PRÉLIMINAIRES DE IA GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE

Des projections d'un point , d'une droite , d'un polygone , d'une ligne quelconque.

3. Lorsque des points en nombre indéfini, placés à des distances finies les uns des autres, occupent un certain espace, on parvient à fixer leurs positions respectives , en concevant l’espace qui les contient , divisé en quatre parties égales par deux plans rectangulaires prolongés indéfiniment. On abaisse de chaque point de l’espace des perpendiculaires sur ces plans , et les

pieds de ces perpendiculaires, qu’on nomme projections du point, en déterminent la position. En effet, un point est donné lorsqu’il est l’intersection de deux droites connues; or la perpendiculaire à l’un des deux plans qui divisent l’espace, et qu’on nomme plans de projection , passe par le point que l’on considère et par sa projection sur le premier plan; la perpendiculaire au second plan de projection passe aussi par ce point, et par sa projection sur le second plan ; donc le point unique, intersection des deux perpendiculaires connues , est le point de l’espace que Ton considère.

On suppose ordinairement que l’un des deux plans de projection est horizontal; dans cette hypothèse, l’autre plan est vertical, et les points de l’espace sont déterminés par leurs projections, qu’on nomme horizontales ou verticales, selon quelles appartiennent au plan horizontal ou au plan vertical de projection. . s

Cette convention pour déterminer la position d’un point de l’espace est analogue à celle que les géomètres ont adoptée pour déterminer la position respective d’un système de points situés dans un plan. Ils imaginent sur ce * plan deux droites rectangulaires , que Ton nomme axes des abscisses et des ordonnées. De chaque point du plan on abaisse deux perpendiculaires, Tune sur Taxe des abscisses, et l’autre sur Taxe des ordonnées. Les parties des axes rectangulaires comprises entre le point où ces axes se coupent, et les projections d’un point du plan sur ces mêmes axes, se nomment abscisses et ordonnées de ce dernier point. Les abscisses et les ordonnées se comptent respectivement sur les axes des abscisses et des ordonnées. Les longueurs de l’abscisse et de l’ordonnée d'un point du plan', le sens dans lequel on doit prendre ces longueurs sur les axes, déterminent les projections du point du plan sur les axes, et par conséquent la position de ce point. On nomme aussi coordonnées d’un point, l’abscisse et l’ordonnée de ce point, et axes des coordonnées, les droites rectangulaires sur lesquelles on compte les abscisses et les ordonnées.

4- Une ligne droite située dans l’espace a, comme Tun quelconque de ses points, deux projections. Si Ton conçoit par cette droite des plans perpendiculaires aux deux plans de projection, les droites intersections de ces plans sont les projections de la droite donnée. Généralement la projection d’une • droite sur un plan quelconque est l’intersection commune de ce plan et d’un second plan mené par la droite perpendiculairement au premier.

En effet, une droite quelconque menée sur Tun des plans de projection, peut être considérée ou comme la trace d’un plan qui passerait par cette droite et qui serait perpendiculaire au plan de projection, ou comme la projection de toutes les droites contenues dans ce plan; donc, réciproquement 1

une droite donnée dans l’espace a pour projection , sur l’un des plans de projection , l’intersection de c.e-plan par un autre plan qui lui serait perpendiculaire , et qui passerait par la droite donnée ; car cette intersection contient les pieds de toutes les perpendiculaires abaissées de la droite dans l’espace sur le plan de projection; donc elle est la projection de cette droite.

5. Quel que soit le nombre des côtés d’un polygone continu ou discontinu, situés ou nou dans le même plan, les projections des côtés de ce polygone sur les deux plans de projection, forment sur ces plans deux autres polygones qui déterminent la forme et la position du premier.

6. Une courbe n’étant qu'une suite de points liés entre eux par une loi de continuité, sa forme et sa position, à l’égard des plans de projection, seront déterminées par les projections des points pris sur cette courbe à des distances très-rappnochéos. Plus ces distances seront petites, moins le polygone formé des petites droites qui juignent deux à deux les points consécutifs de la courbe, différera de cette courbe. Mais les deux projections d’un polygone (art 5) en déterminent la forme et la position; donc elles déterminent également la courbe dont ce polygone est la limite.

Si la loi de continuité qui lie les points d’une ligne courbe, les assujétit à être dans un même plan , la courbe est plane ; dans le cas contraire , la courbe est du genre de celles qu’on nomme courbes à double courbure.

§ III. Dü POIKT ET DB LA LIGUE DROITE.

Dessin et explication des figures de la première épure.

7. On prépare la feuille de dessin, ou l’épure, de la manière suivante : Avant rapproché les deux bords parallèles les plus longs, on comprime légèrement les milieux des bords opposés de la feuille; on mène par ces milieux une droite telle que Z Z', et on élève avec la règle et le compas, sans le secours de l’équerre, la perpendiculaire XY, de manière que la feuille de dessin soit divisée en quatre parties à peu près égales. L’angle droit formé par les deux droites ZZ\ XY se nomme, dans les arts graphiques, trait carré.

Lorsque l'épure contient plusieurs figures , on fait pour chaque figure le trait carré ; plusieurs traits carrés d’une même épure peuvent avoir un côté commun et d’autres côtés parallèles, ainsi qu’on le voit pl. i‘”. Soit XY, le côté du trait carré de la /ig. i,pl. 1, qu’on prend pour l’intersection des deux plans de projection; quoique ces deux plans soient perpendiculaires entre eux, il

faut les concevoir réunis sur la même feuille de dessin. On suppose que l’un des deux plans, l’horizontal par exemple, étant fixe, le plan vertical a tourné autour de la commune intersection XY comme charnière, pour s'abattre sur le plan horizontal. 11 suit de cette hypothèse que les deux projections d’un point quelconque de l’espace sont situées sur une droite perpendiculaire à la commune intersection des deux plans de projection. En effet, ces projections sont des points du plan, qui est mené par le point de l’espace perpendiculairement à la commune intersection XY; elles sont par conséquent sur les droites intersections de ce plan et des plans de projection. Mais ces droites, perpendiculaires entre elles, passent par le même point de la commune intersection des deux plans de projection, et sont aussi perpendiculaires à cette intersection ; donc elles ne formeront qu’une seule et même droite , lorsque les deux plans de projection seront réunis sur la même feuille de dessin. Ainsi la droite A a (Jîg. I ,pl. t ) qui joint les projections A et a d’un point de l’espace, est perpendiculaire à la droite XY, intersection des deux plans de projection réunis en un seul. Quoique les deux parties AB, Ba de la droite ABa ne forment qu’une seule droite qui coupe l’intersection commune XY au point B, il faut concevoir que ces deux parties sont les côtés d'un angle droit, dont le point B est le sommet; que l’un de ces côtés BA est sur le plan horizontal , et l’autre côté B a sur le plan vertical. Ces côtés AB, aB mesurent les distances respectives du point de l’espace aux plans de projection, l’un vertical et l’autre horizontal.

8. Il est important de remarquer, i° que la droite XY est l’intersection des deux plans de projection, et n’en est pas la limite. Ces plans se prolongent indéfiniment, et deux points placés d’une manière quelconque sur une droite perpendiculaire à XY correspondent nécessairement à un point déterminé de l’espace; de même deux droites quelconques AC, ac, menées suites plans de projection, sont nécessairement les projections d’une droite dont la position dans l’espace est déterminée.

a° Que tous les points et toutes les lignes situées sur l’un des plans de projection se projettent sur l’autre plan , suivant la ligne d’intersection de ces deux plans ; ce qui résulte de cé que ces plans de projection sont perpendiculaires entre eux;

3“ Que lorsqu’une ligne droite ou courbe rencontre un plan de projection, ce point et sa projection coïncident ; ou , que le point d’intersection d’une ligne et d’ua plan de projection , appartient^ la projection de la ligne sur ce plan. *■

6 GÉOMÉTRIE DESCBIPT1VE.

Conventions pour l’explication des figures de Géométrie descriptive.

9. Pour désigner un point dans l’espace, nous écrirons en parenthèse les deux lettres qui correspondent à ses projections. Soient par exemple A et a les deux projections d’un point de l’espace , ( A , a ) désignera ce point. De même (B, b) désignera un autre point de l'espace dont les points B , b sont les projections. Par analogie, on écrira (AB, ab ), pour exprimer une droite de l’espace , dont les droites AB , ab sont les projections. Nous emploierons aussi par abréviation les signes algébriques -t-, — , = à la place des mot s plus, moins, égale.

§IV. SOLUTIONS DE DIVERS PROBLÈMES RELATIFS A LA LIGUE DROITE ET Aü PLAIT.

Premier problème. — Etant données les deux projections d’une droite, construire les points où cette droite coupe les plans de projection (fig. 1 , pi. 1).

10. Solution. Soient (pl. t, fig. 1 ) AC et ac les projections données de la droite. Le point où cette droite coupe le plan vertical a pour projection horizontale un point C qui doit être et sur la droite XY intersection des deux plans de projection, et sur la droite donnée AC; mais les deux projections d’un point de l'espace sont (art. 7) sur une droite perpendiculaire à la commune intersection XY des plans de projection; donc la perpendiculaire Ce à XY contiendra le point demandé. Ce point doit de plus se trouver sur la projection verticale donnée ac ; donc il est en c intersection des droites Ce et ac.

Prçlongeant la droite donnée ac jusqu’en D , et élevant par le point D de la droite XY la perpendiculaire à cette droite D d, qui coupe la projection horizontale AC au point d, ce point sera l’intersection de la droite dans l’espace et du plan horizontal. Si l’on conçoit un triangle rectangle qui a pour côtés les droites dC et Ce, l’hypothénuse de ce triangle, menée par les points d et c situés l’un sur le plan horizontal , et l'autre sur le plan vertical , sera la droite de l’espace qui coupe les plans de projection aux points d et c.

On peut encore déterminer ces points d etc, par la considération suivante.

I.es projections AC, ac d’une droite 1) de l’espace, déterminent deux plans perpendiculaires aux plans de projection , dont chacun contient la droite D. Le premier de ces plans a pour trace sur le plan horizontal la droite AC, et pour trace sur le plan vertical , la verticale Ce; d’ou il suit que la droite D ne peut couper le plan vertical de projection qu’en un point de la droite Ce, mais ce point est aussi sur la droite donnée ac ; donc il est l’intersection des deux droites connues Ce, ac.

Le second plan qui contient la droite D de l’espace, a pour trace sur le plan horizontal, la droite D d perpendiculaire à XY intersection des deux plans de projection; d’où il suit que la droite D ne peut couper le plan horizontal de projection qu’en un point d de la droite D d; mais ce point est aussi sur la droite donnée AC; donc il est l’intersection des deux droites connues Dr/, AC.

Deuxième problème. — Par un point donné dans l’espace, mener i° une parallèle à une droite donnée; a” trouver la grandeur d’une partie de cette droite ? ( fig. a , pl. 1 . )

11. Solution. Soient A’C', a'c' {pl. i,/ig ■ a ) les projections horizontale et verticale de la droite donnée ; A et a les projections du point donné. Deux droites parallèles ont des projections parallèles; donc si l’on mène par les points donnés A et a des droites AC, etc respectivement parallèles aux projections données A'C', de, ces droites seront les projections de la droite demandée. Connaissant les projections AC, ac de la droite (AC, ne) de l’espace, on trouve par le problème précédent (art. 10) les points e et doù cette droite coupe les plans de projection.

La droite comprise entre le point donné (A, a) et un autre point quelconque (E, e), a pour projections AE et ae. On construira la grandeur de cette partie de droite (AE, ae) , en la considérant comme le quatrième côté HI d’un trapèze AEHI , dont les côtés parallèles AI, EH sont respectivement égaux aux droites Ba , Ce , qui mesurent le» distances verticales des points (A , a), (E, e) au plan horizontal. Cette longueur 1H est aussi Thypothénuse d’un triangle rectangle HIK dont le côté HK est égal à AE, et le côté IK égal à la différence La des deux droites BA, Ge. Menant par le pointe la parallèle eL à XY, qui coupe la verticale Ba au point L, et portant de L en M une longueur LM égale à AE ou AE', on aura un triangle rectangle a LM, égal an triangle HIK., dont l’hypothénuse «M est 1a longueur de la droite (AE, ae).

né plaît. • •

1 a. Le plan est une surface sur laquelle on peut appliqu er une ligne droite dans tous les sens. Deux droites qui joignent trois points quelconques de ce plan suffisent pour déterminer sa position.

Un plan dans l’espace, et les deux plans de projection auxquels on le rapporte, comprennent un angle trièdre, dont le sommet est sur la commune intersection des deux plans de projection. Des trois droites qui forment cet

angle, l'une est cette commune intersection; les deux autres sont les traces du plan dans l’espace sur les deux plans de projection. Connaissant ces traces, la position du plan dans l’espace est déterminée.

Soit ( pi 3) la commune intersection des deux plans de projection ; M un point de cette droite par lequel on a mené sur les plans de projection les droites ML et M/j, situées l’une sur le plan horizontal, et l'autre sur le plan vertical ; ces droites sont les traces d’un plan dans l’espace. L’angle trièdre qu elles forment avec la commune intersection XY, a son sommet au point M.

Lorsqu’un plan passe par trois points ou par deux droites données sur les plans de projection, on désigne ce plan par les lettres qui correspondent sur la figure aux points et aux droites donnés. Ainsi la notation, plan (LM, Mn), indique un plan qui a pour traces horizontales les droites LM , Mn. Celle-ci,. plan (L, M, n), indique un plan qui passe par les trois points L, M, n.

Troisième problème.— Par un point donné mener un plan parallèle à un autre plan donné , et construire ses traces sur les plans de projection (fig. 3, pl. i).

i3. Solution. On donne un point par ses deux projections, un plan par ses deux traces sur les plans de projection , et il s’agit de mener par le point donné un plan parallèle à celui dont on connaît les traces.

Les traces des plans parallèles sur chaque plan de projection sont des droites parallèles; or, le plan demandé qui passe par un point donné, passe aussi par des droites menées par ce point parallèlement aux traces du plan donné; donc la question proposée est ramenée à celle-ci, qu’on a résolue art. 1 1 : Mener par un point donné, des parallèles aux traces d’un plan données sur les plans de projection? Connaissant ces parallèles, on construira ( art. i.o ) les points où elles rencontrent les plans de projection , et ces points appartiendront aux traces demandées.

Soient A ,a(Jig. 3 ,pl. i)les projections du point donné; LM, Mn les traces du plan, données sur les plans de projection. La parallèle à la trace Mn, menée par le point (A ,a), a pour projections les droites ab, AB parallèles, l’une à Ain, et l'autre à XY, intersection des deux plans de projection.

Cette parallèle coupe le plan horizontal au point B , qui détermine les traces L'BM' et M'n’, parallèles respectivement aux traces données LM et Mu'.

On aurait pu mener par le point (A , à) une parallèle ( AD , ae) à la trace horizontale LM ; cette parallèle rencontrerait le plan vertical au point e ; on tirerait par ce point la parallèle eM' à la trace Mn, qui couperait la commune intersection XY au point M’; menant par ce point la parallèle MT à la trace

donnée ML, le plan demandé serait déterminé par scs deux traces L'M', M7»; cette seconde construction sert de vérification à la première.

14. Le problème qu’on vient de résoudre est un cas particulier de celui-ci :

Mener par un point donné un plan parallèle à deux droites données?

Lorsqu’on suppose que les droites données sont situées, l’une sur le plan horizontal de projection, l’autre sur le plan vertical, et qu’elles se coupent en un point de la commune intersection de ces deux plans, la question se réduit à mener par un point un plan parallèle à un autre plan , dont on a les traces sur les plans de projection. Dans le cas général, où les deux droites sont données par leurs projections, on observera qu’un plan est parallèle à une droite, lorsqu’il passe par une parallèle à cette droite, et qu’un plan parallèle à une droite, coupe tous les plans qu’on peut mener par cette droite, suivant des droites parallèles entre elles, et parallèles à la droite donnée.

Ainsi, par le point donné, on mènera (art. 11 ) des parallèles aux deux droites données, et le plan de ces deux parallèles sera le plan demandé.

Lorsque le point donné est sur l’une des deux droites, et qu’on mène par ce point une parallèle à l’autre droite , le plan mené par cette parallèle et par la première droite, est encore parallèle aux deux droites.

te

Quatrième problème. — Construire sur les plans de projection, les traces d'un plan qui passe par trois points donnés dans l'espace? (PI. », fig. 4.)

1 5. Solution. On joint les trois points donnés par trois droites, et les points de rencontre de ces droites avec les plans de projection déterminent les traces demandées.

(/*/. i,/ig- 4)- Soient (A, a), (B, b), (C, c) les trois points donnés; on joint ces points par trois droites (AB, ab), (BC, bc), (AC, ac ), qui coupent le plan horizontal en trois points D, F, E, et le plan vertical en trois autres points r/, y; e; les droites DFÊ et d/e prolongées, qui se coupent en un point M de la commune intersection XY-des deux plans de projection , sont les traces du plan mené par les trois points donnés.

Des trois points D, F, E, ou d,/, e, deux seulement sont nécessaires pour déterminer, ou la trace horizontale DFE, ou la trace verticale dje. L’une de ces traces étant connue, on en déduit la seconde trace par un seul point, en prolongeant la première jusqu’à la commune intersection XY.

ÎO

Cinquième problème. — Deux plans étant donnés parleurs traces sur les plans de projection ; i“ construire les projections de leur ligne d'intersection , a° mener par un jwint donné , une droite parallèle aux deux plans? (PL a, fig. i.)

îli. Solution. Les traces de deux plans sur chacun des plans de projection, se coupent en deux points, qui déterminent la droite intersection des deux premiers plans.

Soient i° ( pl . a , ftg. i) LM, Mn, les traces sur les plans deprojection d’un plan donné (L, M, n), et LO, On les traces d’un second plan aussi donné (L, O, n); ces traces se coupent sur le plan horizontal au point L, et sur le plan vertical au point n; la droite qui joint ces deux points est l’intersection des deux plans donnes. Mais le point n a pour projection horizontale le point N de la droite XY, intersection des deux plans de projection; le point L a pour projection verticale le point l de la même droite : donc LN, ht sont les deux projections de l’intersection des deux plans donnés.

On construira la parallèle à deux plans, qui passe par un point donné, en menant par ce point une parallèle à l’intersection des deux plans; ayant trouvé cette intersection, on lui mènera une parallèle, par le procédé indiqué art. 1 1 , deuxième problème.

Sixième problème. — Une droite et un plan étant donnés , trouver tes projections du point OÙ la droite rencontre le plan ? ( Pl. a , fig. a et 3.)

17. La solution la plus générale de ce problème consiste à mener par la droite donnée un plan quelconque, qui coupe le plan donné suivant une droite; l'intersection de cette droite et de la droite donnée est le point demandé. Le plan mené par la droite n’étant pas déterminé, on peut le supposer perpendiculaire à I*tin ou l’autre des plans de projection; la Jig. 2, pl. 1 , est construite dans cette hypothèse. “ v

Explication de la ftg. a, pl. a. Soient LM, M n les traces d’un plan donné, qui se coupent au point M de la commune intersection XY des deux plans de projection. OL et sp étant les projections d’une droite donnée, on conçoit par ces droites deux plans, l’iin LOn perpendiculaire au plan horizontal, qui coupe le plan vertical suivant une droite On perpendiculaire à XY; l’autre psS qui coupe le plan horizontal suivant S s perpendiculaire à XY : or ces plans, et le plan donné (LM, Mn ) se coupent suivant deux droites qui passent l’une par le point L du plan horizontal et par le point n du plan vert u

tical, l’autre par le point S du plan horizontal et par le point p du plan vertical; donc ces droites ont pour projections (art. 16) la première OL, ni, la seconde ps, PS.

Mais lorsque deux droites se coupent dans l’espace, leur point d’intersection a pour projections les points de rencontre des projections des droites ; donc chacune des deux droites (OL, ni), ( PS, ps) coupe la droite donnée (OL, ps) en un point (I, i ) , qui est aussi l’intersection de cette droite et du plan donné. Les deux points I, », projections d’un même point de l’espace, sont situés sur une droite I» perpendiculaire à la commune intersection XY.

La solution suivante est plus générale- .

18. Explication de la fig. 3, pl. a. Soient XY l’intersection des plans de projection, et LM, Mb les traces du plan donné, la droite donnée (OL, ps) coupe les plans de projection (art. 10) aux points H et K; d’où il suit que tout plan mené par cette droite coupera les plans de projection suivant deux droites qui passeront par les mêmes points II et K. Menant par le point H une droite quelconque RHT, qui coupe la droite XY au point T, et par les points T et K la droite KT/i, le plan qui a pour traces les droites RT, Tn, coupera le plan donné (L,M, n) suivant la droite ( RN , ra ) (art. 16); or cette droite coupe la droite donnée (OL , ps) au point ( I , »'); donc ce point est l’intersection du plan et de la droite donnés.

On aurait pu mener parle point K une droite quelconque KTn , qui aurait déterminé la seconde trace TIIR d’un plan RTn qui passerait par la droite donnée, et couperait le plan donné suivant la droite (RN, m).

Cette solution et celle du deuxième problème page 7, comprennent toutes les opérations graphiques de la géométrie descriptive.

Propositions relatives aux plans et aux droites qui se coupent à angle droit.

19. Une droite perpendiculaire à un plan, est perpendiculaire à toutes les droites qu’on peut mener par son pied dans ce plan.

Un plan perpendiculaire à une droite, est perpendiculaire à tous les plans qui passent par cette droite. Deux plans sont perpendiculaires entre eux , lorsque l’un d’eux passe par une droite perpendiculaire à l’autre.

Considérant la droite intersection de deux plans perpendiculaires entre eux, l’un de ces plans est perpendiculaire aux parallèles menées dans l’autre plan perpendiculairement à leur intersection commune.

D’où il suit qu’un plan perpendiculaire à deux autres plans inclinés l’un à l’égard de l’autre, est nécessairement perpendiculaire à deux systèmes de droites menées sur ces derniers plans; ce qui n’est possible que parce que

n GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE,

les droites des deux systèmes sont parallèles entre elles, et parallèles à l'intersection des deux plans.

L’angle compris entre deux plans inclinés l’un à l’égard de l’autre, se nomme angle dièdre. Il est égal à l’angle de deux droites menées dans ces plans perpendiculairement à leur intersection commune, et par un point quelconque de cette intersection.

20. Une droite étant perpendiculaire à un plan, on suppose i* que la droite est projetée sur deux plans rectangulaires} a" que le plan perpendiculaire à la droite est donné par ses traces sur les plans de projection ; dans celte hypothèse, les projections de la droite sont perpendiculaires aux traces du plan.

Pour le démontrer, considérons d'abord le cas particulier où la droite est donnée sur l’un desplaus de projection, par exemple, sur le plan horizontal.

Il est évident qu’un plan perpendiculaire à cette droite horizontale, sera vertical , et que sa trace sur le plan horizontal coupera à angle droit la droite donnée, qui ne diffère pas de sa projection horizontale.

I-a trace du plan perpendiculaire à la droite horizontale, sur le plan vertical de projection, sera une verticale; la projection verticale de cette droite sera une horizontale parallèle à l’intersection des deux plans de projection ; donc la trace sur le plan vertical et la projection verticale de la droite horizontale donnée, seront perpendiculaires entre elles.

Passons maintenant au cas général, celui où la droite est donnée par ses deux projections, et le plan perpendiculaire à la droite par ses deux traces sur les plans de projection.

ai. Soit D une droite de l'espace qui a pour projections horizontale et verticale les droites d et d'. Nommons t et t les traces horizontale et verticale d’un plan P perpendiculaire à la ‘droite D. Il s’agit de démontrer que les couples de droites ( d, t ), (</', tj forment deux angles droits, le premier sur le plan horizontal de projection, et le second sur le plan vertical.

Soit P’ le plan par lequel on projette la droite D sur le plan horizontal. Puisqu’il est perpendiculaire au plan horizontal et au plan P, il est aussi perpendiculaire à leur intersection commune f(art. 19). Réciproquement cette droite test perpendiculaire au plan P' et k toutes les droites du plan P' qui passent par son pied sur Ce plan. Mais l’une de ces droites est l’horizontale d; donc les droites d elt sont perpendiculaires entre elles.

De même, soit P" le plan par lequel on projette en d' la droite D sur le plan vertical de projection. Puisqu’il est perpendiculaire à ce plan vertical et au plan P, il est aussi perpendiculaire à leur intersection commune t'. Réciproquement la droite t ’ est perpendiculaire au plan P' et à toutes les droites

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. i3

du plan P' qui passent par son pied sur ce plan. Mais l’une de ces droites est la projection verticale d' de la droite D; donc les droites d' et t‘ sont perpendiculaires entre elles.

La proposition réciproque est encore vraie, c’est-à-dire que si les deux projections d et d' de la droite D sont perpendiculaires aux traces t et t' d’un plan P, ce plan est perpendiculaire à la droite.- En effet , concevons par chaque projection de la droite D un plan perpendiculaire au plan sur lequel elle est projetée, on aura deux plans dont la droite D est l’intersection commune. Mais chacun de ces plans est perpendiculaire au plan P donné par ses traces; donc leur commune intersection est aussi perpendiculaire à ce plan P. „

Septième problème. — Par un point donné mener une perpendiculaire à un plan donné, et construire les projections du point de rencontre de la dioite et du plan ? (Pl. 3 , fig. t . )

aa. Solution. Soient LM, Mn ( pl. 3 ,/ig. t ) les deux traces du plan donné, qui se coupent au point M de l’intersection XY des deux plans de projection. Le point donné ayant pour projections A et a, on abaissera les perpendiculaires AI , ai sur les traces ML , 51 n ; ces perpendiculaires seront ( art. at ) les deux projections de la perpendiculaire demandée.

On trouvera le pied (I, i) de la perpendiculaire, c’est-à-dire le point où la perpendiculaire au plan rencontre ce plan, par la construction (art. t-) du sixième problème {fig. i,pl. a). La longueur de la perpendiculaire comprise entre son pied (I, i ) et le point donné (A, a), est déterminée (art. 1 1) par ses deux projections AI, ai; • , ■

Si l’on proposait «le mener par une droite donnée un plan perpendiculaire à un autre plan donné de position , on abaisserait par un point quelconque de la droite une perpendiculaire sur le plan donné; le plan conduit (art. i5) par celte perpendiculaire et par la droite donnée, serait le plan demandé; car deux plans sont perpendiculaires entre eux, lorsque l’un d’eux passe par une perpendiculaire à l’autre (art. 19).

Huitième problème. — Par un point donné, mener une droite perpendiculaire à une droite donnée, et construire la projection du point de rencontre des » deux droites ? (Pl. 3, fig. a.)

a3. Solution. On mène par le point donné un plan perpendiculaire à la droite donnée, qui coupe cette droite en un point; la droite qui joint ce point d’intersection et le point donné est la perpendiculaire demandée.

t.', GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.

Explication de ta fîg. a , pi 3. Soient A et a les deux projections du point donné; UC, bc les deux projections de la droite donnée. Un plan perpendiculaire à cette droite aura (art. ai ) pour traces sur les plans de projection deux droites, telles que L'M', MV, perpendiculaires aux projections BC, bc de la droite donnée. Menant (art. i3) par le point (A, a) un plan parallèle au plan L'M'/i', il aura pour traces sur les plans de projection, les droites LM et Mn , et il rencontrera la droite (BC , bc) au point ( I, ï), que l’on trouvera par la construction (art. 17) du sixième problème {Jig. a, pl. a). Tirant les droites AI, ai, on aura les projections de la perpendiculaire abaissée du point donné (A, a) sur la droite donnée (BC, bc).

Cette solution comprend celle du problème; suivant :

Par un point donné, mener un plan perpendiculaire à u/ie droite donnée , et construire les projections du point de rencontre du plan et de la droite.

?4- On pourrait encore résoudre la question précédente (8e), en menaut par le point et par la 'droite donnée un plan; les traces horizontale et verticale de ce plan seraient déterminées. On le ferait tourner autour de l’une de ces traces , par exemple , autour de l’horizontale , et on ramènerait sur le plan horizontal le point et la droite donnés. On abaisserait du point une perpendiculaire sur la droite, comme si le point et la droite étaient situés sur le plan horizontal; enfin on déterminerait les projections horizontale et verticale du pied de la perpendiculaire , en considérant le point et la droite comme situés sur un plan donné par ses traces.

Ces diverses constructions donneront une seconde solution graphique du problème proposé; le lecteur attendra, pour eflectuer les opérations indiquées pour cette solution, qu’on ait expliqué les articles a8— 3a.

Neuvième problème. — Un plan étant donné par ses traces, trouver les angles qu’il forme avec les plans de projection ? (Pl. 3, fig. 3.)

a5. Solution. L’angle de deux plans est égal à l’angle de deux droites D, D' menées dans ces plans par un point de leur intersection commune, perpendiculairement à cette intersection (art. 19 ). Dans le cas proposé, l’une de ces droites, D par exemple, sera menée sur le plan horizontal de projection, perpendiculairement à la trace donnée sur ce plan. Le plan mené par cette droite D, perpendiculairement au plan horizontal de projection, coupera le second plan de projection et le plan donné, suivant deux autres droites qui formeront avec la première D, un triangle rectangle. Construisant ce triangle au moyen des deux côtés adjacens à l’angle droit, l'hypothénuse fera, avec le côté situé sur le premier plan de projection, l’angle demandé.

26. Explication de la fig. 3 , pl. 3. Soient AB et Bc les traces d’un plan donné sur les plans de projection. Par un point D de la trace horizontale AB, on élève la perpendiculaire DE, que l’on regarde comme la trace d’un plan vertical qui coupe le plan vertical de projection, suivant la droite E f perpendiculaire à l’intersection XY des plans de projection : or cette droite coupe la trace verticale Bc en f; donc le plan vertical DE coupe le plan donné suivant l’hypothénuse d’un triangle rectangle qui a pour côtés les droites DE, E f Ramenant ED en ED', l’hypothénuse Dydu triangle rectangle ED/ fera avec le côté ED', un angle EDy égal à l’angle du plan horizontal et du plan qui est donné par ses traces AB, Bc.

On construira de la même manière l’angle du plan vertical et du plan donné. Par un point# de la trace Bc on élève la perpendiculaire gh à cette trace, et on la considère comme la trace verticale d’un plan perpendiculaire au plan vertical de projection. La trace horizontale de ce plan sera la droite AK perpendiculaire à XY; cette droite coupe la trace horizontale AB au point K; d’où il suit que le plan #AK rencontre le plan donné suivant l’hypothénuse d’un triangle rectangle qui a pour côtés les droites gh, AK. Ramenant A g en A#', on aura le triangle #’AK, dans lequel l’angle g est égal à l’angle du plan vertical de projection et du plan donné ABc.

En élevant les deux perpendiculaires Ef, AK’ aux droites ED, gh, et les faisant égales respectivement à Eyct AK, on obtiendrait deux triangles rectangles EDy, ghK' respectivement égaux aux triangles ED’/1, #'AK, dont les angles D et# mesurent les inclinaisons du plan donné (AB, Bc) par rapport aux plans horizontal et vertical de projection.

Dixième problème. — Deux droites qui se coupent étant données , construire l’angle qu’elles forment entre elles ? (Pl. 4, fig. 1 et 2.)

27. Solution. On mène par les deux droites données un plan qui coupe l’un des plans de projection, l’horizontal, par exemple, suivant une droite. Cette droite et les deux dfaites données forment un triangle que l’on construit en faisant tourner le plan de ce triangle autour de sa trace sur le plan horizontal, jusqu’à ce qu’il soit abattu sur ce plan. Le point d’intersection des deux droites données décrit, en tournant autour de la même trace, un cercle qui coupe le plan horizontal en un point; joignant par des droites ce point et ceux où les deux droites données rencontrent le plan horizontal , on a l’angle de ces deux droites.

.28. Explication des fig. 1 et 2 , pl. 4- La fig. 1 fait voir comment on dé»

îG GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.

termine la position d’un point d’un plan , par rapport aux traces de ce plan sur les plans de projection.

Soient LM et M n les traces d’un plan qui se coupent au point M de l’intersection des deux plans de projection. Un point du plan étant donné en projection horizontale, soit A cette projection ; on trouvera la projection verticale en menant la parallèle AF à la trace horizontale LM; considérant cette parallèle comme la projection d’une horizontale du plan LM/j, elle coupe le plan vertical au point/de la trace M/j ; elle a pour projection verticale la parallèle fa à XY. Le point du plan LM//, dont A est la projection horizontale, a pour projection verticale le point de rencontre a des deux droites Aa,fa, l’une perpendic ilaire, et l’autre parallèle à l’intersection XY des deux plans de projection.

Si l’on eût donné la projection verticale a du point (A , a) du plan LM/j, on aurait construit la projection horizontale A, en menant les quatre droites uf,fY, FAet a\ ; les deux dernières se coupent au point A. On obtiendrait encore ce point A, en menant la parallèle ak à M/i, et en élevant la perpendiculaire XK à XY, qui coupe la trace ML au point K; la parallèle K A à XY, et la droite a A , qui est perpendiculaire à cette intersection des deux plans de projection, se rencontrent au point A. Si l’on donnait le point A, on mènerait les quatre droites AH, Kk , ka, A a; les deux dernières se couperaient au point a; d’où l’on voit qu’un plan étant donné par ses traces, l’une des deux projections d’un point de ce plan détermine l’autre projection.

29. Le point d’un plan étant connu par ses projections, on demande tes distances de ce point aux traces du plan? Soit (A , a) le point du plan LMn ( pl.L\,ftg . 1). Ayant abaissé du point A la perpendiculaire AL sur ML, on regarde cette droite AL comme la trace d’un plan vertical qui coupe le plan LM/i suivant une droite. La portion de cette droite, comprise entre le point (A, a) et la trace LM, mesure la distance de ce point à la trace; donc si l’on construit le triangle rectangle «DO', qui a pour côtés les droites al) et DO’ = AO — AL, l’hypothénuse aO’ sera la longueur de la perpendiculaire abaissée du point (A , a) sur la trace LM. Portant cette longueur aO' de L en A' sur le prolongement de AL, A' sera le point où le cercle décrit par le point (A , a) autour delà trace horizontale LM, coupe le plan horizontal.

30. Ayant mené la parallèle AK à XY, qui coupe la trace LM au point K, et joignant les points K et A’ par la droite AK, on aura un triangle rectangle A’LK, dans lequel l’hypothénuse A’K est égale à. la droite ak parallèle à la trace M«. En effet, la droite (AK, ai) , parallèle à la trace verticale Ma du plan LMn, et située dans ce plan, a pour longueur sa projection verticale ak; en même temps que le point (A, a) décrit un cercle autour de la trace LM, la droite (AK, ak) décrit un cône droit dont le cercle est la base, jet

lorsque le point ( A, a) est en A' sur le plan horizontal, cette droite s’applique sur le même plan en KA'; sa longueur étant constante, on a : KA'±=/a.

Supposons maintenant que le plan LAIn tourne autour de sa trace M« comme charnière , le point (A , a) décrira un cercle dont le plan coupe le plan vertical suivant la droite anA.", perpendiculaire à M n. On construira le point A' où ce cercle coupe le plan vertical, en décrivant du point /"comme centre, avec un rayon /A" égal à FA, un arc qui coupe la droite an A' au point A”. En effet, lorsque le plan LAD» tourne autour de sa trace verticale Mn comme charnière, la droite horizontale (AF, af') de ce plan , parallèle à sa trace horizontale LM, décrit un cône droit qui a pour base le cercle que le point "A, a) décrit autour de M/j; donc le plan (LM//), qu’on suppose abattu sur le plan vertical, coupe le cône suivant une arête /A", qui est de même longueur que la droite FA, projection horizontale de l’horizontale (FA ,/û); d’ou il suit que //A" est la distance du point ( A, a) à la trace M/j du plan LM«. Cette distance est encore l’hypothénuse d’un triangle rectangle en //, lequel aurait an pour premier côté, et pour second côté une droite égale à AD; portant AD de n en D', on a «D'=A"n.

3i. Le point A’ ou A" du plan ( LM , Ain ) étant donné sur les droites A'A, A'a, respectivement perpendiculaires au* traces LM, Ain, on pourrait proposer de construire les projection^ horizontale et verticale A , a <

i de ce point;

cette question est l’inverse delà précédente. Un plan quelconque (PQR,/%. 1), vertical et perpendiculaire à la trace horizontale LM , contient l’angle que le plan (LAI/j) fait avec le plan horizontal. On construit “cet angle en décrivant (art. a5) du point Q comme centre avec le rayon QP, l’arc PP' qui coupe l’intersection XY des plans de projection au point P’. Ce point et celui R où les traces verticales QR , AI/i se rencontrent, détcrraiue la droite RP', hypothénuse du triangle rectangle RP’Q, dont l’angle P’, opposé au côté RQ, est égal à l’angle du plan horizontal de projection et du plan donné (LAI, M/j). Le plan vertical AA' qui passe par le point A’ étant perpendiculaire à la trace horizontale LAI, et par conséquent parallèle au plan vertical I'Q, il contient aussi l’angle du plan horizontal de projection et du plan donné (LMn); d’où il suit que la droite A'L de ce plan est située sur une droite inclinée à l’horizon de l’angle connu QP’R, et que sa projection a pour longueur le côté P'L' du triangle rectangle P'L'a.', dont l’hypothénuse P’a' est égale à la distance A'L du point donné A' à la trace horizontale LM. Portant le côté P'L' de L en A sur la perpendiculaire AA’ à LAI, ce point A est la projection horizontale du point A' donné sur le plan (LAIn) qu’on suppose abattu sur le plan horizontal. De cette première projection A, on déduirait la seconde a, en menant comme précédemment, les droites AF ,fa, et la perpendiculaire A a à XY.

i8 GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.

Jî. Les traces LM , M/? du plan donné (LM/i) font entre elles un angle TMF', que l’on construit en faisant tourner un poiut quelconque /"de la trace verticale Mn, autour de la trace horizontale LM comme charnière. Ce point/, abattu sur le plan horizontal, se trouve sur la perpendiculaire FF' à la charnière LM, à une distance TF’ de cette charnière, égale à l’hypothénuse du triangle rectangle F fl, dans lequel le côté Ft est égal à la droite FT.

Menant par un point donné A' du plan ( LM//), une droite quelconque VS, qui coupe les traces de ce plan aux points V et S, ou aura les projections horizontale et verticale de cette droite, ou les droites \a et V'.v, en remarquant que le point V est sur le plan horizontal de projection, et le point S sur la trace verticale Mn en un point s tel qu’on a Ms = MS. •’

La perpendiculaire A'A à la trace horizontale LM contient la projection horizontale du point donné A'; cette projection étant aussi sur la droite Vf', elle est déterminée par l’intersection de ces deux droites A'A , \s'. La seconde projection a du point donné A’ est l’intersection de la droite V's et de la perpendiculaire A Do sur la droite XY:

Les constructions précédentes relatives à un plan , à un point et une droite contenus dans eu. plan, servent de préliminaires à la seconde solution du huitième problème, qu’on a seulement indiquée page i/| (art. »4)> et à l’explication suivante des fig. a, 3 et 4. ( PI . l\.)

33. Explication de la figure a, pl. 4> relative à la solution du dixième problème (art. 27 ).

Soient AB, AC (/tg. a) les projections horizontales des deux droites données, et ab, ac leurs projections verticales; ces deux droites se coupent au point (A, a). La droite (AB, ab) prolongée rencontre les plans de projection aux points B et n; l’autre droite donnée coupe le plan horizontal au point C; d’où il suit que le plan mené par les deux-droites coupe le plan horizontal suivant BCM, le plan vertical suivant Mn, et que l’angle des deux droites a pour sommet le point ( A , a ) de ce plan. Faisant tourner ce sommet autour de la trace horizontale BCM comme charnière, il décrit un cercle qui coupe le plan horizontal (art. 39) en un point A' de la perpendiculaire ALA', abaissée du point A sur la trace BC. Pour déterminer le point A', on construit le triangle rectangle aUl avec le côte D / égal à AL ou AL'; portant l’hypotbénuse al de L en A’, et joignant par des droites le point A’ et les points B et C, on a le triangle BA’C dans lequel l’angle A' est égal à l’angle des deux droites données.

On obtiendrait le même résultat en faisant tourner le plan de l’angle (BCM//) autour de sa trace verticale Mn ; la construction est indiquée sur la figure, sans explication.

Onzième problème — Deux plant étant donnés , construire l'angle qu’ils forment entre eux? (H. 4, fig. 3.)

34- Solution. On coupe les deux plans donnés par un troisième plan perpendiculaire à l’intersection commune des deux premiers. Les traces de ce troisième pian sur le plan horizontal et sur les deux plans donnés, forment un triangle dont le côté horizontaLest opposé à l’angle demandé.

Soient (Jîg. 3, pl. 4) LM, LO les traces horizontales et M/i , Ou les traces verticales des deux plans donnés; ces plans se coupent (art. i6) suivant la •droite (LN, In). Menant à volonté une droite ADB perpendiculaire à la projection LN de l’intersection des deux plans donnés, cette droite peut être considérée comme la trace horizontal» d’un plan perpendiculaire à l’intersection (LN, In ). Si l’on connaissait le point où ce plan coupe la droite (LN, In ), on joindrait par deux droites oe point et les points A, B dans lesquels la trace ADB rencontre les traces LM, LO; l’angle de ces deüx «Iroites serait l’angle demandé. Pour trouver le sommet de cet angle, on conçoit par la droite LN un plan vertical LNn, et dans ce plan, l’angle n'LN que la droite (LN, 4i)Tait avec sa projection horizontale LN. On construit cet angle, en élevant la perpendiculaire N/i’ à NL, et en faisant cette perpendiculaire égale à la verticale Nu. Maintenant, si du point D on abaisse la perpendiculaire DE sur l’hypothénuse L n du triangle rectangle LNn’, h’ point E sera sur le plan vertical LN le sommât de l’angle demandé.

Le plan de cet angle est déterminé par les deux droites S®1, DE, situées l’une sur le plan horizontal de projection, et l’autre sur le plan vertical LN. Faisant tourner ce plan de l’angle autour de sa trace horizontale AB, la circonférence du rayon DE, décrire par le point E de ce plan , coupe le plan horizontal, en un point F de la droite LDN, tel que la partie DF de cette droite soit égale à DE. Menant les droites FA, FB, l’angle AFB de ces droites est la mesure de l’angle des deux plans donnés LM/», IX)//.

Au lieu d’ékver la perpendiculaire N/t’ à LN, on décrit du point N comme centre, avec les droites NL, ND pour rayons, les arcs I.L’, DD' qui coupent l’intersection XY des plans de projection aux points L', D'; tirant la droite //L', et la perpendiculaire D'E' à cettè droite, on forme un triangle D’E’L', égal au triangle DEL : les côtés DE , D’E’ de ces triangles sont égaux ; d’où il suit qu’on aura le point F sommet de l’angle demandé AFB, en faisant DF égal à D'E'. ‘ , .*3*

On pourrait encore construire l’angle de deux plans donnés, en imaginant, par un point quelconque de l’espace, deux droites respectivement perpen-

ao GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE,

diculaires à ces plans; l’angle de ces deux droites serait le supplément ou l'égal de l’angle demandé. En effet, le plan mehé par les deux perpendiculaires coupe les plans donnés suivant deux autres droites perpendiculaires à leur intersection commune : or ces quatre droites forment un quadrilatère qui a deux angles droits; donc les deux autres angles sont suppldmens l’un de l’autre; d’où il suit que l’angle des deux perpendiculaires abaissées d’un point quelconque de l’espace sur deux plans donnés, mesure l’angle de ces plans ou le supplément de cet angle. . .

Douzième problème. — Construire l’angle formé par une droite et par un plart, donnés de position dans l’espace ? (PI. 4» f>g- 4 - )

35. Solution. Par un point de la droite donnée, on abaisse une perpendiculaire sur le plan donné ; l'angle de la droite et de la perpendiculaire est le complément de l’angle demandé.

Explication de la fig. 4 , pl 4- Soient AB, ab les projections de la droite donnée; LM, Mn les traces du plan donné. Par un point (A, a) de la droite donnée , on abaisse une perpendiculaire (AC, ac) sur le plan donné ; l’angle des deux droites (AB, ab),( AC, ac) est le complément de l’angle demandé. Pour construire cet angle, on conçoit par ces deux côtés un plan; la trace de ce plan sur le plan horizontal de projection , passe par les points B, G, dans lesquels les droites (AB, ab), (AC, ac) coupent ce même plan de projection. Faisant tourner le plan de l’angle autour de sa trace horizontale BC comme charnière, le sommet de l’angle décrit un cercle situé dans le plan vertical AD, perpendiculaire à BC. Le rayon de ce cercle est l’hypothénuse d’un triangle, rectangle, qui a pour côtés l’horizontale AD, et la verticale ad qui mesure la distancé du sommet (A, a) de l’angle au plan horizontal de projection. Soit donc a’E' = AE = AD , on aura le triangle rectangle aE'a’, dont Fhypo.thénuse «E' est la distance du sommet de l'angle cherché à la trace BCD. Portant cette distance sur la perpendiculaire AD à BC, de D en A', et tirant les droites A’C, A’B, on aura sur le plan horizontal l’angle BA'C, que la droite donnée (Ab, ab) et la perpendiculaire (AC, ac) au plan donné, comprennent entre elles. Élevant la perpendiculaire CP à CA’, l'angle CPA', complément de CA'PB, est égal à l’angle formé par la droite et par le plan donnés de position dans l’espace. 1 . " ■

ai

Treizième problème. — Deux droites étant données dans l'espace, construire la droite qui leur est perpendiculaire, et sur laquelle se mesure leur plus courte distance ? ( Pl. 5 , fîg. i ) (*). ,

36. Ayant mené (art. i3) un plan parallèle aux deux droites données, on conçoit par ces droites deux autres plans perpendiculaires au premier ( art. aa ) ; l’intersection de ces deux derniers plans est une droite perpendiculaire aux deux droites données; elle coupe ces droites eu deux points, et la droite qui joint ces points est la plus courte distance des droites données.

Explication de la fig. i, pl. 5. Soient AB, CD les projections horizontales des deux droites données ; ab, cd leurs projections verticales. Par le point - (B, b) où la première droite (AB, ab) coupe le plan vertical, on mène une parallèle (BE, be) à la seconde droite donnée (CD, cd) ; cette parallèle rencontre le plan horizontal au pointE ; la droite donnée (AB , ab) le rencontre au point A; la droite AEF, qui joint les points A et E, est la trace horizontale d’un pian mené par la première droite donnée, parallèlement à la seconde. La trace verticale de ce plan est F b; le point F de cette trace est sur la commune intersection XY des plans de projection , et sur le prolongement de la droite AE. Le plan [AF b) étant déterminé par ses deux traces AF, F b, on projette la seconde droite donnée sur ce plan, et on remarque que la droite et sa projection sont parallèles, parce qne le plan (AFè) sur lequel on projette est, par hypothèse, parallèle à la droite projetée (art. i4).

Par le point C, où la seconde droite donnée (DC, de) rencontre le plan horizontal , on abaisse la perpendiculaire (CG, cfr) sur le plan {KF b), et on construit (art. 17) le point (I, i) où cette perpendiculaire rencontre le plan. Menant par ce point la parallèle (IN, in) à la droite (CD, cd), cette parallèle est la projection de la droite (CD, cd) sur le plan ( KF b).

(*; Ce problème est un cas particulier <le celui-ci : Étant. données deux droites, et les angles qu'elles forment avec une troisième droite qui les coupe, déterminer 1a direction et la position de cette troisième droite?

Pour lé résoudre, on mène par nn point quelconque de l’espace deux droites respectivement parallèles aux deux droites données , et on regarde ce point comme le sommet commun des deux cènes droits, qui ont pour axes les parallèles , et dont lestcôtés font avec ces parallèles, des angles qui sont égaux à ceux que les droites données font avec la troisième droite cberchée. Cette dernière droite est parallèle à l'une eu à l'autre- des deux droites suivant lesquelles les cônes se coupent", sa direction est donc connue. Pour trouver sa position sur les droites données, on mène par chacune de ces droites un plan parallèle à 1a droite dont on a déterminé le direction ; les deux plans parallèles 1 celte droite se coupent, et la droite d'intersection satisfait aux conditions du problème proposé.

a» GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.

Deux droites situées sur le même plan se rencontrent ! or, les droites (AB, ab) et (IN, ùi ) sont sur le même plau (AF£); donc elles se coupent au point ( N, rt^ déterminé par les intersections de leurs projections horizontale* et verticales. Ce point étant trouvé, le problème est résolu : en effet , un plan mené par la seconde droite, perpendiculairement au plan ( AFb) qui est parallèle aux deux droites données, coupe la première droite au point connu (N, n) ; d’où, il suit que la perpendiculaire au plan (AFé), élevée par ce point, est perpendiculaire aux deux droites données. Mais cette perpendiculaire a pour projections horizontale et verticale les droites NQ , nr respectivement perpendiculaires aux traces AF, F b du plan (AF£); donc la portion (NP, np) de cette perpendiculaire, comprise entre les deux droites données, est la plus courte distance de ces deux droites. Cette construction détermine Ja direction et la grandeur absolue de la plus courte distance des deux droites; si l’on ne demandait que la grandeur absolue , la construction deviendrait beaucoup plus simple. En effet, après avoir déterminé les traces AEF, F b du plan (AF b) mené par la première droite donnée parallèlement à la seconde, on aurait pu mener par le point (C, c) de la seconde droite un plan vertical CG , perpendiculaire à la trace horizontale AEF du plan AFé. Ce plan vertical coupe le plan AFô suivant une droite (GH, gh) qui u pour longueur l’hypothénuse d’un triangle rectangle GIL/f, dont le côté II/»' est égal à II/». Abaissant du point C la perpendiculaire CT sur l'hypothénusc G/T, cette bjpothé- * mise est la longueur de la plus courte distance des deux droites.

37. Ajoutons à ce qui précède la construction suivante : Menons la perpendiculair^TI sur GCH, et la perpendiculaire I» sur l’intersection X.Y des plans de projection; cette droite I» coupe la droite gh au point », ce qui détermine les deux projections du point (1, i) par lequel on mène la parallèle (IN, in) à la seconde droite donnée (CD, cd). Cette parallèle rencontre la première droite donnée au point (N,/i) qui détermine la perpendiculaire

. ( NP, np ) aux deux droites données. Cette seconde construction du point

(N, n) sert de vérification -à la précédente, et d’ailleurs, elle donne directement la plus courte distance des deux droites.

38. Deux droites qui ne sc coupent pas, 11e forment pas un angle; cependant on prend quelquefois pour l’angle de deux droites situées d’une manière quelconque dans l’espace, celui qui est formé par les projections de ces droites sur un plan qui leur est parallèle, et dont le commet est sur la perpendiculaire aux deux droites; ce second angle est égal à celui de deux parallèles aux droites de l’espace, menées par un point pris arbitrairement; il est aussi égal à l’angle des deux plans conduits par les droites de l’espace et par la droite qui leur est perpendiculaire.

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. a 3

3g. Trois droites quelconques étant données dam l’espace de manière qu ' elles ne se rencontrent pas, et qu elles ne soient point parallèles à un même plan, il n’existe qu’un seul parallélipipède dont trois arêtes soient dirigées suivant les trois droites données.

Démonstration. Nommons A, B, C les trois droites de l’espace qui ne se rencontrent pas : on sait (art. i4) que la direction d’un plan est déterminée par la condition d’être parallèle à deux droites; d’où il suit, i° que par un point quelconque de l’espace, on peut mener trois plans respectivement parallèles aux couple» de droites(A, B), (B,C),(C, A); a° que par l’une quelconque des trois droites A, B, C, A par exenpple, on peut mener deux plans, l’un parallèle à la droite B, et l’autre à la droite C; ce qui détermine six plans parallèles deux à deux, et par conséquent le parallélipipède dont les arêtes sont dirigées suivant les droites intersections de ces plans : or de ces six plans , trois sont par hypothèse conduits par les droites données A , B,C; donc ces droites sont nécessairement dirigées suivant trois arêtes d’un parallélipipède unique, capable des trois droites données A , B, G.

Construction géométrique du parallépipède capable de trois droites AB, BC, CA' qui ne se rencontrent pas. (PI. V, fig. a.)

4o. On mène, t par la première droite AB {Jrg. a) un plan parallèle à la seconde droite B'C’ ; ce plan est coupé par la troisième droite CA’, au point C par lequel on mène la parallèle CD à AB, et la parallèle CB à B'C.

a» On conduit par là seconde droite donnée BC un plan parallèle à la troisième droite CA'; ce plan coupe le plan des trois droites AB, BC, CD, suivant la droite AD, qui complète le parallélogramme ABCD, face du parallélipipède capable des trois droites données.

Pour achever ce solide, on mènera les trois parallèles BD', AC, DB' à la droite donnée A'C; les deux dernières couperont la droite donnée BC, aux points B',C', par lesquels on tirera les parallèles B' A* C’D’ à la droite donnée AB; la première de ces parallèles rencontrera la droite CA', au point A'; par ce point, on mènera la parallèle A’D' à B’C', et les six faces du parallélipipède seront construites. Les trois arêtes de ce solide, dirigées suivant les droites données , ont pour longueurs les droites déterminées AB, B’C', A’C. Les quatre diagonales AA', BB’, CC', DD’ se coupent au centre I du parallélipipède, par lequel on a mené les droites ab, b'c, a'c respectivement parallèles aux arêtes AB, B’C’, A'C. ^ ' »

4i. Le parallélipipède capable des trois droites données AB, B'C', A'C étant construit, on remarquera que non-seulement trois des douze arêtes de ce solide sont dirigées suivant les droites données, mais que trois autres droites ont ce caractère particulier, que chacune d’elles est en même temps parallèle à l’une des trois droites données, et sécante ou transversale des deux autres. Les droites données A, B, C étant dirigées suivant les arêtes AB, B'C’, CA’, dn parallélipipède , le* trois autres A', B’, C' dirigées suivant les arêtes A'B', BC, C'A sont respectivement parallèles à l’une des deux premières et sécante des deux autres. . '

Problème. — - Mener par un point donné P de la droite A'C (fig. 3), la transversale IV/n des deux autres droites AB, C’B’, arêtes du parallélipipède ABCDA’B’C'D'.

4a. Solution. Le plan mené par le point P {fig. 3) et par la droite B’C’ coupe le plan ABC1) suivant la droite ni parallèle à AD ou BC; or cette droite ni coupe la droite AB au point l; donc la droite IP qui joint les points / et P sefa dans le plan /«B'C, qui contient la droite B'C'; donc elle rencontrera cette dernière droite en un point m, et sera une transversale des trois arêtes AB, A'C , B'C' du parallélipipède. La droite symétrique de cette transversale coupe les trois arêtes A'B', AC, BC aux points /' , P', rn, qu’on détermine en menant par le centre I, les droites lit', PÏP’, mbri.

Quelle que soit la transversale IPm des trois premières arêtes AB, B'C’, A'C du parallélipipède capable de ces trois droites , elle a pour transversale symétrique une parallèle IP'm, et le plan de ces deux transversales passe par le centre I du parallélipipède, dont elles sont également éloignées. Désignant les premières arêtes par les lettres A, B, C; leurs parallèles symétriques par A', B', C'; par T une transversale quelconque des droites A, B, C; par S la symétrique de T, qui est une transversale des droites A’, B', C1, on a deux systèmes de transversales T, T', T".... S, S', S"....; telles que l’une quelconque du premier système , T, par exemple , coupe toutes les droites S, S', S*. . . . du second système, et réciproquement line droite quelconque de ce second

système coupe toutes les droites T, T', T" du premier. Cette proposition

sera démontrée dans le paragraphe du chapitre 3 , relatif à la surface dite hiperboloïde à une nappe.

Les constructions graphiques indiquées sur la fig. 3 s'exécuteraient par la méthode des projections sur les plans horizontal et vertical, comme pour les problèmes précédais relatifs à la ligne droite et au plan.

CÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. a 5