'on a exposé (art. 7, append.) ,

ay/» GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.

et qui sapplique également aux surfaces courbes et aux surfaces planes d'un solide.

1 3« En ne considérant dans le parallélipipède rectangle ent^eloppe, que ses faces extérieures, on l'appliqué à Un autre usage dans Fart du sculpteur; il sert à copier une statue avec une exactitude rigoureuse. Le procédé est simple; il a pour objet d'obtenir dans l'intérieur d'un bloc de pierre , les points marqués en tel nombre qu'on veut, sur la surface de la statue originale.

4yant mis en présence la statue et le bloc capable de la contenir, on les entoure de deux châssis égaux, composés d6 tringles et traverses, les unes horizontales^ et les autres verticales. Les sections horizontales de ces châssis sont des rectangles égaux, et chacun d'eux est compris entre quatre plans verticaux passant par les côtés de ces rectangles. Les tringles et traverses portent des échelles linéaires , et par les points de division dç ces échelles , on fait passer des fils qui se coupent à angles droits, et forment un réseau composé de petits carrés.

De chaque point marqué à la surface de la statue, on abaisse une perpendiculaire sur l'un des plans extérieurs du châssis qui l'enveloppe ; le pied de cette perpendiculaire correspond à un point déterminé de l'un des réseaux du même châssis. Le second châssis qui enveloppe le bloc étant par hypothèse égal au premier, on y marque le pied de la perpendiculaire sur ie réseau égal et parai* léle à celui du châssis de la statue. L'ouvrier enfonce une mèche au moyen d'un vilebrequin, de manière qu'elle passe par le point connu du réseau^ et qu'elle s'arrête dans le bloc, à une distance de ce réseau, égale à la longueur connue de la perpendiculaire abaissée du point de la statue sur le plan du châssis qui Fenveloppe.

En répétant cette opération» on obtient daas l'intérieur du bloc autant de points qu'on veut, et la position respective de ces points est évidemment la même que celle des points de la statue qu'on a projetés sur les plans du dbâssîs enveloppe de cette statue*

Conclusions.

1 4« Les procédés de la stéréotomie» pour donner aux matières premières les formes déterminées par une épure j, consistent d'abord à. trouver un polyèdre à ÙLce% planes, capable du solide proposée Lorsque ce polyèdre est un parallélipipède» le vkode d'appareil ^e jaotnm^.^néihode par équarrissement ; s'il diffère du parallélipipède » on dit qae l'afipareil se fait par la méthode des be^ veaux , ou angles dièdres. { Ces deo^i mots angie dièdre et bedeau sont syoo* nymes. )

L'instrument dont le tailleur de pierres fait usage pour uaesurer les angles dièdres se nomme /àusse équerre. Il est composé de dçux branches en bois, mobiles sur un centre, comme les deux branches d'un compas. On place, gu moyen d'un rapporteur, les deux branches sous un angle donné, et On les fixe, en tournant Técrou d'ufie vis placée au centre de rotation. Un premier plan éUnt exécuté, l'un des côiés de la fausse équerre s'y applique exactement , et se meut perpendiculairement à l'arête de l'angle dièdre. Dans ce mouvement , la seconde branche de l'équerre doit glisser siur le second plan, et alors on est assuré que Tangle des deux plans est égal à celui des branches de la fausse

équerre.

La transformation d'un polyèdre à faces planes , en un solide à £aices courbes , se fait ou par les panneaux ^ lorsque les faces sont développables, ou par le piquée qui consiste à rapporter par points^ sur use surface donnée, une courbe de cette surface dont on a les deux projections. L'art de l'appareilleur consiste à choisir, dans chaque cas particulier, le mode d'appareil le plus convenable , •qui satisfait le mieux aux conditions de stabilité 9 à l'économie de la matière et de la main d'œuvre.

Aux quatre modes d'appareil qui conviennent 4 toutes les surfaces , il faut ajouter celui qui s'applique aux solides de révohition , et qu'on exécute mécaniquement, au moyen du tour. C'est ainsi qœ se font les colotines, lesbalustres en pierre, qui décorent les balcons de maisons, les trottoirs de ponts, etc. Un patron découpé suivant la génératrice méridienne du solide, est la seule figure nécessaire pour diriger l'outil du tourneur.

§ III. APPLICATIOV m LA STÉaEOTOHDB 1. LA COUPE DES PIERRES.

i5. Les voûtes se composent de diverses parties qu'pn nomme voussoirs ;Ia décompositicMU d'une voûte eu voussoirs, et l'art de donner à chaque voussoir, la forme déterminée par l'épure ou le trait, sont l'objet spécial de ta eoupe des pierres.

Le nombre de voussoirs d\me voûte est toujours impair, et le voussoir du^ rang marqué pau:* la moitié de ce nombreaugmenté de la deroi-nnité , se nomme ^ la clef. La surface d'une voûte se compose des faces visibles et contignéfs des voussoirs, qu'on nomme douelies. Les lignes qui forment le contour de la douelle d'un voussoir^ se nomment eu général arêtes de douelle. ,

Les voûtes varient de forme et de grandeur, selon le monument auquel elles appartiennent, et suivant la destination qu'elles y remplissent. L'architecte ou ringénieur chargé de la construction d'un édifice, détermine la forme et la position de toutes les masses de cet édifice, en se conformant , autant que pos-

'^n(j GEOMETRIE l>£SCIlIPTirE.

sible, aux règles générales du goût. L'appareiileur considère chaque niasse isolément , et la divise en pierres ou voussoirs , en ayant égard à la grandeur , à la ténacité des matériaux , et aux conditions de stabilité.

L'ordonnance des voûtes doit être simple et régulière, comme celle des monumens, dont elles font partie; mais il y a des cas, et l'architecture militaire en offre beaucoup d'exemples, où l'on est obligé de construire des voûtes trèsirrégulières , qui satisfont à des conditions essentielles, mais qui ne peuvent jamais servir de décoration extérieure.

i6. Quelle que soit la destination d'une voûte, on la termine ordinaire^ ment par l'une des trois surfaces, que nous avons nommées (page a4) surfaces réglées^ surfaces déueloppables , surfaces de résrolution. Il y a deux manières de construire les voûtes et berceaux, qui consistent à employer des pierres dé taille , ou des moellons , briques , etc. , qu'on réunit par un ciment.

Lorsqu'on emploie la seconde manière , on exécut^^ la voûte par parties , enr soutenant chacune d'elles au moyen d'un système de charpente , dont la surface extérieure est de même forme que la surface intérieure de la portion de voûte à construire. Aussitôt que les cimens ont pris consistance , on enlève la charpente, et on l'établit au-dessous de la portion suivante, et ainsi de suite , jusqu'à ce que toute la voûte soit construite. On peut d ailleurs se servir d'un système de charpente qui soutienne la voûte entière.

1 7. Lorsque des voûtes se rencontrent et se pénètrent, l'appareil de ces voûtes se fait de manière que certains voussoirs appartiennent à plusieurs voûtes , et sont terminés par plusieurs surfaces.

Les procédés des appareilleurs se modifient, dans chaque cas particulier, selon la forme et la grandeur des voûtes* Les auteurs qui ont écrit sur la coupe des pierres, ont distingué cinq espèces de voûtes, qu'ils ont norstmées portes ^ voûtes , descentes , trompes , escaliers.

Nous ferons connaître, par des exemples, chaque espèce de voûtes.

Les voûtes , quelles que soient leurs formes , sont soutenues par des murs qu'on nomme pieds droits.

18. De tous les pieds droits, le plus simple est un mur droit, compris entre deux plans verticaux parallèles , dont la distance mesure l'épaisseur. Des plans horizontaux et d'autres plans verticaux, parallèles entre eux et perpendiculaires aux faces du mur, le divisent en parallélipipèdes rectangles. On nomme assise la partie du mur comprise entre deux plans horizontaux consécutifs, et les joints verticaux d'une assise ne sont pas les joints de l'assise qui la suit ou la précède; on les alterne, afin de recouvrir les joints d'une rangée de pierres, par les faces des pierres de la rangée suivante. Quelle que soit la^ forme d'un mur, le recouvrement des joints est nécessaire, tant pour conserver

APPEWDICK. a^*^

les cimens que pour donner au système de pierres qui composent le mur, la solidité qu'il aurait, s'il était formé d'une seule pierre.

19. La plupart des pierres qu'on emploie dans les constructions, proviennent de carrières , où elles sont rangées par couches parallèles. Comme c'est dans le sens perpendiculaire aux couches que la pierre est capable de la plus grande résistance, il est très-important que dans un mur droit, comme celui dont on vient de parler, le sens de ces couches, qu'on nomme le lit de la pierre ^ soit horizontal; et lorsqu'une pierre d'une forme déterminée doit entrer dans une voûte , il faut, par la même raison, que le lit de cette pierre soit dans une direction perpendiculaire à la résultante des pressions qu elle doit supporter.

Si la substance de la pierre est homogène, le sens dans lequel on doit la placer, pmir en former un voussoir ou le polyèdre enveloppe de ce voussoir, n'est déterminé que par la comparaison des volumes du polyèdre enveloppe et de la pierre brute, lesquels doivent différer le moins possible entre eux, pour économiser la matière.

Lorsque les pierres ont été extraites d'une carrière, où elles sont rangées par couches horizontales ou inclinées , on nomme la face d'une pierre , parallèle à la surface qui sépare deux couches consécutives, le lit de la pierre. L^appareilleur Élit d'abord dresser ce lit, de manière que cette face, sensiblement courbe^ devienne un plan exact.

Le procédé que suit le tailleur de pierres pour exécuter une surface plane , mérite d'être connu. Son outil principal est un marteau à deux tranchans inégaux en largeur. A l'aide du petit tranchant, il forme sur les deux bords contigus delà pierre, deux bandes planes delà largeur au plus de ce tranchant, sur lesquelles il trace deux lignes droites qui se rencontrent sur la ligne d'intersection des deux bandes. Regardant ces droites comme des directrices fixes, il fait glisser l'arête d'une règle en bois sur ces directrices , et il ôte de la pierre tout ce qui empêche la règle de s'appliquer exactement dans tous les sens sur les droites qui dirigent cette règle dans son mouvement.

ïiàO.Quel que soit le voussoir d'une voûte qu'il s'agit d'exécuter, on peut toujours prendre ipoxxv ^on polyèdre enveloppe^ un solide dont une face soit parallèle au plan du lit de la pierre , dont la position par rapport au voussoir est déterminée. Cette première face étant donnée, on y trace le polygone formé par les plans des faces qui lui sont adjacentes, et on achève le polyèdre enveloppe par la méthode qu'on a exposée (art. 6, append.).