CHAPITRE II

§ I". CES TANGENTES AUX COURBES, ET CES PLANS TANCENS AUX SURFACES • COURBES.

43. Oit a vu (art. G) qu’une courbe est la limité d’une infinité de polygones qui auraient pour côtés des cordes successives de la courbe. Lorsque l'un quelconque de ces polygones se confond avec la courbe, ses côtés deviennent les élémens de cette courbe , et leurs prolongemens en déterminent les tangentes. , >

Ou peut encore considérer une ligne courbe comme le lieu géométrique d’un point mobile soumis à une ou plusieurs forces qui sont constantes, ou qui varient pour chaque position du point; la loi du mouvement détermine, la nature de la courbe. En supposant que toutes les forces constantes ou variables qui agissent sur le point mobile, cessent leur action, le point continuera à se mouvoir suivant une droite qui sera tangente à la courbe.

Les anciens géomètres définissaient la tangente d’une courbe, une droite qui n’a qu’un point commun avec cette courbe, et telle qu’on ne puisse mener aucune autre droite entre elle et la courbe.

De quelque manière qu’on définisse la tangente d’une courbe, que cette courbe soit plane ou à^double courbure , les projections des tangentes de cette • courbe sont tangentes aux projections de la courbe.

44- Une surface étant décomposée en un assez grand nombre de parties pour que chaque partie puisse être considérée comme un élément plan, le plan de cet élément prolongé indéfiniment est un plan tangent de- la surface. L’élément réduit à un point physique, se nomme point de contact; il est la limite des sections planes de la surface parallèles au plan tangent.

Le plan tangent contient les tangentes de toutes les lignes planes ou à double courbure menées sur la surface par le point de contact; deux quelconques de ces tangentes déterminent la direction du plan tangent. La perpendiculaire à ce plan est une normale de la surface; en coupant la surface par une suite de plans qui passent par une normale, les sections faites sur la surface par ces plans se nomment sections normales. . +

45. Toute ligue à simple et à double courbure peut être considérée comme résultant ou de l’injersection d’une surface courbe par un plan , ou dei’in-

a6 GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE,

terseclion de deux surfaces courbes. La tangente en uq point quelconque de la courbe plane est l'intersection du plan langent à la surface en ce point, et du plan de la courbe ; la tangente en un point quelconque de la courbe à double courbure est la droite intersection des deux plans tangens menés par ce point aux deux surfaces dont la courbe est l’intersection : ces deux propositions sont des conséquences de la définition du plan tangent à une surface courbe. ... *

46. Il y a deux espèces de plans tangens ; les. uns n’onf de commun avec la surface que le point de contact, et toutes les sections normales qui passent par ce point sont placées du même côté par rapport au plan tangent. Lorsque les sections normales sont placées de côtés différens par rapport au plan tangent (*), ce plan appartient à la seconde espèce ; il est en même temps tangent et sécant. Nous donnerons des exemples des deux espèces de plans tangens aux surfaces courbes. t

$ II. De la génération des surfaces et de leur définition.

4y. Les géomètres expriment la nature d’une surface par une relation entre les trois distances d’un point quelconque de cette surface à trois plans fixes, et cette même relation détermine la position de la surface par rapport à ces plans. En géométrie descriptive, on considère une surface comme le lieu d’une courbe mobile dont la forme constante ou variable est donnée à chaque instant; la loi du mouvement de cette courbe détermine la forme et la position de la surface : on nomme là courbe mobile la génératrice de la surface.

En faisant mouvoir une surface d'une forme constante ou variable, l’enveloppe de l'espace qu’elle parcourt est une autre surface qu’on appelle surface enveloppe, et qui est le lieu des lignes d’intersections successives de la surface mobile. Chacune de ces lignes, que Monge a nommée la caractéristique de la surface enveloppe, peut être considérée comme ia génératrice de cette surface. Les quantités qui déterminent une position particulière de la surface mobile, et les dimensions de la surface correspondantes à cette position, se

(*) Monge a démontre cette belle propriété des surfaces courbes, qu'une normale en on point quelconque d’une surface ne peut être rencontrée que par deux autres normales menées à une distance infiniment petite du point de la surface. Les parties de la normale comprises entre la surface et les points où cette normale est coupée par deux autres normales infiniment voisines, se nomment les rayons de courbure principaux de la surface. Le plan tangent en nn point quelconque d'une surface est de première ou de seconde espèce, selon que les rayons de courbure en 'ce point sont dirigés dans le même sens ou en sens contraire.

nomment les paramètres de la surface. Les paramètres, constans pour une position déterminée, changent en général de valeurs, lorsque la surface prend les diverses positions assignées par la loi du mouvement. Cependant il y a des cas où les paramètres qui fixent les dimensions de la surface sont invariables.

Une surface est définie, lorsque pour chacun de ses points, on peut assigner la ligne génératrice, constante ou variable de forme, qui passe par ce point ; cette génératrice peut être donnée en relief ou par ses projections.

48. Les surfaces qu’on emploie le plus fréquemment dans les arts, sont celles qui ont pour génératrices mobiles le cercle et la ligne droite. Parmi les surfaces qui ont pour génératrice le cercle , on doit distinguer celle qu'on appelle surface de révolution, et qui s’exécute sur la machine outil connue sous le nom de tour.

U y a deux espèces de surfaces engendrées par une droite : les unes qu’on nomme surfaces developpables ; les autres qu’on appelle surfaces gauches, qui ne sont point développables, et que j’ai proposé de nommer surfaces réglées, parce qu’on peut appliquer l’arête d’une règle sur les droites de ces surfaces.

Des surfaces de révolution , et en général des surfaces engendrées par un cercle ■ y mobile. ,

49. Lorsqu’un cercle se meut, son centre décrit une courbe; son rayon

varie suivant une certaine loi ; les intersections successives du plan du corde forment une surface. L’envelqppe de l’espace qu’un cercle parcourt n’est donc déterminée que lorsqu’on donne ces trois choses : 1* la loi suivant laquelle le rayon du cercle varie; a° la courbe décrite par son ceatre ; 3° la surface lieu géométrique (*) des intersections successives du plan mobile qui contient le cercle. ^ . } » ;

Quel que soit le mouvement d’une sphère d’un rayon constant ou variable, l'enveloppe de l’espace qu'elle parcourt est le lieu des cercles intersections successives de la sphère mobile. Si l’on remarque que deux sphères qui se pénétrent, ont pour intersection un oerde dont le plan est perpendiculaire à ’ la droite qui joint leurs centres, on verra facilement que la courbe décrite par le centre d’une sphère mobile, est l’axe curviligne d’un canal dont les sections perpendiculaires à cet axe sont des cercles.

Lorsqu’on substitue à cet axe courbe une ligne droite , la surface canal

(*) On entend par Uea géométrique d’on point, la ligne on la surface qui contient ce point ; par lieu géométrique d’une ligne, la surface qui contient cette ligne. C’est dans ce sens qu’en * géométrie, ou emploi! le mot lieu, sans y ajouter géométrique.

a3 GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.

devient une surface de résolution. On appelle ainsi la surface engendrée par une ligne droite ou coûrbe, plane ou à double courbure , qui tourne autour d'un axe fixe. Un plan mené par cet axe se nomme plan méridien ; tous les plans méridiens coupent la surface de révolution suivant la même ligne , et on nomme cette ligne section méridienne.

Toutes les lignes planes ou à double courbnre qu’on peut tracer sur une surface de révolution dont I axe est donné, engendrent par leur mouvement de rotation autour de cet axe la même surface ; ce qui est évident en remarquant que les rayons et la position respective des cercles de la surface ne varient pas.

Quelle que soit la ligne génératrice d’une surface de révolution, toutes les sections perpendiculaires à l’axe de cette surface, sont des cercles qui ont leurs centres sur oet axe.

Toutes les normales d'une surface de révolution passent par son axe; la normale en un point quelconque de k» surface, est aussi normale à la section méridienne dont le pian passe par le point; la partie de cette normale comprise entre la section méridienne et l’axe de révolution, est le rayon d’une sphère qui a son centre sur l'axe, et qui est inscrite ou circonscrite à la surface.

Les normales d’une surface de révolution, menées par les points d’un cercle de cette surface, dont le plan est perpendiculaire à l’axe, ont pour lieu géométrique, un cône droit qui a son sommet sur l’axe, et pour base lé cercle de la surface de révolution.

Des surfaces développables. r

50. Une surfa* développable est le lieu géométrique des tangentes à une courbe à double courbure, qu’on nomme arête de rebroussement de la surface; deux tangentes consécutives correspondent à deux positions consécutives de la ligne droite mobile génératrice de la surface. L’arête de rebroussement partage la surface en deux parties égales et symétriques, dont l’une comprend les tangentes de cette courbe et l’autre leurs prolongemens. Les cylindres et les cônes sont des surfaces développables dont l’arête de rebroussement est un point; ce point est le sommet ou plus exactement, le centre du cône : il est situé à l’infini pour le cylindre. La surface conique est engendrée par une droite mobile, assujétie à passer par un point fixe; lorsque 1a droite génératrice est constamment parallèle à elle-même, la surface conique se change en une surface cylindrique : la directrice de la droite mobile détermine la forme particulière du cône ou du cylindre.

51. Deux droites consécutives d’une surface développable comprennent un élément de cette surface ; tous les ilémens peuvent être réunis sur un seul et

même plan. En effet, deux élémens consécutifs étant séparés par une droite de la surface , le second élément peut tourner avec la surface autour de cette droite, jusqu’à ce qu’il s'applique sur le plan du premier élément. Ces deux premiers élémens réunis étant fixes, le troisième élément peut tourner avec là portion de surface qui lui est adjacente pour s'unir au second, et ainsi de suite. Tous ces .'élémens réunis sur un seul et même plan, forment ce qu’on appelle le développement de la surface. 11 suit évidemment de ce mode de développement que toutes les courbes planes ou à double courbure tracées snr la surface développable, et qui coupent les droites de cette surface sous des angles déterminés , se transforment sur le plan de développement en d’autres courbes qui coupent les droites de la surface développable rapportées sur ce plan , sous des angles respectivement égaux aux premiers.

En considérant une surface courbe quelconque , rien n’empéche de la concevoir divisée par deux systèmes de plans parallèles, en un assez grand nombre de parties, pour que chaque partie ne diffère pas sensiblement d’un élément plan ; mais si toutes ces parties étaient réunies sîir un même plan , de manière que deux parties contiguës aient un côté commun, elles laisseraient entre elles des intervalles , ou se superposeraient. L’aire comprise dans le contour extérieur de ces parties ainsi réunies, ne serait pas -de même grandeur que la portion de surface courbe formée des mèmès parties; les surfaces développables jouissent seules de cette propriété de pouvoir se développer sur un plan sans rupture iii duplicature : elles sont les seules dont les élémens plans ont une dimension illimitée dans le sens des droites de la surface. Les prolongemens de ces élémens dans tous lessens forment les plans tangens de la surface.

De quelque manière qu’un plan se meuve , l’enveloppe de l’espace qu'il parcourt est xme surface développable. Cette surface est le lieu géométrique des droites, intersections successives du plan mobile.

Nous donnerons des exemples de plans tangens aux surfaces développables, et de développemens de ces surfaces.

Génération des surfaces réglées. i

5a. Deux droites consécutives d’une surface développable se rcncontreut et comprennent un élément plan de cette surface. Dans une surface réglée, deux droites consécutives, quelque petite que soit leur distance, ne se rencontrent pas , et l’élément compris entre ces- deux-droites n’est pas plan ; c’est un élémeut courbe qui a une dimension illimitée dans fa sens des droites qui 1e comprennent : sa forme est celle d’un plan gauche, et par cette raison

3o GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.

on appelait la surface lieu des élémens de cette forme, surface gauche.

La régularité, la symétrie et la forme élégante de certaines surfaces réglées, tellesque l’hyperboloïde de révolution engendrée par une droite mobile qui tourne autour d’une autre droite fixe , prouvent suffisamment que la dénomination de surface gauche ne convient pas en général aux surfaces engendrées par une ligne droite ; c’est ce qui m’a déterminé à substituer à l’épithète gauche, lè mot réglée, qui exprime qu’on peut appliquer l’arête d’une règle sur les droites de la surface.

La surface réglée la plus générale est engendrée par une droite mobile qui s’appuie sur trois courbes données; on donne à ces courbes le nom de directrices. Prenant un point quelconque sur la première directrice , et le considérant comme le sommet des deux cônes qui ont pour bases les deux autres directrice*, les droites intersections de ces cônes appartiennent à la surface réglée. On peut encore déterminer le mouvement de la droite mobile génératrice de la surface par d’autres considérations ; par exemple celle-ci : de passer par deux courbes, et de toucher un cylindre sur lequel l’une des deux courbes est donnée.

. Dans le paragraphe suivant, on donnera des exemples de plans tangens aux trois espèces de surfaces qu’on vient de définir, et qui sont désignées par les noms de surfaces développables, surfaces de révolution, surfaces réglées.