III. EXEMPLES DE PLANS TANGENS AUX SURFACES COURBES

Premier exemple. — Mener un plan tangent à une surface cylindrique : i* par un point pris sur la surf Ace; 2° par un point pris hors de la surface parallèlement à une droite donnée? (PI. 6. )

On entend par surface cylindrique, une surface développable engendrée j>ar une droite mobile, constamment parallèle à une droite donnée, et dirigée dans son mouvement par une courbe aussi donnée, qu'on appelle la directrice.

53. Solution. — Premier cas. — Le point de contact est donné sur la surface. On mène par ce point la droite génératrice de la surface ; cette droite rencontre la directrice en un point, par lequel on mène une tangente à cette courbe : la tangente et la droite de la surface déterminent le plan tangent demandé. Ce plan ne touche pas senlement la surface an point donné; il contient (art 5i ) l’élément cylindrique qui est compris entre deux droites parallèles consécutives, et dont il est le prolongement ; ce contact du plan et de la surface a lieu pour tous les points de la droite génératrice , menée par le point donné.

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 3i

Deuxième cas. — Le point donné est hors (a surface. On mené par le point donné, une tangente à une section de la surface cylindrique dont le plan passe par-ce point; cette tangente, et la droite de la surface menée par le point de contact, déterminent le plan demandé.

Autrement, on mène par le point donné une parallèle D à la droite génératrice de la surface cylindrique; le plan d’une section quelconque de la surface coupe la droite D en un point par lequel on mène une tangente à la section; la droite de la surface qui passe par le point de contact, et sa parallèle D déterminent le plan tangent demandé.

Troisième cas. — Le plan tangent est parallèle à une droite donnée. On mène par un point quelconque de l’espace deux droites, l’une parallèle à la droite donnée, et l’autre parallèle à la droite génératrice de la surface cylindrique ; . on joint ces deux droites par une troisième, telle qu’on puisse mener une tangente à la surface cylindrique, qui lui soit parallèle. Cette tangente et la droite de la surface menée par le point de contact déterminent le plan tangent; ce plan sera parallèle à la droite donnée, parce qu'il passe par des droites parallèles à deux autres droites qui coupent cette droite donnée.

54- Explication des fig. i, a , 3, pl. 6, relatives aux trois cas du problème proposé. Pour ces trois cas, la surface est un cylindre à base circulaire, c’està-dire qu’elle est engendrée par- une droite mobile qui a pour directrice un cercle, et on suppose dans les trois figures que le cercle, base d’un cylindre oblique, est donné sur le plan horizontal; XY est sur chaque figure l’intersection du plan horizontal du plan vertical.

(Fig. t , ph 6. ) Premier cas. — Le point de contact de la surface cylindrique et du plan tangent, n’est donné que par l'une de ses projections.

Soit Ali CD la section circulaire du cylindre, donnée sur le plan horizontal de projection ; la génératrice du cylindre est parallèle à une droite donnée (GZ, Gx). Ayant mené les diamètres AB, CD, l’un parallèle à l’intersection XY des plans de projection, l’autre perpendiculaire à la projection horizontale GZ d’une parallèle à la génératrice du cylindre , on tirera par les points C, D les droites CE, DF, parallèles à GZ, et par les points a, b, projections verticales des extrémités A, B du diamètre AB, les parallèles ag, bh à la projection verticale G’x de la droite donnée (GZ, G’*). Les deux premières parallèles CE, DF sont les limites de la projection horizontale du cylindre, ou, plus exactement, de toutes les lignes appartenantes à ce cylindre ; les deux dernières ag , bh forment les limites de la projection verticale.

Le point de contact de la surface cylindrique est donné par une seule pro-

3i GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.

jection. Soit K la projection horizontale donnée ; on construira d'abord la

seconde projection X ou XV

Toutes les droites de la surface cylindrique étant parallèles entre elles, celle qui passe par le point de contact a pour projection horizontale une droite KL parallèle-à CE ou DF; mais cette droite coupe lé cercle donné aux points L, M, qui ont pour projections verticales les points l, m ; donc la droite lo ou mo , parallèle à ag ou l>h , contiendra la projection verticale du point de contact. Cette projection doit aussi se trouver sur la perpendiculaire KX à XY, qui coupe les droites lo, mo' aux points X, X; d’où il suit que le point de contact est (K , X) ou (K , X').

Les plans tangens à la surface cylindrique, menés par ces points, 11e different pas ( art. 49) des plans tangens, conduits par les droites de la surface (I3IO, lo), (MO, mo ) ; or ces droites de contact rencontrent le cercle ABCD aux points L, M; les plans tangens en ces points auront donc pour traces sur le plan horizontal, les tangentes au cercle LP, MQ. Les mêmes droites de contact rencontrent le plan vertical aux points o, o; joignant ces points et ceux où les tangentes LP, MQ coupent la droite XY, o» aura les traces verticales Po, Qo' des plans tangens aux points ( K, X), (K, X') du cylindre.

On vérifiera l'exactitude des-opérations précédentes par les considérations suivantes.

Les deux plans tangens, passant par des droites de la surface qui sont parallèles entre elles, se coupent suivant une parallèle à ces droites : or cette parallèle ( RY, rv ) coupe le plan vertical au point (V, e); donc les dçux traces Po, Qo', prolongées, passent par le point v. Les horizontales des plans tangens menées par les points de contact (K, X), (K, X'), coupent le plan vertical aux (joints s, t; donc ces points doivent se trouver l’un sur la trace IV, et l’autre sur la trace Qc. .

lies Jig. a. et 3, que nous allons expliquer, se rapportent aux deux autres cas; les points et lignes analogues sont marqués des mêmes lettres dans les trois figures.

55. ( Fig. 2 , pl. 6. ) Deuxieme cas. — Le point donné est hors la surface. Soit ( N , n ) le point donné hors la surface ; la parallèle à la génératrice du cylindre, menée parce point, coupe le plan vertical au point (V, v), et le plan du cercle ABCD au point R, par lequel on mène les tangentes RL, RM à ce cercle. Ces tangentes sont les traces horizontales des deux plans tangens au cylindre, qu'on peut mener par le point donné ; les points P et Q de ces traces prolongées jusqu’à ce qu’elles coupent la droite XY, appartiennent aux traces verticales des mêmes plans tangens. On aura ces traces en joignant le point v et les points P et Q par les droites Ve, Qc.

GÉOMÉTRIE ÛESCRIPTI VE. 33

Les plans langens (RPe), (RQ»') touchent le cylindre suivant les droites ( LO, lo ) et (M», mm) : on ces droites coupent le plan vertical aux points (O, ©), («, «')*, donc ces points doivent se trouver, l’un en o sur la trace Verticale Pv du premier plan tangent, et l’autre en m sur là trace Qv du second plan.

L’horizontale ("NTT, nn) du premier plan rencontre le plan verticaLnu peint n' de la trace Pc; une horizontale du fécond plan , menée par le même point donné (N, n), coupé aussi le plan vertical en un point de la trace verticale Qr de ce second plan. y

56. (Fig. 3, pl. 6- ) Troisième cas. — Le plan tangent est parallèle à une

droite donnée. ,

Soit (UZ , ut) la droite donnée ; par un point (Z, z) de cette droite, pis tire une droite (GZ, G’z), parallèle à la génératrice du cy lindre dont la direction est connue. Les deux droites (UZ, ut), (GZ, G'z) déterminent un plan dont la trace sur le plan du cercle ABCD est GU : on mène deux droites RP, R'Q, tangentes à ce cercle et parallèles à GU ; ces droites sont les traces horizontales des deux plans tangens qu’on peut mener parallèlement à la droite donnée. Ces plans touchent le cylindre suivant les droites (LO, lo), (M«, >W) qui coupent le plan vertical aux points (O, o), (a, a'); d’où il suit que les traces .verticales des plans tangens sont P ov, Q j V. Ces traces sont parallèles entre elles, et parallèles à une droite telle que (G«, GV), intersection du plan vertical de projection et du plan cendoit-par les deux droites .(ZG, zG‘ ), (ZU, tu). On obtient cette droite (G*, GV) en menant par le point G de la droite donnée (GZf Gz), la parallèle G* à XY, qui coupe l’autie droite donnée (UZ, ut) aupoint (a, *’) ; ce qui déterminé la droite GV, parallèle aux traces P v, Q v'\

57. Quoique nous n’ayons considéré qu’un cylindre particulier, celui dont la base ou l'intersection par l’un des plans de projection est un eerde, on résoudrait de la même manière les trois derniers problèmes pour tout autre cylindre. Le nombre de solutions pour chaque problème dépend de la base du cylindre, c’est-à-dire de la section du cylindre, donnée sur le plan horizontal. Lorsque cette baseést ùn cercle, une droite ne peut couper la surface du cylindre qu’en deux points ; et, par un point pris en dehors de cette surface , on ne peut lui mener que deux plans tangens. On conçoit facilement une surface cylindrique qui serait coupée par une droite en un plus grand nombre de points, et à laquelle on mènerait par un point pris en dehors, autant de plans tangens qu’on pourrait mener de tangentes à une section plane du cylindre, par un point pris en dehors de cette section.

Deuxième exemple de plan tangent. — Mener un plan tangent à une surface

• conique : i n par un point pris sur la surface ; a0 par un point pris hors la

surface ; 3° parallèlement à une droite donnée ? ( PI. 7.)

On nomma surface conique , une surface développable, engendrée par une droite mobile, assujétie à passer constamment par un point donné,, et par une courbe qu’on appelle la directrice de la droite génératrice.

58. Solution. — Premier cas. — Le point dé contact est donné sur la surface. Ou mène par ce point la droite génératrice de la surface ; cette droite rencontre la directrice en un points par lequel on mène une tangente à cette «ourbe. La tangente et la droite de la surface déterminent (art. 5i) le plan tangent demandé. Ce plan ne touche pas seulement la surface au point donné; il contient i’éléroentqui est compris entre deux droites concourantes vers le sommet du cône, et dont H est le prolongement : le contact du plan et de la surface a lieu pour tous les points de la droite menée par le point donné.

Deuxième cas. — Le point est donné hors la surface. On mène par le point donné une tangente à une courbe de la surface conique, dont le plan passe par ce point. La droite de la surface conique menée par le point de contact de la courbe et de la tangente, et la tangente elle-même, déterminent le plat» demandé. Autrement, on mène parle point donné et par le sommet du cône une droite D, qui est rencontrée par le plan d’iuie section connue du cône en un point, par lequel on mène une tangente i» la sectiou ; la droite du cône qui passe par le point de contact, et la droite D appartiennent au plan tangent demandé.

Troisième-cas. — Le plan tangent est parallèle à une droite donnée. On mène par le sommet de la surface conique une parallèle. a Ja droite donnée, et on prend sur cette parallèle un point par lequel on puisse mener tme tangente à une ligue connue de la surface conique. Cette tangente et la parallèle à la droite donnée, fixent la position du plan tangent. I-a droite de contact du plan et du cône est déterminée par le point de contact de la tangente à la ligne connue de la surface conique.

59. Explication des Jig. 1 , 2 , 3, pi. 7, relatives aux trois cas du problème proposé. On suppose que pour ces trois cas la surface est un cône à base circulaire, c’est-à-dire quelle est engendrée par une droite mobile qui s’appuie sur un cercle comme directrice. Le cercle, base du cône, est donné sur le plan horizontal ; la droite XY est sur chaque figure l’intersection du plan horizontal et du plan vertical de projection.

( Fig. r, pl. 7. ) Premier cas. — Le point de contact de la surface, conique et du plan tangent , n’est donné que par l'une de ses projections. Soit ABCD l’intersection'du cône par le plan horizontal ; on prend eette intersection pour la base du cône qui, dans ce cas particulier,' est un cercle du rayon >A ; le sommet du cône est donné. Soient E, e les projections horizontale et verticale de ce sommet; les tangentes EC, ED menées par le point E au cercle ABCD, sont les limites de la projection horizontale du cône; elles peuvent être considérées comme les traces horizontales de deux plans tangens verticaux , qui touchent le cône suivant les droites (EC,-ec), (ED, ed). Ayant mcnéje diamètre AB parallèle à l’intersection XY des deux plans de projection, les droites du-cône qui passent par les points A et B, ont pour projections verticales les droites ea, eb qui sont les limites de la projection verticale du cône.

Le point de contact de la surface conique est donné par une seule projection. Soit K (Jig. 1 ) la projection horizontale donnée, on construira d’abord la seconde projection A ou A’ du poiut de contact.

Toutes les. droites de la surface conique devant passer par le sommet du cône, celle qui passe par le point de contact (K, A) ou (K., A1), a pour projection horizontale la droite EKML, qui coupe le cercle donné ABCD aux points L, M; mais les droites du cône qui passent par ccs points d’intersection ont pour projections arerticales les droites le, me, et elles contiennent par hypothèse les points de contact; donc ccspoints se trouvent en projection verticale, et sur la perpendiculaire Ké à l’intersection commune XY des plans de projection, et sur les droites le, me, par conséquent aux intersections A, A' de ces droites et de la perpendiculaire K/,- d’où il suit que le point de la surface conique, pour lequel on demande le plan tangent, est ou (K, A ), ou (K, A'), et que les droites de contact sont (EL, el) pour le premier point, et (EM, em) pour le second. .''•••

Ces droites de contact rencontrant le cercle donné aux points L et M, les plans tangens en ces points auront pour traces horizontales les tangentes LP, MQ du cercle ABCD. Les mêmes droites de contact rencontrent le plan vertical aux points o, o'; joignant ccs points et ceux où les tangentes LP, MQ coupent la droite XY, on aura les traces' verticales Po, Q o des plans tangens aux points (K, ê) , (K, A') de la surface conique.

On vérifiera, comme pour le cylindre (art. 54), les opérations graphiques par lesquelles on vient de trouver les traces des plans (-RPo), (BQo') tangens aux cônes.

Les deux plans tangens (RPo), (RQo1) se coupent suivant la droite (ER, er): or cette droite coupe le plan vertical au point v de la droite Ve; donc les traces Po, Q o' passent par ce point e. .

Les horizontales des plans tangens menées par les points de contact (K, X), (K, X') coupent le plan vertical aux points jet t; donc ces points doivent se trouver l’un sur la trace verticale IVo, et l’antre sur laf trace verticale Qt 'O. ,

60. Les fig. a et 3 que nous-allons expliquer se rapportent aux deux autres cas; les points et lignes analogues sont marqués des mêmes lettres dans les trois figures.

(Fig. a, pl. 7.) — Deuxième cas. — Le point domiè est hors de la surface. Suit (N, n) le point donné hors la surface, par lequel il s’agit de mener un plan tangent à cette surface. Puisque tous les plans tangens d'un cône passent par le sommet du cône, le plan demandé passera par la droite (EN, en) qui joint ce sommet et le point donné : or celte droite coupe le plan du cercle donné ABCD au point R , par lequel on peut mener les tangentes RL, RM à ce cercle ; donc ces tangentes sont les traces horizontales des plans tangens au cône, qu’on peut mener par le point donné. D'ailleurs ces plans sont conduits par la droite (EN, en) qui coupe le plan vertical au point v; donc ils ont pour traces verticales les droites Pv, Qv.

Les plans tangens (RPe), (RQc) touchent le cône suivant les droites (EL, el), (EM, em) qui coupent le plan vertical de projection aux points o et donc ces points doivent se trouver l’un sur la trace verticale Pro, l’autre sur la trace ,Qvu. / • ' ' -, ’.•••••

L’horizontale (NN’, nn') du premier plan tangent (RPrj rencontre le plan vertical au point n’ de la trace Pv, et l horizontale (NT, ut J le rencontre au point t qui se trouve sur la trace ^A- du second plan tangent (RQt). '

(Fig. 3, pl. 7.) — Troisième eas. — Le plan tangent est parallèle à une droite donnée. • , . • ' / •* .

Soit ( UZ, uz) la droite donnée. La parallèle à cette droite, menée par le somraét du cône, ayant pour projection les droites ER, er, elle, coupe les plans de projection aux points R et u, par lesquels les traces des. plans tangens doivent passer; d’où il suit que les tangentes RL, RM menées par le point R au cercle ABCD, sont les traces horizontales de ces plans. Ces traces coupent la droite XY aux points P et Q; d’où il suit que les droites P*<, Qi< sont les traces verticales des plans tangens.

Les points (O, o) et(0‘, «) du plan vertical de projection que l’on construit comme sur la figure précédente, appartiennent l’un à la trace Pvo , et l’autre à la trace Qe«.

En substituant au cercle ABCD, intersection d’un cône par le plan horizontal, toute autre courbe, on résoudrait de la même manière les trois cas du plan tangent au cône proposé.

Du plan tangent à la surface développable, engendrée par une droite mobile, qui passe par deux courbes données. (Troisième exemple.)

6r. Trois courbes sont nécessaires pour diriger le mouvement d’une droite qui engendre la surface^églée'généralejmais lorsque cette surface est développable , deux courbes suffisent. En effet, soient C etC’ les deux courbes données; on prend sur la première C un point quelconque P que l’on regarde comme le sommet d’un côrte qui'â pour base la courbe C’.' La courbe C étant donnée, la tangente à Cette courbe au point P est déterminée; on mené par cette tangente un plan tangent au cône (art. 58); la droite de contact appartient à la surface développable demandée.

Prenant sur la courbe C un autre potot P', sommet d’un second cône passant par la courbe G', 4e plan tangent à ce cône mené par la tangente à la courbe C' au point P', passera par une tangente à la courbe C/; nommant Q’ le point de contact sur cette courbe C, une droite de la surface développable passera par -les points P’ et Q'; on obtiendra ainsi une série de droites PQ, P Q i P’Q' dont le lieu géométrique est la surface développable demandée. Cette construction a pour objet de déterminer les couples de tangentes aux courbes C et C’, qui sont situées dans le même plan; les plans successifs de ces divers couples se coupent, et les droites d’intersection appartiennent à la surface développable, car deux droites tangentes aux- courbes C et C’ étant dans un même plan, les deux droites consécutives infiniment voisines qui s’appuient sur ces deux courbes et sur leurs tangentes, sont aussi- dans ce plan : ce qui est le caractère des surfaces développables.

6a. A)'ant construit les droite» de Ij^surface développable qui passe par deux oourbes données , il s’agit de lui mener un plan tangent, t° par un point donné sur la surface, a° par un point donné hors la surface, ou parallèlement à une droite donnée.

Premier casi ■ — Le point est donné sur la surface. Soit D la droite de la surface qui passe par ce point; cette droite rencontrera l’une des courbes données C, C, oit toute autre courbe, de la surface à laquelle on sait mener des tangentes; la tangente à cette courbe menée par le point de rencontre, et la droite D, déterminent le plan langent demandé. * ,

Deuxième cas. — Le point est donné hors la surface. Un mènera par ce point P un plan quelconque qui coupera la Surface suivant jinc courbe que l’on construira. par points ; la tangente à cette courbe, menée par le point P, la touchera en un .point P’; la droite de la surface développable qui passe par ce point P’, et la droite PP' qui joint les points P et P', déterminent le

plan tangent qui passe par le point donné hors de la surface. Si le plan tangent doit être parallèle à une droite donnée, on coupera surface par un plan quelconque qui passe par une parallèle à cette droite , ët on mène une seconde parallèle, tangente à la |cction;.le plan mené par cette tangente et par la droite de la surface développable qui passe par le point de contact, est tangent à cette surface. . - ■ , • .

On voit que la solution graphique de ce second cas dépend des intersections de surfaces courbes par des plans, qui seront l’objet du chapitre suivant. ; ' .

Quatrième Exemple. — Plan tangent à une surface de révolution. — Par un . point donné sur une surface de révolution , mener un plan tangent à cette surface ? ( PI. 8. )

63. Solution » On conçoit par le point donné et par Taxe de révolution, un plan qui contient une section méridienne (art. 44) de la surfâce. Le plan tangent passe par une tangente à cette section menée par le point donné ; mais la surface étant composée d’une suite de cercles dont les plans sont perpendiculaires à Taxe de révolution, le plan tangent au point donné passe aussi par la tangente au cercle de la surface auquel ce point appartient ; d’où il suit que le plan tangent d’une surface de révolution est déterminé par les deux tangentes menées par le point donné à la section méridienne et au cercle, qui se croisent à angle droit en ce point. v

La tangente au cercle étant perpendiculaire au -plan 'de la section méridienne, le plan tangent en un point quelconque d'une surface de révolution est perpendiculaire au plan méridien qui passe par ce point. La double condition de passer par une tangente à la section méridienne d’un point de la surface, et d’être perpendiculaire au plan de cette section, déterminent le plan tangent en ce point.

6/(. Explication de laftg.. i, pl. 8, pour le cas particulier où lu surface de révolution est un ellipsoide. On prend pour plan horizontal de projection un plan perpendiculaire à l’axe de révolution ; le point de contact sur la surface est donné par une seule projection.

Soit (A, abc) l’axe de révolution, M la projection horizontale du point de contact; le plan méridien mené par le point Ma pour traces sur les plans de projection les droites MAT ettTf'. En le faisant tourner autour de l’axe (A, abc), il arrive dans la position DAEL' parallèle à l'intersection XY des plans de projection. Considérant la droite DAE comme la trace d’un plan méridien parallèle au plan vertical, ce plan coupe la surface suivant une

section méridienne cbde4 irisée en deux parties égales par l’axe bc. Faisant AM = AM', et élevant par le point M’ la verticale MWb’ qui coupe la sec* tio* méridienne aux points ri, ri, les horizontales rim, ri ni contiennent les projections verticales des points de contact de la surface-.de révolution, correspondantes à la projection horizontale donnée M ; d’où il suit que ces projections verticales sont déterminées par la rencontre des droites rim , rim et de la perpendiculaire M mm à l’intersectioi» XY des plan» de projection. Le point connu de la surface étant (M, rn ) ou (M, tri), il s’agit de trouver les traces du plan tangent mené par l’un et l’autre point, en observant que dans le pas particulier où la sectioirméridienne est une ellipse hcde, les points m, m sont à égale distance du second axe r/e ded’ellipse, perpendiculaire au premier bc. •* ï '■

La tangente à l’ellipse au point ri, coupe la droite XY au point /’, et cette tangente, considérée successivement dans les plans méridiens AL’, AL, coupe le plan horizontal aux point îd, L ; d’où il suit que la tangente au point (M, m) de la section méridienne AM, rencontre le plan horizontal au point L; le plan tangent an même point (M, m ) passera donc aussi par le point L, et comme il est perpendiculaire au plan méridien vertical AML, il a pour trace sur le plan horizontal ta droite LQ perpendiculaire à AL. D’ailleurs l'horizontale (MP, mp) du plan tangent coupe le plan vertical au point />;duac le plan tangent (LQ p) au point {M, m) de la surface de révolution, a pour trace sur le plan vertical la droite Qp.

Oj* trouvera de la même manière qae- le plan tangent- au point (M, ni) a pour traces sur les plans de projection les droites RR et- IL. Les deux traces horizontales LQ, KR perpendiculaires à la même droite AM, sont parallèles, et les deux traces verticales Qp,- IL se coupent en-un point s, qui est situé sur le .prolongement de l’axe horizontal de- l’ellipse,- par la même raison que les tangentes aux points ri, ri de celte ellipse, se rencontrent au point s du même axe. Les deux plans tangens à l’ellipsoïde de révolution ayant leurs points de contact sur le même méridien, et à même distance du centre de l’ellipsoïde , ils se coupent suivant une horizontale située sur le plan du plus grand cercle de la surface dont le diamètre est de; cette horizontale se projette donc sur le plan vertical suivant la droite de : d’où il suit que cette droite de prolongée, doit passer par le-point s de l’intersection des deux plans tangens-

Qn s’assurerait de l’exactitude des traces verticales IL, Qs des plans tangens, en cherchant les points de rencontré du plan vertical et des tangentes à la section méridienne menées par les points donnés. Ces tangentes ont pour projections verticales les droites Un, /•ni,, et pour projections sur le plan lio-

4o GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.

rizontal, la'droite unique ALMT. Considérant cette,droite AT comme la trace horizontale d’un plan vertical qui coupe le plan vertical de projection suivant la verticale tTc', les points d’intersection t, t de cettè verticale et des droites Im, km prolongées, se trouvent nécessairement Tun sur la direction de la trace Q p, et l’autre sur la direction de la trace Us.

De ce que la tangente l'n coupe Taxe çbc an point o, il s’ensuit que la droite Un prolongée doit passer par le même point; car on peut considérer le’* point o de l’axe de révolution comme le sommet d’un cène droit, circonscrit à la surface de révolution suivant le cercle du diamètre nV; or les droites de ce cône droit sont des tangentes aux sections méridiennes, menées par les points du cercle; donc la tangente qui pusse par le point (M, m ) a pour projection verticale la droite Uno, qui passe par le point o de l'axe abc. On prouverait de la môme manière que les droites nk, m'k prolongées doivent passer par le point o' du même axe abc.

Ayant prolongé le plan méridien DAE parallèle au plan vertical.de projection , jusqu’à ce qu’il rencontre en Q' la trace horizontale LQ du plan tangent (LQ/>), Ie plan méridien et le plan tangent se coupent savant la droite (AQ1, oq'); d’où il suit que la projection verticale oç' de cette droite est parallèle à la trace verticale Q t du plan tangent ( LQQp). On trouverait de la même manière h parallèle à la trace verticale IL du plan tangent (KR/j, passant par le point o de l’axe de révertution oo. • • .

65. Le chapitre suivant traitera des intersections de surfaces par des plans et par d’autres surfaces courbes, des tangentes aux courbes qui résultent de la pénétration des surlaces; il contiendra de nouveaux exemples de lans tangens. On y considérera les plans tangens de la seconde espèce qui sont à la fois tangens et sécans, et on donnera quelques exemples des lignes suiWnt lesquelles ces plans prolongés au-delà du point de contact, coupent les surfaces. . • ’ . . ^