CHAPITRE III

Des interjections de surfaces courbes par des plans, et par d'autres surfaces

courbes.

§ 1*7. DES IXTERSECTIOKS DE SIT.ïACES COUSUES PAU DES PLANS.

66. La courbe d’intersection d’une surface par'un plan, passe par tous les points dans lesquels ce plan coupe un système de lignes données sur la surface.

Considérant sur la surface donnée une ligne quelconque, qui rencontre le plan coupant en un ou plusieurs points, ces points appartiennent à l’intersection de la surface et du. plan. La ligue de la surface que l’on considère , peut être ou une ligne droite, ou une ligne courbe plane, ou une courbe à double courbure; tous les problèmes relatifs à l’intersection des surfaces se réduisent donc à trouver l’intersection de l’une de ces trois lignes par un plan.

Si la surface a pour génératrice une ligne droite, le plan coupant rencontrera cette droite dans toutes ses positions.

Le problème qui consiste à trouver le point de rencontre d’une droite et d’un plan ayant été résolu (art. 17), on appliquera la même solution à toutes les droites de la surface. Là ligne continue, menée par tous les points d’intersection de ces droites et du plan, sera l’intersection dé la surface proposée par le plan donné. . ’ .

67. Lorsque la surface a pour génératrice une courbe plane, dont le plan est variable de position, et qui varie elle-même dans son plan, le plan variable, considéré dans une position déterminée, rencontre le plan coupant suivant une droite , et les deux plans 11’ont de commun que les points de cette droite; d’où il suit que. les points d’intersection du plan coupant et de la courbe génératrice se trouvent nécessairement sur cette droite. On a vu (art. 16) comment on trouve la ligne d’intersection de deux plans; cette ligne, et la courbe génératrice située dans le plan que l’on considère, se coupent en un ou- plusieurs points qui appartiennent à la courbe d’intersection de la surface proposée et du plan coupant.

68. Le tro'sième cas et le plus général a lieu, lorsque la surface est engen-

drée par une courbe à double courbure. On ramène ce dernier cas au premier, en plaçant la courbe génératrice considérée dans une position déterminée sur une surlace réglée, dont celte courbe est prise pour l’une des trois directrices (art. 5a). Les deux autres directrices sont arbitraires; on peut se donner deux lignes droites placées d’une manière quelconque par rapport à la courbe donnée. Prenant un point sur cette courbe, on mènera, par ce point et par l’une des droites directrices, un plan qui coupera la seconde droite directrice en un point. Joignant ce dernier point et celui qu’on a pris sur la directrice courbe, par une droite, cette droite appartient à une surface réglée qui passe par la courbe donnée. Le plan coupant , .qui , par hypothèse, rencontre cette courbe,- coupe nécessairement la surface réglée, et la section contient les points communs au plan et à la courbe; donc ces points se trouveront nécessairement sur la section plane de la surface réglée et sur la courbe donnée , par conséquent à l’intersection de ces deux courbes.

Lorsqu'on donne une courbe génératrice par ses deux projections, on donne aussi deux surfaces cylindriques engeudrées par des droites perpendiculaires aux plans de projection; chacune de ces surfaces- contient la courbe donnée et tient lieu de la surface réglée, qui a pour directrices deux droites arbitraires, prises hors de la courbe donnée. Chaque cylindre étant coupé par le plan qui, par hypothèse, rencontre la courbe donnée, cette courbe et la ligne d’intersection sur le cylindre auront des points communs, qui seront les points demandés. - .

Exemples d’intersections de surfaces par des plans.

Nous considérerons successivement les surfaces développables , les surfaces dé révolution , les surfaces réglées , et les lignes d’intersection de ces surfaces par des plans.