II. DES SURFACES DEVELOPPA (ILES COUPEES PAR UN PLAN

Premier exemple. — Intersection du cylindre droit à base circulaire par un

plan. (1*1. 9.)

69. Le cercle, base du cylindre, est donné sur le plan horizontal ; on suppose la droite génératrice de la surface cylindrique, verticale, et le plan coupant perpendiculaire au plan vertical de projection. Dans cette hypothèse, la courbe d’intersection du cylindre par le plan , a pour projection horizon

taie, le cercle base du oylindre, et pour projection verticale, la droite, trace du plan coupant sur le plan vertical. Si l’on veut connaître celle courbe telle qu’elle est dans son plan, on fait tourner ce plan jusqu'à ce qu’il s’applique ou sur le pjan horizontal ou sur le plan vertical de projection, et on détermine cè que devient chaque point de la courbe après ce mouvement de rotation. Cette construction est le principal objet des Jig. j, i a , pi. 9.

70. Explication des /ig. 1, i.a, 1 .b,pl. 9. Soit ABCD Jig. 1, la base circulaire du cylindre droit vertical; élevant les»pcrpendiculaires AA 'a, BB'A à la commune intersection XY des plans de projection, ces perpendiculaires sont les limites de la projection verticale du cylindre. La Jig. 1 comprend les deux projections, horizontale et verticale. *

Soit Yg'fig. 1) la trace verticale du plan coupant; puisqu'on siipposece plan perpendiculaire au plan vertical de projectiod, sa trace sur le plan horizontal sera une droite FE, perpendiculaire à l’intersection XY des plans de projection. La courbe d’intersection du cylindre par le plan EFg, a pour projection horizontale le cercle. ABCD, et pour projection verticale la droite F^.

Pour la construire dans son plan, on suppose que ce plan tourne autour de sa trace verticale Fg, ej on cherebe ce que devient un point quelconque (II, h ) de la courbe, lorsqu’il s’applique sur le plan vertical. La distance de ce point à la droite autour de laquelle il tourne, est égale à l’horizontale Il’H. Ayant transporté la trace parallèlement à elle-même en F ’g( fig. t .a), et le point h de cette trace en V, la perpendiculaire VA', de même longueur que l’horizontal 11H', sera la distance da point de la courbe à son axe de rotation, et l’extrémité h' de cette perpendiculaire sera le point (H ,-A ) de la courbe, appliqué sur le plan-dHaical.’ On aurait le point A" de cette courbe, situé sur la même droite VA', en^Bwnnt VA' = H'I; ce point h " a pour projection horizontale le point I du cercle ABCD, et pour projection verticale le point h situé Sur la droite- HIH'A. On trouverait tant d’autres points qu’on voudrait de la courbe «’jS'A'A* (/5 g. im) intersection du cylindre et du plan. Chaque point de cette- courbe, tel que h', est déterminé (art. 3 ) par une abscisse FV=:F h, comptée sw l’axe des abscisses F'g', et par une Ordonnée V/t' perpendiculaire à l’abscisse. •

Au lieu de faire, tourner le plan de la courbe autour de l’une des traces du plan coupant sur les plans de projection, on imagine par le centre O du cercle ABCD deux diamètres , l’un perpendiculaire, l’autre parallèle à la trace horizontale FE, ét par ces diamètres deux plans verticaux, qui rencontrent le plan coupant EF^ suivant deux droites, l’une («g, Kg), l’autre horizontale (CD, e), perpendiculaire à la première au point (O, c), et on fait toit nier le plan de la courbe successivement autour de ces deux droites.

44 GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVB.

Transpprtant la droite ab parallèlement à elle-même en *ff, et le point h en J’ sur la perpendiculaire AJ' k ab, ou aura les points h', h’ de la courbe a fi’ h' h' (Jig. t .a), en taisant J’A= J'h" = JH s= JI ; la droite «”|3" (//g-, 1 .a ) est, sur le plan de la courbe, la droite (AR, ab\ ( Jig , l ).

Abaissant la seconde droite (CD, c) sur le plan horizontal en Cl), et faisant tourner le plan do la courbe autour de cette droite transportée en CD, le point (II, h) de la courbé décrira un cercle d'un rayon égal à ch.

Ayant élevé la perpendiculaire HQ’ à CD, et portant du point Q’ en I*’ une droite Q’P’= ch , le point P' sera ce que devient le point (II . h) de la courbe, • après avoir tourné autour de la droite (CD, c)-pour s’appliquer sur le plan horizontal passant par cett» droite.

On trouvera de la même manière tant d’autres points de la courbe COP*?' ( Jig. i .b), qui ne diffère pas de la courbe cc’/ih" (/ig. i.a ). Si l’on compare les dimensions de cette courbe dans les deux Jigures \.a , t b, on aura : CD= c’c';«*= «¥ = «’/»’, Jig. i ;-P’Q’= P'QT = p'K =p'h".

De la tangente à la courbe d'intersection d'un cylindre droit vertical par un

plan. „

7t. La tangente en un point quelconque ( H , h )-dc la courbe appartient-, au plan tangent du cylindre; elle est aussi sur le plan coupant : elle est par conséquent l’intersection de ces deux plans (art. 45). Le plan tangent au point (H, A) du cylindre vertical, est vertical (art. 53), et a pour trtce surle plan horizontal de projection la tangente au cerclç LUE menée par le point II de ce cercle; or ce plan coupe le plan de la courbe au point E de la trace horizontale FE: le point de la courbe ( II, h \ est commun à ces deux, plans, donc en portant FE en F 'El {Jig. i.a),et joignant le point h de la courbe avec le point E' de l’intersection des deux plans, la droite E’A’ sera la. tangente au point A' rie la courbe c'e’hh". ' ■

En raisonnant de la même manière, on obtiendra la tangente au mêmepoint (II, A), rapporté en P’ sur la Jig. i .b. La tangente LUE coupe le diamètre CD au point L de l’intersection du plan tangent et du plan de (a courbe. Joignant ce point et le poinfP' de la courbe par une droite, on aura la tangente LP' au point P’ {Jig. i ,b \ et li {Jig. 1 ,a\

72. Comparant les Jig. \ji et Jig. 1. b, dont chacune représente la courbe résultant de l'intersection du cylindre par le plan (EFg),on a : M'EN— E'N’; TO = r'ty.

La courbe CDag (Jg. i.b) est une ellipse qui a pour axes princqaux les droites rectangulaires CD et ag. En décrivant sur le plus petit de ces axes,

GÉOMÉTRIE BESCRIPTIVE. 45

comme diamètre, ie cercle ABCD, on voit que pour les points du cercle et de l’ellipse, situés sur une droite quelconque P'Q' perpendiculaire, au diamètre commun CD, la soup-tangente Q’CL de ces deux courbes est la même. On démontre cette proposition par l’algèbre, dans les traités des courbes du second degré; la construction géométrique précédente fait voir que les deux tangentes P'L, HL doivent en effet concourir en un même point L du diamètre CDL.

Deuxième exemple* ■ — Intersection du cône droit à base circulaire par un plan.

■j3. Lorsqu’un côijc à base circulaire est droit , la ligne droite menée par le sommet de ce cùne,et par le centre du cercle qui lui sert de base, est perpendiculaire au plan de ce cercle. Si cette droite, qu’on nomme axe du cône, est oblique par rapporrau plan du cercle, le cône est oblique.

On peut concevoir sur le cône droit deirx systèmes de lignes, ou des droites dirigées du sommet vers les points de la base circulaire, ou des cercles parallèles à la base, qui ont pour rayons les perpendiculaires abaissées de l’une quelconque des droites du premier système sur l’axe. Le plan coupant, donné de position par rapport à la surface, rencontre et les droites du premier système, et les cercles du second système, en des points qui appartiennent à la courbe d’intersection du plan et du cône.

74- Explication de la fig. 1 , pl. 10. La surface et le plan coupant étant donnés de position dans l’espace, on prend pour plan horizontal le plan du cercle base du éône, et pour plan vertical un plan perpendiculaire au plan coupantiSoit ABCD (Jig. v,pl. 10) le cercle base du cône; FN la trace horizontale du pl^p coupant; XY perpendiculaire à FN, l’intersection du plan horizontal etdn plan vertical de projection; F g la trace verticale dn plan coupant NFg’. Quèlleqtie soit la courbe d’intersection contenue dans ce plan, la projection verticale de cette courbe se confondra avec la trace F g, puisque (art. 4 et 8) le plan coupant est par hypothèse perpendiculaire au plan vertical de projection. •

Ayant mené le diamètre AB parallèle à l’intersection XY des plans de projection, on divise chaque demi-circonférence ABC, ABD en un certain nombre de parties égales , par exemple çn douze parties ; les droites menées dû centre O du cercle aux points dé division ,sont les projections horizontales des droites de la surface conique, menées du sommet aux mêmes’ points de division. Soit (OH, oH') l’une de ces droit'es ; elle est rencontrée par le plan coupant(NF^) au point (M , ni). De ces deux points m,M, le premier détermine le second », puisqu’ils sont sur une perpendiculaire otM à la droite XY.

La droite oïl' est aussi la projection verticale d'une droite de la surface dont OI est la projection horizontale; d’où il suit que la perpendiculaire /nM à XY coupe la droite OI au point S, qui appartient comme le point Ma la projection horizontale LMPSde la courbe d'intersection du cône et du plan.

Les droites o A’, oD’ projections verticales.des droites du cône, qui ont pour projections horizontales OA, OU, sont les limites de la projection verticale du èône; la trace F g coupe ces limit A aux points l,p, cjui déterminent les points L, P, de la projection horizontale LMPS.

En opérant de la même manière sur toute autre droitcde la surface conique comme sur la droite (OH, oW ), on construira tant de points qu’on voudra de la projection horizontale et l'intersection du cône et du plan.

Considérant sur le cône le second système de lignes, c’est-à-dire les cercles engendrerai" les points d’une droite de la surface telle que (AO, A’o), tour- x nant autour de l’axe (O , m, chacun de ces cercles est rêneontré par le plan coupant en deux points, dont les projections appartiendront à la courbe déjà construite LMPS.

j5. Soit ag une horizontale," ou plutôt la trace verticale d’nn plan horizontal qui coupe le cône suivant un cercle du diamètre a&. La circonférence décrite du point O comme centre avec un rayon moitié de u/3, rencontre la perpendiculaire i»H à XY aux points M et S de la courbe LMPS, projection horizontale de la Courbe d'intersection du cône et du plan.. Tous les cercles du cône coupés par le plan sont renfermés dans les plans horizontaux qui ont pour traces verticales les horizontales /). et p-r.

On doit remarquer, parmi ces cercles, celui dont le diamètre y J' passe par. le point i, où la projection verticale O ’o de l’axe du cône coupe la trace F g. La projection horizontale de ce cercle coupe la droite OO’ perpendiculaire à XY, aux deux points R etQ, qui appartiennent à la courbe LMPS.

En suivant le premier mode de construction de cette courbe, on n’aurait pas trouvé directement les deux points R et Q, et les points voisins de ceuxlà ne seraient détermines que par des lignes qui se couperaient fort obliquement. •

On ne parvient au tracé exact de la courbe LMPS que par la combinaison des deux modes de construction , qui résultent de la considération de la double génération du cône par la ligne droite et le cercle.

76. La courbe LMPS et la droite Fg étant les deux projections de l’intersection du cône (ABCDO, À’Bo) par le plan (NFg\ on obtient cette intersection dans son plan en faisant tourner ce plan autour de l’une de ses traces, sur les plans de projection.

Comptant les abscisses (art. 3) de cette courbe d’intersection, sur la trace

verticale F g du plan coupant, les ordonnées sont des horizontales perpendiculaires à cette trace; ou prenant la trace horizontale FN pour l’axe des abscisses, les ordonnées sont des parallèles à la trace verticale F g. Les fig. i a, fig. i .b font voir la courbe d’intersection , lorsque le plan de cette courbe est appliqué sur les plans vertical et horizontal de projection, après avoir tourné autour des traces F#, FN,

77. Explication de la fig. i.a. Fin étant L’abscisse du point (M, m) d’une courbe située dans le plan (NFg'), il s'agit de trquver la position de ce point sur Ig fig. 1 .a.

Ayant mené par le point donné m la perpendiculaire mSM à XY,.ct la perpendiculaire mm'k la trace F g, On fêta cette perpendiculaire nun' de même longueur que la distance MM’ du point donné M à la droite XY,et le point rn sera le. point de la courbe (M, m) appliqué sur le plan vertical. On aurait le point ni" et) prenant nun" — M'S.

78. Explication de la fig. t.b. FN étant l’abscisse du point (M, m ) d’une courbe située dans le plan {NFg)^, on demande la position de ce point sur la Jig. t.b, après avoir tourné autour de la trace horizontale FN.

Ayant élevé par le point donné M la perpendiculaire NM/*' à lît trace FN, on porte sur cette perpendiculaire la longueur N/*’ = Fin, et le point p est encore le point (M, m) de la courbe, appliqué sur le plan horizontal. On aurait le point s en élevant la perpendiculaire ST àFN, et la prolongeant en s, de manière qu’on ai t Tr — Fwi.

On trouverait de la même manière que les points de la courbe d’intersection (L, /), (P, p) deviennent sur la fig. ("1 .a), l',p\ et sur \*fig. <p’, 4'.

Le plan vertical OU rencontre le plan coupant (NF/>), suivant une droite qui divise en deux parties égales et symétriques , la courbe d’intersection du cône et du plan; pour rapporter cette droite sur la fig. 1 .a, on mènera FN’ perpendiculaire à Fg, et on portera sur cette droite une longueur FU’ = FU (fig. 1 ) ; la parallèle tS'p' k la trace F# divisera en deux parties égales .les ordonnées de la courbe, telles que min", perpendiculaires à cette trace : ainsi on a km' = km’ — KM =a KS (fig. 1).

De la tangente à la courbe d’intersection du cône et d'un plan.

79. Soit (M, m) (fig. 1 , pl. io);un point quelconque de l’intersection du cône et du plan ; le plan tangent au cône mené par ce point , passe par la droite ^OMH, omll), qui rencontre le cercle base du cône au point II, et ce plan a 'art. 58 tel 59) pour trace horizontale, la tangente HE du cercle ABC : or cette trace coupe k trace FN du plan. tangent au point E; donc ce point appartient à la tangente EM de la courbe LMPS.

• Pour rapporter celte tangente EM sur les fig. 1 .a et i <b, on portera FE en FE’ {Jig. i.a), et la droite EW sera la tangente de la courbe tm'p'm. ],e point (M, rn) s’appliquant en /x (fig. i.ô), on aura la tangenje en ce point yl de la courbe en menant la droite Ej/ par le point E où la tangente au

cercle 1IE coupe la trace horizontale FN du plan coupant.

Du cône à base circulaire et de ses trois sections dites Ellipse, Hyperbole, m Parabole. (PI. n.) *

80. Nous venons de considérer le cas où le cône à base circulaire est droit, et nous avons supposé qu’un plan coupait toutes les droites de la surface, ou toutes les arêtes du cône; dans cette hypothèse fia courbe d’intersection du cône par le plan est une courbe fermée à laquelle on a donné le nom d 'ellipse.

Que le cône soit droit ou oblique, il est formé de deux nappes symétriques, -£ qui n’ont de commun que le sommet du cône. Les sections de ce cône par un plan affectent trois formes différentes; d’où résulte leur division en trois espèces, qu’on nomme ellipse , hyperbole , parabole. Avant de construire l’intersection d’un cône par un plan , on pourra toujours reconnaître à quelle espèce cette courbe d’intersection appartient.

Quelle que soit la position d’un cône par rapport k un plan , toutes les arêtes sont rencontrées par ce plan , à moins qn’iine ou plusieurs arêtes ne soient parallèles au plan coupant. Si toutes les arêtes sont rencontrées, la section est une ellipse ; dans le cas où une ou plusieurs arêtes sont parallèles au plafi coupant, la courbe a une ou deux branches infinies. La coùrbe à une seule branche infinie, située sur l’une des deux nappes du cône, se nomme parabole; celle qui a deux branches infinies, situées sur les deux nappes, se nomme hyperbole. ' ' . t

81. Pour reconnaître si la courbe d’intersection d’un cône par un plan s’étend à l’infini, on mènera par le sommet du cône un plan parallèle au plan coupant, et on le prolongera jusqu’au plan du cercle base du cône. La droite intersection de ces deux plans sera ou sécante ou tangente du cercle, ou n’aura aucun point commun avec ce cercle. Dans ce dernier cas, le cône n’a aucune arête parallèle au plan coupant, et la section est une ellipse. Si la droite coupe la circonférence de la base en deux points , les deux arêtes du cône menées par ces points seront parallèles au plan coupant ; et la courbe d’intersection, composée de deux branches situées sur les <ieux nappes du cône, s’étendra à l’infini sur chaque nappe. Cette courbe est V hyperbole. I>e troisième cas a lieu lorsque le plan- parallèle au plan coupant, mené par le sommet du cône , est tangent au cône. Alors il y a un point de la courbe, si-

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 4g

tué à l'infini sur l’arête de contact parallèle au plan coupant. La courbe contenue dans ce plan diffère de l’hyperbole , parce quelle ne s’éteud que sur une seule nappe du cône (*).

8a. Connaissant les arêtes du cône parallèles au plan coupant, il sera facile de construire les asymptotes; ou nomme ainsi les droites qui touchent une section conique, en des points situés à l’infini, et qui sont néanmoins à une distance finie d’un point pris à volonté sur la section. En effet, la tangente en un pwnt quelconque de la section conique, résulte de l'intersection du plan tangent au cône en ce point, et du plan de la section : or le plan tangent en un point d’un cône touche le cône suivant l’arête qui passe par ce point; mais l’arête du point situé à l’infini est connue, puisqu’elle est parallèle au plan coupant; donc si par cette arête on mène un plan tangent au cône, l’intersection de ce plan et du- plan coupant sera l’asymptote. Lorsque la section est une hyperbole, le cône a deux arêtes parallèles au plan coupant, et par conséquent deux plans tangens suivant ces arêtes, qui coupent le plan de l’hyperbole suivant deux asymptotes.

Le centre de l'hyperbole est déterminé par l’intersection des deux asymptotes, ou par le point de concours, du plan coupant et des deux plans tangeits qui contiennent les asymptotes.

Il suit de là que les sections parallèles et hyperboliques d’un cône à base circulaire, ont leurs centres sur la droite intersection des deux plans tangens à ce cône menés par les droites de contact, parallèles au plan de l’une quelconque des sections hyperboliques.

83. Explication des fi g. i, i.a, i.b,pl. u. Un cône droit a pour base le cercle ÀBCD donné sur le plan horizontal, et pour sommet le point (O, o) ; il est coupé par un plan (MFg), dont la trace horizontale FM est perpendiculaire à la droite XY, intersection des deux plans de projection. La trace verticale F g coupe les droites oA’, oB’, limites de la projection verticale du cône, en deux points l, p, situés l’un au-dessous, et l’autre au-dessus de la projection verticale o du sommet du cône. Pour reconnaître si la courbe d’intersection s’étend à l’infini, on mène par le sommet du cône, un plan (M'F’o) parallèle au plan coupant (MFg). Puisque la trace horizontale M’F coupe le cercle ÀBCD aux points M', S', le plan parallèle au plan coupant rencontre le cône suivant deux arêtes (OM‘, e>F')t (OS’, oF ). Ces arêtes étant parallèles au plan coupant, les points où elles rencontrent ce plan sont situés

(i ) Les trois courbes, parabole, hyberbole, ellipse, se nomment aussi courbes du second degré, parce que les équations de ces courbes sont comprises dans l'équation générale du second degré entre deux variables.

5o GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.

à l'infini ; d’où il suit que la courbe d’intersection s’étend l’infin iipent vers ces points. Les plans tangens au cône, suivant les arêtes parallèles au plan coupant , rencontrent ce plan suivant deux asymptotes, qui ont pour projections horizontales les droites Tir', NI/i' respectivement parallèles aux droites OS', OM . Les points T et N, qui déterminent les projections horizontales des asymptotes à la section conique, sont les intersections des tangentes au cercle M'N, ST, et delà trace horizontale FMN du plan coupant.

La projection horizontale de la courbe d’intersection du cône et du<plan, se compose de deux branches séparées SLM , GPG', coupées à angle droit en L et P par le diamètre AB du cercle ABCD. On construit cette projection horizontale ainsi qu’on l’a expliqué (art. 74) pour la fig. 1 , pl. 10.

Les branches SIJW, GPG' ont pour asymptotes les droites T<’, Nn' qui se coupent au point I du diamètre AB.

Faisant tourner le plan de la courbe d’intersection du cône et du plan autour de sa trace verticale F g, on construit la fig. 1 .a qui contient la courbe d’intersection mis, g'pg’ dans son plan, et scs asymptotes ni, tT; cette construction ne diffère pas de Celle de la fig. 1 ,a,pl. 10.

84. Supposons maintenant' le plan coupant parallèle à un plan tangent du-

cône, par exemple, au plan (AA’o) (pl. 1 1), qui touche le cône suivant l’arèto (OA,oA'). Soient /S9, çtt les traces horizontale et verticale du plan coupant, respectivement parallèles aux droites AA', A 'o ; ce plan coupe le cône suivant une courbe dont la portion située entre le sommet et la base du cône, a pour projection horizontale «Æ4- Cette courbe s’étend indéfiniment au-dessous du sommet du cône, en s’approchant continuellement du plan tangent (AA ’o), parallèle au plan coupant. Ges deux plans étant par hypothèse parallèles, ne se rencontreraient qu'à l’infini; d’où il suit que la section du cône n'a pas d’asymptote, quoiqu’elle s’étende à l’infini sur une nappe de la surface conique. Faisant tourner le plan de cette section autour de sa trace horizontale afi transportée parallèlement en «'g', la section appliquée sur le plan horizontal devient a’4’à’ (fig. 1 ■/>)■ La droite >4’ est le prolongement du diamètre AB, et on a >4' == vrP > distance du point (4, w) de la section conique, à la trace horizontale fxii du plan de cette section. ■

85. La section conique (fig. 1 .a, pl. 11), composée de deux branches qui s’étendent indéfiniment sur les deux nappes du cône, et qu’on nomme (art. 80) hyperbole , a deux asymptotes et un centre. La .section (fig. 1 .4) formée d’une seule branche qui s’étend indéfiniment sur l’une des nappes du cône, et qu’on nomme (art. 80) parabole, n’a ni centre, ni asymptote.

Il y a sur le plan d’une ellipse ou d’une hyperbole deux points très-remarquables qu’on nomme foyers; la parabole n’a qu’un seul foyer.

Définition des foyers des sections coniques.

86. Les foyers d’une ellipse ou d’une hyperbole jouissent de cette propriété, que la somme ou la différence des droites menées de ces points vers un point de la courbe, est une quantité qui ne varie pas, quel que soit le point pris sur cette courbe. La distance constante des deux foyers , et les droites variables tirées d'un point de la courbe vers ces foyers, forment un triangle qui est dans le plan de la courbe , et don t les côtés variables se nom men t rayons vecteurs. On exprime la propriété des rayons vecteurs par cette phrase : La somme ou la différence des rayons vecteurs est une quantité constante.

La détermination géométrique des foyers 4’une section. conique est due à MM. Dandelin et Quetelet, de l’académie royale des sciences et belles-lettres de Bruxelles, (Voyez les Mémoires de cette académie , année i8a5.)

Construction des foyers d'une section conique. (PI. suppl. A, fig. 1-4.)

87. Le plan qui coupe un cône droit étant donné , un second plan mené par l’axe de ce cône perpendiculairement au premier, coupe le cône suivant deux droites SC, SD (fig. I ,pl. supol. A), qui font avec l’axe SR' les angles égaux GSR', DSR', et le premier plan suivant une droite PQ,qui fai t avec les côtés SC, SD les angles SPQ, PQD. On divise chacun de ces angles en deux parties égales, par les droites PR, QR1, qui coupent l’axe SR’ aux points R, R'; de ces points comme centres, on décrit les deux circonférences des rayons RA, R’ C , tangentes l’une aux droites PS, PQ, l’autre aux droites PQ, QD. Ces circonférences sont les.grands cercles de deux sphères inscrites au cône droit, et tangentes au plan coupant PQ.; les points de contact F, F' sont les foyers de la section' formée dans le cône droit par le plan PQ, perpendiculaire au plan de la section méridienne CSD du cône. Pour le démontrer, il faut faire voir que la somme des rayons vecteurs d’un point quelconque m de la section conique, tel que celui qui se projette en M (fig. •)> est une quantité constante. ( La lettre m n’est pas sur la figure, parce qu’elle désigne un point de l'espace dont la position efct déterminée par sa projection M sur le plan des deux droites SC, SD du cône, plan que nous supposerons horizontal.)

Soit menée la droite SM, projection horizontale de la droite S m du cône, qui rencontre les cercles du diamètre AB, CD en des points i , t", dont les projections horizontales sont respectivement I et I’. ( Les lettres 1, î ne sont pas dans la figure, parce qu’elles désignent deux points de l’espace, situés hors du plan de projection.) Les droites m¥, mi menées du point m aux points F et i.

sont égales, parce qu’elles partent du point m et quelles sont tangentes à la sphère du rayon inscrite au cône droit ; par la même raison, les droites mV, mi tangentes à la sphère du rayon R'C, et menées du point m , sont aussi égales entre elles; d’où il suit que la somme des deux droites m¥, mf est égale à la somme des droites mi , mi ; mais cette dernière somme ne dépend pas de la position particulière du point m de la section conique; elle est égale à la partie AC ou BD des droite* SC, SD du cône, comprise entre les deux, cercles des diamètres AB, CD,- et cette droite AC ou BD ne varie pas, quel que soit le point de la section conique d’où partent les deux rayons vecteurs. U est donc démontré que la somme de ces rayons est une quantité constante égale en longueur à la droite AC ou BD.

La trace horizontale du- plan qui coupe le cône droit étant xy, la partie PQ de cette droite, comprise entre les droites SC, SD du cône droit, est égale à la droite AC ou BD, ou à la somme des deux rayons vecteurs d’un point quelconque de la section conique. En effet, on a :

AC = AP PC = BD = BQ -+- QD.

Mais AP = PF , PC = PF, BQ = QF, QD — QF ; donc :

PF -f-PF’ = QF-+-QF'= FF'-I- aPF.; QF -t-QF' = FF'-H aQF' ; d’où PF = QF’:

Donc AC — PF PF = PF -f- FF’ 4- QF = PQ.

88. Les mérites démonstrations s’appliquent au cylindre droit k base circulaire (fig. *,pl. suppL A). Le plan ABCD mené par l’axe du cylindre perpendiculairement au plan de la section cylindrique, coupe ce plan suivant la droite xy, et le cylindre suivant les parallèles AC,BD,qui sont rencontrées par la droite xy aux points P et Q. Les droites PR,QR' qui divisent en deux parties égales les angles APQ, DQP, coupent l’axe RR’ du cylindre aux points R, R’ centres des sphères inscrites au cylindre, et tangentes au plan coupant xy. Les points de contact F, F' des sphères et du plan, sont les Joyers de la section cylindrique. Désignant comme pour le cône droit par m un point de la section cylindrique, par », »" les points où la droite du cylindre menée par le point m rencontre les cercles du cylindre des diamètres AB, CD, et supposant que les points m, », »" hors du plan de projection , se projettent sur ce plan en M, I,I’,les droites mi, mi' sont égales et parallèles à leurs projections Ml, MI’ (fig. a), et on a mf = MI, mV = MI’; donc la somme des rayons vecteurs mF ■+■ njF’=lMl', est égaleà la droite AC, dont la longueur ne varie pas, quelle que soit la position du point m de la section du cylindre par le plan xy. On a aussi comme pour le cône droit PQ = AC.

89. Si l’on suppose (fig. 3) que le cône droit est coupé par le plan xy suivant une hyperbole, on construira comme pour le cas de l’ellipse les deux

foyers F, F’, dont la distance FF est égale à aSP ou aSQ. Pour un point quelconque m de l’hyperbole, dont la. projection (fig. 4 ) est M, ce n’cst pas la somme, mais la différence des rayons vecteurs de ce point, ou mF — mF, qui sera égale à la droite PQ, partie de la trace xy, comprise entre les côtés SA, SD du cône droit.

90. Lorsque la section conique est {fig. 4) une parabole, ce qui a lieu si l’intersection ~x y des plans rectangulaires PQ et ASB est parallèle à la droite SB du cône, la construction précédente ne donne pour la parabole qu’un seul foyer Fj qui est le point où la sphèft inscrite au cône suivant le cercle du diamètreAB, touche le plan coupant; l’autre foyer est à l’infini; un point quelconque de la parabole n’a qu’un seul rayon vecteur.

Troisième exemple. — Intersection d'un cylindre oblique par an plan perpen diculaire à tes arêtes. (PI. ia, fig. 1, t.a.)

91. La trace du cylindre sur le plan horizontal est donnée ; on connaît la direction de sa droite génératrice ; le plan coupant est déterminé par ses traces sur les plans de projection.

Concevant une suite de plans parallèles à la droite génératrice , qui coupent la surface cylindrique et le plan donné, l’un quelconque de ces plans contient une droite du plan et une ou plusieurs droites du cylindre ; les points d’intersection de ces droites appartiennent à la courbe d’intersection du cylindre et du plan.

tJn système de plans n’est pas déterminé par la seule condition d'être parallèle à une droite; on peut encore supposer qu’ils sont perpendiculaires à l’un des plans de projection, au plan horizontal par exemple. La fig. 1 ,pl. ia, est construite dans cette hypothèse, et avec les données suivantes.

. ga. Soit ABCD (fig. 1 ,pl. ta) la base oirla trace du cylindre sur le plan, horizontal ; la droite génératrice de ce cylindre est constamment parallèle à une droite donnée ( a&, yJ). Le plan coupant a pour traces sur les plans de projection les droites LM, Mm qui se coupent au M de la commune intersection XY de ces plans.

. La base ABCD étant une ellipse, on lui mènera les deux tangentes CG, DF parallèles à la projection horizontale a# de la droite donnée (<t/3, yl)\ ces parallèles seront les limites de la projection horizontale du cylindre. Deux autres tangentes AA’, BB’, perpendiculaires k la droite XY, détermineront sur cette droite deux points A’, B', par lesquels menant des parallèles à la projection verticale >/ de la droite donnée (*0, on aura les limites A’/f, B’t de la projection verticale du cylindre. Un plan horizontal /ci coupe le cylindre

suivant une ellipse égale à sa base, et cette ellipse se projette sur le plan horizontal en GFI. Les droites CG, DF sont tangentes aux deux ellipses égales ABCD, GFI, et les touchent en des points semblablement placés. La droite Om, qui joint les centres de ces ellipses , est parallèle aux tangentes CG, DF.

Le plan vertical mené par la droite O» coupe le plan donné (LMm) suivant une droite dont la projection verticale est P'/i. Le point P' est la projection verticale du point P de la trace LM. On obtient le second point n de la projection P'/j, en menant une droite quelconque (NM', nm) parallèle à LM. Considérant cette droite coffime une horizontale du plan coupant (LMm), elle a pour projection verticale la parallèle mn à XY. La perpendiculaire à XY, menée par le point N, coupe l’horizontale mn au point cherché n. Tous les plans verticaux parallèlesau plan vertical Ou ou à la droite ai, couderont le plan donné (LMm) suivant des parallèles à la droite (PN, P n).

q3. La courbe d’intersection du cylindre et du plan a deux projections I1TQ, htq que nous allons construire.

Soit ER une droite quelconque parallèle à afi, qui coupe la base donnée ABCD dp cylindre aux points E, i, et la trace horizontale LM du plan coupant au point R; on considère cette droite ER comme la trace horizontale d’un plan vertical qui contient une droite du plan coupant et deux arêtes du cylindre. Abaissant les perpendiculaires EE’, ti, RR' sur XY’, on mènera par les points E', les parallèles E'f, «V à la droite ><f, qui seront coupées aux points t, v par la droite R Vf parallèle à Vit.

Ces points f, v appartiennent à la courbe htqv , projection verticale de la Courbe d’intersection du cylindre et du plan donnés. Abaissant les perpendiculaires tT, yS èïXY', qui coupent la droite ER aux points T et V, ces points appartiennent à la projection horizontale HTQV de la courbe d’intersection. On trouvera de la même manière tant de points qu’où voudra, tels que (T, / ) et (V, c)de cette courbe. Pour la. construire dans son plan, on fait tourner ce plan autour de sa trace horizontale LM comme charnière. Un point quelconque (T, f ) décrit une’ circonférence du rayon (TR, <R'), qui a pour longueur l’hypothénuse d’un triangle rectangle construit sur TR et T'/ comme côtés; portant cette longueur de R en 8, le point 8 sera après la rotation , le point (T, /) appliqué sur le plan horizontal. On construit de la même manière tout autre point de la section du cylindre, laquelle devient dans le plan de cette section, la courbe H'U’SQ'. Cette courbe se nomme la section droite du cylindre, lorsque le plan coupant est perpendiculaire à la génératrice de la surface cylindrique; auquel cas, les traces LM, Mm de ce plan sont respectivement perpendiculaires (art. ai) aux projections de la droite donnée (a£, y<f).

Des tangentes à la courbe d’ intersection du cylindre oblique et d’un plan.

g4- Ayant construit (/%. i, pl. ta ) les projections T, t d’un point quelconque dé la courbe d'intersection du cylindre par un plan, et ce point 9 sur le plan même, les- tangentes en ces mêmes points aux trois courbes HTQV, htqv, irU*0Q',sont déterminées; et pour les obtenir il suffira de construire l’intersection du plan tangent au point (T,f) du cylindre, et du plan donné (LM/n).

Le plan tangent au point(T, t) du cylindre passe par l’arête (TE, iE') (art. 53) et touche le cylindre suivant cette arête ; d’où il suit qu’il a pour trace horizontale la tangente EL à l’ellipse ABCD ; or cette tangente coupe la trace LM au point L; donc ce point L est sur la tangente de la courbe d’intersection du cylindre et du plan, au point (T, t)(de cette courbe. Élevant la perpendiculaire LL’ àXY, et tirant les droite sLT, lit, on aura. les tangentes des courbes HTQV, htqv aux points T et t de ces courbes. Lorsque le plan tourne sur sa trace horizontale LM comme cliarnière, le point L de la tangente est fixe ; le point (T, t) s’applique en 9 sur le plan horizontal ; donc la droite LQ est la tangente au point 9 ou (T, t) de la courbe d’intersection du cylindre et du plan. .

Les tangentes à la base du cylindre CG, DF, ne sont pas seulement les projections horizontales de deux arêtes du cylindre , on peut encore les considérer comme les traces de deux plans tangens verticaux ; d'où il suit que toute courbe du cylindre qui rencontrera les droites de ce cylindre contenues dans les plans verticaux CG, DF, aura pour tangentes aux points de rencontre, des droites dont les projections horizontales sont CG et DF.

Par la même raison , les limites A'/; B’i de la projection verticale du cylindre, sont des tangentes des projections verticales de toutes les lignes courbes du cylindre qui rencontrent les droites de ce cylindre *dont A'X, Bï sont les projections verticales.

Les plans vertic'aux CG, DF tangens au cylindre, rencontrent le plan coupant (LM/zi) suivant des tangentes à la courbe d’intersection du cylindre ; donc les projections verticales G 'h, F ’q de ces tangentes, sont tangentes à la projection verticale htq de la courbe d’intersection du cylindre par le plan (LM/n). Les droites G'/i, F ’q menées par les points G’, F' projections verticales des points G, F, sont parallèles à la droite P'/».

Les plans tangens an cylindre, parallèles à une liorizontale du plan coupant (LM/n)^ touchent le cylindre suivant deux arêtes, qui Sont coupées par le plan en deux points; les tangentes à la courbe d’intersection menées par ces points sont horizontales, et leurs projections verticales ta, 34 sont aussi des horizontales. Après avoir considéré plusieurs surfaces développables particulières, revenons au cas général.

Des tangentes aux sections planes des surfaces développables, parallèles à des , droites données.

g5. Une droite étant donnée dans le plan d’une courbe de la surface développable, on mènera un plan tangent è. la surface, parallèle à cette droite; l’intersection de ce plan et du plan de la, courbe sera évidemment une tangente de cette courbe parallèle à la droite donnée. On a vu ( art. 56 et 60 ) comment on construit un plan tangent aux surfaces cylindrique et conique, parallèle à une droite donnée.

Quelle que soit la surface développable, on déterminera le plan tangent à cette surface, qui est parallèle à une droite donnée, en menant tfn plan quelconque parallèle à cette droite, qui coupe la surface suivant une courbe. La tangente à cette courbe 'parallèle à la droite donnée, et la droite de la surface développable qui passe par le point de contact, déterminent le plan tangent demandé.

Quant aux tangentes des projections d'une section plane de la surface développable proposée, on pourra, par la même considération, déterminer celles qui sont parallèles à des droites données sur les plans de projection. On mènera par l’une de ces droites un plan perpendiculaire au plan de projection sur lequel elle est donnée ; ce plan rencontre le plan de la courbe suivant une droite. En menant un plan tangent à la surface développable parallèle à cette droite, les projections de la droite intersection du plan tangent et du plan coupant, seront tangentes aux deux projections de la courbe, et l’une de ces tangentes sera parallèle à la droite donnée.

Des lignes d’une surface développable , rapportées sur le plan de développement.

96. On a vu ( art. 5o ) que les élémens d’une surface développable pouvaient être réunis sur un seul et même plan, et former ce qu’on appelle le développement de la surface. <•

Une ligne quelconque de cette surface, celle par exemple qui résulte de l'intersection de la surface par un plan, se transforme sur le développement en une autre courbe; nous allons exposer le principe qui sert de base \ la construction de cette courbe.

Lorsqu’on développe une surface, une ligne quelconque de cette surface plane ou à double courbure devient sur le plan de développement, une autre ligne que je nomme la transformée de la première.

Supposons d’abord qu’il y ait sur la surface développable une courbe dont la transformée soit connue, et pour la distinguer, nomroons-la axe de développement. La section droite sur le cylindre à base circulaire,, le cercle sur le cône droit, la ligne dont tous les points sont à la même distance du sommet du eône oblique, sont sur ces diverses surfaces, les lignes qu’on prend pour axes de développement ; les transformées de ces axes sont la ligne droite ou le cercle. -

97. L’axe de développement et sa tranformée étant connus, il n’y a aucune ligne de la surface développable dont on ne puisse construire la transformée sur le plan de dévçlopperaent. En effet, chaque tangente de l’axe de développement fait avec la droite de la surface développable qui passe par le point de contact, un angle déterminé; or cet angle ne change pas sur le plan de développement; d’où il suit qu’il n’y a aucun point de la surface développable qui ne soit déterminé par une abscisse courbe comptée sur l’axe de développement, et par une ordonnée rectiligne qui est la droite de la surface passant par l’extrémité de l’abscisse courbe.

98. Considérant sur une surface développable, une ligne autre que l’axe de développement, on aura la transformée de cette ligne, en rapportant sué le plan de développement, les .droites de la surface développable comprises entre la ligne que l’on considère et l'axe de développement. Si, par un point de cette ligne, on lui mène une tangente, cette tangente, la droite de la surface développable qui passe par le point de contact, et la tangente à l’axe de développement, mené par le point où la droite de la surface Coupe cet axe, forment un triangle qui est situé dans le plan tangent à la atirface développable, et qui ne change pas de grandeur dans le plan de développement; donc, connaissant dans ce triangle un côté et deux des cinq autres élémens qui le déterminent , on pourra le construire sur le plan de développement.

99. Lorsque l’axe de développement devient une ligne droite sur le plan de développement, toutes les tangentes à cet axe, rapportées sur le même plan , coïncident avec la droite qui est la transformée de l’axe. Dans ce cas, Taxe de développement est une courbe de la surface développable , qui jouit de cette propriété, d’étre la ligne la plus courte qu’on puisse tracer sur la surface, entre deux points quelconques de son périmètre.

Une surface développable étant exécutée, on y trace une ligne de cette espèce (la plus courte entre deux points), en pliant un ruban mince, flexible, d’une largeur égale dans toute longueur, de manière qu’il s’applique entièrement sur la surface ; chaque droite formant le bord du ruban, devient sur la surface la ligne la plus courte entre deux quelconques de ses points : sachant mener des tangentes à cette ligne, on pourra la prendre pour axe de développement.

100. Il suit de ce qui précède, que pour obtenir le développement d’une surface, il Élut connaître sur celte surface un axe de développement, et sur- le plan de développement la transformée de cet axe. Les droites consécutives de la surface qui rencontrent l 'axe sous des angles déterminés et connus, le divisent en petits arcs qui ne diffèrent pas sensiblement de la ligne droite; les points de division de cet axe correspondent à d'autres points de la transformée, et on obtient les points correspondons en rapportant les petits arcs de l’axe sur sa transformée, dans l’ordre où ils se succèdent sur la surface. Sachant mener des tangentes à ces deux- courbes, savoir à l’axe de développement et il sa transformée , ces tangentes déterminent sur le plan de développement les droites de la surface développable ; donc on aura sur ce plan la transformée .de l’axe de développement, qui sera une ligne d’abscisses, et les droites de la surface développable, qui seront les ordonnées correspon-' dantes des points de cette surface , qu’il s’agit de rapporter sur le plan de développement.

10 1. Le développement d’une surface a .principalement pour objet dans les arts, de tracer au moyen de patrons ou panneaux , sur cette surface déjà exécutée, une courbe autre que l’axe de développement; or, deux courbes suffisent pour diriger le mouvement de la droite génératrice d’une surface réglée ou développable, lorsque les points d’appui de chaque droite sur les courbes directrices sont déterminés (art. 5a et 6 1); d’où il suit que la surface étant exécutée, le développement n’est qu’un moyen secondaire pour y rapporter une courbe, qui est donnée par ses projections; car on peut tracer directement cette courbe par points en déterminant ces points par leurs distances aux courbes directrices, mesurées sur les droites de la surface.